green函数

附注
1. 若u ∈ C 2 (Ω) ∩ C1 (Ω)是Piosson方程 -∆u = f ( x) 的解，则有
∂u ( x) ∂Γ( x; ξ ) u (ξ ) = ∫ Γ( x; ξ ) f ( x)dx + ∫ Γ( x; ξ ) − u ( x) dS x ∂n ∂n Ω ∂Ω
1 G ( x; ξ ) = ln 2π x − ξ ⋅ x − ξ1*
x − ξ1 ⋅ x − ξ *
第四节 特殊区域上边值问题的解
圆内Dirichlet问题
−∆u = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ Ba u ( x , y )∈∂Ba = ϕ ( x, y )
∂G ( x, y; ξ ,η ) u (ξ ,η ) = ∫∫ G ( x, y; ξ ,η ) f ( x, y )dxdy − ∫ ϕ ( x, y ) dS x , y ∂n Ba ∂Ba
+∞
+
1 (x − ξ ) + ( y +η ) G ( x , y ; ξ ,η ) = ln 4π ( x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2
2
2
于是在 y=0上，有
∂G ∂n ∂G =− ∂y
y =0
y =0
η =− π ( x − ξ )2 + η 2
1
1 u (ξ ,η ) = 4π +
1 1 a 1 G ( x; ξ ) = − 4π x − ξ 4π ξ x − ξ *
上半平面上的Green函数
2 −∆g = 0, ( x, y ) ∈ R+ 1 1 g y =0 = 2π ln x − ξ y =0
1 G ( x; ξ ) = ln 2π x −ξ
1 1 Γ( x; ξ ) = 4π x − ξ
Green公式
设∂Ω分段光滑，u, v ∈ C 2 (Ω) ∩ C1 (Ω)，则有 ∂u ∂v ∫ ( u∆v − v∆u ) dx = ∂Ω u ∂n − v ∂n dS ∫ Ω
附注 若u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω)是Neumann问题的解，则有
1 1 1 a G ( x; ξ ) = ln − ln 2 2 2π 2π ξ 2 + η 2 ( x − ξ * )2 + ( y − η * )2 ( x − ξ ) + ( y −η )
ρ = ξ 2 +η 2 , ρ * = ξ *2 + η *2 ,
r = x2 + y 2
ρ 2 r 2 + a 4 − 2 ρ ra 2 cos γ 1 G ( x , y ; ξ ,η ) = ln 2π a ρ 2 + r 2 − 2 ρ r cos γ
x∈∂Ω
上半空间上的Green函数
3 −∆g = 0, ( x, y, z ) ∈ R+ 1 g z =0 = 4π x − ξ z =0
1 1 1 1 G ( x; ξ ) = − 4π x − ξ 4π x − ξ *
球上的Green函数
−∆g = 0, x ∈ Ba 1 g = ∂Ba 4π x − ξ x∈∂Ba
−∆u = f ( x), x ∈ Ω u ∂Ω = ϕ ( x)
u (ξ ) = ∫ Γ( x; ξ ) f ( x)dx
Ω
∂u ( x) ∂Γ( x; ξ ) + ∫ Γ( x; ξ ) − ϕ ( x) dS x ∂n ∂n ∂Ω
−∆g = 0, x ∈ Ω 考虑一个函数 g(x;)： g ∂Ω = Γ( x, ξ ) ∂Ω
x −ξ*
四分之一平面上的Green函数
−∆g = 0, x > 0, y > 0 1 1 1 1 g = ln , g x =0 = ln y =0 2π x − ξ y =0 2π x −ξ
x =0
x − ξ1 ⋅ x − ξ 2 1 G ( x; ξ ) = ln 2π x − ξ ⋅ x − ξ3
相减，得
u (ξ ) = ∫ [ Γ( x; ξ ) − g ( x; ξ ) ] f ( x)dx +
Ω
∂Ω
∫ [Γ( x; ξ ) − g ( x; ξ )]ψ ( x)dS
x
Green函数
引入函数
G ( x; ξ ) = Γ( x; ξ ) − g ( x; ξ )
其中 −∆g = 0, x ∈ Ω
第十二章 Green函数方法
第一节 基本解和Green公式 第二节 边值问题的解的积分表示 和Green函数 第三节 Green函数的求解 第四节 特殊区域上边值问题的解
第一节 基本解和积分表示定理
基本解 满足方程 当n=2时 当n=3时
−∆Γ = δ ( x − ξ ), x, ξ ∈ R
n
1 1 Γ( x; ξ ) = ln 2π x −ξ
相减，得
∂ [ Γ( x; ξ ) − g ( x; ξ ) ] u (ξ ) = ∫ [ Γ( x; ξ ) − g ( x; ξ ) ] f ( x)dx − ∫ ϕ ( x) dS x ∂n Ω ∂Ω x; ξ ) = Γ( x; ξ ) − g ( x; ξ )
u (ξ ) = ∫ Γ( x; ξ ) f ( x)dx
Ω
∂Γ( x; ξ ) + ∫ Γ( x; ξ )ψ ( x) − u ( x) dS x ∂n ∂Ω
−∆g = 0, x ∈ Ω ∂ 考虑一个函数 g(x;)： ∂g ∂n = ∂n Γ( x, ξ ) ∂Ω ∂Ω
对函数 g(x;) 和 u(x) 利用Green公 式 ∂g ( x; ξ ) 0 = ∫ g ( x; ξ ) f ( x)dx + ∫ g ( x; ξ )ψ ( x) − u ( x) dS x ∂n Ω ∂Ω
∂Γ( x; ξ ) u (ξ ) = ∫ Γ( x; ξ ) f ( x)dx + ∫ Γ( x; ξ )ψ ( x) − u ( x) dS x ∂n Ω ∂Ω
Green函数方法几点注记
Green函数只与区域有关，而与边值无关 对某些特殊的区域，Green函数可用初等的 Green 方法求得 利用定解问题的积分表达式可用进一步研究 位势方程的解的性质 对于一般区域， Green函数的确定与求解原 来的定解问题一样困难
第三节 Green函数的求解
镜像法—Dirichlet问题 当n=3时
于是在 Ba上，有
∂G ∂n ∂G = ∂r a 2 − (ξ 2 + η 2 ) =− 2π a ( x − ξ ) 2 + ( y − η ) 2 1
∂Ba
r =a
( x , y )∈∂Ba
直角坐标下的解的形式
1 u (ξ ,η ) = 2π
∫∫ ln
Ba
ξ 2 + η 2 ( x − ξ * )2 + ( y − η * )2
Ω
∫ f ( x)dx + ∫ ϕ ( x)dS = 0
∂Ω
积分表示定理
设∂Ω分段光滑，u ∈ C (Ω) ∩ C (Ω)，则有
2 1
u (ξ ) = − ∫ Γ( x; ξ )∆u ( x)dx
Ω
∂u ( x) ∂Γ( x; ξ ) + ∫ Γ( x; ξ ) − u ( x) dS x ∂n ∂n ∂Ω
∂ ∂g ∂n = ∂n Γ( x, ξ ) ∂Ω ∂Ω
Neumann问题 的解的积分表 达式
u (ξ ) = ∫ G ( x; ξ ) f ( x)dx +
Ω
∂Ω
∫ G( x; ξ )ψ ( x)dS
x
利用Green函数方法求解的步骤：
求解相应问题在 上的Green函数 带入到积分表达式即得相应问题的形式解
2 1 2. 若u ∈ C (Ω) ∩ C (Ω)是Laplace方程 -∆u = 0 的解，则有
∂u ( x) ∂Γ( x; ξ ) u (ξ ) = ∫ Γ( x; ξ ) − u ( x) dS x ∂n ∂n ∂Ω
第二节 边值问题的解的积分表 示和Green函数
Dirichlet问题的求解
a ( x − ξ )2 + ( y − η )2
f ( x, y )dxdy
ϕ ( x, y ) a 2 − (ξ 2 + η 2 ) + ∫ ( x − ξ )2 + ( y −η )2 dS x, y 2π a ∂Ba
极坐标下的解的形式
1 u ( ρ ,θ ) = 4π
∫
a
0
dr ∫
2π
0
ρ 2 r 2 + a 4 − 2 ρ ra 2 cos(θ − α ) ln 2 2 2 f (r , α )rdα a ρ + r − 2 ρ r cos(θ − α )
其中
−∆g = 0, x ∈ Ω g ∂Ω = Γ( x, ξ ) ∂Ω
Dirichlet问题 的解的积分 表达式
∂G ( x; ξ ) u (ξ ) = ∫ G ( x; ξ ) f ( x)dx − ∫ ϕ ( x) dS x ∂n Ω ∂Ω
Neumann问题的求解
−∆u = f ( x), x ∈ Ω ∂u ∂n = ψ ( x) ∂Ω
对函数 g(x;) 和 u(x) 利用Green公 式 ∂u ( x) ∂g ( x; ξ ) 0 = ∫ g ( x; ξ ) f ( x)dx + ∫ g ( x; ξ ) − ϕ ( x) dS x ∂n ∂n Ω ∂Ω