欧拉方程的求解
西工大最优控制课程 第1章 变分法-2-欧拉方程
3 泛函求极值的一般步骤
问题：由 min J ( y) x1 F (x, y(x), y'(x))dx 求 yˆ, J ( yˆ)
y
x0
（1）由EULER方程
d
Fy
dx
(
F y
'
)
0
解出y的通解。
（2）由横截条件求出
F y
'
0
的表达式。
（3）将边值条件代入y的通解与
F y
'
0
求出积分常数，得到 yˆ
当一个端点固定时（假定x0固定）
F y x1 y' x0
Fy'y
x1
Fy'y x0
y(x0 ) 0
Fy'y x1 0Fy' x1 0
y(x0 ) y0
横截条件
F y x1 y' x0
0
当两个端点均可变时
y
y1(x)
y*(x)
δy1
δy0
y2(x)
F y x1 y' x0
Fy'y
x1
x1 0(横截条件)
x0
写成向量形式
t f
t0
(δy)T (Fy
d dx
Fy )dx (δy)T
Fy
x1 x0
0
标量函数F对y的一阶偏导
梯度向量，列向量
向量形式
tf t0
(δy)T (Fy
d dx
Fy )dx (δy)T
Fy
x1 x0
0
n维列向量
泛函极值存在的必要条件：
Fy
d dx
Fy
0
函数极值存在的必要条件
关于二阶欧拉方程的求解
（其中 # ! ， # " 为任意常数） ( 参考文献
［!］同济大学应用数学系 + 高等数学 （下册） （第五版） ］ ［ ,］ 高等教育出版社， + 北京： "))" + ［"］华中理工大学数学系 + 高等数学 （下册） ［,］ 高等教育出版社， + 北京： !--. + ［/］罗亚平， 陈仲 + 微分方程 ［,］ 南京大学出版社， + 南京： !-0. + ［1］复旦大学数学系 + 常微分方程 ［,］ 上海科学技术出版社， + 上海： !-0. + ［2］东北师范大学数学系微分方程教研室 + 常微分方程 ［,］ 高等教育出版社， + 北京： !-0" +
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定理r2为方程2的两个特征根i当r1r2是方程2的互不相等的实特征r1r21fxdx1coslnxfxdx1sinlnxfiii当r1r2是方程2的相等的实特征根证明i当r1r2是方程2的互不相等的实特征根时将方程1的通解6进行分部积分xdxdxr1r2xdxdxr1r21fxdx1fxdxr1r2ii当r1r1r2coslnxisinlnxcoslnxisinlnx将其代入7式整理可得方程1的通解为1coslnxfxdx1sinlnxf3r2所以由定理2c1xxecoslnx的通解
二阶欧拉方程的通解公式
二阶欧拉方程的通解公式
二阶欧拉方程是一类常见的微分方程，它的通解公式是一个重要的数学结果。
二阶欧拉方程的通解公式是：
设y=y(x)为二阶欧拉方程的解，则有：
y=C_1e^(rx)+C_2e^(-rx)
其中C_1和C_2是任意常数，r是方程的根，即r^2+p_1r+p_2=0的根。
二阶欧拉方程的通解公式是由欧拉在18世纪末提出的，它是一个重要的数学结果，在微积分中有着重要的应用。
它可以用来求解二阶欧拉方程，也可以用来求解更高阶的欧拉方程。
二阶欧拉方程的通解公式可以用来解决许多实际问题，如求解物理学中的动力学问题，求解热力学问题，求解电磁学问题等。
它也可以用来求解经济学中的投资问题，求解生物学中的进化问题，求解社会学中的社会发展问题等。
二阶欧拉方程的通解公式是一个重要的数学结果，它可以用来解决许多实际问题，为科学研究和实际应用提供了重要的理论支持。
一阶欧拉方程
一阶欧拉方程
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目录
一、一阶欧拉方程的概念和定义
二、一阶欧拉方程的解法和性质
三、一阶欧拉方程的应用举例
正文
一、一阶欧拉方程的概念和定义
一阶欧拉方程，也称为一阶微分方程，是微分方程中阶数最低的一种，其一般形式为：
dy/dx = f(x, y)
其中，y 是函数的未知数，x 是自变量，f(x, y) 是已知函数。
一阶欧拉方程的解法相对简单，是微分方程研究的基础。
二、一阶欧拉方程的解法和性质
解一阶欧拉方程的一般步骤如下：
1.首先，根据题目给出的初始条件，确定 y 的初始值。
2.然后，对欧拉方程两边同时积分，得到：
∫(dy/dx)dx = ∫f(x, y)dx
y = F(x) + C
其中，F(x) 是 f(x, y) 的不定积分，C 是积分常数。
3.最后，根据初始条件，求解出 y 的解析解。
一阶欧拉方程的性质主要有以下几点：
1.一阶欧拉方程的解法较为简单，可以直接通过积分求解。
2.一阶欧拉方程的解可以是显式解，也可以是隐式解。
3.一阶欧拉方程的解可能存在多个，也可能不存在。
三、一阶欧拉方程的应用举例
一阶欧拉方程在实际问题中有广泛的应用，下面举一个简单的例子：假设有一个物体在重力作用下自由落体，其运动方程可以表示为：dy/dx = -g
其中，g 是重力加速度，y 表示物体的位移，x 表示时间。
对该方程进行积分，得到：
y = -1/2gt^2 + C
根据初始条件，当 t=0 时，y=0，可以求解出物体的位移随时间的变化关系。
这就是一阶欧拉方程的一个简单应用。
欧拉方程
泛函的欧拉方程(by zhengpin1390)(二)、泛函的欧拉方程欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。
（1）最简单的欧拉方程：设函数F(x,y,y') 是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B内，则对形如的变分，若其满足以下条件：c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y。
(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。
则函数y。
(x) 满足微分方程：上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。
（2）含有自变函数高阶倒数的泛函的欧拉方程一般来说，对于下述泛函：在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为：（3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程对于下述泛函：其欧拉方程组为：（4）多元函数的泛函及其欧拉方程此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函：其欧拉方程为：泛函分析泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
它是20世纪30年代形成的。
从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。
泛函分析的产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。
这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。
这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。
随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。
到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。
由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。
比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。
应用有限差分法计算二维欧拉方程
应用有限差分法计算二维欧拉方程有限差分法是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程。
二维欧拉方程是一类常见的二阶偏微分方程，表示为：∂u/∂t=a(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²)其中，u(x,y,t)是待求解的函数，a是常数。
为了使用有限差分法计算二维欧拉方程，我们需要离散化方程中的时间和空间变量。
我们可以将定义域分成n个小区间，将时间区间分成m个小区间，其中n和m可以任意选择，但需要满足数值稳定性要求。
在空间方向上，我们可以将二维区域分成nx × ny个小网格，每个小网格的尺寸为Δx × Δy，其中Δx和Δy是步长。
在时间方向上，我们将整个时间域分成m个时间步长，每个时间步长的尺寸为Δt。
我们可以用u(i,j,k)表示空间坐标(x,y)为(iΔx,jΔy)、时间坐标t 为kΔt的节点处的值。
根据欧拉法的思想，我们可以使用以下差分格式来近似二维欧拉方程：(u(i,j,k+1)-u(i,j,k))/Δt=a((u(i+1,j,k)-2u(i,j,k)+u(i-1,j,k))/Δx²+(u(i,j+1,k)-2u(i,j,k)+u(i,j-1,k))/Δy²)注意到，上式使用中心差分来近似二阶偏导数项。
通过对上述方程进行适当的变换和代数运算，我们可以得到u(i,j,k+1)的计算公式：u(i,j,k+1)=u(i,j,k)+aΔt((u(i+1,j,k)-2u(i,j,k)+u(i-1,j,k))/Δx²+(u(i,j+1,k)-2u(i,j,k)+u(i,j-1,k))/Δy²)通过以上公式，我们可以在每个时间步长上，从已知时刻的u值，计算下一个时刻的u值。
在进行计算前，我们还需要确定边界条件。
边界条件是在方程定义域的边界上给出的额外条件，用于限定问题的解。
常见的边界条件有固定值边界条件、导数值边界条件和周期性边界条件等。
微分方程欧拉方程
微分方程欧拉方程欧拉方程是微分方程的一种特殊形式，它是描述物理现象和自然现象的重要数学工具。
本文将介绍欧拉方程的定义、特点以及一些典型的应用。
欧拉方程是指具有以下形式的微分方程：\[a_nx^n y^{(n)} + a_{n-1}x^{n-1} y^{(n-1)} + \ldots + a_1 x y' + a_0 y = 0\]其中，\(y^{(n)}\)表示y的n阶导数，\(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\)是给定的常数。
欧拉方程的特点是含有自变量x和因变量y的多项式系数，并且在x=0处可能出现奇点。
这使得求解欧拉方程需要特殊的方法。
针对不同的n值，欧拉方程的解法也不同。
当n=2时，欧拉方程称为二阶欧拉方程。
二阶欧拉方程的一般形式为：\[a_2 x^2 y'' + a_1 x y' + a_0 y = 0\]对于二阶欧拉方程，可以进行一些简化。
首先，假设解为y=x^r，其中r是一个常数。
对y=x^r求导，可得到：\[y' = rx^{r-1}\]\[y'' = r(r-1)x^{r-2}\]将y、y'和y''的表达式代入原方程，可以得到一个关于r的代数方程，称为欧拉特征方程。
解欧拉特征方程可以得到r的值，进而得到y的表达式。
当r是实数时，解为y=x^r。
当r是复数时，解为y=x^αcos(βlnx)+x^αsin(βlnx)，其中α和β是常数。
除了二阶欧拉方程，欧拉方程还可以推广到更高阶的情况。
不同阶数的欧拉方程具有不同的特点和解法，需要根据具体问题进行分析和求解。
欧拉方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在弹性力学中，弹性梁的挠度满足四阶欧拉方程，在电路理论中，电阻、电容和电感的组合电路中的电流满足二阶欧拉方程。
欧拉方程还可以应用于一些经济学和生物学领域。
例如，在经济学中，经济增长模型可以用欧拉方程来描述经济变量之间的关系；在生物学中，种群增长模型也可以用欧拉方程来描述种群数量随时间的变化。
理想流体动量传输方程——欧拉方程
x方向： （1）压力
p p dy
y
z
D
C
P
P
P x
dx
dydz
P x
dxdydz
E
p
pF
p p dx x
（2）体积力
A
B
Xρdxdydz
（3）流体加速度
ma dxdydz dux
dt
H
p p dz
G
p
0
z
x
y
理想流体微小平行六面体
ma F dxdydz dux Xdxdydz p dxdydz
用矢量表示—— W 1 P Du
Dt
(3.39)
3.3 理想流体动量传输方程——欧拉方程
把
dux dt
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ax
代入式（3.38）得：
（3.5）
X Y
1
1
P x P y
ux t u y
t
ux ux
ux x u y
x
uy uy
ux y u y
yz
y z y
dy
yz
yx
yx y
dy
pyy
p y y x
ydy
0
x
实际流体微小平行六面体
3.4 实际流体动量传输方程——纳维尔-斯托克斯方程
微元体受力分析（续）：
垂直于 z轴的两个平面
z
底面
压应力： pzz
切应力： zx、 zy
zy
zy z
dz
pzz
pzz z
dz
zx
zx z
高阶欧拉方程的求解
‘ 一 芷 ｒ ＋ Ｏ Ｌ
］
‘ 一 ｒ 一
＋ …
＋ａ
ｎ － Ｋ ＝ ｒ ｇ （ ） ｅ 一 ，
（ ４ ）
作者简介 ： 朱 玲（ １ ９ ８ ６一） ， 女， 河南商城人 ， 助教 ， 硕士研究生 ， 研究方 向： 高等数学
第３ ３卷
通解 可表 为
绵 阳师 范学 院学 报 （ 自然科 学版 ）
・ｌ ４・
Ｙ ＝ ｅ ａ ２ ｘ 卜． ． ’ Ｊ ｅ （ ａ ｉ － ａ ｘ ） Ｘ Ｊ …一 Ｊ ｇ （ ） ｅ － ａ ｌ Ｘ （ ） ．
（ ６ ）
证
利 用变换 ｔ ＝ｅ ， 直 接计算 得 到
—
一
＝
—一
・ ——
＝ Ｐ 。
ｄ ２ ｙ
ｅ
（ ｅ ） （ 一
ｄ ｔ ｋ
用数学 归纳 法不难 证 明 ： 对 一切 自然数 ｋ均有 关 系式
引言
根 据线性 微 分方程 解 的性质 ， 求 高 阶欧拉 方程
ｔ ＂ ｙ ＋ １ ｔ Ｙ Ｉ １ ＋ … ＋
一
１ ｔ ｙ ＋ Ｙ＝ ｔ ）
ｌ ＋ Ｙ＝ ０
（ １ ）
（ ２ ）
的解 ， 可 以转 化为 求方 程 （ １ ） 所对 应 的齐次 欧拉 方程
Ｙ ＋ｐ１ Ｙ１ ‘ 一 ¨ ＋ｐ
２ ｙ ： ～ ’ ＋ …＋ ｐ 一 １ Ｙ ： ＋ ｐ Ｙ ｌ ＝ ｅ ） ＝ ｇ （ ｘ ）
（ ３ ）
求 解 的． 从教 材 的分析 和例 子可 知 ， 求 齐次 欧 拉 方程 的通 解是 很 容 易 的 ， 但方 程 （ １ ） 的 特解 ， 教 材 中并 未 介 绍 其求 解过程 ， 至 于方 程 （ １ ） 的特解 是 否能 够求 出或 容易 求 出 ， 则要 取 决 于方 程 （ １ ） 中厂 （ ） 的形 式． 在 本文
用欧拉方程求解最速降线
用欧拉方程求解最速降线最速降线是一种经典的物理问题，可以通过欧拉方程来求解。
在这个问题中，我们考虑一个质点在重力作用下沿着一条曲线从一个点滑到另一个点，使得滑动时间最短。
这条曲线被称为最速降线。
为了解决这个问题，我们首先需要找到描述曲线的方程。
假设曲线的方程为y=f(x)，其中x是曲线上一点的横坐标，y是对应的纵坐标。
根据最速降线的特性，我们知道质点在滑动过程中的动能和势能之和应该最小。
动能和势能可以分别表示为：动能：K = m(v^2)/2势能：U = mgh其中m是质点的质量，v是质点的速度，g是重力加速度，h是质点在曲线上的高度。
根据能量守恒定律，动能和势能之和保持不变。
因此，我们可以得到如下的方程：m(v^2)/2 + mgh = E其中E是一个常数。
为了进一步求解最速降线的方程，我们需要使用欧拉方程。
欧拉方程描述了质点在曲线上滑动过程中的力学特性。
根据欧拉方程，我们可以得到如下的方程：d/dx(∂L/∂y') - ∂L/∂y = 0其中L是质点滑动过程中的拉格朗日函数，y'表示dy/dx的导数。
根据最速降线的问题，我们可以将拉格朗日函数定义为：L = √(1 + (y')^2)将拉格朗日函数代入欧拉方程，我们可以得到如下的方程：d/dx(y' / √(1 + (y')^2)) - 1 / √(1 + (y')^2) = 0这是一个二阶微分方程，可以通过适当的变量代换和求解技巧来求解。
通过解这个微分方程，我们可以得到最速降线的方程y=f(x)，进而确定质点从一个点滑到另一个点所需的最短时间。
最速降线问题是一个非常有趣的物理问题，通过欧拉方程的求解，我们可以找到质点滑动过程中的最优轨迹。
这个问题不仅涉及到物理学的知识，还需要具备一定的数学解题能力。
通过解决这个问题，我们可以更好地理解质点在重力作用下的运动规律，同时也能够培养我们的物理思维和数学建模能力。
[整理版]欧拉方程
![[整理版]欧拉方程](https://img.taocdn.com/s3/m/b4498afce109581b6bd97f19227916888486b974.png)
泛函的欧拉方程(by zhengpin1390)0(二)、泛函的欧拉方程欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。
（1）最简单的欧拉方程：设函数F(x,y,y') 是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B内，则对形如0的变分，若其满足以下条件：0c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y。
(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。
则函数y。
(x) 满足微分方程：上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。
（2）含有自变函数高阶倒数的泛函的欧拉方程一般来说，对于下述泛函：在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为：（3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程对于下述泛函：其欧拉方程组为：（4）多元函数的泛函及其欧拉方程此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函：其欧拉方程为：泛函分析0泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
它是20世纪30年代形成的。
从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。
0泛函分析的产生0十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。
这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。
这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
0本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。
随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。
到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。
0由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。
比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似。
第七章欧拉方程
I1x ( I 2 I 3 ) y z M x I 2 y ( I 3 I1 )z x M y I ( I I ) M 3 z 1 2 y x z
欧拉动力学方程
I1x I 2 I3 yz M x I3z I1 I 2 xy M z
I 2y I3 I1 zx M y
机械能守恒
1 2 2 2 I1 x I 2 y I 3 z V E 2
(四) 由拉格朗日方程推导欧拉方程
M
R
P
r
O
2.加速度
dv d a r r dt dt
转动加 速度 向轴加 速度
d a r r 2 r dt d a aA r r 2 r dt
例 7-1 B当飞机在空中以定值速度V沿半径为R的水 平圆形轨道C转弯时，求当螺旋桨尖端B与中心A的联 线和沿垂线成θ角时，点的速度及加速度。已知螺旋桨 的长度AB ＝l，螺旋桨自身旋转的角速度为ω1。 解：这个是一般运动问题
当取惯量主轴为本体坐标系的坐标轴时,全部惯量 积便均为0,于是可以使问题的求解大为简化.
(三).欧拉方程
基本方程
dJ M dt
将坐标系固联于刚体，则
J J xi J y j J z k
但
dJ J xi J y j J z k J dt
为什么？
取惯量主轴为坐标轴，有
这就是由拉格朗日方程推导出的刚体定点运动时的欧拉动力 学方程。
一种欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法
一种欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法欧拉方程是一类重要的非线性偏微分方程，广泛应用于流体力学、弹性力学、计算力学等领域。
为了数值求解欧拉方程，可以采用伽辽金有限元方法，该方法通过将连续的解空间离散化为有限个子域，从而得到一个有限维的问题。
然而，在某些情况下，伽辽金有限元方法会产生数值振荡或产生虚假解。
为了克服这些问题，在欧拉方程的数值求解中，可以采用间断伽辽金有限元方法。
间断伽辽金有限元方法采用了其他有限元方法所不具备的增加约束条件或变量的思想。
具体而言，它将求解域划分为多个子域，并通过引入间断单元来刻画子域之间的不连续性。
在间断单元内部，使用额外的自由度来解决梯度、跳跃和曲率的不连续性。
为了进行间断伽辽金有限元数值求解，首先需要对求解域进行网格划分。
之后，在每个子域内，选择适当的试探函数并限制其连续性。
对于曲率的不连续性，则使用间断单元内的附加自由度来进行描述。
通过选取适当的试探函数和自由度，可以对欧拉方程建立离散形式，从而得到一个线性代数方程组。
通过求解这个方程组，可以得到欧拉方程的数值解。
同时，通过对间断单元的适当处理，可以得到更准确的解，并避免数值振荡的产生。
间断伽辽金有限元数值求解方法能够有效地处理欧拉方程的不连续性和非线性性质。
它不仅适用于一维和二维问题，也可以扩展到更高维度的情况。
因此，该方法在流体力学、弹性力学、计算力学等领域具有广泛的应用价值。
总之，间断伽辽金有限元数值求解方法是一种处理欧拉方程的有效方法。
通过合理的离散化和约束条件设置，可以得到更准确、稳定和收敛的数值解。
这种方法在实际工程应用中具有很大的潜力，值得进一步研究和发展。
欧拉方程解法课件
一阶线性欧拉方程的解
举例
(y' = 2xy) 的解为 (y = x^2)，通过分离变量法得到。
举例
(y' = frac{1}{x}) 的解为 (y = ln x)，通过变量代换法得到。
二阶常系数线性欧拉方程的解
举例
(y'' + 4xy = 0) 的解为 (y = c_1x^2 + c_2x^2)，通过特征值法得到。
应用示例
对于形如 (frac{partial^2 u}{partial x^2} + frac{partial^2 u}{partial y^2} = f(x,y)) 的偏微分方程，可以 使用有限差分法、有限元法等数值解 法进行求解。
03
欧拉方程的解的性质
解的存在性和唯一性
存在性
对于给定的初值条件和边界条件，欧 拉方程存在一个解。
应用示例
对于形如 (u(x,y) = v(x)w(y)) 的函数，如果满足一定的条件，可以将方程分解为两个独立的常微分方程， 分别求解后再组合得到原方程的解。
积分因子法
01
总结词
通过引入一个积分因子，将偏微分方程转化为全微分方程 ，从而简化求解过程。
02 03
详细描述
积分因子法是一种通过引入一个积分因子来简化偏微分方 程的方法。这种方法适用于具有特定对称性的偏微分方程 ，通过引入积分因子可以将偏微分方程转化为全微分方程 ，从而简化求解过程。
并行计算
将计算任务分解成多个子 任务，利用多核处理器或 分布式计算资源并行处理， 加快计算速度。
THANKS
感谢观看
VS
举例
(y'' - 2y' + y = 0) 的解为 (y = c_1e^x + c_2e^{-x})，通过常数变易法得到。
欧 拉 方 程
欧拉方程
欧拉方程的特点是：方程中各项未知函数导数的阶数与其乘 积因子自变量的幂次相同.
当自变量x>0时，作变量替换x=et，则t=lnx，有
欧拉方程
欧拉方程
【例27】
求欧拉方程x2y″+xy′－y=x2的通解.பைடு நூலகம்解作变换x=et(设x>0),原方程化为
D(D－1)y+Dy－y=e2t, 即
D2y－y=e2t 或
(12-23) (12-24)
欧拉方程
其特征方程为r2－1=0, 特征根为r1,2=±1, 所以齐次方程(12-24)的通解为
谢谢聆听
欧拉方程
欧拉方程
因为变系数的二阶及二阶以上的线性微分方程还没有一般 的解法，所以本节介绍一类特殊的变系数的线性微分方程—— 欧拉方程，通过变量替换可以化为常系数的线性微分方程，因 而容易求解.
形如 xny(n)+p1xn-1y(n-1)+…+pn-1xy′+pny=f(x) (12-21) 的方程称为欧拉方程，其中p1，p2，…，pn为常数.
高数欧拉方程的解法
高数欧拉方程的解法
高数欧拉方程的解法有以下几种：
1. 积分法：积分法是求解高数欧拉方程的最常用的方法，它是将高数欧拉方程化为一组积分方程，然后利用积分的方法求解。
2. 分离变量法：分离变量法是将高数欧拉方程化为一组分离变量的方程，然后利用分离变量的方法求解。
3. 幂级数法：幂级数法是将高数欧拉方程化为一组幂级数方程，然后利用幂级数的方法求解。
4. 变分法：变分法是将高数欧拉方程化为一组变分方程，然后利用变分的方法求解。
5. 微分变换法：微分变换法是将高数欧拉方程化为一组微分变换方程，然后利用微分变换的方法求解。
欧拉方程公式微分方程
欧拉方程公式微分方程欧拉方程是一类特殊的常系数线性微分方程，在数学和物理学等领域都有着广泛的应用。
咱先来说说欧拉方程到底是啥。
它的一般形式是 $x^n y^{(n)} +a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_1 x y' + a_0 y = f(x)$ ，这里面的$y^{(n)}$ 表示 $y$ 的 $n$ 阶导数。
比如说，有这么一道题：给定欧拉方程 $x^2 y'' - 3x y' + 3y = 0$ ，让咱求解。
这时候，咱们就得用一些巧妙的办法来处理它。
先做个变量替换，令 $x = e^t$ ，这样一来，就有 $y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \frac{dy}{dt}$ ，同理，$y'' = \frac{1}{x^2} (\frac{d^2y}{dt^2} - \frac{dy}{dt})$ 。
把这些代进原方程里，就变成了常系数线性微分方程啦。
我记得有一次给学生讲这个知识点，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这换来换去的，到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，就像咱们走路，有时候走大路走不通，就得找条小路绕一下，说不定就能到达目的地啦。
这变量替换就是咱们找的小路。
”处理完变量替换，接下来就是按照常系数线性微分方程的解法来一步步操作。
求出特征方程，解出特征根，然后根据特征根的情况写出通解。
学习欧拉方程可不是一件轻松的事儿，需要咱们有耐心，多做几道题练练手。
就像咱们学骑自行车，一开始可能摇摇晃晃的，但多骑几次，掌握了平衡的技巧，就能骑得又稳又快。
而且啊，欧拉方程在实际生活中也有不少用处呢。
比如说在研究电路中的电流变化，或者是弹性力学中的一些问题时，都可能会碰到它。
总之，欧拉方程虽然有点复杂，但只要咱们认真学，多思考，多练习，就一定能把它拿下！希望大家在学习欧拉方程的过程中，都能找到属于自己的解题“小路”，顺顺利利地解决问题，不断进步！。
《欧拉方程解法》课件
龙格-库塔方法是另一种常用的数值求解常微分方程的方法，其基本思想是利用 已知的初值和导数值来逼近微分方程的解。
02
龙格-库塔方法的基本步骤是：首先选择一个初始点和初始导数值，然后利用微 分方程、初始条件和初始导数值来计算下一个点和导数值，以此类推，得到一 系列的点和导数值，这些点和导数值就构成了微分方程的近似解。
收敛性分析
随着网格密度的增加，数值解应逐渐接近真实解。
全局误差估计
误差传播
在数值求解过程中，误差会随着 时间和空间的离散化而传播和累 积。全局误差估计需要考虑误差 传播的影响。
收敛速度
全局误差估计还涉及数值解的收 敛速度。理论上，随着时间和空 间的离散化，数值解应逐渐接近 真实解。
误差界
全局误差估计的一个重要目标是 确定数值解的上界和下界，以便 评估其精度和可靠性。
03
欧拉方程的数值解法
欧拉方法
欧拉方法是一种简单的数值求解常微分方程的方法，其基 本思想是利用已知的初值来逼近微分方程的解。
欧拉方法的基本步骤是：首先选择一个初始点，然后利用 微分方程和初始条件来计算下一个点，以此类推，得到一 系列的点，这些点就构成了微分方程的近似解。
欧拉方法的优点是简单易懂，易于实现，但其缺点误差较小，且适用于复杂和非线性的微分方 程，但其缺点是计算量较大，需要更多的计算资源和时间。
04
欧拉方程的稳定性分析
线性稳定性分析
01 线性稳定性分析是研究欧拉方程解的稳定性的基 础方法。
02 通过线性化欧拉方程，可以得到其线性化方程， 进而分析其解的稳定性。
边界问题是指给定微分方 程和某些边界条件，求解 该微分方程的解。
03 方法
使用积分变换、分离变量
欧拉方程的通解
欧拉方程的通解
欧拉方程，又称常微分方程的泛函，是数学物理家埃克尔欧拉的名字所赋予的。
一般来说，它是描述某些变量的物理现象的发展趋势的微分方程，可以被用于通过求解关于积分的问题而计算出其解。
欧拉方程提供了一种重要的技术方法，能够用简单有效的方式解决许多复杂的物理问题。
也就是说，欧拉方程可以用来解决一些普通的常微分方程的系统，其中常微分方程的求解表达式满足欧拉方程的关系。
来源于欧拉方程的解也称为欧拉解，它可以用来说明种类各异的物理现象的发展趋势，例如:力学、流体力学、热力学、电
磁学等等。
这个重要的数学工具所开启的思学之路也给计算机科学带来了无限可能性。
比如信息学就构建了以概率论和欧拉方程为基础的有效系统，用来分析维护网络性能的数学模型；化学和分子生物学可以通过探索欧拉方程来研究蛋白质结构和催化反应的发生机理；智能科学也能够通过欧拉方程来建立“人工神经网络”，并将其用于决策分析、内容提取等领域。
欧拉方程的发现为人类科技的发展带来了重大影响，使我们能够解决许多复杂的物理问题。
欧拉方程的解，比如几何解、求和解等，可以被用于多种领域，例如量子物理、力学分析以及经济预测等，帮助我们研究物理系统的特性并进行理论预测。
大力发展欧拉方程及其通解，能够更好地帮助我们整合物理定律并启发下一阶段的科学研究。
欧拉方程的基本原理
欧拉方程的基本原理欧拉方程(Euler's equation)是数学中的一种常微分方程，以瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)命名。
它是一种非齐次线性二阶常微分方程，形如：ay'' + by' + cy = 0其中a、b和c是常数，y是未知函数。
欧拉方程是一类重要的常微分方程，因为它涉及到许多实际问题，例如自由振动、谐波振动以及流体力学问题等。
在物理学中，欧拉方程可以用来描述弹性体的振动以及液体和气体的流动等现象。
在工程学中，欧拉方程也被广泛应用于控制系统理论、电路分析以及结构力学等领域。
欧拉方程的基本原理是通过菲赫特定解法 (Frobenius solution method) 来求解它的解。
菲赫特定解法是一种基于级数的方法，利用幂级数形式的解来逼近满足该方程的函数。
这种方法的基本思想是通过将未知函数表示为幂级数的形式，然后将该级数代入原方程，最终得到满足方程的递推关系。
设y(x)的表达式为：y(x) = ∑(n=0 to ∞) [aₙxⁿ]其中aₙ是待定系数。
将上述表达式代入方程ay'' + by' + cy = 0，得到：[∑(n=0 to ∞) (aₙxⁿ)]'' + b[∑(n=0 to ∞) (aₙxⁿ)]' +c[∑(n=0 to ∞) (aₙxⁿ)] = 0对上式进行求导和求和运算，得到：∑(n=0 to ∞) [aₙ((n+2)(n+1)xⁿ + b(n+1)xⁿ + c)xⁿ] = 0将n从0到∞的每一项的系数置零，得到递推关系式：aₙ((n+2)(n+1)+b(n+1)+c)=0由于根据递推关系可知，aₙ是任意的待定系数，（n+2)(n+1)+b(n+1)+c=0。
解上述关系式得到n的取值，然后求解每个aₙ得到特解。
如果方程的特征根是不重根的，那么对应的特解也是唯一的。
总之，欧拉方程的基本原理是通过菲赫特定解法将未知函数表示为幂级数的形式，然后代入原方程并得到递推关系。
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欧拉方程的求解1. 引言在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕. 但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉( Leonhard Euler,1707--1783 ) .几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数” L L 欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用表示圆周率、e表示自然对数的底、f(x)表示函数、表示求和、i表示虚数单位L L 以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.在文献[1] 中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法. 变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如y x K的解，进而求得欧拉方程的解.但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难. 本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理. 最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.2. 几类欧拉方程的求解定义 1 形状为n (n) n 1 ( n 1)n y(n)a1x n 1y(n 1)L a n 1xy a n y 0 (1)x的方程称为欧拉方程.(其中a i, a2, L , a ni, a.为常数)2.1 二阶齐次欧拉方程的求解（求形如 y x K的解）二阶齐次欧拉方程： x 2ya i xy a 2y 0.（ 其中 a 1, a 2 为已知常数）我们注意到，方程（2）的左边y 、y 和y 的系数都是幕函数（分别是x 2a i x 和a 2X °）,且其次依次降低一次.所以根据幕函数求导的性质，我们用幕函数y x K来尝试，看能否选取适当的常数 K ,使得y x K满足方程（2）.x K求一、二阶导数，并带入方程（2），得由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幕函数y x K就是方程（2）共轭复根）（其中C i 、c 为任意常数）证明(i )若特征方程(3)有两个相等的实根：© K 2，贝U2）消去 x K，有(K 2[K2K 2定义 2 以 K 为未知数的 的特征方程.K)X K(a 1 (a 1 KKa i Kxa 2x 0Ki)K a 2]x K0,1)K a 2 0.3)元二次方程（ 3）称为二阶齐次欧拉方程（ 2） 的解.于是，对于方程（ 2）的通解， 定理 i 方程（ 2）的通解为 y c i xKi我们有如下结论：(i) c 2X K1ln X ,（K i K 2是方程（3）的相等的实根） (ii) K 1y c 1X 1c2X K2K i K 2是方程（3）的不等的实根）(iii)y c 1 X cos( ln X) c 2Xsin( ln X). (K 1,2i 是方程（ 3）的一对y i x Kl是方程(2)的解,且设y2 u(x)，y i x Kl u(x) ( u(x)为待定函数)也是方程(2)的解(由于里u(x)，即y，y线性无关)，将其带入方程(2)，得yK 2 2 K Kx 1[( K1K1 )u 2K1xu x u ] a1x 1(K1u xu ) a2x 1u 0,约去x Ki，并以u、u、u为准合并同类项，得2 2x u (2K1 ajxu [ K1(a1 1)K1 a2]u 0.由于K i是特征方程(3)的二重根，因此K i2(a i i)K i a20或2K i (a i 1) 0,于是，得2x u ux 0或xu u 0,即(xu) 0,故u(x) c11n x C2不妨取u(x) Inx，可得方程(2)的另一个特解y2 x Kl ln x ,所以，方程(2)的通解为y c1x Kl c2x Kl In x .（其中C l , C2为任意常数）（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根：K i K2，则y x Kl，y2 x K2是方程（2）的解.K2又里L x（K2Kl）不是常数，即y i，y是线性无关的•y i x1所以，方程（2）的通解为y C i x Ki C2X K2.（其中C i，C2为任意常数）（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：K i,2 i（0 ），则y i x（ i），y2 x（ i）是方程（2）的两个解，利用欧拉公式，有y i x(i)x e I n x x (Cos(In x)i sin(Inx))，y2 x(i)x e i In x x (COS( In x)i sin(In x))显然，x Cos(In x)y i y2 2和x sin(In x)y i y2 2i是方程（2）的两个线性无关的实函数解所以，方程（2）的通解为y ex cos( In x) C2x sin( In x). （其中C i，C2为任意常数）例1求方程x2y xy y 0的通解. 解该欧拉方程的特征方程为即其根为：所以原方程的通解为K(K 1) K 1 0,2(K 1) 0,K i K2 1,y (c1c2 In x)x .(其中C1 , C2为任意常数)例2求方程x2y xy 8y 0的通解.解该欧拉方程的特征方程为2K ( 1 1)K 82K 2K 8 0, 其根为: K1 2，K2 4，所以原方程的通解为_C L2 x qx4(其中C1，C2为任意常数)例3求方程的通解x2y 3xy 5y 0 .解该欧拉方程的特征方程为K(K 1) 3K 5 0，2K 2K 5 0,根据韦达定理，由（5）式可知，K 1，K 2是一元二次代数方程K 2⑻ 1）K a 2的两个根.具体求解方法：定理2若K 1，K 2为方程（2）的两个特征根，则方程（4）y x K2xK1 K2 1[ x K1 1f （x ）dx]dx.证明 因为K 1， K 2为方程（2）的两个特征根,其根为：心,2 1 2i ,所以原方程的通解为1y [G cos （2In x ） c 2 sin （2lnx ）].x（其中c c 为任意常数）2.2二阶非齐次欧拉方程的求解（初等积分法）二阶非齐次欧拉方程：x 2y a i xy a 2y f （x ）.(4)（其中a i ，a 2为已知实常数，f （x ）为已知实函数）为了使方程（4）降阶为一阶线性微分方程，不妨设a i1 K 1 K 2，a 2KK,(5)则方程(4)变为x 2y(1 K 1 Oxy ©©a z y f (x)，即x(xy ©y) K/xy Qy) f (x),(6)(3)的通解为（7）于是方程（4）等价于方程（6）,令xy ©y p,代入方程（6）并整理，得小K1 f (x)p - px x和K2py y Jx x解之，得方程（4）的通解为K2y x K1 K2 1x [ x K1 1f (x)dx]dx由定理2知，只需要通过两个不定积分（当（7）式中的积分可积时）即可求得方程（4）的通解.为了方便计算，给出如下更直接的结论.定理3若K i，K2为方程（2）的两个特征根，则（i ）当K i K2是方程（2）的相等的实特征根时，方程（4）的通解为y x Ki[In xx Ki1f(x)dx In x x Ki 1f (x)dx],（ii ）当K i K2是方程（2）的互不相等的实特征根时，方程（4）的通解I r K1匕 1 £ / 、1 K2心 1 £ / 、1 1[x 1x 1f (x)dx x 2x 2f (x)dxl ,1 K 2(iii )当K1,2 i是方程（2）的共轭复特征根时，方程（4）的通解为[sin( In x) x 1 1 cos( ln x) f (x)dx cos( ln x) x sin( ln x) f (x)dx] 证明（ii ）当K1K2是方程（2）的互不相等的的实特征根时,将方程（1）的通解（7）进行分部积分，得K ?K i K ? 12 1「 \ I i Iy x 2x 1 2[ x K1f(x)dx]dx^^x K2 [ x K i 1f(x)dx]dx Ki K 2 K 1 K 2(i) 的证明和(ii )类似.例i 求方程x 2y 3xy 4y x 2In x x 2的通解.解 该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为 K 24K 4K i K 2 2,所以由定理3,原方程的通解为23 2 2 3 2 2y x [In x x (x Inx x )dx In x x (x Inx x )dx]21 2 131 2x {In x[ (In x) In x c i ] [ (In x) (In x)c 2]}2 3 22 2 2 1 312Gx In x c 2x x [ (In x) (In x)]6 2K 2 K---------- x 2{x K i K 2K i[x ixK i K 2K 2x K i if (x)dx x Ki K2d[ x Ki if (x)dx]}(8)K iK i if (x)dxx K2K 2 if (x)dx ](iii )当 K i,2 是方程 (2) 的共轭复特征根时, K i K 2再由欧拉公式有K i x lnxx [cos( In x) i sin( In x)], K 2 xIn xx [cos( In x)i sin( In x)],将其代入(8)式, 整理可得方程 (4)的通解为iiy x [sin(In x) x cos(In x) f (x)dx cos( lnx) In x)f (x)dx]特征根为(其中G，C2为任意常数)例2求方程x 2y 2xy 2y x 3e x的通解.解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为K 23K 20， 特征根为K 1 2，K 21，所以由定理3, 原方程的通解为y x23 3 x 1x x e dx xx 2x 3e xdx2 xx (e G )x(xe xe xC 2)c 1x 2c 2x xe x（其中C i , C 2为任意常数）解该欧拉方程所对应的齐次方程的特征方程为k 22k 20，K i,2 1 i ,所以由定理3,原方程的通解为x[sin(ln x) ^dx cos(lnx) 1 sin(lnx) dx ]x x cos(ln x)x{sin (I n x)(l nx G ) cos(l nx)[l n( cos(l n x) G )]}x[G sin(lnx) c 2cos(lnx)] x[sin(In x)ln x cos(lnx)ln(cos(ln x))]（其中c i ，c 2为任意常数）在定理3中，若令f （x ） 0，则得到二阶齐次欧拉方程（2）的通解. 推论 方程( 2)的通解为 (i) y GX K I qx Kllnx ,( Q K 2是方程(2)的相等的实特征根)例3求方程x 2yxy 2y的通解.cos(ln x) 特征根为2xsin(Inx) x cos(lnx)xcos(l nx) dx cos(l nx) x 2s in (I n x)xcos(l nx)dx](ii) y c 1x K1c 2x K2,( K 1 K 2是方程( 2)的不等的实特征根)(iii)y c 1x cos( ln x) c 2x sin( ln x).( K 1,2i 是方程( 2)的共轭复特征根)(其中C i , C 2为任意常数)2.3 三阶非齐次欧拉方程的求解(常数变易法)三阶非齐次欧拉方程： x 3y a 1x 2y a 2xy a 3y f (x).(9)(其中 a 1， a 2， a 3 为常数)( 9)对应的齐次方程为 x 3y a 1x 2y a 2xy a 3y 0.( 10) 特征方程为 K 3(a 1 3)K 2(2 a 1 a 2)K a 3 0.(11)定理4设K i 是方程(11)的根，K 2是方程K 2(3K 2 a 1 1)K [3K 2(K 2 1) 2a 1K 1 a 2] 0的根，则( 9)的通解为y x K1 {x K2 [x (2K2 3K1 a11) x (K2 2K1 a1 2)f(x)dx]dx}dx. (12)证明根据条件y cx Kl( C 为任意常数)是方程(10)的解.设 y C(x)x K1是方程( 9)的解(其中 C(x) 是待定的未知数)， 将其代入方程( 9)，整理得12C (x) (3K 1 a 1)x 1C(x) [3K 1(K 1 1) 2a 1K 1 a 2]x 2C(x)(13)[K 13(a 1 3)K 12(2 a 1 a 2)K 1 a 3] x 3C(x) x (K1 3)f(x)(13)（其中因为K i 是(11)的根，贝UK i 3(a i 3)K i 2(2 a i a ?)© a 3 0,于是(i3)式化为c (x) (3K i a i )x ic (x) [3心(心 i) 2aK a ?]x 2c(x) x (Ki3)f(x) (i4) 这是以c(x)为未知函数的二阶欧拉方程.设K 2为(i4)对应的齐次方程的特征方程K 2(3K i a i i)K [3K i (K i i) 2a i K i a 2]0, ( i5)的根，则c(x) x K2[x(2K2 3Ki ai)x(K2 Ki 2)f (x)dx]dx .从而 c(x){x K2[x(2K2 3Ki ai)x(K2 2Ki ai 2)f(x)dx]dx}dx.故方程(i )的通解为y x Ki{xK2[x(2K2 3Kiaii)x(K2 2Ki a 2)f(x)dx]dx}dx .定理5设K i 是方程（ii ）的根，K 2是方程（i5）的根，则通解为通解为13K 126K 1 2a 1K 1 4a 2 (a 1 i)2)（i ）当K i 是方程（ii ）的单实根,K 2是方程（i5）的单实根，贝U （ 9）的xK iy[x& x(K i K2(3K 1 2K 2 q) 12)f(x)dx x1 (3K 1 K ai)x(2Ki K2 ai)f(x)dx]dx（ii ）当K i 是方程（11）的单实根,K 2是方程（15） 的单虚根，贝9（ 9）的K ix{[sin( In x) x2)cos( In x) f (x)dx cos( In x)x ( Ki 2) sin( In x)f (x)dx]} dx(iii )当K i 是方程(11)的单实根，K 2是方程(15)的重实根，则(9)的 通解为y x Ki{x K2[ln x x(Ki K2 2)f(x)dx Inx x(Ki K2 2)f (x)dx]}dx.（iv ）当K i 是方程（11）的三重实根，方程（15）变为K 22K 10，有K 21，则(9)的通解为y x K1{x 1[lnx x (K1 1)f (x)dx In x x(K1 1)f (x)dx]} dx.证明(i )因为K 2是方程(15)的单实根，得(14)的通解为则（9）的通解为(ii )因为K 2是方程(14)的单虚根，此时方程(15)有一对共轭虚根(1 a 3K 1) h/3K 126K 1 2a 1K 1 4a 2 (a 1 1)2KN 2，得(14)的通解为xc (x)[sin( In x) x ( K 1 2) cos( In x) f (x)dx cos( In x) x ( K 1 2) sin( In x) f (x)dx]则(9)的通解为 y x K1 {—[sin( In x) x (K1 2)cos( In x) f (x)dx cos( In x) x (K1 2)sin( In x)f(x)dx]}dx(其中1 3K1 a1，13K 126K 1 2a 1K 1 4a 2 (a 1 1)2)2 2(iii )因为K 2是方程(15)的重实根，得(9)的通解为y x K1{x K2[In x x(K1 K2 2)f(x)dx In x x(K1 K2 2)f(x)dx]}dx.c(x)K 2x(K 1 K 2 2)(3K 1 2K 2 a 1) 1f (x)dx X1(3i 2a ,)x (2K 1 K 2zv3f (x)dx]xK 1y(3K 1 2K 2 q) 1 [x xK 2 … (K 1 K 2 2)f(x)dx x1 (3K1 K2 a1)x (2K 1 K 2 aj3f (x)dx]dx(iv )当K i是方程(10)的三重实根(a, 3 3K i ),方程(15)变为2K2 2K2 1 0，有K2 1，将a i 3 3K i , K2 1 代入(12)式得y x K1{x 1[x 1x (K11)f (x)dx]dx}dx,对上式分部积分得(9)的通解为y x K1{x1[l n x x(K11)f(x)dx In x x (K1 1)f (x)dx]}dx .例1求三阶欧拉方程x3y 3x2y 6xy 6y x的通解.解原方程对应的齐次方程为x3y 3x2y 6xy 6y 0,其特征方程为K36K211K 6 0，解得其特征根为1，2，3，取K1 1，3，82 6，代入方程（15），得解得K22K20 ,K2 1 或0，利用定理5（i ）的通解公式有3y x [x x dx 2x dx]dx 1 3 2一c1x c2x c3x. 2（其中C1，C2，C3为任意常数）例2求三阶欧拉方程x3y 4x2y 13xy 13y x的通解.解原方程对应的齐次方程为3 2x y 4x y 13xy 13y 0,其特征方程为(K 1)(K26K 13) 0,从而解得特征单实根为心1，将心1，B 4，32 13代入方程(15)，得到K222K2 5 0，解得K21,2 1 2i .令K2 1 2i，贝U 1，2，利用定理5 (ii )的通解公式有x 3 3 y x {Jsin(2ln x) x cos(2ln x)dx cos(2ln x) x sin(2ln x)dx]}dx1 1xlnx [ C2 sin(2ln x) G cos(2ln x)] c3x8 16(其中& , c , C3为任意常数)2.4 n阶齐次欧拉方程的求解(求形如y x K的解)令y x K是方程(1)的解，将其求导(需要求出y、y L y(n 1｝、y(n)) 代入方程(1),并消去x K，得K(K 1)L (K n 1) a1K(K 1)L (K n 2) L a(n 1)K a n 0. (16 )定义3以K为未知数的一元n次方程（16）称为n阶齐次欧拉方程（1）的特征方程•由此可见，如果选取k是特征方程（16）的根，那么幕函数y x k就是方程（1）的解.于是，对于方程（1）的通解，我们有如下结论：定理6方程（1）的通解为y C』1 cy L C n°n1 C n y n（其中C1，C2L C n 1，C n为任意常数），且通解中的每一项都有特征方程（16）的一个根所对应，其对应情况如下表：例1求方程x4y⑷8x3y⑶15x2y 5xy 0的通解.解该欧拉方程的特征方程为K(K 1)(K 2)( K 3) 8K(K 1)(K 2) 15K(K 1) 5K 0 ,整理，得K(K22K 2) 0，其根为K i K2 0,心,4所以原方程的通解为y C i c21nx C3cos(lnx) ^sin(In x).x x(其中C i, c , C3, C4为任意常数)例2求方程x4y⑷6x3y(3) 7x2y xy y 0的通解.解该欧拉方程的特征方程为K(K 1)(K 2)(K 3) 6K(K 1)(K 2) 7K(K 1) K 1 0，整理，得K4 1 0，其根为K1,2 i，K3,4 i (即一对二重共轭复根)，所以原方程的通解为y c1 cos(l nx) c2s in (I n x) Q In x cos(l n x) c4lnxsin (I n x).(其中C1，C2，C3，C4为任意常数)3. 结束语从前面的讨论过程来看，和教材中的变量变换法相比，本文中的解决办法更直接、更简单.但需要说明的是，本文中的定理和例题都是在x 0范围内对齐次欧拉方程求解的，如果要在x 0范围内对其求解，则文中的所有In x都将变为ln( x)，所得的结果和x 0范围内的结果相似.4. 致谢经过这好几个月忙碌的学习跟工作，本次毕业论文的写作已经接近尾声了，但这次毕业论文的写作经历让我感受颇多.首先，自己要有很好的专业知识的储备，这也是写作的基础. 其次，自己要有严谨的思维逻辑.再次，自己要善于思考，遇到不懂得问题就要勤于思考，查资料，问老师.最后，自己一定要有坚持不懈的精神. 毕业论文的写作是一个长期的过程，在写作过程中我们难免会遇到各种各样的过程，但我们不能因此就放弃，而要做到坚持. 要相信“有付出就一定会有所收获”的.在这里首先要感谢我的指导老师胡宏昌教授. 胡老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文阶段，他都给予了我悉心的指导，细心地纠正论文中的错误并给予指导. 如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩胡老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也值得我永远学习，并将积极影响我今后的学习和工作. 然后还要感谢大学四年来我的所有的老师跟领导，为我们打下了坚实的专业知识的基础. 最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！5、参考文献[1] 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M]. 第3版.北京：高等教育出版社，2006:142 -144.[2] 华东师范大学数学系.数学分析(上)[M].第3版.北京：高等教育出社，1999:87 -199.[3] 钟玉泉. 复变函数论[M]. 第3版. 北京：高等教育出版社，2003:10 -11.[4] 胡劲松. 一类欧拉方程特解的求解. 重庆科技学院学报[J]，2009，11(2):143 -144.[5] 胡劲松，郑克龙. 常数变易法解二阶欧拉方程. 大学数学[J]，2005，21(2):116 -119.[6] 米荣波，沈有建，汪洪波. 三阶欧拉方程求解的简化常数变易方法. 海南师范大学学报[J]，2008,21(3):260 -263.[7] 胡劲松. 齐次欧拉方程的另一种求解方法. 重庆工学院学报[J]，2004，18(1):4 -748.[8] 冀弘帅. 认识伟大的数学家-- 欧拉. 数学爱好者[J],2006 ，10：52-53.[9] 卓越科学家欧拉. 中学生数理化( 北师大版)[J],2007,Z2: 101 -102.。