数值计算方法教案数值积分(20200511215237)
数值计算方法-第7章+数值微分与数值积分-part-1
已知 在[a,b]中连续,
由积分第一中值定理:
其中,
在[a,b]中不变号,
共四十页
证毕 #
➢ 定理(dìnglǐ)7.3
若
第7章 数值(shùzí)微分与数值
(shùzí)积分
, 则Simpson公式的误差为:
其中,
【证明】Simpson公式是2阶N-C公式, 由定理7.1, 它具有2n+1 (这里n=1) 阶
1.151 3.1613527
1.1499 3.1578771
0.0001 1.1500 3.1581929
3.158
3.158 1.9290E-04 1.9290E-04
1.1501 3.1585087
1.149999 3.1581897
1.00E-06 1.150000 3.1581929
3.2
1.14 3.1267684
0.01
1.15 3.1581929 3.17404 3.158245 1.5847E-02 5.2100E-05
1.16 3.1899333
1.149 3.1550363
0.001 1.150 3.1581929
3.1598
3.1582 1.6071E-03 7.1000E-06
代数精度. 即对任意3次多项式, Simpson公式精确成立. 构造f(x)的三次(sān cì)插值多项式 H3(x), 满足:
由第五章中Hermite 插值的余项 (对应n=2, m=0):
共四十页
➢ 定理(dìnglǐ)7.3 证明 (续) 对上式积分(jīfēn),
Simpson积分误差: 在[a,b]上连续 作变量代换, 由积分第一中值定理:
数值计算方法教案数值积分(有添加哦
数值积分教案教案内容：一、教学目标1. 使学生理解数值积分的概念和意义。
2. 培养学生掌握数值积分的基本方法和技巧。
3. 训练学生运用数值积分解决实际问题。
二、教学内容1. 数值积分的概念和意义。
2. 牛顿-莱布尼茨公式及其应用。
3. 数值积分的方法：梯形法、辛普森法、柯特斯法等。
4. 数值积分的误差分析。
5. 数值积分在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：数值积分的基本方法及其应用。
2. 教学难点：数值积分的误差分析及改进方法。
四、教学方法与手段1. 采用讲授与讨论相结合的方式，让学生深入理解数值积分的原理和应用。
2. 使用多媒体课件，直观展示数值积分的计算过程和应用实例。
3. 布置课后习题，巩固所学知识。
五、教学安排1. 第1-2课时：介绍数值积分的概念和意义，讲解牛顿-莱布尼茨公式。
2. 第3-4课时：讲解数值积分的基本方法（梯形法、辛普森法、柯特斯法等）。
3. 第5-6课时：介绍数值积分的误差分析，讨论改进方法。
4. 第7-8课时：举例讲解数值积分在实际问题中的应用。
5. 第9-10课时：布置课后习题，进行知识巩固。
六、教学活动1. 课堂讲解：通过讲解数值积分的概念和意义，让学生理解数值积分的基本原理。
2. 案例分析：通过分析实际问题，让学生学会将数值积分应用于解决实际问题。
3. 小组讨论：分组让学生讨论数值积分的误差分析和改进方法，促进学生思考和交流。
七、教学评价1. 课后习题：布置相关的课后习题，检验学生对数值积分的理解和掌握程度。
2. 小组项目：让学生分组完成一个数值积分相关的项目，培养学生的实际应用能力。
3. 课堂表现：评价学生在课堂上的参与程度和表现，包括提问、讨论等。
八、教学资源1. 教材：选用合适的数值积分教材，为学生提供系统的学习资料。
2. 多媒体课件：制作精美的多媒体课件，直观展示数值积分的计算过程和应用实例。
3. 网络资源：提供相关的网络资源，如学术论文、教学视频等，供学生自主学习和深入研究。
数值计算方法教案
数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与特点引言：介绍数值计算的定义和基本概念数值计算的特点：离散化、近似解、误差分析1.2 数值计算方法分类直接方法：高斯消元法、LU分解法等迭代方法：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代等1.3 数值计算的应用领域科学计算：物理、化学、生物学等领域工程计算：结构分析、流体力学、电路模拟等第二章：误差与稳定性分析2.1 误差的概念与来源绝对误差、相对误差和有效数字误差来源：舍入误差、截断误差等2.2 数值方法的稳定性分析线性稳定性分析：特征值分析、李雅普诺夫方法非线性稳定性分析：李模型、指数稳定性分析2.3 提高数值计算精度的方法改进算法：雅可比法、共轭梯度法等增加计算精度：闰塞法、理查森外推法等第三章：线性方程组的数值解法3.1 高斯消元法算法原理与步骤高斯消元法的优缺点3.2 LU分解法LU分解的步骤与实现LU分解法的应用与优势3.3 迭代法雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法迭代法的选择与收敛性分析第四章：非线性方程和方程组的数值解法4.1 非线性方程的迭代解法牛顿法、弦截法等收敛性条件与改进方法4.2 非线性方程组的数值解法高斯-赛德尔法、共轭梯度法等方程组解的存在性与唯一性4.3 非线性最小二乘问题的数值解法最小二乘法的原理与方法非线性最小二乘问题的算法实现第五章：插值与逼近方法5.1 插值方法拉格朗日插值、牛顿插值等插值公式的构造与性质5.2 逼近方法最佳逼近问题的定义与方法最小二乘逼近、正交逼近等5.3 数值微积分数值求导与数值积分的方法数值微积分的应用与误差分析第六章：常微分方程的数值解法6.1 初值问题的数值解法欧拉法、改进的欧拉法龙格-库塔法（包括单步和多步法）6.2 边界值问题的数值解法有限差分法、有限元法谱方法与辛普森法6.3 常微分方程组与延迟微分方程的数值解法解耦与耦合方程组的处理方法延迟微分方程的特殊考虑第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程的弱形式介绍偏微分方程的弱形式应用实例：拉普拉斯方程、波动方程等7.2 有限差分法显式和隐式差分格式稳定性分析与收敛性7.3 有限元法离散化过程与元素形状函数数值求解与误差估计第八章：优化问题的数值方法8.1 优化问题概述引言与基本概念常见优化问题类型8.2 梯度法与共轭梯度法梯度法的基本原理共轭梯度法的实现与特点8.3 序列二次规划法与内点法序列二次规划法的步骤内点法的原理与应用第九章：数值模拟与随机数值方法9.1 蒙特卡洛方法随机数与重要性采样应用实例：黑箱模型、金融衍生品定价等9.2 有限元模拟离散化与求解过程应用实例：结构分析、热传导问题等9.3 分子动力学模拟基本原理与算法应用实例：材料科学、生物物理学等第十章：数值计算软件与应用10.1 常用数值计算软件介绍MATLAB、Python、Mathematica等软件功能与使用方法10.2 数值计算在实际应用中的案例分析工程设计中的数值分析科学研究中的数值模拟10.3 数值计算的展望与挑战高性能计算的发展趋势复杂问题与多尺度模拟的挑战重点解析本教案涵盖了数值计算方法的基本概念、误差分析、线性方程组和非线性方程组的数值解法、插值与逼近方法、常微分方程和偏微分方程的数值解法、优化问题的数值方法、数值模拟与随机数值方法以及数值计算软件与应用等多个方面。
计算方法-数值积分市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
-辛1 普森求积公式旳几何意义是用一条过三点旳抛物线(如上 图中三点)近似替代被积函数旳曲线,从而用一种二次抛物线 -1所.5 围成旳轻易计算旳曲边梯形面积(图中阴影部分)来近似替 代原来旳曲边梯形旳面积.
-2
-2.5
辛普森积分法
❖ 经过对n个区间按上述公式累加，可得区间[x0,x1]上 旳积分形式为
算法特色
❖ 成果输出清楚，且精度高，能保存到小数点后13位(中值法)
算法特色
将各措施旳误差一次性输出，能直观旳看出各积分措施旳误差大 小并进行比较
总结
经过本章旳学习，我们更深刻旳了解了数值积分 旳原理及实现措施，而且在小组讨论中，学习到了怎 样实当代码旳简洁、降低变量旳定义以及怎样实当代 码时间与空间旳优化等，大家都有所收益
❖ 对大多数f(x)而言，找原函 数困难，虽然存在原函数也 不能用初等函数表达
ex2 , sin x , 1 x3 ...... x
❖ 原函数体现式过于复杂
x2 2x2 3 3
❖ 被积函数由表格给出，没有 解析形式，也无法使用 Newton-Leibniz公式来求 积分
数值积分
❖ 为了防止上述积分过程中存在旳问题，我们能够采用 数值积分旳措施来求解，这么就防止了原函数旳求解 过程，同步对于由测量或计算得到旳数据表表达旳 f(x)也能够求解
进行泰勒展开，可得区间
[x0,x0+2x ]上旳积分形式如下所
2
示: 2.5
3
3.5
x0-12x
x0-1.5
f
(x)dx
x 3
(
f
(x0)
4f
(x0
x)
f
(x0
2x))
O(x5)
数值计算方法第三版教学设计
数值计算方法第三版教学设计前言数值计算方法是基础课程中的一门重要课程，对于理工科学生来说具有十分重要的意义。
本篇文档将对数值计算方法第三版的教学设计进行详细阐述，旨在帮助教师更好地开展教学工作。
教学目标本课程的教学目标包括以下几点：1.了解数值计算的基本原理及其应用领域；2.掌握数值计算方法的基本概念和原理；3.能够运用数值计算方法解决实际问题；4.培养学生分析问题、解决问题的能力。
教学内容本课程的主要内容包括以下几个方面：1.数值计算的基本概念和方法；2.插值与逼近；3.数值微积分；4.常微分方程的数值解法；5.偏微分方程的数值解法；6.随机数与随机过程。
注：本课程的教学重点将放在数值微积分和常微分方程的数值解法上。
教学方法本课程将采取以下教学方法：1.课堂讲授：教师通过讲授来呈现课程内容；2.上机实验：学生通过实验来巩固所学知识；3.课堂互动：通过课堂讨论、练习等互动方式，激发学生的学习兴趣；4.课程设计：设计小型项目，让学生运用所学知识来解决实际问题。
教学评价本课程的教学评价将采用以下方式：1.写作业：学生需要完成每个章节的作业；2.上机实验报告：学生需要针对每个实验编写实验报告；3.期末考试：期末考试将占总成绩的70%；4.课程设计：课程设计将占总成绩的30%。
教学进度本课程教学进度如下：章节教学内容教学进度1 数值计算基本概念和方法2周2 插值与逼近2周3 数值微积分3周4 常微分方程的数值解法4周5 偏微分方程的数值解法2周6 随机数与随机过程2周实验上机实验6周章节教学内容教学进度课程设计设计小型项目4周总结本篇文档详细介绍了数值计算方法第三版的教学设计，其中包括教学目标、教学内容、教学方法、教学评价以及教学进度等方面。
相信有了本文档的指导，教师们将能够更好地开展授课工作，使学生们能够真正掌握数值计算方法这门重要课程。
数值计算方法教案
数值计算方法教案第一章：数值计算概述1.1 数值计算的定义与意义介绍数值计算的概念解释数值计算在科学研究与工程应用中的重要性1.2 数值计算方法分类介绍数值逼近、数值积分、数值微分、数值解方程等基本方法分析各种方法的适用范围和特点1.3 误差与稳定性解释误差的概念及来源讨论数值计算中误差的控制与减小方法介绍稳定性的概念及判断方法第二章：插值与逼近2.1 插值法的基本概念介绍插值的概念及意义解释插值函数的性质和条件2.2 常用的插值方法介绍线性插值、二次插值、三次插值等方法分析各种插值方法的优缺点及适用范围2.3 逼近方法介绍切比雪夫逼近、傅里叶逼近等方法解释逼近的基本原理及应用场景第三章：数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本概念介绍数值积分的概念及意义解释数值积分的原理和方法3.2 常用的数值积分方法介绍梯形公式、辛普森公式、柯特斯公式等方法分析各种数值积分方法的适用范围和精度3.3 数值微分的基本概念与方法介绍数值微分的概念及意义解释数值微分的原理和方法第四章：线性方程组的数值解法4.1 线性方程组数值解法的基本概念介绍线性方程组数值解法的概念及意义解释线性方程组数值解法的原理和方法4.2 常用的线性方程组数值解法介绍高斯消元法、LU分解法、迭代法等方法分析各种线性方程组数值解法的优缺点及适用范围4.3 稀疏矩阵技术解释稀疏矩阵的概念及意义介绍稀疏矩阵的存储和运算方法第五章：非线性方程和方程组的数值解法5.1 非线性方程数值解法的基本概念介绍非线性方程数值解法的概念及意义解释非线性方程数值解法的原理和方法5.2 常用的非线性方程数值解法介绍迭代法、牛顿法、弦截法等方法分析各种非线性方程数值解法的优缺点及适用范围5.3 非线性方程组数值解法介绍消元法、迭代法等方法讨论非线性方程组数值解法的特点和挑战第六章：常微分方程的数值解法6.1 常微分方程数值解法的基本概念介绍常微分方程数值解法的概念及意义解释常微分方程数值解法的原理和方法6.2 初值问题的数值解法介绍欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等方法分析各种初值问题数值解法的适用范围和精度6.3 边界值问题的数值解法介绍有限差分法、有限元法、谱方法等方法讨论边界值问题数值解法的特点和挑战第七章：偏微分方程的数值解法7.1 偏微分方程数值解法的基本概念介绍偏微分方程数值解法的概念及意义解释偏微分方程数值解法的原理和方法7.2 偏微分方程的有限差分法介绍显式差分法、隐式差分法、交错差分法等方法分析各种有限差分法的适用范围和精度7.3 偏微分方程的有限元法介绍有限元法的原理和步骤讨论有限元法的适用范围和优势第八章：数值模拟与计算可视化8.1 数值模拟的基本概念介绍数值模拟的概念及意义解释数值模拟的原理和方法8.2 计算可视化技术介绍计算可视化的概念及意义解释计算可视化的原理和方法8.3 数值模拟与计算可视化的应用讨论数值模拟与计算可视化在科学研究与工程应用中的重要作用第九章：数值计算软件与应用9.1 数值计算软件的基本概念介绍数值计算软件的概念及意义解释数值计算软件的原理和方法9.2 常用的数值计算软件介绍MATLAB、Mathematica、Python等软件的特点和应用领域9.3 数值计算软件的应用案例分析数值计算软件在科学研究与工程应用中的典型应用案例第十章：数值计算方法的改进与新发展10.1 数值计算方法的改进讨论现有数值计算方法的局限性介绍改进数值计算方法的研究现状和发展趋势10.2 新的数值计算方法介绍近年来发展起来的新型数值计算方法分析新型数值计算方法的优势和应用前景10.3 数值计算方法的未来发展探讨数值计算方法在未来可能的发展方向和挑战重点和难点解析一、数值计算概述难点解析：对数值计算概念的理解，误差来源及控制方法的掌握。
数值计算方法教案数值积分
第四章 数值积分一．问题提出： （1）针对定积分()baI f x dx =⎰，若()5f x x =,a=0,b=1，即有161500166x I x dx ===⎰，但当()sin xf x x=，()2sin f x x =，……，时，很难找到其原函数。
（2）被积函数并没有具体的解析形式，即()f x 仅为一数表。
二．定积分的几何意义定积分()ba I f x dx =⎰的几何意义为，在平面坐标系中I 的值即为四条曲线所围图形的面积，这四条曲线分别是()y f x =，y=0，x=a ，x=b 。
xy三．机械求积公式 1.中矩形公式()()2ba ab I f x dx b a f +⎛⎫=≈- ⎪⎝⎭⎰； 几何意义：用以下矩形面积替代曲边梯形面积。
xy22.梯形公式()()()2ba b aI f x dx f a f b -=≈+⎡⎤⎣⎦⎰ 梯形公式的几何意义：用以下梯形面积替代曲边梯形的面积：xy3.辛普生公式()()()462bab a a b I f x dx f a f f b -⎡+⎤⎛⎫=≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰ 辛普生公式的几何意义：阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由()(),(),,,,()22a ba b a f a f b f b ⎛++⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭三点构成。
xya+b 24.求积公式的一般形式()()0nbkkak f x dx A f x =≈∑⎰，其中k x 称为节点，kA 称为求积系数，或权。
5.求积公式的代数精度（衡量求积公式准确度的一种方法）含义：衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的多项式函数是一个理想的标准。
定义：若某积分公式对于()0,1,,k x k m =均能准确成立，但对于1m x +不能准确成立。
则称该公式具有m 次代数精度。
解释：代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。
例1．研究中矩形公式()()2b a a b f x dx b a f +⎛⎫≈- ⎪⎝⎭⎰的代数精度及几何意义。
数值计算方法第07章数值微分与数值积分
§1 数值微分 §2 Newton－Cotes求积公式 §3 复化求积公式 §4 Romberg求积公式 §5 Gauss型求积公式
1
微积分在数学分析课程中已作了详细论述，但 是在实际问题中所遇到的函数关系往往只知道一组 离散数据，而解析表达式是未知的。对于定积分而 言，有的函数其原函数不能用初等函数表示，而在 科学技术和生产实践中又需要求出函数的微积分， 这就产生了利用离散数据求函数的数值积分及数值 微分的思想方法。 本章主要介绍数据微积分的基本思想方法及常 用的数值微分与数值积分公式。
x 2 2x 2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
1 2 3 9 2 2 x 2x 3 x 2x 3 ln( 2 x 2 x 2 3 ) 4 16 16 2
18
3. f x没有解析表达式，只有数表形式 :
x
f x
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
呵呵…这就需要积 原来通过原函数来 分的数值方法来帮 计算积分有它的局 忙啦。 限性。那 …… 怎么办呢？
i 0
n
29
或写成:
b n
求积节点
a
f ( x)dx A k f ( x k )
k 0数值积分公式求积系数30记
称为数值 求积公式
I n ( f ) Ak f ( xk )
k 0
n
（1）
R( f ) I ( f ) I n ( f ) f ( x)dx Ak f ( xk ), （2） a
28
一般地 ，取区间 a, b内 n 1 个点 xi , i 0,1,2,..., n 处的高度
数值计算方法教案数值积分(有添加哦
数值积分教案教学目标：1. 理解数值积分的概念和意义；2. 掌握数值积分的基本方法和原理；3. 能够运用数值积分解决实际问题。
教学内容：1. 数值积分的概念和意义；2. 数值积分的基本方法：梯形法、辛普森法、高斯法等；3. 数值积分的原理：数值积分近似解的误差估计；4. 数值积分的应用：解决实际问题，如物理、工程等领域中的积分计算。
教学方法：1. 讲授法：讲解数值积分的概念、方法和应用；2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用数值积分解决；3. 练习法：让学生通过练习题巩固所学知识。
教学准备：1. 教案、PPT、教学视频等教学资源；2. 计算器、电脑等教学工具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入数值积分的重要性，例如在物理、工程等领域中的应用；2. 引导学生思考如何利用数值方法近似计算积分值。
二、数值积分的概念和意义（10分钟）1. 讲解数值积分的定义；2. 解释数值积分的意义和作用；3. 举例说明数值积分在实际问题中的应用。
三、数值积分的基本方法（10分钟）1. 介绍梯形法、辛普森法和高斯法等基本方法；2. 讲解各种方法的原理和步骤；3. 通过实例演示数值积分的计算过程。
四、数值积分的原理（10分钟）1. 介绍数值积分近似解的误差估计；2. 解释误差估计的原理和意义；3. 引导学生思考如何选择合适的数值积分方法以减小误差。
五、数值积分的应用（10分钟）1. 分析实际问题，引导学生运用数值积分解决；2. 让学生通过练习题巩固所学知识；3. 引导学生思考数值积分在实际工程中的应用和限制。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对数值积分的概念和方法的理解；2. 练习题：评估学生对数值积分的应用能力；3. 课后作业：巩固学生对数值积分的掌握程度。
数值积分教案数值积分(有添加哦)六、梯形法的改进与应用（10分钟）1. 分析梯形法的局限性，如计算量大、精度低等问题；2. 介绍梯形法的改进方法，如自适应梯形法、辛普森法与梯形法的组合等；3. 通过实例讲解改进方法的原理和应用。
(完整版)数值计算方法教案
《计算方法》教案课程名称：计算方法适用专业：医学信息技术适用年级：二年级任课教师：***编写时间：2011年 8月新疆医科大学工程学院张利萍教案目录《计算方法》教学大纲 (4)一、课程的性质与任务 (4)二、课程的教学内容、基本要求及学时分配 (4)三、课程改革与特色 (5)四、推荐教材及参考书 (5)《计算方法》教学日历..................................... 错误!未定义书签。
第一章绪论 .. (6)第1讲绪论有效数字 (6)第2讲误差………………………………………………………………………………第二章线性方程组的直接法 (14)第3讲直接法、高斯消去法 (14)第4讲高斯列主元消去法 (22)第5讲平方根法、追赶法 (29)第三章插值法与最小二乘法 (31)第6讲机械求积、插值型求积公式 (32)第7讲牛顿柯特斯公式、复化求积公式 (37)第8讲高斯公式、数值微分 (42)第9讲第10讲第12讲第四章数值积分与数值微分 (48)第11讲欧拉公式、改进的欧拉公式 (48)第12讲龙格库塔方法、亚当姆斯方法 (52)第13讲收敛性与稳定性、方程组与高阶方程 (56)第14讲第15讲第五章微分常微分方程的差分方法 (59)第16讲迭代收敛性与迭代加速 (60)第17讲牛顿法、弦截法 (64)第18讲第19讲第20讲第六章线性方程组的迭代法 (67)第21讲迭代公式的建立 (68)第22讲第23讲第24讲向量范数、迭代收敛性 (71)第25讲《计算方法》教学大纲课程名称：计算方法/Computer Numerical Analysis B学时/学分：54/4先修课程：高等数学、线性代数、高级语言程序设计（如：Matlab语言）适用专业：计算机科学与技术、信息管理与信息系统开课学院（部）、系(教研室)：医学工程技术学院、医学信息技术专业一、课程的性质与任务计算方法是一门专业必修课。
数值积分-计算方法
数值积分第1章 理论依据逼近论——构造一个简单函数p(x)近似表示f(x),然后对 p(x)求积分得到 f(x)的积分的近似值。
基于插值原理，推导出数值积分的基本公式。
§1插值求积公式为了用数值方法求b aI(f)=f(x)dx⎰，对被积函数f(x)在给定的n+1个节点上作Lagrange 插值，用插值函数Pn(x)代替f(x)，就可用I （Pn(x)）构造求积公式，近似地计算定积分I(f(x))。
§2Newton —Cotes 公式§2.1Newton —Cotes 公式的推导当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton —Cotes 公式。
将区间[a,b]n 等分，b ah n -=，n+1个节点为x k =a+kh (k=0,1,…,n)在节点上对f(x)的Lagrange 插值多项式是：0()()()nn j n k k j k jj kx x p x f x x x ==≠-=-∑∏用P n (x)代替f(x)构造求积公式：0()()()nnbb jn n k aak j kjj kx x I p x dx f x dxxx ==≠-==-∑∏⎰⎰记，(k=0,1,…,n)作代换x=a+th 带入上式，变为：()00()n n n n k kj j kb a t j A dt b a C n k j=≠∆--==--∏⎰其中： (k=0,1,…,n) （1-1）这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n 就能计算出系数。
于是得到称为Newton —Cotes 公式的求积公式：()0()nn n k kk I b a C y ==-∑ （1-2）其中称为Newton —Cotes 系数。
如表1所示。
§2.2Newton —Cotes 公式误差和稳定性在积分公式中用插值多项式Pn(x)代替f(x)的插值误差是(1)0()()()()()(1)!n nn n k k f R x f x p x x x n ξ+==-=-+∏因此，Newton —Cotes 公式的截断误差是(1)0()()()(1)!n nbk ak f R f x x dx n ξ+==-+∏⎰（1-3）讨论舍入误差对计算结果产生的影响，设（1-2）式近似计算()b af x dx⎰其中计算函数值f(xn)有误差值（k=0,1,2, …,n ）。
数值积分法_高等教育-微积分
第7章 数值积分法7.1 实验目的了解求积公式及代数精度概念，理解并掌握求定积分的求积公式的算法构造和计算，学习用计算机求定积分的一些科学计算方法和简单的编程技术和能用程序实现这些算法。
7.2 概念与结论1. 求积公式计算定积分的如下形式的近似公式：称为求积公式。
2．代数精度 若求积公式对一切不高于m 次的 多项都准确成立，而对于m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式 的代数精度为m 。
代数精度越高，求积公式越好。
3.求积余项4.Newton-Cotes 求积公式的代数精度n 点Newton-Cotes 求积公式的代数精度至少可以达到n-1,且当n 为奇数时，可以达到n 。
⎰∑=≈bank k k x f A dx x f 1)()(⎰∑=≈bank k k x f A dx x f 1)()(⎰∑=-=bank k k x f A dx x f f R 1)()()(⎰=badxx f I )(5.Richardson 外推定理设函数F 1(h)逼近量F*的余项为：F*-F 1(h)=a 1h p1+a 2h p2+····+a k p k +···式中p k >p k-1>···>p 2>p 1>0, F*和a i (i=1,2, ···)都是与h 无关的常数,且k ≥1时，a k ≠0，则由：定义的函数F 2(h)也逼近F*，且有F*-F 2(h)= b 2h p2+····+b k p k +···6. 关于复合梯形公式的展开定理设f(x)在[a,b]区间上无穷次可微，则有如下展开式：T(h)=I+a 1h 2+a 2h 4+a 3h 6+…+a m h 2m +…式中T(h)是函数f(x)在[a,b]区间上的复化梯形值Tn,7.3 程序中Mathematica 语句解释 1. 随机函数Random[] 随机给出闭区间[0,1]内的一个实数 Random[Real, xmax] 随机给出闭区间[0,xmax]内的一个实数 Random[Real, {xmin, xmax}] 随机给出闭区间[xmin,xmax]内的一个实数 Random[Integer] 随机给出整数0或1Random[Integer, {xmin, xmax}] 随机给出xmin 到xmax 之间的一个整数 Random[Complex] 随机给出单位正方形内的一个复数 2．{a1,a2,…,an}表示由元素a1,a2,…,an 组成的一个表，元素可以是任何内容。
第五章数值积分方法优秀课件
将其用于积分的近似计算，取ξ=b, 得
---积分右矩形公式
复合右矩形公式 如在区间[a,b]内插入节点xj=a+jh(j=0,1,···,n), h=(b-a)/n 得到复合右矩形求积公式：
利用拉格朗日中值定理 f(x)f(a)f'(x)x (a)(x[a,b])
T(f)baf(a)f(b)
2
Tn
n1
Ik
k 0
n1 k 0
h 2
f
(xk
)
f (xk1)
Tn(f)h 2f(a)2k n 1差减小→控制
复合梯形公式(节点加密)
x 1/2
x 3/2
x k 1/2
x n1/2
…
…
x0
x1
x2 xk
2
5.1 插值型求积公式
梯形公式误差
广义积分中值定理 若f在[a, b]上连续，g在[a, b]上可积，且g(x)在[a, b]
上不变号，存在x, x∈[a, b]，使
bf(x)g(x)dxf(x)
b
g(x)dx
利用这一定理
a
a
梯形与曲边梯形面积的对比：
正负决定
5.1 插值型求积公式 三点二次拉格朗日插值积分--辛卜生公式 y=f(x) L2(x)
xk+1 xn-1
xn
Tnkn10Ikkn10h2f(xk)f(xk1) Tn
n1 k 0
Ik
n1 k 0
h 2
f
(xk )
f
(xk1)
Tn(f)h 2f(a)2kn 1 1f(xk)f(b)
I k k f(x) L1(x)axbbf(xa)L b1x(x)aafx(b)bbf(a)h 4 bxaaf(b) h 4 f x fk x k fx k 1 2 /2 f x h 4 k 1 f/2 x k 1 /2 f f x k x 1 k 1
计算方法--数值积分省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
f
( x)
(x ( x1
x0 )( x x) x0 )( x1 x)
f
( x1 )
有
x1 f ( x)dx
x0
x1 x0
L2
(
x )dx
尤其地：当
x
1 2
(
x0
x1 )
,于是，
x1 x0
f
( x)dx
( x1
6
x0 )
f
(x0 ) 4
f
(
x0
2
x1 )
f
( x1)
Simpson公式
30
在Newton-Cotes公式中,n=1,2,4时旳公式是最常用也 最主要三个公式,称为低阶公式
取n 1, 有x0 a , x1 b , h b a
Cotes系数为
C ( 1 ) 01(t01)dt1 2
C ( 1 ) 1
1
tdt
0
1 2
求积公式为
31
1
I1( f ) (b a) Ck(1) f (xk )
按此余项公式，对于次数不超出 n 旳多项式 f (x) ，
余项 R[ f ] 等于零，求积公式至少具有 n 次代数精度。
23
§5.1.4 插值求积法 - 余项
n+1 个节点旳求积公式为插值型 该求积公式至少有 n 次代数精度.
反之, 若求积公式至少具有 n 次代数精度，则肯定 是插值型旳。因为求积公式对 n 次多项式是精确成立旳:
b
n
a lk (x)dx Ajlk (x j ) Ak
j0
Return 24
§5.2 Newton-Cotes公式
第1节 公式旳一般形式 第2节 低阶公式及其他项 第3节 复合求积公式
《数值分析》数值积分课案
(1)ni h n t (t 1) 0 i !(n i )!
记C
( n) i
n n (1)ni (t j )dt , (i 0,1,2, 0 0 n i !(n i)! jj i
, n)
(4.2.1)
称为牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）系数. 则 Hi=(b-a)Ci (n)
第四章
数值积分
数值积分是数值计算的重要部分，它是 求定积分的一种近似方法,具有实际意义.
§4.1数值积分的一般概念
数值求积公式
讨论如下形式的数值求积公式
I ( f ) f ( x)dx H i f ( xi )
b a i 0 n
(4.1.1)
称为机械求积公式. 其中Hi(i=0,1,2,…n)称为求积系数， xi(i=0,1,2,…n)称为求积节点.
由于P3(x)是三次多项式，故抛物线求积公式对它准确成 立，即
b P (x)d x b a [ P (a) 4 P ( a b ) P (b)] a 3 3 3 3 6 2 ba ab [ f (a) 4 f ( ) f (b)] 6 2
这样
1 b (4) ab 2 Es ( f ) f ( )( x a)( x ) ( x b)dx a 4! 2 ab 2 ) ( x b) 在[a,b]上 由于f(x)C4[a,b] ，且( x a)(x 2
梯形求积公式的余项 定理１ 若f(x)C2[a,b] ,则梯形求积公式有 余项估计
b a
ET ( f )
ba (b a )3 f ( x)dx [ f (a ) f (b)] f ( ) 2 12
计算方法数值积分教学PPT
ji
Rn ( f )
b a
f (n (n
1) ( )
1)!
n
1
(
x
)
dx
b f ( x)dx
a
n
f ( xi )ai(n) Rn ( f )
i0
}
推导具体计算公式
由
ai(n)
b a
jn x x j dx, j0 xi x j
ji
xi a ih, x j a jh, ba
5888/ 28350
-928/ 28350
10496/ 28350
-4540/ 28350
10496/ 28350
例如：n=2时，有
c(2) 0
1 6
,
c(2) 1
4 6
,
c(2) 2
1 6
n=3时，有
c(3) 0
1 8
,
c(3) 1
3 8
,
c(3) 2
3 8
,
c(3) 3
1 8
-928/ 28350
a
( i
n)
i!
(1)ni (n i)!
hn
n 0
n
(s
j0 ji
j) hn hds
(1)ni (b a)
i! (n i)!
n 0
n
(s
j0 ji
j ) ds
a(n) i
(b
a)
c(n) i
,
ci(n)
(1)ni i! (n i)!
n 0
n
(s
j0
j ) ds
ji
}
由
}
5.1.1 牛顿-柯特斯求积公式的构造
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计算方法课程中学习数值积分内容的心得和体会
计算方法又称 数值分析”。
是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法。
主要内容为函数逼
近论，数值微分，数值积分，误差分析等。
常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等。
现代的
计算方法还要求适应电子计算机的特点。
数值分析即 计算方法”下面来谈谈学习了计算方法中学习数值积 分内容的心得与体会。
首先了解一下数值积分的内容:
b
c
(1)针对定积分 I 二 f xdx ，若 f x =x 5
,a=0,b=1，即有 I 二
L a
*■ 0
f x
= Sin -x
, f x 二sinx 2
, ........ ，时，很难找到其原函数。
x
(2)被积函数并没有具体的解析形式，即 f x 仅为一数表。
b
定积分I f x dx 的几何意义为，在平面坐标系中I 的值即为四条曲线所围图形的面
a
积，这四条曲线分别是y = f x ，y=0, x=a ，x=b
b
二
a f x dx
： b -a f -
以及梯形公式I = [ f (x )dx 化七卫f (a )+ f (b )]
梯形公式的几何意义是，用以下梯形面积替代曲边梯形的面积:
1 6 1
5门
X x dx =— 6
1
J ，但当 0
6
其几何意义为用以下矩形面积替代曲边梯形面积
a b
2
再来是辛普森公式 l=J f (x )dx RZ
Wl? ] f (a )+4f |兰辿〕十f (b )
」a 6 「 I 2丿 J
辛普生公式的几何意义为，阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由 (a, f (a) > 1卑卫,f '卑卫j ,(b, f (b))三点构成。
I 2 I 2丿丿
b
n
从而到处其一般公式为 f x dx
A k f x k ，其中x k 称为节点，A 称为求积系数，或
a
k=0
权。
衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的 多项式函数是一个理想的标准。
若某积分公式对于x k (k=0,1,|H,m )均能准确成立，但对于x m41 不能准确成立。
则称该公式具有m 次代数精度。
代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。
f x dx “ b - a f 口的代数精度及几何意义
I 2丿
b b
【解】当f x =x 0=1时，公式左边
f x dx 1dx=b-a ，公式右边二b-a ，左=
a
a
右;
a a+
b b
2
***研究中矩形公式
故中矩形公式具有1次代数精度。
从定积分的几何意义可以看出，当被积函数为一条直线时，中矩形公式是严格成立的, 中矩形面积与梯形面积相等，如下图所示。
其次是研究几种计算方法: 首先是待定系数法。
例1.构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。
分析：构造一次代数精度的公式，即当 fx=1及fx=x 时，公式严格成立，故有 2 个约束条件，于是可以确定具有 2个参数的积分公式。
b
解：设积分公式为：.f x dx ：、A o f ai'A/ b a
当f X =X 1时，公式左边二& f X dX 二，
b
xdx 丄 2
b
, 2 2
b —a
2 公式右边二"甘
.2 2
b - - a
，左=右;
2
当 f （X ） = X 2 时，公式左边 =L f （X ）dx = J a X = dx 3
X
=
3
.3
3
b - a 3
公式右边二
2
，左=右;
针对f X i；= 1及f X j=X，代入积分公式的左边和右边，有:
b -a = A。
*A i 1 1
1 2 2 ，解得A o=— b-a ，A i=—b-a
-b -a i-A o a A—b 2 2
2
b
于是有积分公式： f x dx
a b —a f a 2
该公式即为梯形求积公式。
例2.构造一个至少具有2次代数精度的求积公式。
解：设积分公式为& f x dx ：
A 0 f a i 亠人f i
' A 2f b 。
针对f x =1，f x =x 及f x =x 2，代入积分公式的左边和右边，有:
积分公式为：I
=」
xdx
If
4f a 2
b f b
该公式即为辛普生公式，需要注意的是，该公式的代数精度并不是
2次，而是3次的
a
f (x )dx 彩 J R (x )dx = W 1J I k (x )dx f (X k )=送 A k f (X k )，其中，A k = a a k±
丄a 」 km
代数精度的分析：若被积函数 f x 是次数小于n 的多项式函数，那么由其曲线上的 n+1 节点构成的n 次多项式函数P n x 即是被积函数f x 本身。
贝插值型积分公式具有至少 n 次代数精度。
若f x 是一条直线，那么过其曲线上3个点构造的抛物线F 2 x = a 0 a 1x a 2x 2，其中必 有 a 2
=0，即 F 2 x ]= f x ;
同理，若f x 是一条抛物 线，那么过其曲线 上4个点构造的3次多项式函数 P 3 x ；u a 0 - a 1x - a 2x 2 - a 3x 3，其中必有 a 3 =0，即 P 3 x [=： f x 。
b - a = A o A
A 2 1 2 2 a 亠b
-b-a 二 A o a A A ?b
* A 屮
12 1
，解得：A o b-a ， A b-a ， A 2
b-a 6 3
6
1 3 3
3
b -a
2
"b 2
n 次多项式函数R x ，根据拉格朗日公式：
n
P n X 「Tk X f X k ,则有
k=0
I lk(x)dx
a
方法二，插值法(插值型求积公式)，即过函数f(x)的n+1节点x0，x1， .............. ， xn ，作
n
n
b
b
t b
再来是牛顿-柯特斯公式:
b
I f x dx ： b - a f
a
几何意义为，用以下矩形面积替代曲边梯形面积。