高中数学必修四测试卷及答案
高中数学必修四测试卷
及答案
WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】
高中数学必修四检测题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 、在下列各区间中，函数y =sin （x ＋4π
）的单调递增区间是（ ）
A.［2π，π］
B.［0，4π］
C.［－π，0］
D.［4π，2π］
2 、已知sin αcos α=81,且4π<α<2π
，则cos α－sin α的值为 （ ）
(A)2
3 (B)4
3 (C)
(D)±
2
3
3 、已知sin cos 2sin 3cos αα
αα-+=51,则tan α的值是 （ ）
(A)±8
3
(B)83 (C)8
3-
(D)无法
确定
4 、 函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2??
-????
，的简图是（ ）
5 、要得到函数sin y x =的图象，只需将函数
cos y x π?
?=- ?
3??的图象（ ） A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π
6个单位
6 、函数π
πln cos 2
2y x x ??=-<< ???的图象是（ ）
7 、设x R ∈ ，向量(,1),(1,2),a x b ==-且a b ⊥ ，则||a b += （A
（B
（C
）（D ）10
8 、 已知=（3，4），=（5，12），与 则夹角的余弦为（ ） A ．
6563 B ．65 C ．5
13
D ．13
9、 计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 ( )
10、已知sin α＋cos α= 1
3 ，则sin2α=
（ ）
A ．89
B ．－89
C ．±89
D ．3
22
11 、已知cos(α－π
6)＋sin α＝4
53，则sin(α＋7π
6)的值是 ( )
A ．－235 C ．－45
12 、若x = π
12 ，则sin 4x －cos 4x 的值为
（ ）
A ．21
B ．21-
C ．23-
D ．2
3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题4小题，每小题4分，共16分. 把正确答案填在题中横线上.
x
x
A ．
B ．
C ．
D ．
13 、若)sin(2)(?ω+=x x f （其中2
,0π
?ω<
>）的最小正周期是π，且1)0(=f ，则
=ω ，=? 。
14、设向量)2,1(m a =，)1,1(+=m b ，),2(m c =，若b c a ⊥+)(，则=||a ______.
15、函数
)
62sin()(π
-
=x x f 的单调递减区间是
16、函数
π()3sin 23f x x ?
?=- ?
??的图象为C ，则如下结论中正确的序号是 _____
①、图象C 关于直线
11π12x =
对称； ②、图象C 关于点2π03?? ???，
对称； ③、函数()
f x 在区间π5π1212??- ?
??，内是增函数； ④、由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以
得到图象C ．
三、解答题：本大题共6题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17、（12分）已知向量 =
, 求向量b ，使|b|=2| |，并且 与b 的夹角为
。
18、（12分）若0,02
2π
π
αβ<<
-
<<，13cos ,cos 43423
ππβα????
+=-= ? ?????，求cos 2βα?
?+ ??
?.
19、（12分）设
2
()6cos 32f x x x =． （1）求()f x 的最大值及最小正周期；（2）若锐角α满足()323f α=-，求
4
tan 5α的值． 20、（12分）
如右图所示函数图象，求)sin()(?ω+=x A x f （π
?ω<>,0）的表达式。
21、设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2，5）．
（1）试求向量2AB ＋AC 的模； （2）试求向量AB 与AC 的夹角； （3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．
22、（14分）已知函数()3sin()cos()f x x x ω?ω?=+-+（0π?<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为
π2
． （Ⅰ）求π8f ??
???
的值；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移
π
6
个单位后，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．
答案
1-5BCBAA 6-10ABAAB 11-12CC
13、 2 6π
14、2
15、z k k k ∈++],65,3[ππππ
16、①②③ 17、由题设
, 设 b=
, 则由 ,得
. ∴
,
18、 解得 sin α=1或 。
19、 当sin α=1时，cos α=0；当 时， 。
20、 故所求的向量 或
。
21、18、
9
3
5 19、1）
1cos 2()6322
x
f x x
+=?
3cos 2323x x =+
1
cos2sin23
22
x x
?
=-+
??
?
23
6
x
π
??
=++
?
??．故()
f x
的最大值为3；
最小正周期
2
2
T
π
==π
．21世纪教育网☆
（2
）由()3
fα=-
233
6
α
π
??
++=-
?
??
cos21
6
α
π
??
+=-
?
??．
又由
2
α
π
<<
得
2
666
α
πππ
<+<π+
，故
2
6
α
π
+=π
，解得
5
12
α=π
．
从而
4
tan tan
53
α
π
==
20、)
4
2
sin(
2
π
+
=x
y
21、（1）∵AB＝（0－1，1－0）＝（－1，1），＝（2－1，5－0）＝（1，5）．
∴ 2AB＋AC＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）．
∴ |2AB＋AC|＝2
27
)1
(+
-＝50．
（2）∵ ||＝2
21
)1
(+
-＝2．||＝2
25
1+＝26，
·AC＝（－1）×1＋1×5＝4．
∴ cos θ＝
26
2
4
?
＝
13
13
2
．
（3）设所求向量为m＝（x，y），则x2＋y2＝1．①
又BC＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m，得2 x ＋4 y ＝0．②
由①、②，得
?
?
?
??
?
?
-
=
=
．
5
5
5
5
2
y
x
或
?
?
?
??
?
?
=
=
．
－
5
5
5
5
2
y
x
∴（
5
5
2
，－
5
5
）或（－
5
5
2
，
5
5
）即为所求．
22、 解：（Ⅰ）())cos()f x x x ω?ω?=+-+
π2sin 6x ω??
?=+- ??
?．
因为()f x 为偶函数，
所以对x ∈R ，()()f x f x -=恒成立，
因此ππsin()sin 66x x ω?ω??
?-+-=+- ??
?．
即ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x x x x ω?ω?ω?ω????????
?--+-=-+- ? ? ? ?????????，
整理得πsin cos 06x ω??
?-= ??
?．
因为0ω>，且x ∈R ，
所以πcos 06??
?-= ??
?．
又因为0π?<<， 故ππ62
?-
=． 所以π()2sin 2cos 2f x x x ωω?
?=+= ??
?．
由题意得
2π
π
2
2
ω
=，所以2ω=． 故()2cos 2f x x =．
因此ππ2cos 84f ??
== ???
（Ⅱ）文：将()f x 的图象向右平移
π
6
个单位后，得到π6f x ?
?- ??
?的图象，
所以πππ()2cos 22cos 2663g x f x x x ???????
?=-=-=- ? ? ??????
?????．
当
π
2π22ππ
3
k x k
-+
≤≤（k∈Z），
即
π2π
ππ
63
k x k
++
≤≤（k∈Z）时，()
g x单调递减，
因此()
g x的单调递减区间为
π2π
ππ
63
k k
??
++
??
??
，（k∈Z）．