欧拉方程的求解

欧拉方程的求解

1. 引言

在数学研究领域，我们经常会看到以数学家名字命名的概念、公式、定理等等，让人敬佩跟羡慕. 但是，迄今为止，哪位数学家的名字出现得最多呢？他就是数学史上与阿基米德、牛顿、高斯齐名的“四杰”之一，人称“分析学的化身”的盲人数学家欧拉( Leonhard Euler,1707--1783 ) .

几乎在每一个数学领域都可以看到他的名字，譬如我们熟悉的“欧拉线”、“欧拉圆”、“欧拉公式”、“欧拉定理”、“欧拉函数”、“欧拉积分”、“欧拉变换”、“欧拉常数” L L 欧拉还是许多数学符号的发明者，例如用表示圆周率、e表示自然对数的底、f(x)表示函数、表示求和、i表示虚数单位L L 以欧拉命名的数学名词有很多，本文主要讲解以欧拉命名的方程即“欧拉方程”.

在文献[1] 中，关于欧拉方程的求解通常采用的是变量变换的方法. 变量变换法就是将所求的欧拉方程化为常系数齐次线性微分方程，然后再来求解这个常系数齐次线性微分方程的解，亦即求其形如y x K的解，进而求得欧拉方程的解.

但有些欧拉方程在用变量变换法求解时比较困难. 本文在所学的欧拉方程的求解的基础上，对欧拉方程进行了简单的分类，并针对不同阶的欧拉方程的求解给出了不同的定理. 最后在每类欧拉方程后面给出了典型的例题加以说明.

2. 几类欧拉方程的求解

定义 1 形状为

n (n) n 1 ( n 1)

n y(n)a1x n 1y(n 1)L a n 1xy a n y 0 (1)

x

的方程称为欧拉方程.

(其中a i, a2, L , a ni, a.为常数)

2.1 二阶齐次欧拉方程的求解（求形如 y x K

的解）

二阶齐次欧拉方程： x 2y

a i xy a 2y 0.

（ 其中 a 1, a 2 为已知常数）

我们注意到，方程（2）的左边y 、y 和y 的系数都是幕函数（分别是x 2

a i x 和a 2X °）,且其次依次降低一次.所以根据幕函数求导的性质，我们用幕

函数y x K

来尝试，看能否选取适当的常数 K ,使得y x K

满足方程（2）.

x K

求一、二阶导数，并带入方程（2），得

由此可见，只要常数K 满足特征方程（3），则幕函数y x K

就是方程（2）

共轭复根）

（其中C i 、c 为任意常数）

证明(i )若特征方程(3)有两个相等的实根：© K 2，贝U

2）

消去 x K

，有

(K 2

[K

2

K 2

定义 2 以 K 为未知数的 的特征方程.

K)X K

(a 1 (a 1 KK

a i Kx

a 2

x 0

K

i)K a 2]x K

0,

1)K a 2 0.

3)

元二次方程（ 3）称为二阶齐次欧拉方程（ 2） 的解.

于是，对于方程（ 2）的通解， 定理 i 方程（ 2）的通解为 y c i x

Ki

我们有如下结论：

(i) c 2X K1

ln X ,

（K i K 2是方程（3）的相等的实根） (ii) K 1

y c 1X 1

c2X K2

K i K 2是方程（3）的不等的实根）

(iii)

y c 1 X cos( ln X) c 2X

sin( ln X). (K 1,2

i 是方程（ 3）的一对

y i x Kl是方程(2)的解,

且设y2 u(x)，y i x Kl u(x) ( u(x)为待定函数)也是方程(2)的解(由于里u(x)，即y，y线性无关)，将其带入方程(2)，得

y

K 2 2 K K

x 1[( K1K1 )u 2K1xu x u ] a1x 1(K1u xu ) a2x 1u 0,

约去x Ki，并以u、u、u为准合并同类项，得

2 2

x u (2K1 ajxu [ K1(a1 1)K1 a2]u 0.

由于K i是特征方程(3)的二重根，

因此

K i2(a i i)K i a20

或

2K i (a i 1) 0,

于是，得

2

x u ux 0

或

xu u 0,

即(xu) 0,

故u(x) c11n x C2

不妨取u(x) Inx，可得方程(2)的另一个特解

y2 x Kl ln x ,

所以，方程(2)的通解为

y c1x Kl c2x Kl In x .

（其中C l , C2为任意常数）

（ii ）若特征方程（3）有两个不等的实根：K i K2，则y x Kl，y2 x K2是方程（2）的解.

K2

又里L x（K2Kl）不是常数，即y i，y是线性无关的•

y i x1

所以，方程（2）的通解为

y C i x Ki C2X K2.

（其中C i，C2为任意常数）

（iii ）若特征方程（3）有一对共轭复根：K i,2 i（0 ），则

y i x（ i），y2 x（ i）是方程（2）的两个解，

利用欧拉公式，有

y i x(i)x e I n x x (Cos(In x)i sin(In

x))，

y2 x(i)x e i In x x (COS( In x)i sin(In x))

显然，

x Cos(In x)y i y2 2

和

x sin(In x)y i y2 2i

是方程（2）的两个线性无关的实函数解

所以，方程（2）的通解为

y ex cos( In x) C2x sin( In x). （其中C i，C2为任意常数）