第一章 生命表基础

(2)由于s(0) = 1，s '( x) = −2(1 + x) < 0 ，lim s ( x ) = lim
−3 x→∞ x→∞
x→∞
1
(3).s(0) = 1，s′ ( x ) = e
( ) ( −2 x ) < 0 ，lim s ( x ) = lim e
−x 2 x→∞ x→∞
(1 + x )
剩余寿命的期望与方差
期望剩余寿命（完全余命）：( x) 剩余寿命的期 o 望值(均值),简记
ex
ex = E (T ( x)) =
o
ω−x
∫ td (1 −
0
ω−x
t
px ) =
∫
0
t
px dt
剩余寿命的方差
ω−x
Var (T ( x)) = E (T ( x) 2 ) − E (T ( x)) 2 = 2
生命表的定义
根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每 个年龄死亡率所组成的汇总表.
生命表的发展历史
1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写 过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表 对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形 式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表 的创始人。
生存函数的性质
lim ①s(0)=1， s ( x) = 0 ，ω为死亡的极限年龄； x→ω ②0≤s(x)≤1，x≥0； ③s’(x)=－f (x) <0，即s(x)是单调递减函数； ④s(x)是一个右连续的函数。
Example1.1
【例题1.1】下列函数表达式可以作为生存函数的有(
⎡ ⎤ （1）s ( x ) = exp ⎣ x − 0.7 ( 2 x − 1) ⎦ ，x > 0； （2）s ( x ) = 1
）。 E．1/3
剩余寿命
【例题1.2】已知： s ( x ) =
1 100 − x ， ≤ x ≤ 100 ，则年龄为19 0 10
岁的人在36岁至75岁之间死亡的概率为（ A．1/9 B．1/8 C．1/6 D．1/5
）。 E．1/3
【答案】E 【解析】
1 ( 64 − 25) s (36) − s (75) 10 1 = = 17|39 q19 = 1 3 s (19) 81 10
g (t )
d d ⎡ s ( x) − s( x + t ) ⎤ s ( x + t ) μ x +t g (t ) = G (t ) = ⎢ = t px ⋅ μ x +t ⎥= dt dt ⎣ s( x) s( x) ⎦
致命力
【例题1.3】（2008春季考试真题）已知：
（1） p70 = 0.95；（ 2） p71 = 0.96；（ 3） μ x dx = 0.107 3 2 ∫
第一节 生命函数
寿命的分布函数
定义X为一个0岁得初生婴儿将来的寿命。 F 则X的分布函数： ( x) = Pr( X ≤ x) 意义：新生儿在 x 岁之前死亡的概率。 dF ( x) f (x) = 与密度函数的关系： dx 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：
Pr(x < X ≤ z) = F(z) − F(x)
有关寿命分布的参数模型
Makeham模型(1860)
μx = A + Bc
x
s( x) = exp{− Ax − B(c x −1) / ln c} , B > 0,A ≥ -B,c > 1,x ≥ 0
Weibull模型(1939)
μ x = kx n
s ( x) = exp{− kx n +1 /(n + 1)} , k > 0, n > 0, x ≥ 0
71
75
计算 5 p70=（ A．0.85
）。 B．0.86
C．0.87
D．0.88
E．0.89
致命力
【例题1.3】（2008春季考试真题）已知：
（1） p70 = 0.95；（ 2） p71 = 0.96；（ 3） μ x dx = 0.107 3 2 ∫
71
75
计算 5 p70=（ ）。 A．0.85 B．0.86 C．0.87 D．0.88 【答案】E 【解析】设s(x)为（x）的生命函数，则
)
(1 + x )
2
，x > 0；
（3）s ( x) = exp(− x 2 )，x > 0。
A．（1）（2）（3） C．（1）（3） B．（1）（2） D．（2）（3） E．（1）sol Nhomakorabeations
【答案】D 【解析】生存函数的性质有：s(0)=1；函数是单调递减的，且 lim s ( x ) = 0。 (1) 由 于 s’(x)=exp[x － 0.7(2x － 1)](1 － 0.7×2x×ln2) ， s’(0)=0.5148＞0，说明该函数不满足单调递减的性质，所以它 不能作为生存函数；
第二节 生命表
有关寿命分布的参数模型
De Moivre模型(1729)
μx =
1 ω−x x s( x) = 1 −
注：死亡年龄X在[0，ω]上服从均匀分布。 Gompertze模型(1825)
ω
,
0≤ x ≤ω
μ x = Bc x
s ( x) = exp{− B (c x − 1) / ln c} , B > 0,c > 1,x ≥ 0
solutions
(4) E (T ) = 2∫ tt px dt
2 0 ∞
= 2 ∫ te −0.05t dt
0
∞
= 2∫
∞
0
∞ t de −0.05t = −40∫ tde −0.05t 0 −0.05 −0.05t ∞ 0
= −40(te
∞ 0
| − ∫ e −0.05t dt )
0
∞
= 40 ∫ e −0.05t dt 1 = 40 × e −0.05t |∞ 0 −0.05 = 40 × 20 = 800 [ E (T )]2 = 400 Var[T (30)] = 800 − 400 = 400
参数模型的问题
至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差。 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。
生命表起源
第一章
生命表基础
本章重点
生命表函数
生存函数 剩余寿命（连续、离散） 死亡效力
生命表的构造
有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造 选择与终极生命表
有关分数年龄的三种假定
本章中英文单词对照
死亡年龄 生命表 剩余寿命 整数剩余寿命 死亡效力 极限年龄 选择与终极生命表 Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables
− x2
2
= 0.
= 0.
剩余寿命
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还 能继续存活的时间，称为剩余寿命，记 作T(x)。 T(x)=X-x，如新生儿的剩余寿 命T(0)=X。 剩余寿命的分布函数 t qx ：
t
qx = Pr(T ( x) ≤ t ) = Pr( x < X ≤ x + t X > x) s( x) − s ( x + t ) s( x + t ) = = 1− s ( x) s ( x)
ω−x
0
t d (1 − t px ) − ( ∫
2
ω−x
0
px dt ) 2 t
ω−x
0
= t (1 − t px ) |0
2
ω−x
−∫
ω−x ω−x
0
2t (1 − t px )dt − ( ∫ px dt ) 2 t
px dt ) 2 t
= 2∫
ω−x
0
t ⋅ t px dt − ( ∫
0
整值剩余寿命的期望与方差
qx = 1 qx
tu
qx ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之
tu
间去世的概率
qx =
t +u
qx − t qx = t px − t + u px
剩余寿命
【例题1.2】已知： s ( x ) =
1 100 − x ， ≤ x ≤ 100 ，则年龄为19 0 10
岁的人在36岁至75岁之间死亡的概率为（ A．1/9 B．1/8 C．1/6 D．1/5
2 2 k =0
∞
2
Example1.4
假设 S ( x) = e −0.05 x，x ≥ 0，求： (1)5|10 q30 (2) F (30) (3) e30 （4）Var[T (30)]
solutions
S (35) − S (45) e −1.75 − e −2.25 (1)5|10 q30 = = S (30) e −1.5 (2) F (30) = 1 − S (30) = 1 − e −1.5
E．0.89
3
p70 =
s ( 70 )
s ( 73)
= 0.95 ， p71 = 2 s ( 71)