高中数学化归与转化的思想在解题中的应用
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究【摘要】：随着科技、经济的迅速发展,数学在不同领域的应用日益广泛,数学教育成为世界各国关注的重点。
数学思想方法是数学学科的精髓,是分析与解决问题的理论基础,而转化与化归思想是数学中最重要的思想之一。
数学解题过程中处处渗透着转化与化归思想,学生解题能力的高低很大程度上也取决于其转化与化归能力的强弱。
笔者身处高中一线教学,结合教育教学实践经验以及调查分析,发现目前高中生数学解题中的转化与化归能力相对欠缺,影响学生解题能力的提升。
笔者希望本文的研究能够给一线教师提供一定的借鉴作用,对于提高学生的解题能力提供一定的帮助。
首先,笔者通过文献参考,了解转化与化归思想在国内外的研究现状,分析转化与化归思想的本质和内涵、转化与化归的原则、以及高中数学解题中转化与化归的常用方法。
简单来说,转化与化归思想就是通过观察、分析、类比、联想等思维过程把数学中需要解决的问题,遵循熟悉化、简单化、直观化等原则,选择合适的方法进行转化,然后归结到某些已经解决或比较容易解决的问题的一种思想方法。
其次,通过访谈和调查问卷,以我校部分教师和学生为研究对象,分别从教师和学生的角度研究转化与化归思想在高中数学中的应用现状。
研究表明,目前高中教师能够认识到转化和化归思想在高中数学解题中的重要作用。
但是,不少教师本身对于转化与化归思想缺乏系统深入的研究,教学过程渗透有限。
大部分学生的转化与化归能力仍然有待提高。
然后,结合教学实践经验,从高中数学中的数列、立体几何、函数、解析几何以及不等式几个方面,分析转化与化归思想的渗透策略。
这里重点选取近几年高考试题中一些具有代表性的问题,结合学生解题过程中存在的问题,具体分析老师在教学过程中的处理方式以及实践效果。
并提供《常见的递推数列通项公式的求法》解题教学案例,对课堂实践情况进行了详细分析。
最后,结合调查研究,笔者提出几点教学建议。
一要相信学生,给他们更多实践的机会;二要深入挖掘教材,感悟化归思想;三要注重概念、定理、公式等基础知识的教学,并注重知识之间的联系;四是通过变式训练引导学生应用化归思想;五是加强一题多解和多解归一的训练;六是引导学生及时归纳总结。
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析
化归思想在高中数学解题过程中的应用分析化归思想是高中数学解题中常用的一种方法，通过分析问题的特点，找到问题的本质，将复杂问题化为简单问题，从而更好地解决问题。
化归思想在高中数学解题中的应用非常广泛。
以代数与函数为例，化归思想可以用来解决方程与不等式的问题。
对于一元一次方程，我们可以通过变量的代换，将复杂的方程化为简单的线性方程，从而求解变量的值；对于一元二次方程，我们可以通过配方法，将其化为完全平方，并进行因式分解，从而求解变量的值。
同样，在不等式解题中，化归思想也非常有用。
我们可以通过变量的移项与配方法，将一元二次不等式化为完全平方不等式，从而求解变量的取值范围。
化归思想在几何解题中也有重要的应用。
在相似三角形的解题中，我们可以通过观察相似三角形的对应边比值的特点，将问题化简为类似的三角形问题，从而更好地求解相关角度或边长；在证明几何定理中，通过化归思想，可以将复杂的证明问题转化为简单的等价命题或已知定理的推论，从而简化证明过程，并提高证明的准确性和完整性。
化归思想在数列与数学归纳法的应用中也是非常重要的。
通过找到数列的通项公式，我们可以将数列的求和问题化为一元方程或求和公式的运算，从而得到数列的和；通过化归思想，我们可以将数学归纳法的问题化为一般命题的证明问题，从而更好地理解数学归纳法的原理与应用。
化归思想还可以在概率与统计等领域中发挥重要作用。
在概率问题中，通过化归思想，我们可以将复杂事件的概率计算问题化为简单事件的概率计算问题，从而更好地求解概率问题；在统计问题中，通过化归思想，我们可以将复杂的统计数据化简为简单的数据形式，从而更好地进行数据分析与统计推断。
化归思想在高中数学解题过程中是非常有效的方法。
通过将复杂问题化为简单问题，我们可以更好地理解问题的本质，更准确地解决问题。
化归思想的运用对于提高高中数学解题能力是非常重要的。
化归思想的运用也能够帮助学生培养逻辑思维能力，提高问题分析与解决问题的能力。
例谈“转化与化归”思想在高中数学解题中应用
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例谈“ 转化与化归 ’ ’ 思想 在高中数学解题中应用
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转化与化归思想在高中数学中的应用
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转化就 是数学命题 由一种形式 向另一种形式 的 变换过 程 ，化 归就是把待解决 的问题通过某种转化 过程归结 为一类 已经解决 或 比较容 易解决 的问题 。 转化与化 归思想是 中学数 学最基本 的思想方 法 ， 堪 称数学思想的精髓 所在 ， 因为数形结合思想 、 函数与 方程思想 、分类讨论 思想都是转化与化 归思 想的具 体体现 ， 各种变换 的方法 、 分析法 、 反证法 、 待定系数 法、 构造法等都是转化与化归 的手段 。 下面谈 谈转 化与化归思想 在高中数 学应 用中主 要 涉及 的 基 本类 型 。
１ ． 正 与 反 的 相 互 转 化
表 面看来似乎 只有相 等的数量关 系 ，根据这些相 等 关系又难以解决 问题 ， 但若能挖掘其 中的不等关系 ， 建立不等式（ 组） ， 往往能获得简捷求解的效果 。
例３ 已知都是实数 ，且０ 、 ｖ ／ Ｔ 二 ＋ ６ 、 嚼 ＝ １ ， 求证 ： ａ ２ ＋ ｂ ２ ： １ 。 分析 ： 利用均值不等式先得到一个不等关系 ， 再 结合已知中的相等关系寻求ｎ 与６ 之 间的关系 。
解： ． ． ． ０ ～
’ ． ．
≤
２
， ６ ～
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２
．
ａ ｘ ／ １ 一 ｂ ＋ ６ ｘ ／ １ 一 ａ ２ ≤１ 。又 ａ ｘ ／ １ 一 ｂ ＋ ６ 、 ／ １ 一 ＝
对于那些从“ 正面进攻 ” 很难奏效或运算 比较繁 琐的问题 ， 可先攻其反 面， 运用补集思想从而使正面 得 以解 决 。 例 １ 某 射手射击 １ 次击 中目标 的概率 是０ ． ９ ， 他 连续射击４ 次且 他各次射击 是否击 中 目标是相 互独 立 的， 则他至少击 中 目标 １ 次的概率为— — 。 分析 ： 至少击 中 目标一次 的情况包括 １ 次、 ２ 次、 ３ 次、 ４ 次击 中 目标 共 四种情 况 ，可转 化 为其对 立事 件—— “ 一次都未 中” 来求解 。 略解 ： 由上述 分析可知 ， 他 四次射击 未中 １ 次 的 概率Ｐ ｉ ＝ Ｃ ４ ０ ． １ ＝ Ｏ ． １ ４ ， 他至少 射击 击 中 目标 １ 次 的概率 为 １ 一 Ｐ １ ＝ １ —
化归与转化思想在高中数学解题中的应用
所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。
在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这就是转化的思想方法。
转化思想方法的特点是实现问题的规范化、模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决，其思维过程的形式如下图：转化具有多向性、层次性和重复性的特点。
为了实施有效的转化，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论；既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，这就是多向性，转化原则既可应用于沟通数学各分支学科的联系，从宏观上实现学科间的转化，又能调动各种方法与技术，从微观上解决多种具体问题，这是转化的层次性，而解决问题中可以多次地使用转化，使问题逐次达到规范化，这是转化原则应用的重复性。
转化思想方法包含三个基本要素：1、把什么东西转化，即转化的对象；2、转化到何处去，即转化的目标；3、如何进行转化，即转化的方法。
转化思想方法应遵循以下五条原则：1、熟悉化原则，将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解。
2、简单化原则，将复杂问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
3、和谐化原则，转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律。
4、直观化原则，将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
5、正难侧反原则，当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性。
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究
转化与化归思想在高中数学解题教学中的应用研究摘要：转化和化归思想是高中数学思想中很重要的一种思想，运用好转化和化归思想对于提高学生的数学思维能力和发展学生的数学应用意识都有很大的帮助。
掌握常见的转化与化归方法、运用原则和解题策略，以及思考如何提高转化与化归思想的运用能力，这些都是促进学生学习高中数学的重要因素。
关键词：转化与化归思想；高中数学；应用转化和化归思想简单来说就是在处理问题时，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已经解决或者比较容易解决的问题，最终求解出原问题的思想方法。
转化和化归的目的是简化问题。
转化与化归思想从某种意义上来说培养了一种透过问题看本质的能力，促进学生运用已有的知识储备和缜密的思维去发现问题、转化问题，从而寻找更好的路线来解决问题。
转化与化归思想为各类问题的解决提供了不计其数的方法，以此可见掌握好转化与化归思想的意义重大。
在高中数学学习过程中熟练运用转化与化归思想，对于促进学生的数学学习是大有裨益的。
一、注重变量之间的转化与化归在高中数学中，各种变量和公式的运用都是比较开放的，这就需要学生全面掌握各个知识点，并达到灵活运用的程度，否则就会不断降低学生的学习效率，其问题也难以得到有效解决。
同时，学生还要找到问题的契合点，通过公式以及变量之间的转化和化归，以此来得到问题的最终答案。
如果满足了一定要求和条件，变量的值也可以作为常量来使用，这样就能使复杂的问题简单化，学生理解起来也比较容易。
对于问题的教学，以及数学转化与化归思想的学习，教师都要给予一定引导和帮助，尤其是在面对一些教学难点时，教师应该发挥自身的指导作用，帮助学生扫清障碍，从而实现数学变量之间的转化。
比如，在求不等式x2+px+1>2x+p恒成立的x的取值范围时，学生就可以利用变量之间的转换，把不等式看作是关于P的一次不等式，就能达到化繁为简的目的，问题的解决也会更加顺利。
高中阶段与函数有关的问题比较多，而且比初中和小学时期的知识更加复杂，更加难以理解，如果不通过转化与化归思想解决问题，会使其解决起来比较麻烦，也在一定程度上降低了学生的学习效率。
浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用
浅谈化归与转化思想在高中数学教学中的应用作者：黄庆彬来源：《新课程》2021年第12期新课程标准明确提出了高中生通过数学课程的学习要达到获“四基”、提“四能”的目标。
获“四基”，即学生获得数学基础知识、基本的技能、思想和活动经验;提“四能”，即提高学生从数学角度发现并提出问题、分析和解决问題的四种能力。
纵观近年来高考数学试题的编制及考查的内容，都很好地反映了课程改革理念，加大了数学思维能力的考查，注重学科思想方法的运用，这就要求教师在数学教学中要“两手抓”，既要加强基础知识与基本技能的教学，又要注意以素养为导向，以能力为重，加大各种思想方法的渗透。
在中学数学思想方法中，最基本、最核心的就是化归与转化思想，它是解决数学问题思想方法的精髓。
化归与转化，即运用转化、归结的数学手段，通过一定的数学过程，把一个复杂、陌生或者未解决的问题转化到已解决或较易解决的问题上来，从而破解原问题的一种方法。
数学家笛卡尔对此方法给予了高度评价，称之为解决数学问题的万能方法。
它对培养学生的解题能力和数学素质起至关重要的作用，故教师在平时教学中应注意引导学生抓基础与注重转化能力的培养两者并重，这是学好数学的金钥匙。
以下便是其模式。
一、高中数学中应用转化与化归思想遵循的原则应遵循4个原则：（1）熟悉化原则，即“化生为熟”，把陌生问题转化成熟悉问题。
（2）简单化原则，即“化繁为简”，把复杂问题转化成简单问题。
（3）直观化原则，即“化抽象为直观”，把较抽象的问题转化为较直观的问题（如数形结合思想，立体几何问题转化成平面几何问题）。
（4）正难则反原则。
若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法，或用逆否命题间接地解决问题。
二、高中数学中常见的转化与化归方法共有10种：在解决数学问题时，有的可用直接转换法、换元法、数形结合法，有的可用参数法、构造法、坐标法，还有的可用类比法、特殊法、一般化、等价转换法来解。
这些方法在一些题目中可能单独使用，也可能相互交叉使用，是不能完全分割开的。
“转化与化归”思想在高中数学解题教学中的应用
解题研究２０２３年１２月上半月㊀㊀㊀转化与化归 思想在高中数学解题教学中的应用◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李㊀硕㊀㊀转化与化归 思想是高学数学中的一种重要的数学思想,运用非常广泛,尤其是一些特殊的问题,运用 转化与化归 思想解题可以提高效率,同时还可以降低问题解决的难度．因此,在数学课堂引入并应用转化与化归思想,能够让学生在学习数学及解题的过程中,加深对数学概念的理解,同时也能有效锻炼数学思维,提高学习效率,进一步发展数学核心素养．在高中数学的解题过程中,基于 转化与化归 思想的三大原则,主要运用的解题方法包括特殊与一般的转化㊁命题的等价转化,以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等一些常见的转化方法．１特殊与一般的转化将一般问题进行特殊化处理,可使问题的解决变得更为直接和简便,并且还能从特殊情况中寻找问题解决的常规思维;除此之外,对特殊性问题进行概括性研究,实现特殊问题一般化,也能从宏观与全局的角度把握特殊性问题的普遍规律,并能有效地解决特殊性问题．例１㊀ 蒙日圆 涉及几何学中的一个著名定理,该定理的内容为:椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上,该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a ＝１(a ＞０)的离心率为１２,则椭圆C 的蒙日圆的方程为(㊀㊀)．A．x ２＋y ２＝９㊀㊀㊀㊀㊀B ．x ２＋y ２＝７C ．x ２＋y ２＝５D．x ２＋y ２＝４分析:根据题目中的已知条件,在椭圆上,两条相互垂直的切线可以随意选择,但其交点位于与椭圆同心的圆却是唯一的,也即答案是唯一的．由此,可以通过选取一般问题的特殊情形找到一般的解题思路,不妨利用过椭圆的右顶点和上顶点的两条切线进行解题．解:因为椭圆C :x ２a ＋１＋y ２a＝１(a ＞０)的离心率为１２,所以１a ＋１＝１２,解得a ＝３．所以椭圆C 的方程为x ２４＋y ２３＝１,且椭圆C 的上顶点为A (０,３),右顶点为B (２,０),则椭圆在A ,B 两点的切线方程分别为y ＝３和x ＝２,这两条切线的交点坐标为M (２,３)．由题意可知,交点M 必在一个与椭圆C 同心的圆上,可得与椭圆C 同心的圆的半径r ＝２２＋(３)２＝７．所以椭圆C 的蒙日圆方程为x ２＋y ２＝７．故选:B ．以问题的特征为依据,对命题进行转化,将原问题转化为与之相关的㊁容易解决的新问题,这也是解决数学问题常见的转化思路,并且可以通过这种转化逐步培养识别关键信息的能力．２命题的等价转化把题目中已有的条件或者结论进行相应的转化,化难为易,是解决较难问题常用的转化手段．其主要方法包括:数与形的转化㊁正与反的转化㊁常量与变量的转化㊁图形形体及位置的转化等．例２㊀由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,得m 的取值范围是(－ɕ,a ),则实数a 的值是．分析:利用转化思想可以将命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０ 是假命题转化为 对任意x ɪR ,e|x －１|－m ＞０是真命题,由此得出m ＜e |x －１|恒成立,进而通过m 的取值范围来求a 的值．解:由命题 存在x ０ɪR ,使e |x －１|－m ɤ０是假命题,可知 对任意x ɪR ,e |x －１|－m ＞０是真命题,由此可得m 的取值范围是(－ɕ,１),而(－ɕ,a )与(－ɕ,１)为同一区间,故a ＝１．例３㊀若对于任意t ɪ[１,２],函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,则实数m 的取值范围是．分析:根据函数g (x )＝x ３＋(m ２＋２)x ２－２x 在区间(t ,３)上总不为单调函数,可以利用正难则反的转化思想先找出g (x )在(t ,３)上单调的条件,再利用补集思想求出m 的取值范围．８５２０２３年１２月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀解:求得g ᶄ(x )＝３x ２＋(m ＋４)x －２．若g (x )在(t ,３)上单调递增,则g ᶄ(x )ȡ０,即３x ２＋(m ＋４)x －２ȡ０,亦即m ＋４ȡ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立．故m ＋４ȡ２t－３t 在t ɪ[１,２]上恒成立,则m ＋４ȡ－１,即m ȡ－５．若g (x )在(t ,３)上单调递减,则g ᶄ(x )ɤ０,即m ＋４ɤ２x－３x 在x ɪ(t ,３)上恒成立,所以m ＋４ɤ２３－９,即m ɤ－３７３．综上,符合题意的m 的取值范围为－３７３＜m ＜－５．根据命题的等价性对题目条件进行明晰化处理是解题常见的思路;对复杂问题采用正难则反的转化思想,更有利于问题得到快速解答．３函数㊁方程㊁不等式之间的转化函数与方程㊁不等式之间有着千丝万缕的关联,通过结合函数y ＝f (x )图象可以确定方程f (x )＝０,不等式f (x )＞０和f (x )＜０的解集．例４㊀若２x －２y＜３－x －３－y ,则(㊀㊀)．A．l n (y －x ＋１)＞０B ．l n (y －x ＋１)＜０C ．l n |x －y |＞０D．l n |x －y |＜０分析:由题意,可将２x －２y＜３－x －３－y 转化为２x －３－x ＜２y－３－y ,进而实现不等式与函数之间的转化,从而解得答案．解:由２x －２y ＜３－x －３－y ,得２x －３－x ＜２y －３－y ．故构造函数y ＝２x －３－x ,即y ＝２x －(１３)x．由于函数y ＝２x－(１３)x 在R 上单调递增,因此x ＜y ,即y －x ＋１＞１．所以l n (y －x ＋１)＞l n １＝０．故选择:A ．例５㊀已知函数f (x )＝e l n x ,g (x )＝１ef (x )－(x ＋１)．(e ＝２．７１８ )(１)求函数g (x )的最大值;(２)求证:１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．分析:第(１)问要求函数g (x )的最大值,关键在于需要运用转化与划归思想,通过g ᶄ(x )得出函数g (x )单调性,即可求出g (x )的最大值．将第(１)问得出的g (x )最大值－２转化成l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立),再利用换元法最终证明出结论．解:(１)由g (x )＝１ef (x )－(x ＋１),即g (x )＝l n x －(x ＋１),得g ᶄ(x )＝１x－１(x ＞０)．令g ᶄ(x )＞０,则０＜x ＜１;令g ᶄ(x )＜０,则x ＞１．所以,函数g (x )在区间(０,１)上单调递增,在区间(１,＋ɕ)上单调递减．故g (x )的最大值为＝g (１)＝－２．(２)证明:由(１)知x ＝１是函数g (x )的极大值点,也是最大值点,故g (x )ɤg (１)＝－２．所以l n x －(x ＋１)ɤ－２,即l n x ɤx －１(当且仅当x ＝１时等号成立)．令t ＝x －１,则有t ȡl n (t ＋１)(t ＞－１)．取t ＝１n (n ɪN ＋),则有１n ＞l n (１＋１n)＝l n(n ＋１n )．故１＞l n２,１２＞l n ３２,１３＞l n ４３,,１n＞l n(n ＋１n )．上面n 个不等式叠加,得１＋１２＋１３＋ ＋１n＞l n (２ˑ３２ˑ４３ˑ ˑn ＋１n)＝l n (n ＋１)．故１＋１２＋１３＋ ＋１n ＞l n (n ＋１)(n ɪN ＋)．在分析此类题目的过程中,利用函数㊁方程㊁不等式进行转化与化归更有利于问题的解决,因此,利用转化与划归思想不仅能让整个数学知识的体系变得更加紧密,同时也能对学生从系统性角度掌握数学知识之间的联系提供非常大的帮助．转化与化归思想所蕴含的内容丰富且深奥,为高中数学问题的解决提供了多种思路,对高中数学的学习也有极大的指导与启发作用,值得我们不断地探索与研究．因此,在解决高中数学问题的过程中,要灵活运用 转化与化归 的解题思想．有些数学问题看似复杂,但通过分析可知出题者采用的是 障眼法 ,其中有的是多余或无用的条件．同时,在高中数学课堂教学中,教师可以在解题教学过程中渗透转化与化归思想,加强学生在特殊与一般转化㊁命题的等价转化以及函数㊁方程㊁不等式之间的转化等方面的技能,逐步锻炼学生简化题目内容的能力和意识,最大程度提高解题效率．Z９５。
化归与转化思想在高考数学解题中的运用
GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2化归与转化思想在高考数学解题中的运用■甘肃省秦安县第二中学罗文军yxo化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1．化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则；（2）简单化原则；（3）和谐化原则；（4）直观化原则；（5）正难则反原则3．化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考；（2）局部向整体的转化；（3）未知向已知转化；（4）固定向重组的转化；（5）抽象向具体转化；（6）个别向一般的转化；（7）数向形的转化；（8）定量向定性的转化；（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小；（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1.若2a +log 2a ＝4b +2log 4b ，则（）A.a ＞2b B.a ＜2b C.a ＞b 2 D.a ＜b 2【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a +log 2a ＝4b +2log 4b ＝22b +log 2b ，又因为22b +log 2b ＜22b +log 22b ＝22b +1+log 2b ，所以2a +log 2a ＜22b +log 22b .令ｆ（ｘ）＝2x +log 2ｘ，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得ｆ（ｘ）在（0，+∞）上单调递增，由ｆ（a ）＜ｆ（2a ），可得a ＜2b .【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2.设命题p ∶4x-3≤1，命题q ∶x 2-（2a+1）x +a （a +1）≤0.若劭p 是劭q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得１２≤x ≤１，记A ＝{x │１２≤x ≤１}；由x ２-（２a+1）x+a （a+1）≤0，可得a ≤x ≤a +1，记B ＝{x │a ≤x ≤a +1}.因为劭p 是劭q 的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，所以A 芴B ，所以a ≤１２，a+１≥11，解得0≤a ≤１２，所以实数a 的取值范围是[0，１２].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A 和集合B 表示，再由劭p 是劭q 是的必要不充分条件转化为p 是q 的充分不必要条件，再转化为集合A 为集合B 的真子集，解得a 的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题；（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3.设a ，b ∈R ，则|“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的（）A.充要不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充要也不必要条件【解析】构造函数ｆ（ｘ）＝x x ＝ｘ２，ｘ≥0-x ２，ｘ＜1函数图像如图1，由图像可知ｆ（ｘ）＝x x 在R 上单调递增.当a ＞b 时，ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b ，a ＞b 圯a a ＞b b .当ｆ（a ）＞ｆ（b ），即a a ＞b b 时，a ＞b ，a a ＞b b 圯a ＞b ，所以a ＞b 圳a a ＞b b ，“a ＞b ”是“a a ＞b b ”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数ｆ（ｘ）＝x x 后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R 上为单调递增函数，把a 和b 看成这个函数的两个自变量，a a 和b b 分别看成这个函数的函数值ｆ（a ）29数学有数和ｆ（b），由增函数的性质可以得出，ａ＞b圳a a＞b b，所以ａ＞b是a a＞b b的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4.已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h２，则h1+h２的最小值为________．【答案】22姨.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面，E，F，G，H分别为切点，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG，OH，由题意可知AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝h1+h2，R＝OE＝OF＝OG＝OH＝1，则S四边形ABCD＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC＝１２R×AB+１２R×BC+１２R×CD+１２R×AD＝１２R（2AB+2BC）＝R（AB+BC），所以AB×BC＝AB+BC.由基本不等式可得AB×BC＝AB+BC≥2AB×BC姨，则AB×BC≥4，当且仅当AB＝BC时等号成立．所以（h1+h2）2＝AC2＝AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB＝BC时等号成立，故h1+h2的最小值为22姨.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题；（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5.若对任意的ｘ∈（0，+∞），ax-ln（2ｘ）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的ｘ∈（0，+∞），a≥ln（2ｘ）+1ｘ恒成立，令g（ｘ）＝ln（2ｘ）+1ｘ，g′（ｘ）＝１ｘ·ｘ-ln（2ｘ）ｘ2＝1-ln（2ｘ）ｘ2，令g′（ｘ）＝0，则1-ln（2ｘ）＝0，则ｘ＝e2，当0＜ｘ＜e2时，g′（ｘ）＞0，g（ｘ）单调递增；当ｘ＞e2时，g′（ｘ）＜0，g（ｘ）单调递减，所以当ｘ＝e2时，g（ｘ）取得最大值g（ｘ）max＝g（e2）＝ln e+1e2＝4e，所以a≥4e，所以a的最小值为4e.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（ｘ）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（ｘ）]max（ｘ∈（0，+∞）），转化为求函数g（ｘ）在（0，+∞）上的最大值问题，g（ｘ）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6.设数列{a n}的前n项为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+S n）≥k2n+1姨对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，a n＝2a n S n-2S2n，所以a n＝2S2n2S n-1，n≥2，所以（S n-S n-1）（2S n-1）＝2S2n，所以S n-S n-1＝-2S n S n-1，所以１S n-１S n-1＝2，n≥2，所以数列{１S n}是以１S1＝1为首项，以2为公差的等差数列，所以１S n＝1+2（n-1）＝2n-1，所以S n＝１2n-1，所以，当n≥2时，a n＝S n-S n-1＝１2n-1-１2n-３＝-2（2n-1）（2n-3），因为a1＝S1＝1，所以a n＝1，n=1-2（2n-1）（2n-3）.n≥≥2（2）设ｆ（n）＝（1+S1）（1+S2）…（1+S n）2n+1姨，则ｆ（n+1）ｆ（n）＝2n+22n+1姨2n+3姨＝4n2+8n+44n2+8n+3姨＞1，所以ｆ（n）在n∈N鄢上递增，要使ｆ（n）≥k恒成立，只需要ｆ（n）min≥k，因为ｆ（n）min＝ｆ（1）＝2３姨３，所以0＜k≤2３姨3.【评注】第（1）问运用了数列的前n项和S n与通项a n之间的关系a n＝S n-S n-1（n≥2），把a n转化为S n-S n-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{１S n}的通项公式，再得出数列{a n}的通项公式；第（2）问分离变量后构造函数ｆ（n），用作商法判断ｆ（n）的单调性，把不等式ｆ（n）≥k在n∈N鄢上恒成立等价转化为ｆ（n）min≥k（n∈N鄢），两问都运用到了化归与转化思想.AEBFHDGOC302021年第2GUAN ＧＤONG JIAO YU GAO ZHONG2021年第2题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化；（2）在三角函数问题中，将形如y=a sin x+b cos x 的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=A sin （棕x+渍）的函数问题；（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0；（4）将形如滋＝y -b x -a形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b -c ＝a ·cos C -c ·cos A .（1）求角A ；（2）若a ＝3，求b +2c 的最大值.【解析】（1）因为b -c ＝a ·cos C -c ·cos A ，由正弦定理可得，sin B -sin C ＝sin A cos C -sin C cos A ，所以sin B -sin C ＝sin （A -C ）所以sin （A +C ）-sin C ＝sin （A -C ），所以sin A cos C +cos A sin C -sin C ＝sin A cos C -cos A sin C ，所以cos A ＝１２，因为0＜A ＜仔，所以A ＝仔３.（2）由（1）可得，C ＝２仔３-B ，由正弦定理得，a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，所以３sin 仔３＝b sin B ＝c sin （２仔３-B ），所以b ＝2３姨sin B ，c ＝2３姨sin （２仔３-B ），所以b +2c ＝2３姨sin B +4３姨sin （２仔３-B ）＝2３姨（2sin B +３姨cos B ）＝221姨sin （B +渍），其中tan 渍＝３姨2，渍∈（0，仔2），由B ∈（0，２仔３），存在B 使得B +渍＝仔2，所以sin （B +渍）的最大值为1，所以b+２c 的最大值为221姨.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cos A 的值，得出角A 的值；第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题；两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.例8.已知函数f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，则f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）的值为_____.【解析】由于直接计算有困难，先探求一般的规律，因为f （ｘ）＝ｘ2ｘ-1，所以f （1-ｘ）＝1-ｘ2（1-ｘ）-1＝1-ｘ1-2ｘ＝ｘ-12ｘ-1，所以f （ｘ）+f （1-ｘ）＝1，倒叙相加可得f （12019）+f （22019）+f （32019）+…+f （20182019）＝1009.【评注】本题的解答中体现了特殊问题转化为一般化，运用了化归与转化思想，先通过探究在宏观上把握问题的一般规律，再将特殊问题破解.题型五：化归与转化思想的正难则反原则在解题中的体现化归与转化思想的正难则反原则在高中数学解题中的体现主要有：（1）间接证明方法中的反证法在解题中的运用；（2）概率问题中对立事件和互斥事件的概率公式的运用.例9.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a １＝1+2姨，S 3＝9+32姨.（1）求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；（2）设b n ＝S n n（n ∈N 鄢），求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解析】（1）设公差为d ，由已知得ａ1＝2姨+1，3ａ1+3d ＝9+32姨姨，所以d ＝2，故a n ＝2n -1+2姨，S n ＝n （n +2姨）．（2）证明：由（1）得b n ＝S n n＝n +2姨.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r （p 、q 、r 互不相等）成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即（q +2姨）2＝（p +2姨）（r +2姨），所以（q 2-pr ）+（2q -p-r ）2姨＝0.因为p ，q ，r ∈N 鄢，所以q ２-pr ＝0，2q-p-r ＝0姨，所以（p+r 2）２＝pr ，（p-r ）２＝0，所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【评注】本题的解答的第（2）问中运用了反证法，先反设假定要证的结论不成立，而设出结论的反面成立，将这个反设作为条件，运用等比数列的定义和通项公式，通过推理，得出p ＝r 与已知条件相矛盾，所以反设错误，所以要证明的结论成立，反证法归属于间接证明方法，第（2）问运用了化归与转化的思想.例10.掷一个骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A +B 发生的概率为____.【答案】23.【解析】掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P （A ）＝26＝13，P （B ）＝46＝23，所以P （B ）＝1-P （B ）＝1-23＝13，显然A 与B 互斥，从而P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）＝13+13＝23.【评注】先由古典概型概率公式求出事件A 和事件B 的概率，再由对立事件概率公式求出事件B 的对立事件B 的概率，再由互斥事件概率公式，把事件A+B 的概率化归为求P （A ）和P （B ）的和，运用了化归与转化思想.责任编辑徐国坚31。
高中数学中“转化与化归”思想的应用
８ １０ ） ４ ０ ０
互 为反 函数 ， 图像 关 于 直线 ｙ 对称 ， ｙ 其 又 ：
Ｘ
的 图 像 也 关
于直 线ｙ ） ＝【 对称 ， 由 对称 性 知 ， 。 ２— ０ 故 ｘ－ ： ０ ８ ｙ ２
—
，
得ｘ ＝ ０ ８。 ２０
） 【 ２
２一 般 与 特 殊 的转 化 ． 辩 证 唯 物 主 义 认 为 ：矛 盾 的 普遍 性寓 于矛 盾 的特 殊 性 之 中 。 类 的 认识 活 动 。 是先 认 识 个 别 的 、 人 总 特殊 的事 物 ， 通 过 再 概 括 和推 理 来 认 识 一般 事 物 的。 多数 学 问 题 ， 特 殊情 况 与 很 其 般情 况 存 在 共 性 ，通 过 对 特 殊 情 况 的研 究 常 能找 出一 般 问 题 的 规律 ， 到一 般 问题 的 结论 。 以 ， 得 所 当问 题 不 易处 理 时 ， 我 们 可 以 考虑 它 的特 殊情 况 ， 而 推导 出一 般 的 结论 。 进
＝ … ＝
，
—
若 为 填 空 题 ， 只需 计 算 ｆ０ ＋（ ） 则 （ ）ｆ１＝ ， （） 令Ｃｘ：
Ｘ
； 为大题 ， 若 则
Ｚ
／ 一
：
解 析 ： 已知 得ｌ ＝ 由 ｇ ｘ
ｌｘ ￡ ） —０ ８ ｇ ，＇ ：２ ０ （
—
，
在 同一 坐 标 系下 作 出
ｌ （ ）ｆ１： ｆ ｆｏ ＋ （ ） ￣
所以． 此题 的结果为１０ 、 ２。 ０４ ／
３正 与 反 的 转化 ． ． 有些 问题 ． 面 人 手 情 况 复 杂 ， 时 考 虑 反 面 ， 可 使 问 正 这 则
数学与应用数学-转化与化归思想在高中数学解题中的应用论文
摘要数学思想方法在解题时常常会被提到，它是数学理论的本质认识，因此学生要想学好数学，必须知道并且运用它。
其中转化与化归就是一个重要的数学思想方法，它可以帮助学生更好，更快地解决数学问题。
该文讲述了转化与化归的原则和策略，方便了学生对它的掌握和理解。
其中学生最容易接受的是简单化、熟悉化、直观化原则。
学生最容易掌握的是极端化、标准化和正难则反原则。
在解题过程中，学生头脑里最先想到的是用什么解题策略。
复杂到简单、陌生到熟悉、抽象到具体策略是学生在学习过程中自然能够想到的。
学生需要进行培养和训练的是一般到特殊、数形结合和动静转化策略。
高中数学几大模块的解题研究中，都有渗透转化与化归思想。
该研究主要介绍了函数、数列、不等式、立体几何和圆锥曲线的模块研究，这些模块是高中最重要且最有难度的内容，所以具有很大的研究意义。
最后该文总结了学生转化与化归思想能力的培养策略。
关键词: 转化与化归高中数学培养策略ABSTRACTMathematical thinking method is often mentioned in the question solving, it is the nature of mathematical theory, so students want to learn mathematics, must know and use it. Among them, transformation and transformation is an important mathematical thinking method, which can help students solve mathematical problems better and faster.This article introduced the transformation and the transformation tenet and the strategy, facilitates the student to grasp and the understanding. Among them, the principles of simplification, familiarity and intuition are most easily accepted by students. The easiest things for students to master are extremity, standardization, and the principle of right versus wrong. In the problem solving process, the first thing that comes to students' mind is what problem solving strategy to use. Complex to simple, unfamiliar to familiar, abstract to concrete strategy is the students in the learning process naturally can think of. Students need to be trained in general to special, combination of Numbers and shapes, and dynamic and static transformation strategies.In the problem solving research of several modules of high school mathematics, there is the idea of osmotic transformation and transformation. This research mainly introduces the module research of function, sequence of Numbers, inequality, solid geometry and conic curve. These modules are the most important and difficult contents in high school, so they have great research significance. Finally, it summarizes the training tactics of pupils' transformation capacity.Key words : Transformation and reduction high school mathematics training strategy目录绪论 (1)1绪论 (1)1.1国内研究现状 (2)1.2国外研究现状 (2)2 转化与化归的理论概述 (2)2.1含义 (2)2.2原则 (3)2.3策略 (3)3 转化与化归思想在高中数学五大模块中的应用 (3)3.1在高中函数中的应用 (3)3.1.1动静转化 (3)3.1.2数形转化 (4)3.1.3特殊到一般 (5)3.1.4换元 (5)3.2在高中数列中的应用 (5)3.2.1累加法 (5)3.2.2累乘法 (6)3.2.3待定系数法 (6)3.2.4换元 (7)3.2.5数学归纳法 (8)3.3在高中不等式中的应用 (9)3.3.1数形转化 (9)3.3.2分类讨论 (9)3.3.3向函数转化 (10)3.3.4向基本不等式转化 (10)3.3.5放缩法 (11)3.4在高中立体几何中的应用 (12)3.4.1线面关系的转化 (12)3.4.2从高纬向低纬转化 (13)3.4.3向数量关系转化 (14)3.4.4向向量转化 (15)3.5在高中圆锥曲线中的应用 (17)3.5.1向根与系数转化 (17)3.5.2向点差转化 (18)3.5.3向参数方程转化 (19)4.转化与化归思想的培养策略 (19)4.1研究课本，挖掘隐含的转化与化归思想 (19)4.2注重变式训练 (19)4.3一题多解 (19)4.4及时小结 (19)参考文献 (20)致谢 (21)1.绪论高中生面对数学问题时，几乎就是根据刷题经验得到的感觉做的，但是碰到从未见过的有难度的题型时就被困住了。
浅谈转化与化归的数学思想方法在高考数学中的应用
浅谈转化与化归的数学思想方法在高考数学中的应用解题的过程实际就是转化的过程。
应用化归与转化的思想，运用数学变换的方法去灵活地解决有关的数学问题，是提高思维能力的有效保证。
标签：转化与化归高考数学应用化归与转化的思想就是将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的数学思想。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际就是转化的过程。
数学中的转化比比皆是，常用的化归与转化方法有等价变换、数形结合法、函数与方程的思想、换元法、反证法、特殊值法等。
如：未知向已知的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化等，都是转化思想的体现。
下面结合例题谈一谈如何实现数学问题的转化。
1 利用等价转化的思想来实现转化在数学中存在许许多多具有等价性的问题，“恒等变形”是解题的最基本的方法，如解方程和不等式的过程本身就是一个等价转化的过程。
例1、（2003年全国高考）已知c＞0。
设P函数y=cx在R上单调递减。
Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R。
如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围。
分析：“P和Q有且仅有一个正确”等价于“P正确且Q不正确”或“P不正确且Q正确”，所以应先求出P和Q分别正确时的解集，再用集合间的关系来运算。
解：∵P：函数y=cx在R上单调递减?圳01的解集为R?圳函数y=f(x)=x+|x-2c|在R上恒大于1。
∴函数y=f(x)=x+|x-2c|在R上的最小值为2c。
∴不等式x+|x-2c|>1的解集为R?圳2c>1?圳c>■。
∴如果P正确且Q不正确，则00），则原方程可转化为求含绝对值的二次方程的解。
解：令t=2x，（t>0），原方程可化为：t2+|1-t|=11①当t≥1（即x≥0）时，方程可化为：t2+t-1=11?圳t2+t-12=0解之得：t=3，或t=-4（不舍题意，舍去）∴2x=3?圳x=log23②当01或t=■-■P1(B)P3>P2=P1 (C)P3>P2>P1(D)P3=P2=P1分析：由射影面积公式（S射=S斜cosα）可知：S射与斜面和水平面所成角α有关与斜面内图形形状及图形放置无关。
高中数学化归与转化的思想在解题中的应用
高中数学化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
3．转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
4．化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、例题分析例1．某厂2010年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（）A. m>NB. m<NC.m=ND.无法确定[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n}，且公差d＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b n}，且公比q＞1。
转化与化归思想在高中数学解题中的应用
转化与化归思想在高中数学解题中的应用杨军文(甘肃省康乐县第一中学ꎬ甘肃临夏回族自治州７３１５００)摘㊀要:转化与化归数学思想是数学知识的灵魂和精髓ꎬ它对学生理解数学知识和提高数学解题效率有重要作用.在高中数学解题中ꎬ教师要加强转化与化归数学思想的渗透与应用ꎬ让学生真正理解转化与化归数学思想的内涵本质与应用要求ꎬ掌握多种有效的转化与化归数学解题运用方法策略ꎬ加强解题实践训练ꎬ有效提高转化与化归的数学思想应用能力ꎬ从而促进学生解题能力提升.关键词:转化与化归思想ꎻ高中数学ꎻ解题应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２１－００５０－０３收稿日期:２０２３－０４－２５作者简介:杨军文(１９９０.４－)ꎬ男ꎬ甘肃省武威人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀提高学生解题能力是高中数学教学的重要任务ꎬ通过培养学生良好的解题能力ꎬ既能让学生加深对所学知识的理解掌握ꎬ又能提高学生高考应试能力.高中数学问题的复杂性和抽象性决定了解题并不容易ꎬ如果在解题过程中能够熟练运用转化与化归思想ꎬ一定程度上能使数学问题变得简单化ꎬ从而有利于提高高中数学解题效率.１转化与化归数学思想的内涵转化与化归数学思想的内涵是指在研究解决数学问题时ꎬ运用某种方式或手段把问题进行变换ꎬ使问题变得简单㊁直观㊁熟悉ꎬ从而使问题得到有效解决.简单而言ꎬ就是在数学解题中把复杂繁琐的问题转化成简单问题㊁把抽象的问题转化成直观的问题㊁把陌生问题转化成熟悉问题ꎬ使问题得到快速有效解决的一种数学思想方法.要运用好转化与化归数学思想需要掌握其运用要求:一是要坚持简单化原则.转化与化归思想的运用要有利于使问题变得简单化ꎬ更容易进行处理ꎬ能提高解题效率.二是坚持直观化原则.就是要把抽象的问题转化成形象直观的问题ꎬ使学生更容易理解数学问题的本质ꎬ有利于找到解决问题的方法或突破口.三是坚持熟悉化原则.要把陌生和没有见过的问题转化成已知和熟悉的数学问题ꎬ然后运用常用的解题方法进行求解.四是坚持正难则反原则.在数学解题中从正向解决问题比较复杂和困难ꎬ或是正向解决包含的情况较多时ꎬ则可考虑从问题的反面来寻找解决方法.掌握转化与化归思想的运用要求ꎬ才能科学有效运用该思想.２转化与化归思想在解题中的应用策略２.１依据数学规律直接转化ꎬ方便快捷解决数学问题在数学解题中ꎬ依据数学概念定义㊁公式㊁定理等数学规律直接进行问题转化ꎬ既是转化与化归数学思想的常用方法ꎬ也是数学解题常用的策略之一.在该策略的运用中ꎬ需要学生具备扎实的数学基础知识ꎬ能全面深入掌握数学概念㊁公式㊁定理㊁法则等基本规律的内容与成立条件ꎬ并能做到熟练灵活运用ꎬ才能使数学问题得到有效转化与化归ꎬ从而方便快捷地解决难以处理的数学问题.０５例１㊀一个数列ａｎ{}ꎬ如果满足１ａｎ－１ａｎ＋１＝ｄ(ｄ为常数ꎬｎɪＮ∗)条件ꎬ就称这个数列为调和数列.已知数列１ｂｎ{}是一个调和数列ꎬ而且ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋ ＋ｂ３０＝４５０ꎬ求ｂ１５＋ｂ１６＝?解析:对于新出现的调和数列这个概念ꎬ高中数学教材并未提及ꎬ大多数学生并不熟悉ꎬ对于此题 束手无策 不知如何处理.此时通过对题意进行全面深入的分析后ꎬ就可知该调和数列也是一个等差数列ꎬ就可以根据熟悉的等差数列的定义ꎬ把这个不熟悉的调和数列转化成等差数列就容易进行处理了ꎬ由于调和数列１ｂｎ{}满足条件ｂｎ－１－ｂｎ＝ｄꎬ因此可将其看成等差数列ꎬ再根据等差数列的定义将奇数项转化成ｂ１＝ｂ１５＋１４ｄ㊁ｂ３＝ｂ１５＋１２ｄ㊁ ㊁ｂ２９＝ｂ１５－１４ｄꎬ把偶数项转化成ｂ２＝ｂ１６＋１４ｄ㊁ ㊁ｂ３０＝ｂ１６－１４ｄꎬ利用求和公式求解:ｂ１＋ｂ２＋ｂ３＋ ＋ｂ３０＝４５０＝１５(ｂ１５＋ｂ１６)＝４５０ꎬ因此可方便快捷地求出ｂ１５＋ｂ１６＝３０ꎬ而如果运用常规的方法求解就会存在较大的困难.在此题的转化过程中ꎬ就是利用了已经学过的等差数列的定义进行的直接转化ꎬ转化的关键则是要求学生熟练掌握等差数列的定义和灵活运用等差数列的求和公式[１].２.２利用换元方法进行转化ꎬ有效解决复杂数学问题在高中数学解题中ꎬ当遇到的题目结构复杂㊁计算繁琐时ꎬ通过引入一个新的变量进行巧妙换元ꎬ就能使复杂繁琐的题目变成比较简洁和容易求解的问题了.特别是在代数问题的求解中ꎬ可以把分式转化成整式㊁把高次方程或函数转化成低次方程或函数㊁把多元计算转化成少元计算ꎬ这样就使复杂的数学问题变得容易求解.例２㊀求解ｆｘ()＝ｓｉｎ２ｘ＋３ｃｏｓｘ－３４(ｘɪ[０ꎬπ２])的最大值是多少?解析㊀将ｆｘ()解析式进行化简为ｆｘ()＝－ｃｏｓ２ｘ＋３ｃｏｓｘ＋１４＝－(ｃｏｓｘ－３２)２＋１ꎬ此时采用换元法ꎬ假设ｔ＝ｃｏｓｘꎬ把三角函数转化成一元二次函数ｆｔ()＝－ｔ－３２æèçöø÷２＋１ꎬ可容易地看出该一元二次函数的最大值出现在ｔ＝３２时ꎬ其最大值是１.即当ｃｏｓｘ＝３２时ꎬｘ＝π６符合题目条件要求ꎬ所求最大值为１.此题目如果不进行换成元直接对三角函数求最大值非常困难ꎬ通过换元则把三角函数转化成了熟悉的一元二次函数ꎬ就容易求解了[２].２.３进行代数与图形的转化ꎬ形象直观解决数学问题把代数问题与几何图形问题进行相互转化与化归ꎬ既能发挥几何图形形象直观的特点ꎬ实现 以形解数 的目的ꎬ又能充分运用代数计算精确的优势ꎬ实现 以数助形 的目的ꎬ同时还能很好地帮助学生找到解题思路或解决问题的突破口ꎬ有利于提高解题效率.该转化方法在初等函数㊁圆锥曲线等类型的题目解题中经常运用ꎬ也是此类题目解题的必用方法之一ꎬ因此应加强 数 与 形 的相互转化应用ꎬ进而达到直观解题的目的.例３㊀假设椭圆Ｃ:ｘ２２＋ｙ２＝１中的右焦点是Ｆꎬ通过该点的直线ｌ和椭圆分别相交于ＡꎬＢ两个点ꎬＰ２ꎬ０()位于ｘ轴上.(１)当直线ｌ和ｘ轴相互垂直时ꎬ求解ＡＰ的直线方程.(２)Ｏ是坐标系的原点ꎬ证明:øＯＰＡ＝øＯＰＢ.解析㊀此题目没有给出椭圆曲线的图形ꎬ为了能够形象直观地解题和提高解题效率ꎬ可根据题意画出该椭圆曲线的图形(如图１所示)ꎬ能帮助学生进行数形相互转化ꎬ从而更好地提高解题速度.图１㊀椭圆Ｃ１５(１)过程略.(２)要证明øＯＰＡ＝øＯＰＢꎬ需要分为三种情况进行讨论:①当直线ｌ和ｘ轴相互重合时ꎬ两角显然相等ꎻ②当直线ｌ和ｘ轴相互垂直时ꎬ两角显然相等ꎻ③当直线ｌ和ｘ轴不垂直㊁不重合时ꎬ要证明两角相等ꎬ表面看是一个几何证明问题ꎬ但是几何方法进行证明就非常困难.如果此时把该几何证明问题转化成代数计算问题ꎬ就使问题变得容易求解.要把证明两角相等ꎬ关键是把问题等价转化成求解ＡＰ㊁ＢＰ两直线的斜率之和是０.假设直线ｌ的方程是ｙ＝ｋ(ｘ－１)(ｋʂ０)ꎬ设ＡꎬＢ两点坐标分别是(ｘ１ꎬｙ１)㊁(ｘ２ꎬｙ２)由于两点的横坐标均小于２ꎬ两条直线的斜率之和是ｋＡＰ＋ｋＢＰ＝ｙ１ｘ１－２＋ｙ２ｘ２－２＝２ｋｘ１ｘ２－３ｋｘ１＋ｘ２()＋４ｋ(ｘ１－２)(ｘ２－２).把直线ｌ的方程式代入椭圆方程式中可得２ｋ２＋１()ｘ２－４ｋ２ｘ－２＝０ꎬ可求出ｘ１＋ｘ２＝４ｋ２２ｋ２＋１ꎬｘ１ｘ２＝２ｋ２－２２ｋ２＋１ꎬ将两式代入ｋＡＰ＋ｋＢＰ＝２ｋｘ１ｘ２－３ｋｘ１＋ｘ２()＋４ｋ(ｘ１－２)(ｘ２－２)中的分子中ꎬ可得出２ｋｘ１ｘ２－３ｋｘ１＋ｘ２()＋４ｋ＝０ꎬ因此就计算出ｋＡＰ＋ｋＢＰ＝０ꎬ证明两直线斜率互补ꎬ就能证明两角相等.在此题中通过把几何问题转化成代数问题ꎬ使解题变得简单[３].２.４建立恰当空间直角坐标ꎬ代数方法解决几何问题在几何问题特别是立体几何问题的解题中ꎬ如果能够建立恰当的直角坐标系ꎬ就可以把几何问题的证明变成了代数计算问题ꎬ把空间几何问题转化成平面几何问题ꎬ可以降低空间图形的抽象性ꎬ还可以借助于向量运算ꎬ这样就能够提高立体几何题的解题效率[４].例４㊀在如图２空间立体坐标ꎬ三棱柱立体图形ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬＡＡ１Ｃ１Ｃ是一个正方形ꎬ其边长是４ꎬ平面ＡＢＣ与平面ＡＡ１Ｃ１Ｃ相互垂直ꎬ并且已知ＡＢ＝３ꎬＢＣ＝５.(１)证明:ＡＡ１ʅ平面ＡＢＣ.(２)求二面角Ａ１－ＢＣ１－Ｂ１的余弦值.图２㊀空间立体坐标系解析㊀(１)略.(２)在这一小题的计算中ꎬ如果采用几何方法就比较难于计算ꎬ如果能建立空间坐标系ꎬ就可把立体几何问题转化成代数与向量运算问题ꎬ就容易求解此题.根据已知条件在?ＡＢＣ中ꎬＡＢ＝３㊁ＡＣ＝４㊁ＢＣ＝５ꎬʑ根据勾股定理可得出ＢＣ２＝ＡＣ２＋ＡＢ２ꎬʑＡＢʅＡＣꎬ这样就可以Ａ点为原点建立空间直角坐标系Ａｘｙｚ.从图中可看出各点坐标与向量为:Ａ１(０ꎬ０ꎬ４)㊁Ｂ(０ꎬ３ꎬ０)㊁Ｃ１(４ꎬ０ꎬ４)㊁Ｂ１(０ꎬ３ꎬ４)ꎬＡ１Ｃ１ң＝(４ꎬ０ꎬ０)ꎬＡ１Ｂң＝(０ꎬ３ꎬ－４)ꎬＢ１Ｃ１ң＝(４ꎬ－３ꎬ０)ꎬＢＢ１ң＝(０ꎬ０ꎬ４).设平面Ａ１ＢＣ１的法向量ｍ１＝(ｘ１ꎬｙ１ꎬｚ１)ꎬ平面Ｂ１ＢＣ１的法向量ｍ２＝(ｘ２ꎬｙ２ꎬｚ２)ꎬȵＡ１Ｃ１ңˑｍ１＝０Ａ１Ｂңˑｍ１＝０{ꎬʑ４ｘ１＝０３ｙ１－４ｚ１＝０{ꎬ令ｙ１＝４则ｚ１＝３ꎬʑ法向量ｍ１＝(０ꎬ４ꎬ３).同理可求出Ｂ１Ｃ１ңˑｍ２＝０ＢＢ１ңˑｍ２＝０{ꎬʑ４ｘ２－３ｙ２＝０４ｚ２＝０{ꎬ令ｘ＝３ꎬ则ｙ２＝４ꎬʑ法向量ｍ２＝(３ꎬ４ꎬ０)的ｍ１与ｍ２夹角为θꎬ可计算出ｃｏｓθ＝ｍ１ｍ２ｍ１｜ ｜ｍ２｜＝１６２５.参考文献:[１]安宝琴.化归与转化思想在高中数学解题中应用[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１５(３):９３.[２]王勉.例谈转化与化归思想方法在解题中的应用[Ｊ].中国数学教育ꎬ２０１９(１):７４－７５.[３]陈慧兰.化归思想在函数与导数解题中的应用[Ｊ].福建中学数学ꎬ２０２１(９):３１－３５.[４]刘作晶.化归思想在高中数学解题过程中的应用分析[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１８(２４):１００.[责任编辑:李㊀璟]２５。
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用
首先，化归思想在高中数学解题中是一种常见的解题思路。
所谓化归，指的是将问题转化为更为简单、易于处理的形式，便于解题。
在高中数学中，化归思想主要应用于以下几个方面。
一、化归为已知问题
化归为已知问题指的是将待求问题转化为已知问题，以便于求解。
例如，在解决直角三角形的问题中，有时需要求某条边的长度，而这条边不是已知的边，这时可以将问题化归为已知问题，通过已知边长和角度的关系，求出待求边的长度。
再比如，在解决函数的极值问题中，我们可以将函数的极值问题化归为求导数为零的问题，以便于求解。
化归为整体问题指的是将问题拆分成若干小问题，将问题的整体性质与局部性质相结合，以便于解决。
例如，在解决三角函数解析式的问题中，我们可以将三角函数的图像、周期、对称性等整体性质与三角函数的基本定义式相结合，讨论不同情况下三角函数解析式的形式。
再比如，在解决数列的极限问题中，我们可以将数列的整体趋势与局部性质相结合，利用极限定义及其性质求出数列的极限值。
化归为特殊问题指的是将问题简化为特殊情况，以便于求解。
例如，在解决二次方程的问题中，我们可以将二次方程化归为完全平方的形式，消去二次项，从而将问题简化为一次方程的形式。
再比如，在解决概率问题中，我们可以将问题化归为样本空间为有限集合的情况，从而利用计数原理求解概率问题。
综上所述，化归思想是高中数学解题中非常重要的解题思路之一。
通过将问题化归为已知问题、整体问题或特殊问题，可以简化问题的难度，便于求解。
在实际解题过程中，我们可以根据不同的问题特点来选择合适的化归方法，并将化归思想与其他解题思路相结合，以便更好地解决问题。
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用
化归思想是高中数学解题中经常运用的一种方法。
它通过将复杂问题转化为简单问题来进行求解，从而简化问题的处理过程，提高问题的解决效率。
在高中数学中，化归思想主要应用在代数、几何和数列等知识点的解题过程中。
在代数方面，化归思想通常用于化简问题中的复杂式子。
在求解复杂的方程或不等式时，我们可以通过适当的变量代换或等式变形，将原来复杂的式子化简为简单的形式。
这样可以减少计算的复杂性，更容易找到问题的解。
化归思想还可以帮助我们发现问题中的规律和性质，从而更加深入地理解数学中的代数概念。
在几何方面，化归思想主要用于解决几何问题中的相似性和等价性。
在证明几何定理时，我们可以通过构造新的几何图形，将原问题转化为已知的几何定理或已有的几何性质来证明。
这样，可以将原来复杂的证明过程简化为已知的结论，提高证明的效率。
化归思想还可以帮助我们发现几何图形之间的关系，从而辅助我们解决几何问题。
浅谈转化与化归的数学思想方法在高考数学中的应用
解 ： Ｂ， 的坐 标 分 别 为 （ ， （ ， 则 ＝ ａ ３ ｂ 设 Ｄ ｘ Ｙ）ａ ｂ） （＋ ，一２） ， ２利用反证法 的思想来实现转化 一１ Ｘ， Ｙ 如 果 一 个 命 题 从 正 面 解 决 不 好 入 手 或 比较 麻 烦 ，可 以从 命 题 的 《 一 ３一 ） 反面 入 手 来 解 决 。 ： 明命 题 的 唯 一 性 、 理 性 ， 如 证 无 或所 给 的命 题 以否 在 平 行 四边 形 Ａ Ｃ 中 ， ＝ Ｂ Ｄ Ｃ Ｂ 定形 式出现（ ： 存在、 如 不 不相 交等 ）并 伴 有 “ 少 ” 不都 ”都 不 ” 没 ， 至 “ “ “ （＋ ｂ ａ ３， 一２） 一１ Ｘ， Ｙ ＝（ 一 ３一 ）
知
函数 ｙ ｆ ）ｘ Ｊ ２ Ｉ Ｒ上 的最小值 为 ２ 。 ＝（＝ ＋ｘ ｃ在 ｘ 一 ｃ 不等式 ｘ Ｊ ２１１ ＋ 一 ｃ 的解集为 Ｒ￣ ｃ １ ＞Ｉ。 ｘ ＞ ￣２ ＞ 甘ｃ
如 果 Ｐ正确 且 Ｑ 不 正确 ， Ｏ ｃ 则 ＜＜Ｉ
ｆ
‘ ． ．
３ ， ３２， Ｄ在椭圆 ） 一 ，） （ 点
题 ， 能 建 立 描述 其 数 量特 征 的 函数 表 达 式 ， 如 或列 出表 示 其 数 量 关 系 的 方程 式 （ ）包 括 不 等式 （ ）， 一 般 可 使 问题 得 到解 答 。 组 （ 组 ）则 例 ４ 已知 平 行 四边 形 ＡＢ Ｄ 中 ，点 Ａ， 的 坐 标 分 别 为 （ １ 、 Ｃ Ｃ 一 ，
Ｑ： 不等式 ｘ Ｊ ２ ｊ ＋ｘ ｃ 一 ＞１的解集 为 Ｒ
铮 函数 ｙ ｆ ）ｘ ｌ ２ｌ Ｒ上恒大于 １ ＝（ ＝ ＋ 一 ｃ在 ｘ ｘ 。
…
‘ ． ．
４利用 函数与方程的思想来实现转 化 函数 与 方程 的思 想 是 求 数 量 关 系 的 主要 思想 方法 。 一 个 数 学 问
关于转化与化归数学思想在数学教学中的实践
关于转化与化归数学思想在数学教学中的实践摘要：数学是一门集知识性、方法性、科学性和思想性于一体的基础性学科。
数学思想方法蕴含于知识的发生、发展和应用过程，是在研究和解决数学问题的过程中使用的手段、途径和方法。
随着科技、经济的迅速发展，数学在不同领域的应用日益广泛，数学教育成为世界各国关注的重点。
数学思想方法是数学学科的精髓，是分析与解决问题的理论基础，而转化与化归思想是数学中最重要的思想之一。
数学解题过程中处处渗透着转化与化归思想，学生解题能力的高低很大程度上也取决于其转化与化归能力的强弱。
本文以高中数学为例，就此展开论述。
关键词：高中数学；转化与划归思想；应用简单来说，转化与化归思想就是通过观察、分析、类比、联想等思维过程把数学中需要解决的问题，遵循熟悉化、简单化、直观化等原则，选择合适的方法进行转化，然后归结到某些已经解决或比较容易解决的问题的一种思想方法。
高中数学解题过程中，学生如果能灵活应用转化与化归思想，将可以大大提高其的解题能力和解题效率。
对于特定类型的题目来说，使用转化与化归思想将问题进行合理地转化，化归为已解决或者会解决的问题，能够降低题目难度，加快解题速度，提高解题效率。
一、高中数学转化与化归思想培养的基本原则首先,把隐性化换为显性。
转换与化归理论和实际数学知识问题的联系是十分密切的，高中数学老师在实际的课堂教学活动中，应贯彻隐性化为显性的教育原理，指导学生进一步发现实际数学知识现象中所隐藏的转换和化归方法，并使之显性化和具体化。
其次，系统的教育方法，转换和化归方法都是一个有机的教育系统，只有将两者紧密的结合，才能够帮助学生将数学知识进行高效的整理，并利用所学思想解决数学问题。
第三是学生参与性原则，高中阶段学生自身自主学习能力明显增强，教师在引导学生转化与化归思想形成的过程中，要明确学生的主体地位，通过鼓励和引导学生主动地探究数学知识中的转化与化归思想，引导学生自身思想认知的升级优化。
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高中数学化归与转化的思想在解题中的应用
一、知识整合
1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。
从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。
3．转化有等价转化和非等价转化。
等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。
4．化归与转化应遵循的基本原则：
（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决。
（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据。
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律。
（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。
（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、例题分析
例1．某厂2010年生产利润逐月增加，且每月增加的利润相同，但由于厂方正在改造建设，元月份投入资金建设恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建设资金又恰好与12月的生产利润相同，问全年总利润m与全年总投入N的大小关系是（）
A. m>N
B. m<N
C.m=N
D.无法确定[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n}，且公差d＞0，每月的投资额组成一个等比数列{b n}，且公比q
＞1。
11a b =，且1212a b =，比较12S 与12T 的大小。
若直接求和，很难比较出其大小，但
注意到等差数列的通项公式a n =a 1+（n-1）d 是关于n 的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。
等比数列的通项公式b n =a 1q n-1是关于n 的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。
在同一坐标系中画出图象，直观地可以看出a i ≥b i 则12S ＞12T ，即m ＞N 。
[点评]
把一个原本是求和的问题，退化到各项的逐一比较大小，而一次函数、指数函数的图象又是每个学生所熟悉的。
在对问题的化归过程中进一步挖掘了问题的内涵，通过对问题的反思、再加工后，使问题直观、形象，使解答更清新。
例2．如果，三棱锥P —ABC 中，已知PA ⊥BC ，PA=BC=l ，PA ，BC 的公垂线ED=h ．求
证三棱锥P —ABC 的体积216
V l h =． 分析：如视P 为顶点，△ABC 为底面，则无论是S △ABC 以及高h 都不好求．如果观
察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．
解：如图，连结EB ，EC ，由PA ⊥BC ，PA ⊥ED ，ED ∩BC=E ，可得PA ⊥面ECD ．这样，截面ECD 将原三棱锥切割成两个分别以ECD 为底面，以PE 、AE 为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l ，所以
V P －ABC =V P －ECD +V A －ECD =13S △ECD •AE+13S △ECD •PE=13S △ECD •PA=13•12BC ·ED ·PA=216
V l h =． 评注：辅助截面ECD 的添设使问题转化为已知问题迎刃而解．
例3．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为( )． (A)160 (B)240 (C)360 (D)800
分析与解：本题要求25(32)x x ++展开式中x 的系数，而我们只学习过多项式乘法法则及二项展开式定理，因此，就要把对x 系数的计算用上述两种思路进行转化：
思路1：直接运用多项式乘法法则和两个基本原理求解，则25(32)x x ++展开式是一个关于x 的10次多项式，25(32)x x ++ =(x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2) (x 2+3x+2)，它的展开式中的一次项只能从5个括号中的一个中选取一次项3x 并在其
余四个括号中均选 择常数项2相乘得到，故为15C ·(3x)·44C ·24=5×3×16x=240x ，
所以应选(B)．
思路 2 利用二项式定理把三项式乘幂转化为二项式定理再进行计算，∵x 2+3x+2=x 2+ (3x+2)=(x 2+2)+3x=(x 2+3x)+2=(x+1)(x+2)=(1+x)(2+x)，∴这条思路下又有四种不同的化归与转化方法．①如利用x 2+3x+2=x 2+(3x+2)转化，可以发现只有55C (3x+2)5中会有x 项，即45C (3x)·24=240x ，故选(B)；②如利用x 2+3x+2= (x 2
+2)+3x 进行转化，则只15C (x 2+2) 4·3x 中含有x 一次项，即15C ·3x ·C 44·24=240x ；③如利
用x2+3x+2=(x2+3x)+2进行转化，就只有45C ·(x 2+3x)·24中会有x 项，即240x ；④
如选择x 2+3x+2=(1+x)(2+x)进行转化，25(32)x x ++=5(1)x +×5(2)x +展开式中的一次项x 只能由(1+x)5中的一次项乘以(2+x)5展开式中的常数项加上(2+x)5展开式中的一
次项乘以(1+x)5展开式中的常数项后得到，即为15C x ·55C 25+15C •24•x •05C •
15=160x+80x=240x ，故选(B)．
评注：化归与转化的意识帮我们把未知转化为已知。
例4．若不等式243x px x p +>+-对一切04p ≤≤均成立，试求实数x 的取值范围。
解： 243x px x p +>+- ∴2(1)430x p x x -+-+>
令()g p =2(1)43x p x x -+-+，则要使它对04p ≤≤均有()0g p >，只要有
(0)0(4)0g g >⎧⎨>⎩
3x ∴>或1x <-。
点评：在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。
但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问
题迎刃而解。
本题中，若视x为主元来处理，既繁且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。
三、总结提炼
1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。
“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。
2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。