2020年四川高考理科数学试题及答案

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2020年高考理科数学及答案解析(全国Ⅲ卷)

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C 【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科) (含答案解析)

2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x =3n +2,n ∈N}，B ={6,8，10，12，14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 22. 复数 i ⋅(1−i)=( )A. 1+iB. −1+iC. 1−iD. −1−i3. 已知a =log 25，2b =3，则2a+b = ( )A. 15B. 6C. 10D. 54. 如图是容量为n 的样本的频率分布直方图，已知样本数据在[14,18)内的频数是12，则样本数据落在[6,10)的频数是( )A. 12B. 16C. 18D. 205. 若(x −1√x )n 展开式的各项二项式系数和为512，则展开式中的常数项( )A. 84B. −84C. 56D. −566. 在△ABC 中，sinB =1213，cosA =35，则sin C 为( )A. 1665B. 5665C. 6365D. 1665或56657. 已知单位向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ ⋅(a ⃗ +2b ⃗ )=( )A. 32B. 1+√32C. 2D. 1+√38. 已知点A(2√5,3√10)在双曲线x 210−y 2b2=1(b >0)上，则该双曲线的离心率为( )A. √103B. √102C. √10D. 2√109. 已知函数f(x)={x 2+1,(x >0)cosx,(x ≤0)，则下列结论正确的是( )A. f(x)是偶函数B. f(x)是增函数C. f(x)的值域为[−1,+∞)D. f(x)是周期函数10. 已知函数f (x )=sin (ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( )A. 关于点(π3,0)对称 B. 关于直线x =π4对称 C. 关于点(π4,0)对称D. 关于直线x =π3对称11. 设函数f(x)={4x −4,x ≤1x 2−4x +3,x >1，则函数g(x)=f(x)−log 2x 的零点个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12. 如图，∠C =90°，AC =BC ，M ，N 分别为BC 和AB 的中点，沿直线MN将△BMN 折起，使二面角B′−MN −B 为60°，则斜线B′A 与平面ABC 所成角的正切值为( )A. √25B. √35C. 45D. 35二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知sin α2−cos α2=15，则sinα=_____．14. 曲线f(x)=2−xe x 在点(0,2)处的切线方程为______ ．15. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 24+y 2=1的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点，满足∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为______．16. 将一个半径为3和两个半径为1的球完全装入底面边长为6的正四棱柱容器中，则正四棱柱容器的高的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在数列{a n }中，a n >0，其前n 项和S n 满足S n 2−(n 2+2n −1)S n −(n 2+2n)=0．(Ⅰ) 求{a n }的通项公式a n ； (Ⅱ) 若b n =a n −52n，求b 2+b 4+⋯+b 2n ．CD=2，18.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=12当点M为EC中点时．(1)求证：BM//平面ADEF；(2)求平面BDM与平面ABF所成锐二面角．19.近几年来，网上购物已成潮流，快递业迅猛发展．为了解某地区快递员的收入情况，现随机抽取了甲、乙两家快递公司30天的送货单，对两个公司的快递员平均每天的送货单数进行统计，数据如下：已知这两家快递公司的快递员的日工资方案分别为：甲公司规定底薪90元，每单抽成1元；乙公司规定底薪120元，每日前40单无抽成，超过40单的部分每单抽成t元．(Ⅰ)分别求甲、乙快递公司的快递员的日工资y1，y2(单位：元)与送货单数n的函数关系式；(Ⅱ)根据以上统计数据，若将频率视为概率，回答下列问题：(ⅰ)记甲快递公司的快递员的平均日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；(ⅰ)小赵拟到甲、乙两家快递公司中的一家应聘快递员的工作，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．20.已知函数f(x)=ax2+bx−lnx(a,b∈R)．(1)当a=8，b=−6时，求f(x)的零点个数；(2)设a>0，且x=l是f(x)的极小值点，试比较ln a与−2b的大小．21.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，准线与y轴的交点为Q，过点Q的直线l，抛物线C相交于不同的A，B两点．(1)若|AB|=4√15，求直线l的方程；(2)若点F在以AB为直径的圆外部，求直线l的斜率的取值范围．)=2，若直线l 22.在极坐标系Ox中，设曲线C的方程为ρ=4sinθ，直线l的方程为psin(θ+π3与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．23.设函数f(x)=|2x−1|(1)解关于x的不等式f(2x)≤f(x+1)(2)若实数a，b满足a+b=2，求f(a2)+f(b2)的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查集合的交集运算和元素个数的求解．解：由已知得A={2,5，8，11，14，17，…}，又B={6,8，10，12，14}，所以A∩B={8,14}．故选D．2.答案：A解析：解：复数i⋅(1−i)=1+i．故选A．利用复数的运算法则即可得出．熟练掌握复数的运算法则及i2=−1是解题的关键．3.答案：A解析：本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．利用对数的运算性质即可求解．解：∵a=log25，b=log23，∴a+b=log215，∴2a+b=2log215=15，故选A．4.答案：B解析：本题考查频率分布直方图，考查推理能力和计算能力，属于基础题．先求出n ，再利用频数=频率×样本容量即可求解．解：由样本数据在[14,18)内的频数是12得样本容量n =121−4×(0.02+0.08+0.09)=50，则样本数据落在[6,10)的频数是50×4×0.08=16，故选B ．5.答案：A解析：解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n =512，则n =9，T r+1=(−1)r C 9rx18−3r2；令18−3r =0，则r =6，所以该展开式中的常数项为84．故选：A ．结合二项式定理，即可求出展开式的所有二项式系数的和，然后求出n 的值，利用二项式的通项，求出常数项即可．本题考查二项式定理的应用，二项式定理系数的性质，特定项的求法，考查计算能力．6.答案：D解析：解：∵在△ABC 中，由cos π4=√22>cosA =35>12=cos π3，A ∈(0,π)，∴π4<A <π3，∴sinA =√1−cos 2A =45，∴√32<sinB =1213<1∴π3<B <π2，或π2<B <2π3，∴cosB =√1−sin 2B =±513，sinA =√1−cos 2A =45，∴sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =513×45+35×1213=5665，或sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =−513×45+35×1213=1665，故选：D ．先判断A ，B 的范围，利用同角的三角函数的关系和两角和的正弦即可求得答案本题考查两角和与差的正弦函数，关键在于由已知条件判断A、B、C的范围，考查同角三角函数间的基本关系，属于中档题．7.答案：C解析：本题主要考查平面向量的数量积.由a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ 结合平面向量的数量积运算可得答案解：依题意，|a⃗|=|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =1×1×12=12，所以a⃗⋅(a⃗+2b⃗ )=a⃗2+2a⃗⋅b⃗ =2．故选C．8.答案：C解析：利用双曲线上的点在双曲线上求解b，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．解：点A(2√5,3√10)在双曲线x210−y2b2=1(b>0)上，可得2010−90b2=1，可得b=3√10，又a=√10，所以c=10，双曲线的离心率为：e=√10=√10．故选：C．9.答案：C解析：解：由解析式可知当x≤0时，f(x)=cosx为周期函数，当x>0时，f(x)=x2+1，为二次函数的一部分，故f(x)不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、D，对于C，当x≤0时，函数的值域为[−1,1]，当x>0时，函数的值域为(1,+∞)，故函数f(x)的值域为[−1,+∞)，故C正确．故选：C．由三角函数和二次函数的性质，结合函数的奇偶性、单调性和周期性，及值域，分别对各个选项判断，可得A，B，D错，C正确．本题考查分段函数的应用，考查函数的奇偶性、单调性和周期性，涉及三角函数的性质，属中档题．10.答案：A解析：本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质．利用函数y=Asin(ωx+φ)的周期性得ω=2，再利用函数y=Asin(ωx+φ)的对称性计算得结论．解：因为函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，所以2πω=π，即ω=2，因此函数f(x)=sin(2x+π3)．由2x+π3=kπ(k∈Z)得x=kπ2−π6(k∈Z)，所以对称点为(kπ2−π6, 0)(k∈Z)，当k=1时，对称点为(π3,0)，令2x+π3=kπ+π2(k∈Z)得对称轴x=kπ2+π12，因此直线x=π3和x=π4均不为对称轴，故选A．11.答案：C解析：解：g(x)=0得f(x)=log2x，在同一坐标系下分别作出函数y=f(x)与y=log2x的图象，如图：由图象可知两个图象共有3个交点，则函数g(x)=f(x)−log2x的零点个数为3个．故选C．令g(x)=0，得到方程f(x)=log2x，然后分别作出函数y=f(x)与y=log2x的图象，观察交点的个数，即为函数g(x)的零点个数．本题考查函数与方程问题，求解此类问题的基本方法是令g(x)=0，将函数分解为两个基本初等函数，然后在同一坐标系下，作出两函数的图象，则两函数图象的交点个数，即为函数零点的个数．12.答案：B解析：此题重点考查了折叠图形的做题关键应抓住折叠前与折叠后之间的变量与不变量，还考查了二面角的概念及直线与平面所成角的概念吧，此外多次使用了求解时把边与角放到直角三角形中进行求解的方法．由题意及折叠之前与折叠之后BM与CM都始终垂直于MN，且折叠之前图形为等腰直角三角形，由于要求直线与平面所成的线面角，所以由直线与平面所陈角的定义要找到斜线B′A在平面ACB内的射影，而射影是有斜足与垂足的连线，所以关键是要找到点B′在平面ABC内的投影点，然后放到直角三角形中进行求解即可．解：由题意做出折叠前与折叠之后图形为：由于折叠之前BM与CM都始终垂直于MN，这在折叠之后仍然成立，所以折叠之后平面B′MN与平面BMN所成的二面角即为∠B′MH=60°，并且B′在底面ACB内的投影点H就在BC上，且恰在BM的中点位置，连接B′A和AH，在直角三角形ACH中AH=54a；在直角三角形B′MH中，由于BM=12a，∠B′MH=60°，∠BHM=90°，所以B′M=√34a，最后在直角三角形B′AH中tan∠B′AH= B′HAH =√34a54a=√35，故选B．13.答案：2425解析：本题考查三角函数的同角三角函数基本关系，与二倍角公式的应用，属于基础题．平方后利用三角函数的同角三角函数平方关系，与二倍角公式求出结果．解：∵sinα2−cosα2=15，∴(sinα2−cosα2)2=sin2α2−2sinα2cosα2+cos2α2=1−2sinα2cosα2=1−sinα=125，∴sinα=2425．故答案为2425．14.答案：x+y−2=0解析：解：f(x)=2−xe x的导数为f′(x)=−(1+x)e x，可得在点(0,2)处的切线斜率为k=−1，即有在点(0,2)处的切线方程为y=−x+2，即为x+y−2=0．故答案为：x+y−2=0．求得函数的导数，求出切线的斜率，由斜截式方程可得所求切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，正确求导和运用直线方程是解题的关键．15.答案：√33解析：本题考查了椭圆的定义以及椭圆的简单性质的应用，余弦定理的应用，三角形的面积的求法，属于中档题．由题意，|F1P|+|PF2|=4，|F1F2|=2√3；从而由余弦定理求解，从而求面积．解：由题意，F1，F2是椭圆x24+y2=1的两个焦点，|F1P|+|PF2|=4，|F1F2|=2√3，则由余弦定理得，|F1F2|2=|F1P|2+|PF2|2−2|F1P||PF2|cos60°，故12=(|F1P|+|PF2|)2−2|F1P||PF2|cos60°−2|F1P||PF2|，故12=16−3|F1P||PF2|，故|F1P||PF2|=43，故△PF1F2的面积S=12|F1P||PF2|⋅sin60°=√33，故答案为：√33．16.答案：4+2√2解析：解：作出正四棱柱的对角面如图，∵底面边长为6，∴BC=6√2，球O的半径为3，球O1的半径为1，则OA=12BC−O1N=3√2−√2=2√2，在Rt△OAO1中，OO1=4，∴O1A=√42−(2√2)2=2√2，∴正四棱柱容器的高的最小值为4+2√2．故答案为：4+2√2．由题意画出图形，然后通过求解直角三角形得答案．本题考查球的体积和表面积，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．17.答案：解：(Ⅰ)由S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0，得[S n−(n2+2n)](S n+1)=0，由a n>0，可知S n>0，故S n=n2+2n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=(n2+2n)−[(n−1)2+2(n−1)]=2n+1；当n=1时，a1=S1=3，符合上式，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1．(Ⅱ)解：依题意，b n=a n−52n =2n−42n=n−22n−1，则b2n=2n−222n−1=(n−1)⋅(14)n−1，设T n=b2+b4+⋯+b2n，故T n=0+14+242+343+⋯+n−14n−1，而4T n=1+24+342+⋯+n−14n−2．两式相减，得3T n =1+14+142+⋯+14n−2−n−14n−1=1−(14)n−11−14−n−14n−1=13(4−3n+14n−1)，故T n =19(4−3n+14n−1)．解析：(Ⅰ)把已知数列递推式变形，求得S n =n 2+2n ，得到数列首项，再由a n =S n −S n−1(n ≥2)求{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通项公式代入b n =a n −52n，得到b 2n ，再由错位相减法求得b 2+b 4+⋯+b 2n ．本题考查数列递推式，考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，是中档题．18.答案：(1)证明：以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,4，0)，E(0,0，2)，M(0,2，1)， ∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)，又DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量， ∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即BM →⊥DC →， ∴BM//平面ADEF ，(2)解：设M(x,y ，z)，则EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z −2)，又EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−2)，设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即M(0,2，1)，设n⃗ =(x 1,y 1,z 1)是平面BDM 的一个法向量，则DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =2x 1+2y 1=0，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =4λy 1+(2−2λ)z 1=0，取x 1=1得 y 1=−1，z 1=2，即n⃗ =(1,−1,2)，又由题设，DA →=(2,0,0)是平面ABF 的一个法向量， ∴|cos <DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=22√2+4=√66． ∴平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角为．解析：本题考查线面平行，考查平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)以直线DA 、DC 、DE 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)是平面ADEF 的一个法向量，证明BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可证明BM//平面ADEF ；(2)求出平面BDM 的一个法向量、平面ABF 的一个法向量，利用向量的夹角公式求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角．19.答案：解：(Ⅰ)甲快递公司的快递员的日工资y 1(单位：元)与送货单数n 的函数关系式：y 1=90+n(30≤n ≤60)．乙快递公司的快递员的日工资y 2(单位：元)与送货单数n 的函数关系式：y 2={120(30≤t ≤40),120+(n −40)t(t >40).(Ⅱ)(ⅰ)X 的分布列如下：E(X)=120×6+130×3+140×13+150×16=135．(ⅰ)由(Ⅰ)可得乙快递公司的快递员的日工资的平均工资为120×15+12(120+10t)+3(120+20t)30=120+6t ．∴当120+6t <135，即0<t <52时，小赵应选择甲快递公司；当120+6t =135，即t =52时，小赵选择甲、乙快递公司均可；当120+6t >135，即t >52时，小赵应选择乙快递公司．解析：本题考查频数分布表、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查考生的应用意识以及等价转化思想．(Ⅰ)由甲、乙快递公司的快递员的日工资y 1，y 2(单位：元)与送货单数n 的个数和利用频数分布表求解；(Ⅱ)(ⅰ)建立X 的分布列，再利用数学期望公式求解；(ⅰ)由(Ⅰ)可得乙快递公司的快递员的日工资的平均工资，比较120+6t 和135即可得结论．20.答案：解：(1)∵a =8，b =−6，f ′(x)=(2x −1)(8x +1)x(x >0)当0<x <12时，f′(x)<0，当x >12时，f′(x)>0，故f(x)在(0,12)递减，在(12,+∞)递增，故f(x)的极小值是f(12)，又∵f(12)=−1+ln2<0， ∴f(x)有两个零点； (2)依题有f′(1)=0， ∴2a +b =1即b =1−2a ， ∴lna −(−2b)=lna +2−4a ，令g(a)=lna +2−4a ，(a >0) 则g′(a)=1a −4=1−4a a，当0<a <14时，g′(a)>0，g(a)单调递增；当a >14时，g′(a)<0，g(a)单调递减．因此g(a)<g(14)=1−ln4<0，故lna <−2b ．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极小值小于0，从而判断出函数的零点个数；(2)求出b =1−2a ，作差lna −(−2b)=lna +2−4a ，根据函数的单调性求出g(a)的最大值，从而判断出ln a 和−2b 的大小即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．21.答案：解：(1)由抛物线C ：x 2=4y ，可得Q(0,−1)，且直线l 斜率存在，∴可设直线l ：y =kx −1，由{y =kx −1x 2=4y ，得：x 2−4kx +4=0，令△=16k 2−16>0，解得：k <−1或k >1．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则有x 1+x 2=4k ，x 1x 2=4，∴|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√16k 2−16=4√k 4−1． ∵|AB|=4√15，∴k 4−1=15，解得k =±2，∴直线l 的方程为：y =±2x −1；(2)由(1)知，k <−1或k >1，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=4， ∵点F 在以AB 为直径的圆外部，∴FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1−1)⋅(x 2,y 2−1)=x 1x 2+y 1y 2−(y 1+y 2)+1=(1+k 2)x 1x 2−2k(x 1+x 2)+4=8−4k 2>0，解得：k 2<2，即−√2<k <√2．又k <−1或k >1，∴直线l 的斜率的取值范围是(−√2,−1)∪(1,√2).解析：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．(1)由抛物线方程可得Q(0,−1)，设直线l ：y =kx −1，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系可得A ，B 横坐标的和与积，结合弦长公式求得k ，进一步得到直线l 的方程；(2)由点F 在以AB 为直径的圆外部，可得FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，结合(1)中根与系数的关系及判别式求得直线l 的斜率的取值范围．22.答案：解：曲线C 的方程为ρ=4sinθ，转换为直角坐标方程为：x 2+(y −2)2=4，直线l 的方程为psin(θ+π3)=2，转换为直角坐标方程为：√3x +y −4=0，则圆心(0,2)到直线√3x +y −4=0的距离d =√3+1=1，且|AB|=2√22−1=2√3，所以S △AOB =12×2√3×1=√3．解析：本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．23.答案：解：(1)|4x −1|≤|2x +1|⇔16x 2−8x +1≤4x 2+4x +1⇔12x 2−12x ≤0，解得x ∈[0,1]，故原不等式的解集为[0,1]．(2)f(a2)+f(b2)=|2a2−1|+|2b2−1|≥|2(a2+b2)−2|，2(a2+b2)≥(a+b)2=4．从而2(a2+b2)−2≥2，即f(a2)+f(b2)≥2，取等条件为a=b=1．故f(a2)+f(b2)的最小值为2．解析：(1)去掉绝对值符号，转化求解不等式即可．(2)利用已知条件化简所求的表达式，通过柯西不等式求解即可．本题考查不等式的解法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．。

2020年四川省成都市高考数学三诊试卷(理科)(有答案解析)

2020年四川省成都市高考数学三诊试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={x∈Z|x2≤2x+3}，集合A={0，1，2}，则∁U A═（）A. {-1，3}B. {-1，0}C. {0，3}D. {-1，0，3}2.复数z=（2+i）（1+i）的共轭复数为（）A. 3-3iB. 3+3iC. 1+3iD. 1-3i3.已知函数f（x）=x3+a sin x，a∈R．若f（-1）=2，则f（1）的值等于（）A. 2B. -2C. 1+aD. 1-a4.如图，在正方体ABCD﹣A1B l C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1．则下列直线与平面A1BD平行的是（）A. CEB. CFC. CGD. CC15.已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46.若非零实数a，b满足2a=3b，则下列式子一定正确的是（）A. b＞aB. b＜aC. |b|＜|a|D. |b|＞|a|7.已知sin（）=，则sinα的值等于（）A. -B. -C.D.8.执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 49.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，-2），N（l，0）．若动点M满足=，则的取值范围是（）A. [0，2]B. [0，2]C. [-2，2]D. [-2，2]10.“幻方’’最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”是由前，n2个正整数组成的-个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如表所示）．则“5阶幻方”的幻和为（）8163574927565554511.已知双曲线C=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线C有相同的焦点．设P为抛物线与双曲线C的一个交点，cos∠PF1F2=，则双曲线C的离心率为（）A. 或B. 或3C. 2或D. 2或312.已知函数f（x）=．若函数f（x）的极大值点从小到大依次为a1，a2，…，a n，并记相应的极大值为b1，b2，…，b n，则（a i+b i）的值为（）A. 250+2449B. 250 +2549C. 249+2449D. 249+2549二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在（2+x）5的展开式中，x2的系数为______．（用数字作答）14.已知公差大于零的等差数列{a n}中，a2，a6，a12依次成等比数列，则的值是______．15.某学习小组有4名男生和3名女生．若从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为______．16.三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AC，侧棱AA1⊥底面ABC，且三棱柱的侧面积为3，若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a cos B=b+c．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求sin2B+sin2C+sin B sin C的值．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD上平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PEF；（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B-PD-A的余弦值．19.某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五组，其频率分布直方图如图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如表所示．据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，年龄（单位：岁）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]保费（单位：元）x2x3x4x5x（Ⅰ）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求精确到整数时的最小值0；（Ⅱ）经调查，年龄在[60，70]之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概率）．该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元．某老人年龄66岁，若购买该项保险（x取（Ⅰ）中的x0），针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y元，试比较X和Y的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？20.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=l（a＞b＞0）的短轴长为2，直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M．当M与0连线的斜率为时，直线l的倾斜角为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若|AB|=2，P是以AB为直径的圆上的任意一点，求证：|OP|≤．21.已知函数f（x）=x lnx-2ax2+3x-a，a∈Z．（Ⅰ）当a=1时，判断x=1是否是函数f（x）的极值点，并说明理由；（Ⅱ）当x＞0时，不等式f（x）≤0恒成立，求整数a的最小值，22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M（0，1）．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23.已知函数f（x）=x2-a|x-1|-1，a∈R．（Ⅰ）当a=4时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）∃x0∈[0，2]，f（x0）≥a|x0+1|，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：U={x∈Z|x2-2x-3≤0}={x∈Z|-1≤x≤3}={-1，0，1，2，3}，则∁U A═{-1，3}，故选：A．根据不等式的解法求出U的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键，比较基础．2.答案：D解析：解：∵z=（2+i）（1+i）=1+3i，∴．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：B解析：解：∵函数f（x）=x3+a sin x，a∈R．f（-l）=2，∴f（-1）=（-1）3+a sin（-1）=-1-a sin1=2，∴1+a sin1=-2，∴f（l）=1+a sin1=-2．故选：B．推导出f（-1）=（-1）3+a sin（-1）=-1-a sin1=2，从而1+a sin1=-2，由此能求出f（l）．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：如图，连接AC，使AC交BD与点O，连接A1O，CF，在正方体ABCD-A1B l C1D1中，由于A1F AC，又OC=AC，可得：A1F OC，即四边形A1OCF为平行四边形，可得：A1O∥CF，又A1O⊂平面ABD，CF⊄平面ABD，可得CF∥平面ABD．故选：B．连接AC，使AC交BD与点O，连接A1O，CF，由A1F AC，又OC=AC，可证四边形A1OCF为平行四边形，可得A1O∥CF，利用线面平行的判定定理即可得解．本题主要考查了线面平行的判定，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题．解析：【分析】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z的几何意义．作出不等式组表示的平面区域，由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大，结合图象即可求解z的最大值．【解答】解：作出实数x，y满足表示的平面区域，如图所示：由z=2x+y可得y=-2x+z，则z表示直线y=-2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大，作直线2x+y=0，然后把该直线向可行域平移，当直线经过B时，z最大，由，可得B（2，0），此时z=4．故选：D．6.答案：C解析：解：令2a=3b=t，则t＞0，t≠1，∴a=log2t=，b=log3t=，∴|a|-|b|=-=|lg t|•＞0，∴|a|＞|b|．故选：C．令2a=3b=t，则t＞0，t≠1，将指数式化成对数式得a，b后，然后取绝对值作差比较可得．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．7.答案：A解析：解：∵sin（）=，∴sinα=-cos（α+）=-cos2（）=-[1-2sin2（）]=-[1-2×（）2]=-．由诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.答案：B解析：解：根据程序框图：执行循环前：a=0，b=0，n=0，执行第一次循环时：，a=1，b=2，所以：92+82≤40不成立．继续进行循环，…，当a=4，b=8时，62+22=40，所以：n=1，由于a≥5不成立，执行下一次循环，当a=5时，输出结果n=2故选：B．直接利用程序框图的循环结构和条件结构的应用求出结果．本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．9.答案：D解析：解：设M（x，y），由动点M满足=，得，化简得：x2+（y-2）2=8，由圆的参数方程得：M（2cosθ，2sinθ），则=2cosθ∈[-2，2]，故选：D．由平面向量数量积运算及圆的参数方程得：设M（x，y），得，化简得：x2+（y-2）2=8，由圆的参数方程得：M（2cosθ，2sinθ），则=2cosθ∈[-2，2]，得解．本题考查了平面向量数量积运算及圆的参数方程，属中档题．10.答案：B解析：解：由1，2，3，4…24，25的和为=325，又由“n阶幻方（n≥3，n∈N*）”的定义可得：“5阶幻方”的幻和为=65，故选：B．先理解“n阶幻方”的定义，再结合等差数列求和公式求解即可．本题考查了对“即时定义”的理解及进行简单的合情推理，属中档题．11.答案：D解析：【分析】设PF1=m，PF2=n，根据cos∠PF1F2=和抛物线性质得出PF2=m，再根据双曲线性质得出m=7a，n=5a，最后根据余弦定理列方程得出a，c间的关系，从而可得出离心率．本题考查了双曲线和抛物线的简单性质，属于中档题．【解答】解：过P分别向x轴和抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，不妨设PF1=m，PF2=n，则F1M=PN=PF2=PF1cos∠PF1F2=，∵P为双曲线上的点，则PF1-PF2=2a，即m-=2a，故m=7a，n=5a．又F1F2=2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得=，化简可得c2-5ac+6a2=0，即e2-5e+6=0，解得e=2或e=3．故选：D．12.答案：C解析：解：∵f（x）=的极大值点从小到大依次为a1，a2，…，a n，相应的极大值为b1，b2，…，b n，∴a1=2，a2=4，…，即是以2为首项，以2为公差的等差数列，且共有50项，即n=50，但是最后一项不是极大值，满足题意的共有49项，∴a n=2n，∵b1=f（2）=1，b2=f（4）=2f（2）=2…是以1为首项，以2为公比的等比数列，b n=2n-1，则（a i+b i）=a i+b i==2449+249．故选：C．结合正弦函数的性质求出极大值的位置及相应的值后，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了正弦函数的性质及等差与等比数列的求和公式的简单应用，属于中档试题．13.答案：80解析：解：二项展开式的通项为T r+1=25-r C5r x r令r=2得x2的系数为23C52=80故答案为：80．利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令r=2，求出展开式中x2的系数．利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．14.答案：解析：解：公差d大于零的等差数列{a n}中，a2，a6，a12依次成等比数列，可得a62=a2a12，即为（a1+5d）2=（a1+d）（a1+11d），化为a1=7d，则===．故答案为：．利用等差数列的通项公式以及等比数列的中项性质，化简求出公差与a1的关系，然后由等差数列的通项公式化简可得所求值．本题考查等差数列的通项公式以及等比数列的中项性质，考查计算能力，是一道基础题．15.答案：解析：解：某学习小组有4名男生和3名女生．从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，基本事件总数n==21，选出的2名同学中恰好1名男生1名女生包含的基本事件个数m==12，∴选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为p==．故答案为：．从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，基本事件总数n==21，选出的2名同学中恰好1名男生1名女生包含的基本事件个数m==12，由此能求出选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.答案：4π解析：解：根据题意，如图，设AB=BC=AC=a，AA1=b，该三棱柱的外接球的半径为R，球心O在底面ABC上的射影为O′，O′为底面三角形△ABC的外心，则AO′=×a=，OO′=AA1=，则R2=+，又由三棱柱的侧面积为3，则3ab=3，变形可得ab=，则R2=+≥2=2×=1，即外接球半径的最小值为1，其表面积的最小值S=4πR2=4π；故答案为：4π根据题意，设AB=BC=AC=a，AA1=b，该三棱柱的外接球的半径为R，球心O在底面ABC上的射影为O′，分析可得AO′与OO′的长，据此可得R2=+，又由三棱柱的侧面积为3，则3ab=3，变形可得ab=，结合基本不等式分析可得答案．本题考查多面体外接球表面积最值的求法，涉及球的体积以及基本不等式的性质以及应用，属于基础题．17.答案：解：（I）由正弦定理得sin A cos B=sin A+sin C，又sin C=sin（A+B）．∴sin A cos B=sin A+sin A cos B+cos A sin B．即cos A sin B+sin B=0，∴cos A=-，∵0＜A＜π，∴A=．（II）∵A=，∴由余弦定理可得：a2=b2+c2+bc，∵，∴sin2B+sin2C+sin B sin C=（）2+（）2+==（）2=sin2A=．解析：（Ⅰ）由正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简即可（Ⅱ）利用余弦定理以及正弦定理进行转化求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理，余弦定理以及两角和差的三角公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解决本题的关键，属于中档题．18.答案：证明：（Ⅰ）连接AC，∵PA=PD，且E是AD的中点，∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE平面PAD,∴PE⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PE，又ABCD为菱形，且E，F为棱的中点，∴EF∥AC，BD⊥AC，∴BD⊥EF，又BD⊥PE，PE∩EF=E，PE,EF平面PEF，∴BD⊥平面PEF．解：（Ⅱ）∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，∴EB⊥AD，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AD=1，则D（-），B（0，，0），P（0，0，），=（，0），=（），设平面PBD的法向量=（x，y，z），则，∴，取x=，得=（），平面APD的法向量=（0，1，0），∴cos＜＞==-，由图得二面角B-PD-A的平面角是锐角，∴二面角B-PD-A的余弦值为．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查利用空间向量解决线面关系及空间角度问题，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，属于中档题．（Ⅰ）连接AC，则PE⊥AD，PE⊥平面ABCD，BD⊥PE，EF∥AC，BD⊥AC，从而BD⊥EF，BD⊥PE，由此能证明BD⊥平面PEF．（Ⅱ）推导出EB⊥AD，分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PD-A的余弦值．19.答案：解：（Ⅰ）由（0.007+0.016+a+0.025+0.020）×10=1，解得a=0.032．保险公司每年收取的保费为：10000×（0.07x+0.16×2x+0.32×3x+0.25×4x+0.20×5x）=10000×3.35x．∴要使公司不亏本，则10000×3.35x≥1000000，即3.35x≥100，解得x≈29.85，∴x0=30．（Ⅱ）①若该老人购买了此项保险，则X的取值为150，2150．P（X=150）=，P（Y=2150）=．∴E（X）==147+43=190元．②若该老人没有购买此项保险，则Y的取值为0，12000．∵P（Y=0）=，P（Y=12000）=，所以E（Y）==240元，所以E（Y）＞E（X）．∴年龄为66的该老人购买此保险比较划算．解析：（Ⅰ）由频率和为1求出a，根据a的值以及频率分布直方图求出保险费的平均值，要使公司不亏本，则保费的平均值不小于一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，解方程即可．（Ⅱ）分别计算参保和不参保时支出的期望E（X），E（Y）比较大小，即可作出判断．本题考查了频率分布直方图的性质，用频率分布直方图估计平均数，离散型随机变量的期望，利用离散型随机变量的期望做出决策等，属于中档题．20.答案：（Ⅰ）解：由已知得，b=1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，两式作差，得．由已知条件，知当时，，∴，即a=．∴椭圆标准方程为；（Ⅱ）证明：当直线l的斜率不存在时，|OP|=1＜，不等式成立；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m．联立，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0．△=16k2-8m2+8＞0．，．∴M（），．由|AB|=，化简得，．∴．令4k2+1=t≥1，则|OM|2=．当且仅当t=时取“=”．∴|OM|．∵|OP|≤|OM|+1，∴|OP|，当且仅当时取“=”．综上，|OP|．解析：（Ⅰ）由已知得，b=1，设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，利用点差法结合已知可得，得到a=，则椭圆标准方程可求；（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，|OP|=1＜，不等式成立；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，联立，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得M坐标，再由弦长公式得到，把|OM|2用含有k的代数式表示，再由换元法结合基本不等式求最值，即可证明|OP|．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，训练了利用换元法与基本不等式求最值，是中档题．21.答案：解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=ln x-4x+4，令F（x）=f′（x）=ln x-4x+4，则，∴当x＞时，F′（x）＜0，即f′（x）在（，+∞）内为减函数，且f′（1）=0，∴当x∈（，1）时，f′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数，综上，x=1是函数f（x）的极大值点．（Ⅱ）由题意得f（1）≤0，即a≥1，现证明当a=1时，不等式f（x）≤0成立，即x lnx-2x2+3x-1≤0，即证ln x-2x+3-≤0，令g（x）=ln x-2x+3-，则g′（x）=+==，∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，∴g（x）的最大值为g（1）=0，∴当x＞0时，不等式f（x）≤0成立，综上，整数a的最小值为1．解析：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=ln x-4x+4，令F（x）=f′（x）=ln x-4x+4，则，利用导数性质能求出x=1是函数f（x）的极大值点．（Ⅱ）由题意得f（1）≤0，即a≥1，再证明当a=1时，不等式f（x）≤0成立，即证ln x-2x+3-≤0，由此能求出整数a的最小值为1．本题考查导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证明不等式成立，变换过程复杂，需要很强的逻辑推理能力，是高考的常考点和难点，属于难题．22.答案：解：（Ⅰ）由，得（x-2）2+y2=4，由ρsin（θ+）=，得ρsinθ+ρcosθ=1，∴直线l的直角坐标方程为x +y=1．（Ⅱ）设直线l的参数方程为（t为参数），代入（x-2）2+y2=1得t2+3+1=0，设A，B对应的参数为t1，t2，∴t1+t2=-3＜0，t1t2=1＞0，t1＜0，t2＜0，∴|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=3解析：（Ⅰ）由，得（x-2）2+y2=4，由ρsin（θ+）=，得ρsinθ+ρcosθ=1，∴直线l的直角坐标方程为x +y=1（Ⅱ）根据参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=x2-4|x-1|-1=，当x≥1时，f（x）=x2-4x+3=（x-2）2-1≥-1，即此时f（x）≥-1，当x＜1时，f（x）=x2+4x-5=（x+2）2-9≥-9，即此时f（x）≥-9，综上f（x）≥-9，即函数f（x）的值域为[-9，+∞）．（Ⅱ）由f（x）≥a|x+1|等价为x2-a|x-1|-1≥a|x+1|，即a（|x+1|+|x-1|）≤x2-1，即a≤在区间[0，2]内有解，当0≤x≤1时，a≤==，当0≤x≤1时，-≤≤0．此时a≤0，当1＜x≤2时，a≤===（x-），当1＜x≤2时，0＜（x-）≤，此时a≤，综上a≤，即实数a的取值范围是（-∞，]．解析：（Ⅰ）当a=4时，结合绝对值的应用，将函数转化为二次函数，利用二次函数的最值性质进行求解．（Ⅱ）（Ⅱ）∃x0∈[0，2]，f（x0）≥a|x0+1|，等价为a≤在区间[0，2]内有解，利用不等式的性质求出的最大值即可．本题主要考查函数与方程的应用，结合绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二次函数的性质是解决本题的关键．。

2020年高考理科数学全国卷2含答案(A4打印版)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{10{2101}1{1223U A B --==-}=}，，，，，，，，，，，则)(UA B = ( )A .{23-}，B .{223-}，，C .{2103--}，，，D .{21023--}，，，， 2.若α为第四象限角，则( )A .cos20α＞B .cos20α＜C .sin20α＞D .sin20α＜3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 ( ) A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A .3 699块B .3 474块C .3 402块D .3 339块5.若过点(2)1，圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 ( )ABCD6.数列{n a }中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =( )A .2B .3C .4D .57.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为( )A .EB .FC .GD .H8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b -=＞＞的两条渐近线分别交于D E ，两点，若ODE △的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A .4B .8C .16D .32 9.设函数()ln 21ln 21f x x x =+--，则()f x( )A .是偶函数，且在1()2+∞，单调递增 B .是奇函数，且在11()22-，单调递减C .偶函数，且在1()-∞-，单调递增D .是奇函数，且在1()2-∞-，单调递减10.已知ABC △的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( )A B .32C .1D 11.若2233x y x y ----＜，则( )A .ln(1)0y x -+＞B .ln(1)0y x -+＜C .ln 0x y -＞D .ln 0x y -＜12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足，且存在正整数m ，使得(12)i m i a a i +==，，成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(12)i m i a a i +==，，的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为的01-序列12na a a ，11()(121)mi i k i C k a a k m m +===-∑，，，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1234)5C k k =≤，，，的序列是 ( )A .11010B .11011C .10001D .11001二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a b ，的夹角为45︒，ka b -与a 垂直，则=k ________.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种.15.设复数1z ，1z 满足12|=||=2z z ，12i z z +=，则12||=z z -________. 16.设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C =－－. （1）求A ；（2）若3BC =，求ABC △周长的最大值.18.（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1220i i x y i =⋯，，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()()1220i i x y i =⋯，，，，的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数))ii nx y x y r --∑（（.19.（12分）已知椭圆2221201()x y a bC a b +=＞＞：的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A B ，两点，交2C 于C D ，两点，且43CD AB =.（1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点，若5MF =，求1C 与2C 的标准方程.20.（12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：1AA MN ∥，且平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若AO ∥平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值.21.（12分）已知函数2sin n )si (2f x x x =.（1）讨论()f x 在区间(0)π，的单调性；（2）证明：()f x （3）设*n N ∈，证明：22223sin sin 2sin 4sin 24nnn x x x x ⋯≤.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线12C C ，参数方程分别为2124cos 4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，:（θ为参数），21π1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，：（t 为参数）. （1）将12C C ，的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设12C C ，的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求()4f x 不等式的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷理科数学答案解析一、选择题 1．【答案】A【解析】由题意可得：{}1012AB =-，，，，则{2()3UA B =-}，．故选：A ．【考点】并集、补集的定义与应用 2．【答案】D 【解析】当π6α=-时，πcos2cos 03α⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，选项B 错误；当π3α=-时，2πcos 2cos 03α⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0cos 0αα，＞＜，则sin22sin cos 0ααα=＜，选项C 错误，选项D 正确；故选：D ．【考点】三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值 3．【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，故需要志愿者9001850=名．故选：B ．【考点】函数模型的简单应用 4．【答案】C【解析】设第n 环天心石块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+，即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===．故选：C ．【考点】等差数列前n 项和有关的计算 5．【答案】B【解析】由于圆上的点()21，在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为()a a ，，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=．由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()11，或()55，，圆心到直线230x y --=距离均为d =230x y --=的距离为5．故选：B ．【考点】圆心到直线距离的计算6．【答案】C【解析】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=．所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++--∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =．故选：C ．【考点】利用等比数列求和求参数的值 7．【答案】A【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E ，故选：A ．【考点】根据三视图判断点的位置 8．【答案】B 【解析】22221(00)x y C a b a b-=：＞，＞ ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线22221(00)x yC a b a b-=：＞，＞的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故()D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故()E a b -，∴||2ED b =∴ODE △面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线22221(00)x y C a b a b-=：＞，＞∴其焦距为22228c ab ==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8．故选：B ．【考点】双曲线焦距的最值问题 9．【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当1122x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，()ln 12y x =-在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，()f x ∴在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，排除B ；当12x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，D 正确．故选：D ．【考点】函数奇偶性和单调性的判断 10．【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则24π16πR =，解得：2R =．设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC 是面积为4的等边三角形，21224a ∴⨯=，解得：3a =，2233r ∴===，∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===．故选：C ．【考点】球的相关问题的求解 11．【答案】A【解析】由2233x y x y ----＜得：2323x x y y ----＜，令()23t tf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴＜，0y x -＞，11y x ∴-+＞，()ln 10y x ∴-+＞，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD无法确定．故选：A ．【考点】数式的大小的判断问题 12．【答案】C 【解析】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511()12345i i k i C k a a k +===∑，，，，对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑≤52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C【考点】数列的新定义问题二、填空题 13．【解析】由题意可得：211cos452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即：2202k a a bk →→→⨯-=-=，解得：2k =．故答案为：2．【考点】平面向量的数量积定义与运算法则 14．【答案】36【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =．现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =．根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种．故答案为：36．【考点】计数原理的实际应用 15．【答案】【解析】122z z ==，可设12cos 2sin i z θθ=+，22cos 2sin i z αα=+，()()122cos cos 2sin sin i 3i z z θαθα∴+=+++=+，()()2cos cos 2sin sin 1θαθα⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩()422cos cos 2sin sin 4θαθα++=，化简得：1cos cos sin sin 2θαθα+=-()()122cos cos 2sin sin iz z θαθα∴-=-+-===．故答案为：．【考点】复数模长的求解 16．【答案】①③④【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④．【考点】复合命题的真假，空间中线面关系有关命题真假的判断三、解答题 17．【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-，()0πA ∈，，2π3A ∴=．（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-=++=，即()29AC AB AC AB +-=．22AC AB AC AB +⎛⎫⎪⎝⎭≤（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC ABAC AB AC AB +⎛⎫∴=+-+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴△周长3L AC AB BC =+++≤ABC ∴△周长的最大值为3+【考点】解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题 18．【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=（2）样本(),i i x y的相关系数为20()()0.94ii xx y y r --===≈∑ （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样，先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可．【考点】平均数的估计值、相关系数的计算，抽样方法的选取 19．【答案】（1）12；（2）22113627x y C +=：，2212C y x =：．【解析】（1）()0F c ，，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx =⎧⎨=⎩，解得2x c y c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e ＜＜，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2ac =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x yc c +=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=，解得23x c =或6x c =-（舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c =+==，解得3c =．因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =．【考点】椭圆离心率的求解，利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程 20．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）M N ，分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB 1//MN AA ∴．在ABC△中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥．又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥，1//MN BB ，MN BC ⊥，由MN AM M =，,MN AM ⊂平面1A AMN ，∴BC ⊥平面1A AMN ．又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC ．又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF =11//B C EF∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN ，∴EF ⊥平面1A AMN ，EF ⊂平面11EB C F ，∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN．（2）连接NP//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP =，∴//AO NP ．根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA平面ABC AM =，面1A NMA平面1111A B C A N =，∴//ON AP ．故：四边形ONPA 是平行四边形．设ABC △边长是6m (0m >)，可得：ON AP =，6NP AO AB m ===．O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m ，∴16sin 603ON =⨯⨯︒，故：ON AP =．//EF BC ，∴AP EPAM BM=，∴3EP=．解得：EP m =．在11B C 截取1B Q EP m ==，故2QN m =，1B Q EP =且1//B Q EP ，∴四边形1B QPE 是平行四边形，∴1//B E PQ ．由（1）11B C ⊥平面1A AMN ，故QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角．在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQ =，sinQN QPN PQ ∴∠===∴直线1B E 与平面1A AMN ．【考点】证明线线平行和面面垂直，线面角21．【答案】（1）当π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增，当π2π33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＜，单调递减，当2ππ3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增．（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】（1）由函数的解析式可得：()32sin cos f x x x =，则：()()22423sin cos sin f x x x x'=-()2222sin 3cos sin x x x =-()222sin 4cos 1x x =-()()22sin 2cos 12cos 1x x x =+-，()0f x '=在()0πx ∈，上的根为：12π2π33x x ==，，当π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增，当π2π33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＜，单调递减，当2ππ3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增．（2）注意到()()()()22πsin πsin 2πsin sin2f x x x x x f x +=+⎡+⎤==⎣⎦，故函数()f x 是周期为π的函数，结合（1）的结论，计算可得：()()0π0f f ==，2π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝⎭，223f π⎛⎛⎫=⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭()max f x ⎡⎤=⎣⎦，()min f x ⎡⎤=⎣⎦，即()f x ≤．（3）结合（2）的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x xx233333sin sin 2sin 4sin 2nx x xx ⎡⎤=⎣⎦()()()2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin2sin 2sin 2n nnx x x x x x x x -⎡⎤=⎣⎦23233sin sin 28n x x ⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎣⎦≤ 238n⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦≤34n⎛⎫= ⎪⎝⎭．【考点】导数的应用22．【答案】（1）14C x y +=：；2224C x y -=：；（2）17cos 5ρθ=．【解析】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=；由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=．（2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即5322P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；设所求圆圆心的直角坐标为()0a ，，其中0a ＞，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=．【考点】极坐标与参数方程的综合应用23．【答案】（1）32x x ⎧⎨⎩≤或112x ⎫⎬⎭；（2）(][)13-∞-+∞，，．【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-，解得：32x ≤；当34x ＜＜时，()4314f x x x =-+-=，无解；当4x 时，()43274f x x x x =-+-=-，解得：112x；综上所述：()4f x 的解集为32x x ⎧⎨⎩≤或112x⎫⎬⎭．（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-，解得：1a -≤或3a ，a ∴的取值范围为(][)13-∞-+∞，，．【考点】绝对值不等式的求解，利用绝对值三角不等式求解最值。

2020届四川省高考数学(理)模拟试题(word版,有答案)

普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），第I 卷1至2页，第II 卷3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿上答题无效，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1.设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则A I Z 中元素的个数是（）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）62.设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为（）（A ）－15x 4（B ）15x 4（C ）－20i x 4（D ）20i x 43.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（）（A ）向左平行移动π3个单位长度（B ）向右平行移动π3个单位长度（C ）向左平行移动π6个单位长度（D ）向右平行移动π6个单位长度 4.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（）（A ）24（B ）48（C ）60（D ）725.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）（ A ）2018年（B ）2019年（C ）2020年（D ）2021年6.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（）（A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）357.设p ：实数x ，y 满足(x –1)2+(y –1)2≤2，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的（）（A ）必要不充分条件（B ）充分不必要条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8.设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为（）（A 3（B ）23（C 2（D ）1 9.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )=ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（）（A ）(0,1) （B ）(0,2) （C ）(0,+∞) （D ）(1,+∞)10.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ,DA u u u r g DB u u u r =DB u u u r g DC u u u r =DC u u u r g DA u u u r=-2，动点P ，M满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u uu r ，则2BM u u u u u r 的最大值是（）（A ）434（B ）494（C 3763+D 37233+第II 卷（非选择题 100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2020年四川省高考数学诊断试卷(理科)(5月份) (解析版)

2020年高考数学诊断试卷（理科）（5月份）一、选择题（共12小题）1．设i是虚数单位，若2−ia+i为纯虚数，则实数a（）A．﹣2B．−12C．12D．22．设全集U＝R，集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2≥1}，则将韦恩图（Venn）图中的阴影部分表示成区间是（）A．.（0，1）B．（﹣1，1）C．.（﹣1，2）D．.（1，2）3．在(x−1√x3)6的展开式中，x2项的系数为（）A．20B．15C．﹣15D．﹣204．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．21πB．24πC．27πD．30π5．设a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b6．已知f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝e x﹣1，则曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为（）A．ex﹣y+1＝0B．ex+y﹣1＝0C．ex﹣y﹣1＝0D．ex+y+1＝0 7．设O、F分别是抛物线y2＝4x的顶点和焦点，点P在抛物线上，若OP→⋅FP→=10，则|FP→|=（）A．2B．3C．4D．58．已知a ＞b ＞0，则c ＞0是a b＞a+c b+c的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．北魏大数学家张邱建对等差数列问题的研究精深，在其著述《算经》中有如下问题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问未到三人复应得金几何？”则该问题的答案约为（结果精确到0.1斤）（） A ．3.0B ．3.2C ．3.4D ．3.610．设向量a →，b →满足|a →−b →|=2，且（3a →−b →）⊥（a →+b →），则（2a →−b →）⋅b →=（）A ．﹣1B ．1C ．3D ．﹣311．已知函数f （x ）＝cos （2x +φ）（0＜x ＜π）关于直线x =π6对称，函数g （x ）＝sin （2x ﹣φ），则下列四个命题中，真命题有（）①y ＝g （x ）的图象关于点(π3，0)成中心对称；②若对∀x ∈R ，都有g （x 1）≤g （x ）≤g （x 2），则|x 1﹣x 2|的最小值为π； ③将y ＝g （x ）的图象向左平移π12个单位，可以得到y ＝f （x ）的图象；④∃x 0∈R ．使|f(x 0)−g(x 0)|=12． A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④12．已知三条射线OA 、OB 、OC 两两所成的角都是60°，点M 在OA 上，点N 在∠BOC 内运动，且MN ＝OM =6√3，则点N 的轨迹长度为（） A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．双曲线x 24−y 212=1的焦点到渐近线的距离为．14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3a n ﹣2n （n ∈N *），若{a n +λ}成等比数列，则实数λ＝． 15．已知函數f(x)={2−ax ，x ≤02x 3−ax 2+1，x ＞0，若f （x ）＞0恒成立，则实数a 的取值范围是．16．为弘扬新时代的中国女排精神．甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局即获胜，比賽随即结束）．若两队的竞技水平和比赛状态相当．且每局比赛相互独立，则比赛结束时已经进行的比赛局数的数学期望是．三、解答题：共70分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须们答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．17．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c．已知b tan A、c tan B．、b tan B成等差数列．（1）求A的大小；（2）设a＝2，求△ABC面积的最大值．18．如图所示，菱形ABCD与正方形CDEF所在平面相交于CD．（1）求作平面ACE与平面BCF的交线l．并说明理由；（2）若BD与CF垂直且相等，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．19．已知椭圆E：x2a+y2b=1(a＞b＞0)经过点A（0，﹣1），且离心率为√32．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P（2，1）的直线与椭圆E交于不同两点B、C求证：直线AB和AC的斜率之和为定值．20．随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力，相关部门在有5万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均GDP与人均垃圾清运量的统计数据如表：人均GDPx（万元/人）3691215人均垃圾清运量y（吨/人）0.130.230.310.410.52（1）已知变量y与x之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程；（2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量200干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均GDP 的频率分布直方图，请补全[15，18]的缺失部分，并利用（1）的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量．[参考公式]回归方程y =b x +a 中，b =∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i 2−nx2．21．已知函数f(x)=2(x−1)x+a−lnx ，其中a ＞0．（1）求f （x ）的单调区间；（2）设x 1，x 2是f （x ）的两个极值点，求证：f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜1−aa(1+a)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知C 1：{x =6−t y =√3t （其中t 为参数），C 2：{x =2cosθy =2+2sinθ（其中θ为为参数）．以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）．（1）求C 1和C 2的极坐标方程；（2）设以O 为端点，倾斜角为α的射线l 与C 1和C 2分别交于A 、B 两点，求|OA||OB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝|x ﹣2|﹣2|x +1|的最大值为m ．（1）求m的值；（2）若a+b＝m，求√a+1+√2b+4的最大值．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 是虚数单位，若2−i a+i为纯虚数，则实数a （）A ．﹣2B ．−12C ．12D ．2【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解：2−i a+i=(2−i)(a−i)(a+i)(a−i)=2a−1a 2+1−a+2a 2+1i 为纯虚数，∴2a−1a 2+1=0，−a+2a 2+1≠0，解得a =12．故选：C ．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x 2≥1}，则将韦恩图（Venn ）图中的阴影部分表示成区间是（）A ．.（0，1）B ．（﹣1，1）C ．.（﹣1，2）D ．.（1，2）【分析】根据所给的韦恩图，看出阴影部分所表达的是要求B 集合的补集与A 集合的交集，整理两个集合，求出B 的补集，再求出交集．解：由题意可知集合A 中x 必须满足log 2x ＜1＝log 22；即0＜x ＜2，集合B 中x 2≥1⇒x ≥1或x ≤﹣1；所以集合B 的补集（﹣1，1），图中阴影部分表示A ∩（∁U B ）＝（0，1），故选：A ．【点评】本题考查韦恩图表达集合的关系及运算，本题解题的关键是正确读出韦恩图，在计算出两个集合之间的交集．3．在(x−1√x3)6的展开式中，x2项的系数为（）A．20B．15C．﹣15D．﹣20【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，可得展开式中x2项的系数．解：在(x−1√x3)6的展开式中，通项公式为T r+1=C6r•（﹣1）r•x6−4r3，令6−4r3=2，求得r＝3，可得含x2项的系数为−C63=−20，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，属于基础题．4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．21πB．24πC．27πD．30π【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图可得直观图为：下面为半径为3半球体和底面半径为3，高为2的圆锥组成．如图所示：故：V=23×π×33+13×π×32×2=24π，故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5．设a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】直接利用单位元的三角函数线和诱导公式的应用求出结果．解：a＝sin24°，b＝tan38°，c＝cos52°＝sin28°，根据单位圆的三角函数线：AB＝b，EF＝c，CD＝a，即：tan38°＞sin28°＞sin24°，即a＜c＜b，故选：D．【点评】本题考查的知识要点：三角函数线的应用，三角函数诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．已知f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝e x﹣1，则曲线y＝f（x）在x＝﹣1处的切线方程为（）A．ex﹣y+1＝0B．ex+y﹣1＝0C．ex﹣y﹣1＝0D．ex+y+1＝0【分析】根据奇函数的性质可知，f（﹣1）＝﹣f（1），求出切点坐标，再根据f′（﹣1）＝f（1）求出切线斜率，则切线可求．解：∵f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝e x﹣1，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝1﹣e；又x＞0时，f′（x）＝e x，∴f′（﹣1）＝f′（1）＝e．故切线为：y﹣（1﹣e）＝e（x+1），即ex﹣y+1＝0．故选：A．【点评】本题考查利用导数求切线的基本思路，奇函数的性质，以及学生利用转化思想解决问题的能力及运算能力．属于中档题．7．设O 、F 分别是抛物线y 2＝4x 的顶点和焦点，点P 在抛物线上，若OP →⋅FP →=10，则|FP →|=（） A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】设出p 的坐标，根据数量积求出点p 的横坐标，即可求解出结论．解：∵O 、F 分别是抛物线y 2＝4x 的顶点和焦点， ∴O （0，0），F （1，0）；设P （x ，y ）；则OP →⋅FP →=10=（x ，y ）•（x ﹣1，y ）＝x （x ﹣1）+y 2；又因为y 2＝4x ；∴x （x ﹣1）+4x ＝10⇒x ＝2 （﹣5舍）；故|FP →|=x +p2=2+1＝3；故选：B ．【点评】本题主要考查向量的数量积以及抛物线的定义，考查计算能力，属于基础题目． 8．已知a ＞b ＞0，则c ＞0是ab ＞a+c b+c的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】ab ＞a+c b+c化为：c(a−b)b(b+c)＞0，根据a ＞b ＞0，不等式化为：（b +c ）c ＞0，进而判断出结论．解：ab ＞a+c b+c化为：c(a−b)b(b+c)＞0，∵a ＞b ＞0，∴不等式化为：（b +c ）c ＞0，则c ＞0⇒ba ＞a+c b−c，反之不成立，例如b ＝1，c ＝﹣2．∴a ＞b ＞0，则c ＞0是a b＞a+c b+c的充分不必要条件．故选：A ．【点评】本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．北魏大数学家张邱建对等差数列问题的研究精深，在其著述《算经》中有如下问题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问未到三人复应得金几何？”则该问题的答案约为（结果精确到0.1斤）（） A ．3.0B ．3.2C ．3.4D ．3.6【分析】根据题意，设题目中十等人得金依次为a 1、a 2、……，a 10，由等差数列的通项公式可得{a 1+a 2+a 3+a 4=3a 8+a 9+a 10=4，解可得a 1、d ，即可得等差数列{a n }的通项公式，又由中间三人共得金S ＝a 5+a 6+a 7＝3a 6，计算可得答案．解：根据题意，设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列，设数列{a n }的公差为d ，{a 1+a 2+a 3+a 4=3a 8+a 9+a 10=4，即有{4a 1+6d =33a 1+24d =4，解可得a 1=813，d =778，则中间三人共得金S ＝a 5+a 6+a 7＝3a 6＝3（a 1+5d ）=8326≈3.2（斤）；故选：B ．【点评】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，关键求出等差数列的首项与公差，属于基础题．10．设向量a →，b →满足|a →−b →|=2，且（3a →−b →）⊥（a →+b →），则（2a →−b →）⋅b →=（）A ．﹣1B ．1C ．3D ．﹣3【分析】先根据已知条件得到a →2−2a →⋅b →+b →2=4 与3a →2+2a →⋅b →−b →2=0；二者联立即可求解结论．解：因为向量a →，b →满足|a →−b →|=2，且（3a →−b →）⊥（a →+b →）， ∴a →2−2a →⋅b →+b →2=4 ①；（3a →−b →）•（a →+b →）＝0⇒3a →2+2a →⋅b →−b →2=0 ②；由①+②可得：a →2=1；∴2a →⋅b →−b →2=−3a →2=−3；即（2a →−b →）⋅b →=2a →⋅b →−b →2=−3a →2=−3；故选：D ．【点评】本题主要考查数量积的应用以及整体代入的数学思想，属于基础题目．11．已知函数f （x ）＝cos （2x +φ）（0＜x ＜π）关于直线x =π6对称，函数g （x ）＝sin （2x ﹣φ），则下列四个命题中，真命题有（）①y ＝g （x ）的图象关于点(π3，0)成中心对称；②若对∀x ∈R ，都有g （x 1）≤g （x ）≤g （x 2），则|x 1﹣x 2|的最小值为π； ③将y ＝g （x ）的图象向左平移π12个单位，可以得到y ＝f （x ）的图象；④∃x 0∈R ．使|f(x 0)−g(x 0)|=12． A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④【分析】首先利用函数的对称性的应用求出φ的值，进一步求出函数gf （x ）和函数g （x ）的解析式，再利用函数的性质的应用求出函数的对称性和函数周期及最值及利用和角公式的运用和差角公式的应用求出存在具体的角，最后求出结果．解：函数f （x ）＝cos （2x +φ）（0＜x ＜π）关于直线x =π6对称，所以2×π6+φ＝k π（k ∈Z ），解得φ＝k π−π3，当k ＝1时φ=2π3．所以f （x ）＝cos （2x +2π3）．所以函数g （x ）＝sin （2x ﹣φ）＝sin （2x −2π3），令2x −2π3=kπ，解得x =kπ2+π3（k ∈Z ），当k ＝0时，x =π3，所以：y ＝g （x ）的图象关于点(π3，0)成中心对称；故①正确．②若对∀x ∈R ，都有g （x 1）≤g （x ）≤g （x 2），即g （x ）min ≤g （x ）≤g （x ）max ，即|x 1﹣x 2|的最小值为T2=π2，故②错误．③将y ＝g （x ）的图象向左平移π12个单位，得到k （x ）＝sin （2x +π6−2π3）＝﹣cos2x ，故错误．④由于f （x ）﹣g （x ）＝cos （2x +2π3）﹣sin （2x −2π3）=(√32−12)×√2sin(2x −π4)，当sin （2x −π4）=√6−√24时，|f(x 0)−g(x 0)|=12，故正确．故选：C ．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．12．已知三条射线OA 、OB 、OC 两两所成的角都是60°，点M 在OA 上，点N 在∠BOC 内运动，且MN ＝OM =6√3，则点N 的轨迹长度为（） A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π【分析】先作MO 1⊥平面AOB 于点O 1，作MK ⊥OB 于点K ，连OO 1，KO 1，利用直角三角形知识依次求出MK ，OK ，KO 1，MO 1长度，再由题设条件得出点N 的轨迹是一段圆弧，求出其长度即可．解：如图所示：作MO 1⊥平面AOB 于点O 1，作MK ⊥OB 于点K ，连OO 1，KO 1， ∵射线OA 、OB 、OC 两两所成的角都是60°，点M 在OA 上，MO =6√3， ∴在直角三角形MKO 中，MK ＝OM •sin60°＝9，OK ＝OM •cos60°＝3√3；在直角三角形O 1KO 中，KO 1＝OK •tan30°＝3；在直角三角形MO 1K 中，MO 1=2−32=6√2．∵点N 在∠BOC 内运动，且MN =6√3，∴点N 的轨迹是以点M 为球心，以6√3为半径的球被平面BOC 截得的一段圆弧EF ．其圆心为点O 1，半径r =√MN 2−MO 12=6，圆心角为∠EO 1F ＝2∠BOC ＝120°，圆弧长为13×2πr ＝4π．故选：C ．【点评】本题主要考查动点的轨迹是球被平面截得的一段圆弧的弧长的计算，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．双曲线x 24−y 212=1的焦点到渐近线的距离为 2√3 ．【分析】由双曲线方程求得焦点坐标与渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解．解：由双曲线x 24−y 212=1，得焦点坐标为F （±4，0），渐近线方程为y =±√3x ，不妨取焦点坐标为（4，0），一条渐近线方程为√3x −y =0．则焦点到渐近线的距离为d =√3|3+1=2√3．故答案为：2√3．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线距离公式的应用，是基础题． 14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3a n ﹣2n （n ∈N *），若{a n +λ}成等比数列，则实数λ＝ 2 ．【分析】利用a n 与S n 的关系转化成a n 与a n ﹣1的关系，因为{a n +λ}成等比数列，构造a n +λ，求解λ即可．解：数列{a n }的前n 项和S n ＝3a n ﹣2n （n ∈N *），①，则n ≥2时，S n ﹣1＝3a n ﹣1﹣2（n ﹣1），②， ①﹣②，得a n ＝3a n ﹣3a n ﹣1﹣2， ∴2a n ＝3a n ﹣1+2， ∴a n =32a n−1+1，若{a n +λ}成等比数列， ∴a n +λ=32(a n−1+λ)，解得λ＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查a n 与S n 的关系，以及构造新数列，考查了等比数列的概念，属于基础题． 15．已知函數f(x)={2−ax ，x ≤02x 3−ax 2+1，x ＞0，若f （x ）＞0恒成立，则实数a 的取值范围是 [0，3）．【分析】讨论a ＝0，a ＜0，a ＞0，结合函数的单调性和运用导数判断单调性、求最值，由题意可得f （x ）的最小值大于0，解不等式可得所求范围．解：当a ＝0时，f （x ）={2，x ≤02x 3+1，x ＞0，显然f （x ）＞0恒成立；当a ＜0时，x ≤0时，f （x ）递增，可得f （x ）≤2，显然f （x ）＞0不恒成立；当a ＞0时，x ≤0时，f （x ）递减，可得f （x ）≥2；x ＞0时，f （x ）＝2x 3﹣ax 2+1的导数为f ′（x ）＝6x 2﹣2ax ＝2x （3x ﹣a ），当0＜x ＜13a 时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减；当x ＞13a 时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增，可得f （x ）在x =13a 处取得极小值，且为最小值−a 327+1，由题意可得−a 327+1＞0，解得0＜a ＜3，综上可得a 的取值范围是[0，3）．故答案为：[0，3）．【点评】本题考查分段函数的性质，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和导数的运用：求单调性、极值和最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题． 16．为弘扬新时代的中国女排精神．甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局即获胜，比賽随即结束）．若两队的竞技水平和比赛状态相当．且每局比赛相互独立，则比赛结束时已经进行的比赛局数的数学期望是 4.125 ．【分析】设比赛结束时已经进行的比赛局数为X ，则X 的可能取值为3，4，5，然后结合独立重复事件的概率逐一求出每个X 的取值所对应的概率，再利用数学期望的公式求解即可．解：设比赛结束时已经进行的比赛局数为X ，则X 的可能取值为3，4，5，甲队或乙队连胜三局：P （X ＝3）=C 33⋅(12)3⋅(12)3+C 30⋅(12)0⋅(12)3=14，甲队或乙队在前3局胜2局，第4局获胜：P （X ＝4）=C 32⋅(12)2⋅12⋅12+C 32⋅(12)2⋅12⋅12=38，甲队或乙队在前4局胜2局，第5局获胜：P （X ＝5）=C 42⋅(12)2⋅(12)2⋅12+C 42⋅(12)2⋅(12)2⋅12=38．∴数学期望E （X ）=3×14+4×38+5×38=338=4.125．故答案为：4.125．【点评】本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的数学期望，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．三、解答题：共70分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须们答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．17．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ．已知b tan A 、c tan B ．、b tan B 成等差数列．（1）求A 的大小；（2）设a ＝2，求△ABC 面积的最大值．【分析】（1）由题意利用等差数列的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式，正弦定理，求得cos A 的值，可得A 的值．（2）由题意利用余弦定理、基本不等式，求得，△ABC 面积为S 的最大值．解：（1）△ABC 中，∵b tan A 、c tan B 、b tan B 成等差数列，∴b tan A +b tan B ＝2c tan B ，即b （sinA cosA+sinB cosB）＝2c •sinB cosB，即 b •sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=2c •sinB cosB，即 b •sin(A+B)cosAcosB=2c •sinB cosB，即 bsinCcosAcosB =2c •sinB cosB．再利用正弦定理可得sinB⋅sinC cosAcosB=2sinC⋅sinBcosB，故cos A =12，∴A =π3．（2）设a ＝2，△ABC 面积为S ，则S =12•bc •sin A =√34bc ．由余弦定理可得a 2＝4＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ≥2bc ﹣bc ＝bc ，即 bc ≤4，当且仅当b ＝c 时，等号成立．故，△ABC 面积为S 的最大值为√34•4=√3．【点评】本题主要考查等差数列的定义应用，同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题． 18．如图所示，菱形ABCD 与正方形CDEF 所在平面相交于CD ．（1）求作平面ACE 与平面BCF 的交线l ．并说明理由；（2）若BD 与CF 垂直且相等，求二面角D ﹣AE ﹣C 的余弦值．【分析】（1）过点C 作BF 的平行线l ，推导出AB 与EF 平行且相等，从而四边形ABEF 是平行四边形，AE ∥BF ，进而BF ∥平面ACE ，由此推导出BF ∥l ．（2）由CF ⊥BD ，CF ⊥CD ，且BD ∩CD ＝D ，得CF ⊥平面ABCD ，由BD ＝CF ，得△BCD 是正三角形，取BC 中点O ，则BO ⊥CD ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D ﹣AE ﹣C 的余弦值．解：（1）过点C 作BF 的平行线l 即可，下面给予证明：由已知得AB 和EF 都与CD 平行且相等，即AB 与EF 平行且相等，∴四边形ABEF 是平行四边形，∴AE ∥BF ，∵BF ⊄平面ACE ，且AE ⊂平面ACE ，∴BF ∥平面ACE ， ∵BF ⊂平面BCF ，且平面ACE ∩平面BCF ， ∴BF ∥l ．（2）由CF ⊥BD ，CF ⊥CD ，且BD ∩CD ＝D ，得CF ⊥平面ABCD ，由BD ＝CF ，得△BCD 是正三角形，取BC 中点O ，则BO ⊥CD ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则D （0，﹣1，0），A （√3，﹣2，0），E （0，﹣1，2），C （0，1，0）， ∴AD →=（−√3，1，0），AE →=（−√3，1，2），EC →=（0，2，﹣2），设平面ADE 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AD →=−√3x +y =0m →⋅AE →=−√3x +y +2z =0，取x ＝1，得m →=（1，√3，0），设平面ACE 的一个法向量n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅EC →=2b −2c =0n →⋅AE →=−√3a +b +2c =0，取c ＝1，得n →=（√3，1，1），设二面角D ﹣AE ﹣C 的平面角为θ，则二面角D ﹣AE ﹣C 的余弦值为：cos θ=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√325=√155．【点评】本题考查两平面的交线、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)经过点A （0，﹣1），且离心率为√32．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P （2，1）的直线与椭圆E 交于不同两点B 、C 求证：直线AB 和AC 的斜率之和为定值．【分析】（1）由已知列关于a ，b ，c 的方程组，求解可得a ，b 的值，则椭圆方程可求；（2）直线BC 过P （2，1）且与椭圆有两个不同交点，可得直线BC 的斜率一定存在且对于0，于是设直线方程为y ﹣1＝k （x ﹣2），即y ＝kx ﹣2k +1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由斜率公式及根与系数的关系化简可得直线AB 和AC 的斜率之和为定值．【解答】（1）解：由题意，{b =1c a =√32a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3，则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；（2）证明：∵直线BC 过P （2，1）且与椭圆有两个不同交点，∴直线BC 的斜率一定存在且对于0，于是设直线方程为y ﹣1＝k （x ﹣2），即y ＝kx ﹣2k +1．联立{y =kx −2k +1x 2+4y 2=4，得（4k 2+1）x 2﹣（16k 2﹣8k ）x +16k （k ﹣1）＝0． △＝（16k 2﹣8k ）2﹣4（4k 2+1）（16k 2﹣16k ）＞0．设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=16k 2−8k 4k 2+1，x 1x 2=16k(k−1)4k 2+1．设直线AB和AC的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=y1+1x1+y2+1x2=k(x1−2)+2x1+k(x2−2)+2x2=2k−2(k−1)(x1+x2)x1x2＝2k−16k(k−1)(2k−1)16k(k−1)=2k−(2k−1)=1．∴直线AB和AC的斜率之和为定值1．【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20．随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力，相关部门在有5万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均GDP与人均垃圾清运量的统计数据如表：人均GDPx（万元/人）3691215人均垃圾清运量y（吨/人）0.130.230.310.410.52（1）已知变量y与x之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程；（2）随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量200干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均GDP的频率分布直方图，请补全[15，18]的缺失部分，并利用（1）的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量．[参考公式]回归方程y=b x+a中，b=∑n i=1(x i−x)(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nxy∑n i=1x i2−nx2．【分析】（1）由最小二乘法，算出b，a，进而可得回归直线方程．（2）由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，得a＝2，最右边小矩形的高度，人均GDP，进而得光明社区的人均垃圾清运量约为0.032×（10.2+1）（吨/人）．于是光明社区年内垃圾清运总量，进而得出答案．解：（1）由表格可得，x=5×(3+15)2×5=9，y=0.13+0.23+0.31+0.41+0.525=0.32，∑5i=1(x i−x)2=36+9+0+9+36=90，∑5i=1(x i−x)(y i−y)=（﹣6）×（﹣0.19）+（﹣3）×（﹣0.09）+0×（﹣0.01）+3×0.09+6×0.2＝6×（0.19+0.09+0.20）＝6×0.48＝2.88，所以b=∑5i=1(x i−x)(y i−y)∑5i=1(x i−x)2=2.8890=0.032，于是a=y−b x=0.32﹣0.032×9＝0.032，故变量y与x之间的回归直线方程为y=0.032(x+1)．（2）由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，得160×（1+2+4+6+5+a）×3＝1，解得a＝2，故最右边小矩形的高度为260=1 30，由频率分布直方图可知，光明社区的人均GDP为x =360（1×1.5+2×4.5+4×7.5+6×10.5+5×13.5+2×16.5）＝10.2（万元/人），由（1）可知，光明社区的人均垃圾清运量约为0.032×（10.2+1）（吨/人）．于是光明社区年内垃圾清运总量为5×0.032×（10.2+1）＝1.792（万吨）．由题意，整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量估计为： 17920×200＝3.584×106（千瓦时）即为所求．【点评】本题考查统计，及回归直线方程，属于中档题． 21．已知函数f(x)=2(x−1)x+a −lnx ，其中a ＞0．（1）求f （x ）的单调区间；（2）设x 1，x 2是f （x ）的两个极值点，求证：f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜1−aa(1+a)．【分析】（1）求出原函数的导函数f ′（x ）=2(a+1)(x+a)2−1x =−x 2+2x−a 2x(x+a)2（x ＞0），当a≥1时，f ′（x ）≤0恒成立，可得f （x ）在（0，+∞）上的单调性；当0＜a ＜1时，由导函数的符号确定原函数的单调区间；（2）由x 1，x 2是f （x ）的两个极值点，结合（1）知，0＜a ＜1，且x 1+x 2＝2，x 1x 2=a 2，化简可得f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=1a−lnx 1−lnx 2x 1−x 2，令g （t ）＝lnt −2(t−1)t+1（0＜t ＜1），利用导数证明g （t ）在（0，1）内单调递增，于是g （t ）＜g （1）＝0，即lnt ＜2(t−1)t+1（0＜t＜1）．不妨令x 1＜x 2，令t =√x 1x 2∈（0，1），则12lnx 1x 2＜2(√x1x −1)√x 1x 2+1，即lnx 1﹣lnx 2＜√x 1−√x 2)√x +√x ，可得lnx 1−lnx 2x 1−x 2＞21+a ，从而f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜1a −21+a =1−a a(1+a)．【解答】（1）解：由f(x)=2(x−1)x+a −lnx ，得f ′（x ）=2(a+1)(x+a)2−1x =−x 2+2x−a 2x(x+a)2（x ＞0）．①当a ≥1时，f ′（x ）≤−x 2+2x−1x(x+a)2=−(x−1)2x(x+a)≤0恒成立，∴f （x ）在（0，+∞）上单调递增，无单调减区间；②当0＜a ＜1时，由﹣x 2+2x ﹣a 2＞0，解得1−√1−a 2＜x ＜1+√1+a 2．由﹣x 2+2x ﹣a 2＜0，解得0＜x ＜1−√1−a 2或x ＞1+√1+a 2．∴f （x ）在（0，1−√1−a 2），（1+√1+a 2，+∞）上单调递减，在（1−√1−a 2，1+√1+a 2）上单调递增；（2）证明：∵x 1，x 2是f （x ）的两个极值点，由（1）知，0＜a ＜1，且x 1+x 2＝2，x 1x 2=a 2． f （x 1）﹣f （x 2）＝[2(x 1−1)x 1+a−2(x 2−1)x 2+a]﹣（lnx 1﹣lnx 2）=2[(x 1−1)(x 2+a)−(x 2−1)(x 1+a)](x 1+a)(x 2+a)−（lnx 1﹣lnx 2）=2(a+1)(x 1−x 2)x 1x 2+a(x 1+x 2)+a 2−（lnx 1﹣lnx 2）．∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=2(a+1)2a +2a−lnx 1−lnx 2x 1−x 2=1a−lnx 1−lnx 2x 1−x 2．令g （t ）＝lnt −2(t−1)t+1（0＜t ＜1），则g ′（t ）=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2＞0．故g （t ）在（0，1）内单调递增，于是g （t ）＜g （1）＝0，即lnt ＜2(t−1)t+1（0＜t ＜1）．不妨令x 1＜x 2，令t =√x 1x 2∈（0，1），则12lnx 1x 22(√x1x−1)√x 1x 2+1即lnx 1﹣lnx 2√x 1−√x 2)x +x ．于是，lnx 1−lnx 2x 1−x 2(√x +√x )2=x +x +2√x x =42+2a=21+a．从而f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜1a−21+a=1−aa(1+a)．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查化归与转化思想方法，换元与构造函数是解答该题的关键，属难题．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，已知C 1：{x =6−t y =√3t （其中t 为参数），C 2：{x =2cosθy =2+2sinθ（其中θ为为参数）．以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）．（1）求C 1和C 2的极坐标方程；（2）设以O 为端点，倾斜角为α的射线l 与C 1和C 2分别交于A 、B 两点，求|OA||OB|的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）已知曲线C 1：{x =6−ty =√3t（其中t 为参数），转换为直角坐标方程为√3x +y =6√3，转换为极坐标方程为ρsin(θ+π3)=3√3，曲线C 2：{x =2cosθy =2+2sinθ（其中θ为为参数）．转换为直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2＝4，转换为极坐标方程为ρ＝4sin θ．（2）射线l 的极坐标方程为θ＝α，所以|OA|=6√3sinα+√3cosα，|OB |＝4sin α，则：|OA||OB|=√34(sin 2α+√3sinαcosα)=3√31+2sin(2α−π6)，故当sin(2α−π6)=1时，|OA||OB|的最小值√3．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．设函数f （x ）＝|x ﹣2|﹣2|x +1|的最大值为m ．（1）求m 的值；（2）若a +b ＝m ，求√a +1+√2b +4的最大值．【分析】（1）讨论x 的范围：x ≤﹣1，﹣1＜x ≤2，x ＞2，去掉绝对值，写出分段函数的形式，画出图象即可求得m 值；（2）利用柯西不等式，转化区间函数的最值即可．解：（1）f （x ）＝|x ﹣2|﹣2|x +1|={x +4，x ≤−1−3x ，−1＜x ＜2−x −4，x ≥2，所以函数f （x ）在区间（﹣∞，﹣1]内是增函数，在[﹣1，+∞）s 是减函数．所以函数的最大值为：m ＝f （﹣1）＝3．（2）由柯西不等式可得：√a +1+√2b +4=1⋅√a +1+√2⋅√2b +4≤√(1+2)(a +1+b +2)，由题意a +b ＝3，所以√a +1+√2b +4≤3√2．当且仅当a ＝1，b ＝2时取等号．所以√a +1+√2b +4的最大值为：3√2．【点评】本题考查最值的求法，注意柯西不等式的应用，考查变形和化简整理的运算能力，属于中档题．。

2020年四川省高考数学诊断试卷(理科)(5月份)(附答案详解)

2020年四川省高考数学诊断试卷（理科）（5月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设i 是虚数单位，若2−ia+i 为纯虚数，则实数a( )A. −2B. −12C. 12D. 22. 设全集U =R ，集合A ={x|log 2x <1}，B ={x|x 2≥1}，则将韦恩图(Venn)图中的阴影部分表示成区间是( )A. (0,1)B. (−1,1)C. (−1,2)D. (1,2)3. 在(x −1√x 3)6的展开式中，x 2项的系数为( )A. 20B. 15C. −15D. −204. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 21πB. 24πC. 27πD. 30π5. 设a =sin24°，b =tan38°，c =cos52°，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. c <a <bD. a <c <b6. 已知f(x)是奇函数，且当x >0时，f(x)=e x −1，则曲线y =f(x)在x =−1处的切线方程为( )A. ex −y +1=0B. ex +y −1=0C. ex −y −1=0D. ex +y +1=07. 设O 、F 分别是抛物线y 2=4x 的顶点和焦点，点P 在抛物线上，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ =10，则|FP⃗⃗⃗⃗⃗ |=( ) A. 2 B. 3C. 4D. 58. 已知a >b >0，则c >0是ab >a+cb+c 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 北魏大数学家张邱建对等差数列问题的研究精深，在其著述《算经》中有如下问题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出：中间三人未到者，亦依等次更给，问未到三人复应得金几A. 3.0B. 3.2C. 3.4D. 3.610. 设向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ −b ⃗ |=2，且(3a ⃗ −b ⃗ )⊥(a ⃗ +b ⃗ )，则(2a ⃗ −b⃗ )⋅b ⃗ =( ) A. −1 B. 1 C. 3D. −311. 已知函数f(x)=cos(2x +φ)(0<x <π)关于直线x =π6对称，函数g(x)=sin(2x −φ)，则下列四个命题中，真命题有( ) ①y =g(x)的图象关于点(π3,0)成中心对称；②若对∀x ∈R ，都有g(x 1)≤g(x)≤g(x 2)，则|x 1−x 2|的最小值为π； ③将y =g(x)的图象向左平移π12个单位，可以得到y =f(x)的图象； ④∃x 0∈R.使|f(x 0)−g(x 0)|=12．A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④12. 已知三条射线OA 、OB 、OC 两两所成的角都是60°，点M 在OA 上，点N 在∠BOC 内运动，且MN =OM =6√3，则点N 的轨迹长度为( )A. 2πB. 3πC. 4πD. 5π二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 双曲线x 24−y 212=1的焦点到渐近线的距离为______．14. 已知数列{a n }的前n 项和S n =3a n −2n(n ∈N ∗)，若{a n +λ}成等比数列，则实数λ=______．15. 已知函數f(x)={2−ax,x ≤02x 3−ax 2+1,x >0，若f(x)>0恒成立，则实数a 的取值范围是______．16. 为弘扬新时代的中国女排精神．甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜制(即某队先赢三局即获胜，比賽随即结束).若两队的竞技水平和比赛状态相当．且每局比赛相互独立，则比赛结束时已经进行的比赛局数的数学期望是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c.已知btanA 、ctanB.、btanB 成等差数列． (1)求A 的大小；(2)设a =2，求△ABC 面积的最大值．18.如图所示，菱形ABCD与正方形CDEF所在平面相交于CD．(1)求作平面ACE与平面BCF的交线l.并说明理由；(2)若BD与CF垂直且相等，求二面角D−AE−C的余弦值．19.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,−1)，且离心率为√32．(1)求椭圆E的方程；(2)过点P(2,1)的直线与椭圆E交于不同两点B、C求证：直线AB和AC的斜率之和为定值．20.随着经济的快速增长、规模的迅速扩张以及人民生活水平的逐渐提高，日益剧增的垃圾给城市的绿色发展带来了巨大的压力，相关部门在有5万居民的光明社区采用分层抽样方法得到年内家庭人均GDP与人均垃圾清运量的统计数据如表：人均GDPx(万元/人)3 6 9 12 15人均垃圾清运量y(吨/人)0.13 0.23 0.31 0.41 0.52(1)已知变量y 与x 之间存在线性相关关系，求出其回归直线方程；(2)随着垃圾分类的推进，燃烧垃圾发电的热值大幅上升，平均每吨垃圾可折算成上网电量200干瓦时，右图是光明社区年内家庭人均GDP 的频率分布直方图，请补全[15,18]的缺失部分，并利用(1)的结果，估计整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量．[参考公式]回归方程y ̂=b ̂x +a ̂中，b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2=∑x i n i=1y i −nxy−∑x i 2n i=1−nx−2．21. 已知函数f(x)=2(x−1)x+a−lnx ，其中a >0．(2)设x 1，x 2是f(x)的两个极值点，求证：f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<1−aa(1+a)．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知C 1：{x =6−t y =√3t(其中t 为参数)，C 2：{x =2cosθy =2+2sinθ(其中θ为为参数).以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)．(1)求C 1和C 2的极坐标方程；(2)设以O 为端点，倾斜角为α的射线l 与C 1和C 2分别交于A 、B 两点，求|OA||OB|的最小值．23. 设函数f(x)=|x −2|−2|x +1|的最大值为m ．(1)求m 的值；(2)若a +b =m ，求√a +1+√2b +4的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：2−ia+i =(2−i)(a−i)(a+i)(a−i)=2a−1a 2+1−a+2a 2+1i 为纯虚数， ∴2a−1a +1=0，−a+2a +1≠0，解得a =12．故选：C ．2.【答案】A【解析】解：由题意可知集合A 中x 必须满足log 2x <1=log 22，即0<x <2，即A =(0,2)．集合B 中x 2≥1⇒x ≥1或x ≤−1，所以集合B 的补集C U B =(−1,1)，图中阴影部分表示A ∩(C U B)=(0,1)，故选：A ．根据所给的韦恩图，看出阴影部分所表达的是要求B 集合的补集与A 集合的交集，整理两个集合，求出B 的补集，再求出交集．本题考查韦恩图表达集合的关系及运算，本题解题的关键是正确读出韦恩图，在计算出两个集合之间的交集．3.【答案】D【解析】解：在(x −√x 3)6的展开式中，通项公式为T r+1=C 6r ⋅(−1)r ⋅x 6−4r3，令6−4r 3=2，求得r =3，可得含x 2项的系数为−C 63=−20，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，可得展开式中x2项的系数．本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，属于基础题．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识要点：三视图和直观图的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积．【解答】解：根据几何体的三视图可得直观图为：下面为半径为3半球体和底面半径为3，高为2的圆锥组成．如图所示：故：V=23×π×33+13×π×32×2=24π，故选：B．5.【答案】D【解析】解：a=sin24°，b=tan38°，c=cos52°=sin28°，根据单位圆的三角函数线：AB=b，EF=c，CD=a，即：tan38°>sin28°>sin24°，即a<c<b，故选：D．直接利用单位元的三角函数线和诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数线的应用，三角函数诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.【答案】A【解析】解：∵f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=e x−1，∴f(−1)=−f(1)=1−e；又x>0时，f′(x)=e x，∴f′(−1)=f′(1)=e．故切线为：y−(1−e)=e(x+1)，即ex−y+1=0．故选：A．根据奇函数的性质可知，f(−1)=−f(1)，求出切点坐标，再根据f′(−1)=f(1)求出切线斜率，则切线可求．本题考查利用导数求切线的基本思路，奇函数的性质，以及学生利用转化思想解决问题的能力及运算能力．属于中档题．7.【答案】B【解析】解：∵O、F分别是抛物线y2=4x的顶点和焦点，∴O(0,0)，F(1,0)；则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =10=(x,y)⋅(x −1,y)=x(x −1)+y 2；又因为y 2=4x ；∴x(x −1)+4x =10⇒x =2 (−5舍)；故|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x +p2=2+1=3；故选：B ．设出p 的坐标，根据数量积求出点p 的横坐标，即可求解出结论．本题主要考查向量的数量积以及抛物线的定义，考查计算能力，属于基础题目．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．a b>a+cb+c化为：c(a−b)b(b+c)>0，根据a >b >0，不等式化为：(b +c)c >0，进而判断出结论．【解答】解：ab >a+cb+c 化为：c(a−b)b(b+c)>0，∵a >b >0，∴不等式化为：(b +c)c >0，则c >0⇒ba >a+cb−c ，反之不成立，例如b =1，c =−2． ∴a >b >0，则c >0是ab >a+cb+c 的充分不必要条件．故选：A ．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，关键求出等差数列的首项与公差，属于基础题．根据题意，设题目中十等人得金依次为a 1、a 2、……，a 10，由等差数列的通项公式可得{a 1+a 2+a 3+a 4=3a 8+a 9+a 10=4，解可得a 1、d ，即可得等差数列{a n }的通项公式，又由中间三人共得金S =a 5+a 6+a 7=3a 6，计算可得答案．解：根据题意，设第十等人得金a 1斤，第九等人得金a 2斤，以此类推，第一等人得金a 10斤，则数列{a n }构成等差数列，设数列{a n }的公差为d ，{a 1+a 2+a 3+a 4=3a 8+a 9+a 10=4，即有{4a 1+6d =33a 1+24d =4，解可得a 1=813，d =778，则中间三人共得金S =a 5+a 6+a 7=3a 6=3(a 1+5d)=8326≈3.2(斤)；故选：B ．10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查数量积的应用以及整体代入的数学思想，属于基础题．先根据已知条件得到a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4 与3a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=0；二者联立即可求解结论．【解答】解：因为向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ −b ⃗ |=2，且(3a ⃗ −b ⃗ )⊥(a ⃗ +b ⃗ )，∴a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4 ①；(3a ⃗ −b ⃗ )⋅(a ⃗ +b ⃗ )=0⇒3a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=0 ②；由①+②可得：a ⃗ 2=1； ∴2a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=−3a ⃗ 2=−3；即(2a ⃗ −b ⃗ )⋅b ⃗ =2a ⃗ ⋅b ⃗ −b ⃗ 2=−3a ⃗ 2=−3；故选：D ．11.【答案】C【解析】【分析】首先利用函数的对称性的应用求出φ的值，进一步求出函数gf(x)和函数g(x)的解析式，再利用函数的性质的应用求出函数的对称性和函数周期及最值及利用和角公式的运用和差角公式的应用求出存在具体的角，最后求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的型．【解答】解：函数f(x)=cos(2x +φ)(0<x <π)关于直线x =π6对称，所以2×π6+φ=kπ(k ∈Z)，解得φ=kπ−π3，当k =1时φ=2π3．所以f(x)=cos(2x +2π3).所以函数g(x)=sin(2x −φ)=sin(2x −2π3)，令2x −2π3=kπ，解得x =kπ2+π3(k ∈Z)，当k =0时，x =π3，所以：y =g(x)的图象关于点(π3,0)成中心对称；故①正确．②若对∀x ∈R ，都有g(x 1)≤g(x)≤g(x 2)，即g(x)min ≤g(x)≤g(x)max ，即|x 1−x 2|的最小值为T2=π2，故②错误．③将y =g(x)的图象向左平移π12个单位，得到k(x)=sin(2x +π6−2π3)=−cos2x ，故错误．④由于f(x)−g(x)=cos(2x +2π3)−sin(2x −2π3)=(√32−12)×√2sin(2x −π4)，当sin(2x −π4)=√6−√24时，|f(x 0)−g(x 0)|=12，故正确．故选：C ．12.【答案】C【解析】解：如图所示：作MO 1⊥平面AOB 于点O 1，作MK ⊥OB 于点K ，连OO 1，KO 1， ∵射线OA 、OB 、OC 两两所成的角都是60°，点M 在OA 上，MO =6√3， ∴在直角三角形MKO 中，MK =OM ⋅sin60°=9，OK =OM ⋅cos60°=3√3；在直角三角形O 1KO 中，KO 1=OK ⋅tan30°=3；在直角三角形MO 1K 中，MO 1=√92−32=6√2.∵点N 在∠BOC 内运动，且MN =6√3，∴点N 的轨迹是以点M 为球心，以6√3为半径的球被平面BOC 截得的一段圆弧EF ．其圆心为点O1，半径r=√MN2−MO12=6，圆心角为∠EO1F=2∠BOC=120°，圆弧长为13×2πr=4π．故选：C．先作MO1⊥平面AOB于点O1，作MK⊥OB于点K，连OO1，KO1，利用直角三角形知识依次求出MK，OK，KO1，MO1长度，再由题设条件得出点N的轨迹是一段圆弧，求出其长度即可．本题主要考查动点的轨迹是球被平面截得的一段圆弧的弧长的计算，属于中档题．13.【答案】2√3【解析】解：由双曲线x24−y212=1，得焦点坐标为F(±4,0)，渐近线方程为y=±√3x，不妨取焦点坐标为(4,0)，一条渐近线方程为√3x−y=0．则焦点到渐近线的距离为d=√3|√3+1=2√3．故答案为：2√3．由双曲线方程求得焦点坐标与渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解．本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．14.【答案】2【解析】解：数列{a n}的前n项和S n=3a n−2n(n∈N∗)，①，则n≥2时，S n−1=3a n−1−2(n−1)，②，①−②，得a n=3a n−3a n−1−2，∴2a n=3a n−1+2，∴a n=32a n−1+1，若{a n+λ}成等比数列，∴a n+λ=32(a n−1+λ)，解得λ=2．故答案为：2．利用a n与S n的关系转化成a n与a n−1的关系，因为{a n+λ}成等比数列，构造a n+λ，求解λ即可．本题主要考查a n 与S n 的关系，以及构造新数列，考查了等比数列的概念，属于基础题．15.【答案】[0,3)【解析】【分析】讨论a =0，a <0，a >0，结合函数的单调性和运用导数判断单调性、求最值，由题意可得f(x)的最小值大于0，解不等式可得所求范围．本题考查分段函数的性质，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和导数的运用：求单调性、极值和最值，考查运算能力和推理能力，属于中档题．【解答】解：当a =0时，f(x)={2,x ≤02x 3+1,x >0，显然f(x)>0恒成立；当a <0时，x ≤0时，f(x)递增，可得f(x)≤2，显然f(x)>0不恒成立；当a >0时，x ≤0时，f(x)递减，可得f(x)≥2；x >0时，f(x)=2x 3−ax 2+1的导数为f′(x)=6x 2−2ax =2x(3x −a)，当0<x <13a 时，f′(x)<0，f(x)递减；当x >13a 时，f′(x)>0，f(x)递增，可得f(x)在x =13a 处取得极小值，且为最小值−a 327+1，由题意可得−a 327+1>0，解得0<a <3，综上可得a 的取值范围是[0,3)．故答案为：[0,3)．16.【答案】4.125【解析】解：设比赛结束时已经进行的比赛局数为X ，则X 的可能取值为3，4，5，甲队或乙队连胜三局：P(X =3)=C 33⋅(12)3⋅(12)3+C 30⋅(12)0⋅(12)3=14，甲队或乙队在前3局胜2局，第4局获胜：P(X =4)=C 32⋅(12)2⋅12⋅12+C 32⋅(12)2⋅12⋅12=38，甲队或乙队在前4局胜2局，第5局获胜：P(X =5)=C 42⋅(12)2⋅(12)2⋅12+C 42⋅(12)2⋅(12)2⋅12=38．∴数学期望E(X)=3×14+4×38+5×38=338=4.125．故答案为：4.125．设比赛结束时已经进行的比赛局数为X，则X的可能取值为3，4，5，然后结合独立重复事件的概率逐一求出每个X的取值所对应的概率，再利用数学期望的公式求解即可．本题考查独立重复事件的概率、离散型随机变量的数学期望，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于基础题．17.【答案】解：(1)△ABC中，∵btanA、ctanB、btanB成等差数列，∴btanA+btanB= 2ctanB，即b(sinAcosA +sinBcosB)=2c⋅sinBcosB，即b⋅sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=2c⋅sinBcosB，即b⋅sin(A+B)cosAcosB =2c⋅sinBcosB，即bsinCcosAcosB=2c⋅sinBcosB．再利用正弦定理可得sinB⋅sinCcosAcosB =2sinC⋅sinBcosB，故cosA=12，∴A=π3．(2)设a=2，△ABC面积为S，则S=12⋅bc⋅sinA=√34bc．由余弦定理可得a2=4=b2+c2−2bc⋅cosA≥2bc−bc=bc，即bc≤4，当且仅当b=c时，等号成立．故，△ABC面积为S的最大值为√34⋅4=√3．【解析】(1)由题意利用等差数列的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式，正弦定理，求得cosA的值，可得A的值．(2)由题意利用余弦定理、基本不等式，求得，△ABC面积为S的最大值．本题主要考查等差数列的定义应用，同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式，正弦定理、余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)过点C作BF的平行线l即可，下面给予证明：由已知得AB和EF都与CD平行且相等，即AB与EF平行且相等，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE//BF，∵BF⊄平面ACE，且AE⊂平面ACE，∴BF//平面ACE，∵BF⊂平面BCF，且平面ACE∩平面BCF=l，∴BF//l．(2)由CF ⊥BD ，CF ⊥CD ，且BD ∩CD =D ，BD ，CD ⊂平面ABCD ，得CF ⊥平面ABCD ，由BD =CF ，得△BCD 是正三角形，取BC 中点O ，则BO ⊥CD ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =2，则D(0,−1,0)，A(√3,−2,0)，E(0,−1,2)，C(0,1,0)， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，设平面ADE 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y =0m ⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y +2z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，设平面ACE 的一个法向量n⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b −2c =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3a +b +2c =0，取c =1，得n ⃗ =(√3,1,1)，设二面角D −AE −C 的平面角为θ，则二面角D −AE −C 的余弦值为： cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√32√5=√155．【解析】本题考查两平面的交线、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题(1)过点C 作BF 的平行线l ，推导出AB 与EF 平行且相等，从而四边形ABEF 是平行四边形，AE//BF ，进而BF//平面ACE ，由此推导出BF//l ．(2)由CF ⊥BD ，CF ⊥CD ，且BD ∩CD =D ，得CF ⊥平面ABCD ，由BD =CF ，得△BCD 是正三角形，取BC 中点O ，则BO ⊥CD ，以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D −AE −C 的余弦值．19.【答案】(1)解：由题意，{b =1ca =√32a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =1c =√3，则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；(2)证明：∵直线BC 过P(2,1)且与椭圆有两个不同交点，∴直线BC 的斜率一定存在且对于0，于是设直线方程为y −1=k(x −2)，即y =kx −2k +1．联立{y =kx −2k +1x 2+4y 2=4，得(4k 2+1)x 2−(16k 2−8k)x +16k(k −1)=0． △=(16k 2−8k)2−4(4k 2+1)(16k 2−16k)>0．设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，则x 1+x 2=16k 2−8k 4k 2+1，x 1x 2=16k(k−1)4k +1．设直线AB 和AC 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2=y 1+1x 1+y 2+1x 2=k(x 1−2)+2x 1+k(x 2−2)+2x 2=2k −2(k−1)(x 1+x 2)x 1x 2=2k −16k(k−1)(2k−1)16k(k−1)=2k −(2k −1)=1．∴直线AB 和AC 的斜率之和为定值1．【解析】(1)由已知列关于a ，b ，c 的方程组，求解可得a ，b 的值，则椭圆方程可求； (2)直线BC 过P(2,1)且与椭圆有两个不同交点，可得直线BC 的斜率一定存在且对于0，于是设直线方程为y −1=k(x −2)，即y =kx −2k +1，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，由斜率公式及根与系数的关系化简可得直线AB 和AC 的斜率之和为定值．本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由表格可得，x −=3+6+9+12+155=9，y −=0.13+0.23+0.31+0.41+0.525=0.32，∑(5i=1x i −x −)2=36+9+0+9+36=90，∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)=(−6)×(−0.19)+(−3)×(−0.09)+0×(−0.01)+3×0.09+6×0.2=6×(0.19+0.09+0.20)=6×0.48=2.88，所以b ̂=∑(5i=1x i −x −)(y i −y −)∑(5i=1x i −x −)2=2.8890=0.032，于是a ̂=y −−b ̂x −=0.32−0.032×9=0.032，故变量y 与x 之间的回归直线方程为ŷ． (2)由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，得160×(1+2+4+6+5+a)×3=1，解得a=2，故最右边小矩形的高度为260=130由频率分布直方图可知，光明社区的人均GDP为x−=360(1×1.5+2×4.5+4×7.5+6×10.5+5×13.5+2×16.5)=10.2(万元/人)，由(1)可知，光明社区的人均垃圾清运量约为0.032×(10.2+1)(吨/人)．于是光明社区年内垃圾清运总量为5×0.032×(10.2+1)=1.792(万吨)．由题意，整个光明社区年内垃圾可折算成的总上网量估计为：17920×200=3.584×106(千瓦时)即为所求．【解析】本题考查统计，及回归直线方程，属于中档题．(1)由最小二乘法，算出b̂，â，进而可得回归直线方程．(2)由频率分布直方图各小矩形的面积之和为1，得a=2，最右边小矩形的高度，人均GDP，进而得光明社区的人均垃圾清运量约为0.032×(10.2+1)(吨/人).于是光明社区年内垃圾清运总量，进而得出答案．21.【答案】(1)解：由f(x)=2(x−1)x+a −lnx，得f′(x)=2(a+1)(x+a)2−1x=−x2+2x−a2x(x+a)2(x>0)．①当a≥1时，f′(x)≤−x2+2x−1x(x+a)2=−(x−1)2x(x+a)≤0恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增，无单调减区间；②当0<a <1时，由−x 2+2x −a 2>0，解得1−√1−a 2<x <1+√1+a 2．由−x 2+2x −a 2<0，解得0<x <1−√1−a 2或x >1+√1+a 2．∴f(x)在(0,1−√1−a 2)，(1+√1+a 2,+∞)上单调递减，在(1−√1−a 2,1+√1+a 2)上单调递增；(2)证明：∵x 1，x 2是f(x)的两个极值点，由(1)知，0<a <1，且x 1+x 2=2，x 1x 2=a 2．f(x 1)−f(x 2)=[2(x 1−1)x 1+a −2(x 2−1)x 2+a]−(lnx 1−lnx 2)=2[(x 1−1)(x 2+a)−(x 2−1)(x 1+a)](x 1+a)(x 2+a)−(lnx 1−lnx 2)=2(a +1)(x 1−x 2)x 1x 2+a(x 1+x 2)+a 2−(lnx 1−lnx 2).∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=2(a+1)2a 2+2a −lnx 1−lnx 2x 1−x 2=1a−lnx 1−lnx 2x 1−x 2．令g(t)=lnt −2(t−1)t+1(0<t <1)，则g′(t)=1t −4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2>0．故g(t)在(0,1)内单调递增，于是g(t)<g(1)=0，即lnt <2(t−1)t+1(0<t <1)．不妨令x 1<x 2，令t =√x1x 2∈(0,1)，则12ln x1x 2<2(√x1x−1)√x 1x 2+1，即lnx 1−lnx 2<√x 1√x 2)x +x ．于是，lnx 1−lnx 2x 1−x 2>(√x +√x )2=x +x +2√x x =42+2a=21+a．从而f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<1a−21+a=1−aa(1+a)．【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查化归与转化思想方法，换元与构造函数是解答该题的关键，属难题． (1)求出原函数的导函数f′(x)=2(a+1)(x+a)2−1x =−x 2+2x−a 2x(x+a)2(x >0)，当a ≥1时，f′(x)≤0恒成立，可得f(x)在(0,+∞)上的单调性；当0<a <1时，由导函数的符号确定原函数的单调区间；(2)由x 1，x 2是f(x)的两个极值点，结合(1)知，0<a <1，且x 1+x 2=2，x 1x 2=a 2，化简可得f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=1a −lnx 1−lnx 2x 1−x 2，令g(t)=lnt −2(t−1)t+1(0<t <1)，利用导数证明g(t)在(0,1)内单调递增，于是g(t)<g(1)=0，即lnt <2(t−1)t+1(0<t <1).不妨令x 1<x 2，令t =√x 1x 2∈(0,1)，则12ln x 1x 2<2(√x1x−1)√x1x 2+1，即lnx 1−lnx 2<√x 1−√x 2)√x +√x ，可得lnx 1−lnx 2x 1−x 2>21+a，从而f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<1a−21+a=1−aa(1+a)．22.【答案】解：(1)已知曲线C 1：{x =6−ty =√3t (其中t 为参数)，转换为直角坐标方程为√3x +y =6√3，转换为极坐标方程为ρsin(θ+π3)=3√3，曲线C 2：{x =2cosθy =2+2sinθ(其中θ为为参数).转换为直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4，转换为极坐标方程为ρ=4sinθ． (2)射线l 的极坐标方程为θ=α，所以|OA|=√3sinα+√3cosα，|OB|=4sinα，则：|OA||OB|=√34(sin 2α+√3sinαcosα)=3√31+2sin(2α−π6)，故当sin(2α−π6)=1时，|OA||OB|的最小值√3．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(x)=|x −2|−2|x +1|={x +4,x ≤−1−3x,−1<x <2−x −4,x ≥2，所以函数f(x)在区间(−∞,−1]内是增函数，在[−1,+∞)上是减函数．所以函数的最大值为：m =f(−1)=3． (2)由柯西不等式可得：√a +1+√2b +4=1⋅√a +1+√2⋅√2b +4≤√(1+2)(a +1+b +2)，由题意a +b =3，所以√a +1+√2b +4≤3√2.当且仅当a =1，b =2时取等号．所以√a +1+√2b +4的最大值为：3√2．【解析】本题考查最值的求法，注意柯西不等式的应用，考查变形和化简整理的运算能力，属于中档题．(1)讨论x的范围：x≤−1，−1<x≤2，x>2，去掉绝对值，写出分段函数的形式，画出图象即可求得m值；(2)利用柯西不等式，转化区间函数的最值即可．。

2020年全国卷数学(理科)高考试题及答案

2020年全国卷数学(理科)高考试题及答案2020年普通高等学校招生全国统一考试-理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若 $z=1+i$，则 $z^2-2z=$A。

0B。

1C。

2D。

22.设集合 $A=\{x|x^2-4\leq 0\}$，$B=\{x|x^2+ax\leq 0\}$，且 $AB=\{x|-2\leq x\leq 1\}$，则 $a=$A。

$-4$B。

$-2$C。

2D。

43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A。

$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$B。

$\frac{5+\sqrt{5}}{4}$C。

$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$D。

$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$4.已知 $A$ 为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上一点，点$A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $12$，到 $y$ 轴的距离为 $9$，则 $p=$A。

2B。

3C。

6D。

95.某校一个课外研究小组为研究某作物种子的发芽率$y$ 和温度 $x$（单位：℃）的关系，在 $20$ 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 $(x_i,y_i)(i=1,2.20)$ 得到下面的散点图：由此散点图，在 $10℃$ 至 $40℃$ 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 $y$ 和温度 $x$ 的回归方程类型的是A。

$y=a+bx$B。

$y=a+bx^2$C。

$y=a+be^x$D。

$y=a+b\ln x$6.函数 $f(x)=x^4-2x^3$ 的图像在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为A。

$y=-2x-1$B。

$y=-2x+1$C。

$y=2x-3$D。

2020年高考理科数学试卷(全国1卷)(附详细答案)

2绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共5页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若z =1+i ,则22z z -=()A ．0B ．1C ．D ．2解：z =1+i ⇒z 2-2z=z (z -2)=(1+i )(i -1)=i 2-12=-2⇒|z 2-2z|=2.选D ．2．设集合A ={x |x 2-4≤0}，B ={x |2x +a ≤0},且A∩B ={x |-2≤x ≤1},则a =（）A ．-4B ．-2C ．2D ．4解：A=[-2,2],B=(-∞,2a -],A ∩B=[-2,1]⇒2a-=1⇒a=-2.选B ．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A.514 B.512- C.514+ D.512解：设正四棱锥的底面边长为a ,高为h ，斜高为b ,则222211154210224b b b ab h b a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⇒--=⇒=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（舍负）.选 C.4.已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（）A ．2B ．3C ．6D ．9解：91262pp +=⇒=.选C.5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi ,yi )（i =1，2，…，20）得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A .y =a +bxB .y =a +bx 2C .y =a +bexD ．y =a +b ln x解：选D ．6.函数f (x )=x 4-2x 3的图像在点(1，f (1))处的切线方程为（）A ．y =-2x -1B ．y =-2x +1C .y =2x -3D ．y =2x +1解：'32'()46,(1)1,(1)2f x x x f k f =-=-==-∴切线方程为(1)2(1)y x --=--,即21y x =-+.选B ．7.设函数f (x )=cos()6x πω+在[-π,π]的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（）A.109πB.76πC.43π D.32π解：由图可知T<π-(-π)<2T,即222212πππωωω<<⨯⇒<<又42,962k k Z πππωπ⎛⎫-+=-∈ ⎪⎝⎭⇒92(2),43k k Z ω=-∈∴当0k =时，32ω=，从而43T π=，选C ．8.()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中x 3y 3的系数为（）A ．5B ．10C ．15D ．20解：()()()22555y y x x y x x y x y x x ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含x 3y 3的项为22234455y xC x y C x yx +∴()25y x x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中x 3y 3的系数为245515C C +=,选C ．9．已知α∈(0,π)，且3cos2α-8cos α=5，则sin α=（）A.53B.23 C.13 D.593cos2α-8cos α=5⇒3（2cos 2α-1）-8cos α-5=0⇒（3cos α+2)(cos α-2)=0∴cos α=23-这里α∈(0,π)，所以2225sin 1cos 1()33αα=-=--，选A.10.已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，O 1为△ABC 的外接圆．若O 1的面积为4π，AB =BC =AC =OO 1，则球O 的表面积为A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π解：设AB =BC =AC =OO 1=a ，则O 1A=33a r =又22234123O S r a πππ⎛⎫===⇒= ⎪ ⎪⎝⎭ ，从而24r =在Rt∆O 1OA 中，22216R a r =+=2464S R ππ==球选A.11.已知M ::x 2+y 2-2x -2y -2=0，直线l ：2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM ||AB|最小时，直线AB 的方程为（）A ．2x -y -1=0B ．2x +y -1=0C ．2x -y +1=0D ．2x +y +1=0解：22:(1)(1)4M x y -+-= 的圆心为M （1，1），半径为2PA ，PB 是 M 的切线，设PM ∩AB=C ，则PA ⊥AM ，PM ⊥ABAC AMRt PAM Rt ACM PA PM∆∆⇒= ，即1224ACAM PM AB AM PA PA PA PM =⇒== 当|PM||AB |最小时，PA 最小，此时，PM ⊥l ，AB //l,22521PM ==+由2AM MC MP = ，即225MC =，得5MC =∴555PC PM MC =-==设AB:2x+y+c =0155c =⇒=∴AB:2x+y+1=0，选D ．12.若242log 42log aba b +=+，则（）A ．a ＞2bB ．a ＜2bC ．a ＞b 2D ．a ＜b 2解：显然2()2log xf x x =+是R +上的增函数若a <2b ，则()(2)f a f b <，即2222log 2log 2aba b +<+………………………❶又22422log 42log 2log a b b a b b+=+=+………………………………………❷❶-❷得220log 2log 1b b <-=怛成立，选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年全国II卷理科数学高考试卷(原卷答案)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国II 卷)(适用地区：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆)理科数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上。

本试卷满分150分。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U AB =ðA ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3} 2．若α为第四象限角，则 A ．cos2α>0 B ．cos2α<0 C ．sin2α>0 D ．sin2α<0 3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名 C ．24名 D ．32名4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石) A ．3699块 B ．3474块 C ．3402块 D ．3339块5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y −−=的距离为A ．55B ．255C ．355D ．4556．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=.若155121022k k k a a a ++++++=−，则k =A ．2B ．3C ．4D ．57．下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H8．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE △的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．329．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+−−，则f (x ) A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22−单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2−∞−单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2−∞−单调递减10．已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为 A ．3B ．32C ．1D ．3211．若2x －2y <3−x －3−y ，则A ．ln(y -x +1)>0B ．ln(y -x +1)<0C ．ln ∣x -y ∣>0D ．ln ∣x -y ∣<012．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的0-1序列12na a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===−∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是A ．11010 B ．11011 C ．10001 D ．11001 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

专题17 解三角形-2020年高考数学(理)(全国Ⅱ专版)(原卷版)

专题17解三角形【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC △周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴△周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴△周长的最大值为3+【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．【答案】【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得c c ==-，所以2a c ==113sin 222ABC S ac B ==⨯=△【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，5cos 25C =，1BC =，5AC =，则AB =A ．BC ．D ．【答案】A【解析】因为2253cos 2cos 121,255C C ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以22232cos 125215325AB BC AC BC AC C AB ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-== ⎪⎝⎭，则，故选A.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.【命题意图】三角函数主要考查利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题，常与同角三角函数的关系、诱导公式、和差角公式，甚至三角函数的图象和性质等交汇命题，多以选择、填空、解答题的形式出现，属解答题中的低档题．预测今后的高考仍将以正弦定理、余弦定理，尤其是两个定理的综合应用为主要考点，可能与三角函数的图象和性质等交汇命题，重点考查计算能力以及应用数学知识分析和解决问题的能力．【命题规律】本考点一直是高考的热点，尤其是已知边角求其他边角，判断三角形的形状，求三角形的面积考查比较频繁，既有直接考查两个定理应用的选择题或填空题，也有考查两个定理与和差公式、倍角公式及三角形面积公式综合应用的解答题，解题时要掌握正、余弦定理及灵活运用，注意函数与方程思想、转化与化归思想在解题中的应用.【应试技巧】在ABC △中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则1．正弦定理：sin sin sin a b c==A B C.2．常见变形sin sin sin 1,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B b a B b A a C c A b C c B B b A a C c ======（）2;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b c A B C A B A C B C A B C+++++======+++++（）3::sin :sin :sin ;a b c A B C =（）3．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，4．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===5．三角形面积公式（1）三角形的高的公式：h A =b sin C =c sin B ，h B =c sin A =a sin C ，h C =a sin B =b sin A ．（2）三角形的面积公式：S =21ab sin C ，S =21bc sin A ，S =21ca sin B.6．正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．4==.sin sin sin a b cR R ABC A B C（）正弦定理的推广：，其中为△外接圆的半径7．三角形解的个数的探究（以已知a b ，和A 解三角形为例）（1）从代数角度来看：①若sin sin 1b AB=a>，则满足条件的三角形的个数为0，即无解；②若sin sin 1b A B=a =，则满足条件的三角形的个数为1；③若sin sin 1b A B=a<，则满足条件的三角形的个数为1或2.注：对于（3），由sin 0sin 1b AB=a<<可知B 可能为锐角，也可能为钝角，此时应由“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等进行讨论.（2）从几何角度来看：①当A 为锐角时，一解一解两解无解②当A 为钝角或直角时，一解一解无解无解8．利用余弦定理解三角形的步骤【解题经验分享】1．对三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性进行适当“放缩”．2．在解实际问题时，需注意的两个问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决．3．利用正弦定理与余弦定理解题时，经常用到转化思想一个是把边转化为角，另一个是把角转化为边，，具体情况应根据题目给定的表达式进行确定，不管哪个途径，最终转化为角的统一或边的统一，也是我们利用正弦定理与余弦定理化简式子的最终目标，对于两个定理都能用的题目，应优先考虑利用正弦定理，会给计算带来相对的简便，根据已知条件中边的大小来确定角的大小，此时利用正弦定理去计算较小边所对的角，可避免分类讨论，利用余弦定理的推论，可根据角的余弦值的正负直接确定所求角是有锐角还是钝角，但计算麻烦．1．（2020·河北新乐市第一中学高三）已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC 的面积A ．12B ．1C ．D ．22．（2020·安徽省高三三模）在ABC 中，若3,120AB BC C ==∠= ，则AC =A ．1B ．2C ．3D ．43．（2020·横峰中学高三）在ABC 中，已知45A ∠=︒，AB =，且AB 边上的高为则sin C =A ．1010BC ．5D ．54．（2020·广西壮族自治区高三）已知ABC 中，BC 边上的中线3AD =，4BC =，60BAC ∠=︒，则ABC ∆的周长为A 4+B ．4+C ．4+D ．45．（2020·山东省高三）在ABC 中，cos cos A B +=，AB =当sin sin A B +取最大值时，ABC 内切圆的半径为A ．3B ．2C ．13D ．26．（2020·陕西省洛南中学高三）在ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π7．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考）海伦公式是利用三角形的三条边的边长,,a b c 直接求三角形面积S 的公式，表达式为：+c2a b S p +==；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为的△ABC 满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为A ．B ．C ．D ．128．（2020·广东省深圳外国语学校高三月考）ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3b a cosC sinC 3⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，a 2=，c 3=，则角C =A ．π3B ．π6C ．3π4D ．π49．（2020·麻城市实验高级中学高三）锐角ABC ∆中，角,,A B C ，所对的边分别为,,a b c ，若()sin 04A B C π⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，1b c ==，则角C 的大小为A ．12πB ．6πC ．3πD ．512π10．（2020·麻城市实验高级中学高三）《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为A ．2114mB ．257mC ．254m D ．248m 11．（2020·福建省高三）设ABC 内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知()4cos cos a c B b C -=，则cos B =______．12．（2020·青海省高三）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =4b =，120A =︒，则ABC 的面积为______．13．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3A π=，6a =，b =，则C =_______．14．（2020·四川省阆中中学高三二模）在ABC 中，若()22235a c b+=，则cos B 的最小值为______．15．（2020·全国高三月考）设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2cos cos 0a c B b C ++=，且4ac =，则ABC 的面积为______．16．（2020·内蒙古自治区高三二模）在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2B Cb a B +⋅=⋅，且2c =，则锐角ABC 面积的取值范围是______．17．（2020·赣榆智贤中学高三）在ABC 中角A ，B ，C 的对边分別为a ，b ，c ，且352115cos cos cos bc A ac B ab C==，则cos C 的值为______．18．（2020·河南省高三月考）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足()222cos cos b a a B b A -=+，ABC ∆的周长为)51，则ABC ∆面积的最大值为______．19．（2020·福建省厦门外国语学校高三）如图所示，三个全等的三角形ABF 、BCD 、CAE V 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，2EF AE =，设ACE θ∠=，则sin 2θ=______．20．（2020·江苏省高三）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其接圆半径为R .已知1c =，且△ABC 的面积()()22sin sin S R B A B A =-+，则a 的最小值为______．21．（2020·山东省高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =______，ABC ∆面积的最大值为______．22．（2020·西藏自治区高三二模）在ABC 中，4a =，5b =，6c =，则cos A =________，ABC 的面积为________．23．（2020·浙江省杭州高级中学高三）在平面四边形ABCD 中，BC CD ⊥，135o B ∠=，AB =，AC =，5CD =，则sin ACB ∠=________，AD =________.24．（2020·广东省高三月考）已知锐角ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos cos b A A C =2cos A，则tan A =______；若2a =，则b c +的取值范围为______．25．（2020·浙江省高三）已知在ABC 中，1cos3B =，AB =，8AC =，延长BC 至D ，使2CD =，则AD =______，sin CAD ∠=______．26．（2020·山东省高三三模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )cos sin a b C c B -=．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，sin 3sin A C =，求BC 边上的高．27．（2020·天津高三二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a 2+c 2＝b 2105+ac .（1）求cosB 及tan 2B 的值；（2）若b ＝3，A 4π=，求c 的值.28．（2020·定远县育才学校高三）ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知()2cos c a B -=.（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC 面积的取值范围.29．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模）在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知()cos 2cos a C b c A =-.（1）求角A 的大小；（2）若a =，2b =，求ABC ∆的面积.30．（2020·全国高三月考）已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且57b c =，4cos 5A =，ABC 的面积21S =.（1）求边b 和c ；（2）求角B .31．（2020·广东省高三）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足22sin 1cos22A B C +=-.（1）求出角C 的大小；（2）若ABC ，求ABC 的周长的最小值.32．（2020·湖北省高三）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其面积S 2224b c a +-=．（1）若a =b =cos B ．（2）求sin （A +B ）+sin B cos B +cos （B ﹣A ）的最大值．33．（2020·四川省泸县五中高三二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22212cos 2B C a b c +⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求角C ；（2）若c =，求ABC ∆周长的最大值.34．（2020·六盘山高级中学高三）已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c +的最大值.35．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三二模）在ABC ∆中，角A ，B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos sin b A B=.（1）求A ；（2）若2a =，且()cos 2sin sin cos B C B C C -=-，求ABC ∆的面积.36．（2020·定西市第一中学高三）在锐角ABC 中，a =，________，（1）求角A ；（2）求ABC 的周长l 的范围.注：在①(cos ,sin ),(cos ,sin )2222A A A A m n =-= ，且12m n ⋅=- ，②cos (2)cos A b c a C -=，③11()cos cos(,()344f x x x f A π=--=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解.37．（2020·天津耀华中学高三一模）在ABC △中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边，若3,4,2b c C B ===，且a b ¹.（Ⅰ）求cos B 及a 的值；（Ⅱ）求cos 23B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.38．（2020·山东省高三）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin cos cos cos A B C A B C+=+（1）若ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：①7a =，②10b =，③8c =，④ABC 的面积S =（2）若3a =，求ABC 周长L 的取值范围．39．（2020·广东省金山中学高三三模）已知ABC 内接于单位圆，且()()112tanA tanB ++=，()1求角C()2求ABC 面积的最大值．40．（2020·梅河口市第五中学高三）已知a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，()sin sin sin sin a A C b B c C -=-，点D 在边AB 上，1BD =，且DA =.（1）求角B 的大小；（2）若BCD 的面积为2，求b 的值.41．（2020·江苏省高三三模）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若5(sin C sin B)5sin A 8sin B a b c--=+．（1）求cosC 的值；（2）若A ＝C ，求sinB 的值．42．（2020·湖南省高三三模）已知,,a b c 分别是ABC 内角,,A B C 的对边，()cos (cos cos )b a C c A B -=-，22b ac =．（1）求cos C ；（2）若ABC c ．43．（2020·云南省云南师大附中高三）设ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且三个内角A 、B 、C 依次成等差数列.（1）若2sin sin sin B A C =，求角A ；（2）若ABC 为钝角三角形，且a c >，求21cos cos 2222A A C -+的取值范围.44．（2020·巩义市教育科研培训中心高三）已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒.（1）若2a b =，求tan A 的值；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且1CD =，求ABC 的面积的最小值.45．（2020·甘肃省静宁县第一中学高三）在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=.（1）求BC 的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠.46．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin c b A b -=．（1）证明：2A B =．（2）若3cos 4B =，求sinC 的值．47．（2020·甘肃省高三）如图所示，ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且s 3c in os 3b C C a-=.（1）求A ；（2）若点P 是线段CA 延长线上一点，且3PA =，2AC =，6C π=，求PB .48．（2020·黑龙江省哈师大附中高三）在锐角ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且直线x C =为函数()22cos sin cos f x x x x x =--图象的一条对称轴．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若kc a b ≥+恒成立，求实数k 的最小值．49．（2020·甘肃省西北师大附中高三）在ABC ∆中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且)()2cos cos b A C π--=.(Ⅰ)求A 的值；(Ⅱ)若角,6B BC π=边上的中线AM =，求ABC ∆的面积.50．（2020·福建省厦门一中高三）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，33CD AB ==．（1）若CA CD =，且tan ABC ∠=ABC 的面积S ；（2）若2cos 4DAC ∠=，3cos 4ACD ∠=，求BD 的长．51．（2020·全国高三三模）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别等于a ，b ，c ，列举如下五个条件:①sin sin 2B C a B b +=；sin A A +=；③cos A +cos2A =0；④a =4；⑤△ABC 的面积等于.（1）请在五个条件中选择一个(只需选择一个)能够确定角A 大小的条件来求角A ；（2）在（1）的结论的基础上，再在所给条件中选择一个(只需选择一个)，求△ABC 周长的取值范围52．（2020·山东省高三二模）在①222b ac a c +=+，②cos sin B b A =cos 2B B +=，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，_________，4A π=，b =（1）求角B ；（2）求ABC 的面积.。

2020年四川省高考数学模拟试卷(理科)含答案解析

2020年四川省高考数学模拟试卷（理科）一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，则a的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．3或12．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，若N⊆M，则a的取值范围为（）A．0≤a≤1 B．a≤1 C．a＜1 D．0＜a＜13．设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cosx=cosy，则x=y，则下列判断正确的是（）A．p∧q为真B．p∨q为假C．￢p为真D．￢q为真4．已知抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），则抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．5．小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（）种．A．14 B．18 C．12 D．166．执行如图所示的程序框图，输出P的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．20207．设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．1024 B．256 C．8 D．48．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A．3：2：1 B．3：1：2 C．6：1：2 D．6：2：19．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．10．已知函数，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数为_______．12．在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x5的系数为_______．13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为_______．14．在平面直角坐标系中，以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为_______．15．已知a＞0，f（x）=a2lnx﹣x2+ax，若不等式e≤f（x）≤3e+2对任意x∈[1，e]恒成立，则实数a的取值范围为_______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=（I）求角A；（Ⅱ）若=（0，﹣1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围．17．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．18．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（Ⅰ）求证：AB∥GH；（Ⅱ）求异面直线DP与BQ所成的角；（Ⅲ）求直线AQ与平面PDC所成角的正弦值．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣4，数列{b n}满足b n+1﹣b n=1，其n项和为T n，且T2+T6=32．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，上顶点为B，若直线BA1与圆M：（x+1）2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：x=2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l于E、F两点，求证：|DE|•|DF|为定值．21．设函数f（x）=x2﹣x+t，t≥0，g（x）=lnx．（Ⅰ）若对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，求实数α的取值范围；（Ⅱ）对于确定的t，是否存在直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切？若存在，讨论直线l的条数，若不存在，请说明理由．2020年四川省高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知i为虚数单位，a∈R，若（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，则a的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．3或1【考点】复数的基本概念．【分析】直接由实部等于0且虚部不为0列式求得a值．【解答】解：∵（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，∴，解得：a=1．故选：A．2．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，若N⊆M，则a的取值范围为（）A．0≤a≤1 B．a≤1 C．a＜1 D．0＜a＜1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】分别化简集合M，N，对a分类讨论，利用集合之间的关系即可得出．【解答】解：集合M={x||x|≤2，x∈R}=[﹣2，2]，N={x||x﹣1|≤a，a∈R}，∴当a＜0时，N=∅，满足N⊆M．当a≥0时，集合N=[1﹣a，1+a]．∵N⊆M，∴，解得0≤a≤1．综上可得：a的取值范围为a≤1．故选：B．3．设命题p：存在四边相等的四边形不是正方形；命题q：若cosx=cosy，则x=y，则下列判断正确的是（）A．p∧q为真B．p∨q为假C．￢p为真D．￢q为真【考点】命题的否定．【分析】根据复合命题的真假关系进行判断即可．【解答】解：菱形的四边形的边长相等，但不一定是正方形，故命题p是真命题，当x=﹣y时，满足cosx=cosy，但x=y不成立，即命题q是假命题，故￢q为真，其余都为假命题，故选：D4．已知抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），则抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），代值计算即可求出p，能求出焦点坐标．【解答】解：抛物线x2=﹣2py（p＞0）经过点（2，﹣2），∴4=4p，∴p=1，∴抛物线的焦点坐标为（0，﹣），故选：C．5．小明、小王、小张、小李4名同学排成一纵队表演节目，其中小明不站排头，小张不站排尾，则不同的排法共有（）种．A．14 B．18 C．12 D．16【考点】计数原理的应用．【分析】小明不站排头，小张不站排尾，可按小明在排尾与不在排尾分为两类，根据分类计数原理可得．【解答】解：小明不站排头，小张不站排尾排法计数可分为两类，第一类小明在排尾，其余3人全排，故有A33=6种，第二类小明不在排尾，先排小明，有A21种方法，再排小张有A21种方法，剩下的2人有A22种排法，故有2×2×2=8种根据分类计数原理可得，共有6+8=14种，故选：A．6．执行如图所示的程序框图，输出P的值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．2020【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图的运行过程，写出每次循环得到的P，i的值，当i=2020＞2020时，满足条件，终止循环，输出P的值．【解答】解：执行程序框图，有p=0，i=1，P=0+cosπ=﹣1，i=2，不满足条件i＞2020？，有P=﹣1+cos2π=0，i=3，不满足条件i＞2020，有P=0+cos3π=﹣1，，…，i=2020，不满足条件i＞2020，有P=﹣1+cos2020π=0，i=2020，满足条件i＞2020，输出P的值为0．故选：C．7．设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．1024 B．256 C．8 D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z==22x﹣y，令u=2x﹣y，作出约束条件，对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x﹣u由图象可知当直线y=2x﹣u过点A时，直线y=2x﹣u的截距最小，此时u最大，由，解得，即A（5，2）．代入目标函数u=2x﹣y，得u=2×5﹣2=8，∴目标函数z==22x﹣y，的最大值是28=256．故选：B．8．已知O为△ABC内一点，且有，记△ABC，△BCO，△ACO的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3等于（）A．3：2：1 B．3：1：2 C．6：1：2 D．6：2：1【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，由于+2+3=，可得﹣=3．又=2，可得=2．于是=，得到S△ABC=2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．即可得出．【解答】解：如图所示，延长OB到点E，使得=2，分别以，为邻边作平行四边形OAFE．则+2=+=，∵+2+3=，∴﹣=3．又=2，可得=2．于是=，∴S△ABC=2S△AOB．同理可得：S△ABC=3S△AOC，S△ABC=6S△BOC．∴ABC，△BOC，△ACO的面积比=6：1：2．故选：C．9．若椭圆和圆为椭圆的半焦距），有四个不同的交点，则椭圆的离心率e的取值范围是（）A．B． C．D．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】由题设知，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，；由，得b+2c＜2a，．综上所述，．【解答】解：∵椭圆和圆为椭圆的半焦距）的中心都在原点，且它们有四个交点，∴圆的半径，由，得2c＞b，再平方，4c2＞b2，在椭圆中，a2=b2+c2＜5c2，∴；由，得b+2c＜2a，再平方，b2+4c2+4bc＜4a2，∴3c2+4bc＜3a2，∴4bc＜3b2，∴4c＜3b，∴16c2＜9b2，∴16c2＜9a2﹣9c2，∴9a2＞25c2，∴，∴．综上所述，．故选A．10．已知函数，若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】先作出函数图象然后根据图象，根据f（x1）=f（x2），确定x1的取值范围然后再根据x1f（x2）﹣f（x2），转化为求在x1的取值范围即可．【解答】解：作出函数的图象：∵存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2）∴0≤x1＜，∵x+在[0，）上的最小值为；2x﹣1在[，2）的最小值为，∴x1+≥，x1≥，∴≤x1＜．∵f（x1）=x1+，f（x1）=f（x2）∴x1f（x2）﹣f（x2）=x1f（x1）﹣f（x1）2=﹣（x1+）=x12﹣x1﹣，设y=x12﹣x1﹣=（x1﹣）2﹣，（≤x1＜），则对应抛物线的对称轴为x=，∴当x=时，y=﹣，当x=时，y=，即x1f（x2）﹣f（x2）的取值范围为[﹣，）．故选：B．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．若样本数据x1，x2，…，x10的平均数为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数为15．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与方差的公式即可求出数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的平均数是10，∴=（x1+x2+…+x10）=8；∴数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的平均数是：= [（2x1﹣1）+（2x2﹣1）+…+（2x10﹣1）]=2×（x1+x2+…+x10）﹣1=2×8﹣1=15．故答案为：15．12．在二项式的展开式中，所有二项式系数之和为128，则展开式中x5的系数为35．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n=7，再利用二项展开式的通项公式求得x5的系数．【解答】解：由题意可得2n=128，n=7，∴=，它的通项公式为T r+1=•x21﹣4r，令21﹣4r=5，求得r=4，故展开式中x5的系数为=35，故答案为：35．13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，P为棱AA1的中点，在面BB1D1D上任取一点E，使得EP+EA最小，则最小值为a．【考点】棱柱的结构特征．【分析】由图形可知AC⊥平面BB1D1D，且A到平面BB1D1D的距离与C到平面BB1D1D 的距离相等，故EA=EC，所以EC就是EP+EP的最小值；【解答】解：连接AC交BD于N，连接EN，EC，则AC⊥BD，∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AC⊥EN，∴△AEN≌△CEN，∴EA=EC，连接EC，∴线段EC的长就是EP+EA的最小值．在Rt△EAC中，AC=a，EA=a，∴EC==a．故答案为：a．14．在平面直角坐标系中，以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切的所有圆中，最大圆面积与最小圆面积的差为2π．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆半径r=，a=﹣1时，r min==1，a=1时，r max==，由此能求出最大圆面积与最小圆面积的差．【解答】解：∵圆以（0，﹣1）为圆心且与直线ax+y++1=0（a∈R）相切，∴圆半径r===，∴a=﹣1时，r min==1，最小圆面积S min=π×12=π，a=1时，r max==，最大圆面积S max==3π，∴最大圆面积与最小圆面积的差为：3π﹣π=2π．故答案为：2π．15．已知a＞0，f（x）=a2lnx﹣x2+ax，若不等式e≤f（x）≤3e+2对任意x∈[1，e]恒成立，则实数a的取值范围为[e+1，]．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】利用导数可求得f（x）的单调区间，由f（1）=﹣1+a≥e可得a≥e+1，从而可判断f（x）在[1，e]上的单调性，得到f（x）的最大值，令其小于等于3e+2可得答案．【解答】解：f′（x）=﹣2x+a=，∵x＞0，又a＞0，∴x∈（0，a）时f′（x）＞0，f（x）递增；x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减．又f（1）=﹣1+a≥e，∴a≥e+1，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴最大值为f（e）=a2﹣e2+ae≤3e+2，解得：a≤，又a≥e+1，而e+1＜，∴a的取值集合是[e+1，]，故答案为：[e+1，]．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=（I）求角A；（Ⅱ）若=（0，﹣1），=（cosB，2cos2），求|+|的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（I）将切化弦，利于和角公式和正弦定理化简得出cosA；（II）求出+的坐标，计算|+|2，根据B的范围解出|+|的范围．【解答】解：（I）∵=，∴，整理得cosA=．∴A=．（II）∵2cos2=1+cosC=1﹣cos（B+）=1﹣cosB+sinB，∴=（cosB，1﹣cosB+ sinB）．∴=（cosB，﹣cosB+sinB），∴（）2=cos2B+（﹣cosB+sinB）2=+﹣sin2B=1+cos（2B+）．∵0＜B＜，∴＜2B+＜．∴﹣1≤cos（2B+）＜，∴≤（）2＜．∴≤|+|＜．17．为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况．现从某班全体学生中，随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良．（Ⅰ）从这12名学生中任选3人进行测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（Ⅱ）从抽取的12人中随机选取3人，记ξ表示测试成绩“优良”的学生人数，求ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，由此能求出至少有1人成绩是“优良”的概率．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）∵随机抽取12名，测试的满意度分数（百分制）如下：65，52，78，90，86，86，87，88，98，72，86，87，根据学校体制标准，成绩不低于76的为优良，∴12名学生中成绩是“优良”的学生人数为9人，从这12名学生中任选3人进行测试，基本事件总数n==220，至少有1人成绩是“优良”的对立事件是抽到的两人的成绩都不是“优良”，∴至少有1人成绩是“优良”的概率：p=1﹣=．（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ有的分布列为：ξ0 1 2 3PEξ==．18．如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．（Ⅰ）求证：AB∥GH；（Ⅱ）求异面直线DP与BQ所成的角；（Ⅲ）求直线AQ与平面PDC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（I）根据中位线及平行公理可得CD∥EF，于是CD∥平面EFQ，利用线面平行的性质得出CD∥GH，从而GH∥AB；（II）由AQ=2BD可得AB⊥BQ，以B为原点建立空间直角坐标系，求出，的坐标，计算，的夹角得出异面直线DP与BQ所成的角；（III）求出和平面PDC的法向量，则直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（I）∵CD是△ABQ的中位线，EF是△PAB的中位线，∴CD∥AB，EF∥AB，∴CD∥EF，又EF⊂平面EFQ，CD⊄平面EFQ，∴CD∥平面EFQ，又CD⊂平面PCD，平面PCD∩平面EFQ=GH，∴GH∥CD，又CD∥AB，∴GH∥AB．（II）∵D是AQ的中点，AQ=2BD，∴AB⊥BQ．∵PB⊥平面ABQ，∴BA，BP，BQ两两垂直．以B为原点以BA，BQ，BP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：设BA=BP=BQ=1，则B（0，0，0），P（0，0，1），D（，，0），Q（0，1，0）．∴=（﹣，﹣，1），=（0，1，0）．∴=﹣，||=，||=1，∴cos＜＞=﹣．∴异面直线DP与BQ所成的角为arccos．（III）设BA=BP=BQ=1，则A（1，0，0），Q（0，1，0），P（0，0，1），D（，，0），C（0，，0）．=（﹣1，1，0），=（，0，0），=（0，﹣，1）．设平面CDP的一个法向量为=（x，y，z），则，=0，∴，令z=1，得=（0，2，1）．∴=2，||=，||=，∴cos＜＞==，∴直线AQ与平面PDC所成角的正弦值为．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣4，数列{b n}满足b n+1﹣b n=1，其n项和为T n，且T2+T6=32．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系即可得出．（Ⅱ）S n=2×4n﹣4．不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7，化为：λ≤，利用单调性求出的最小值即可得出．【解答】解：（I）∵S n=2a n﹣4，∴n=1时，a1=2a1﹣4，解得a1=4；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣4﹣（2a n﹣1﹣4），化为：a n=2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项为4，公比为2，∴a n=4×2n﹣1=2n+1．∵数列{b n}满足b n+1﹣b n=1，∴数列{b n}是等差数列，公差为1．∵T2+T6=32，∴2b1+1+6b1+×1=32，解得b1=2．∴b n=2+（n﹣1）=n+1．（Ⅱ）S n=2×2n+1﹣4．∴不等式nlog2（S n+4）≥λb n+3n﹣7，化为：λ≤，∵=（n+1）+﹣3≥2﹣3=3，当n=2时，取得最小值3，∴实数λ的取值范围是λ≤3．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，上顶点为B，若直线BA1与圆M：（x+1）2+y2=相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l：x=2与x轴交于D，P是椭圆C上异于A1、A2的动点，直线A1P、A2P分别交直线l于E、F两点，求证：|DE|•|DF|为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由条件可得到A1（﹣2，0），B（0，b），从而可以写出直线BA1的方程，这样即可得出圆心（﹣1，0）到该直线的距离为，从而可以求出b，这便可得出椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）可设P（x1，y1），从而有，可写出直线A1P的方程为，从而可以求出该直线和直线x=的交点E的坐标，同理可得到点F的坐标，这样即可得出|DE|，|DF|，然后可求得|DE|•|DF|=3，即得出|DE|•|DF|为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得A1（﹣2，0），B（0，b）；∴直线BA1的方程为；∴圆心（﹣1，0）到直线BA1的距离为；解得b2=3；∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），则，；∴直线A1P的方程为；∴；同理得，；∴；∴|DE|•|DF|为定值．21．设函数f（x）=x2﹣x+t，t≥0，g（x）=lnx．（Ⅰ）若对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，求实数α的取值范围；（Ⅱ）对于确定的t，是否存在直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切？若存在，讨论直线l的条数，若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）由题意可得lnx﹣x2α≤0恒成立，讨论当α≤0时，h（x）=lnx﹣x2α递增，无最大值；当α＞0时，求出导数，求得单调区间，可得极大值，也为最大值，由恒成立思想解不等式即可得到所求范围；（2）分别设出切点，再根导数的几何意义求出切线方程，构造方程组，消元，再构造函数F（x）=ln x+﹣（t+1），利用导数求出函数F（x）的最小值，再分类讨论，得到方程组的解得个数，继而得到切线的条数．【解答】解：（1）对任意的正实数x，恒有g（x）≤x2α成立，即为lnx﹣x2α≤0恒成立，当α≤0时，h（x）=lnx﹣x2α递增，无最大值；当α＞0时，h′（x）=﹣2α•x2α﹣1，当x＞时，h′（x）＜0，h（x）递减；当0＜x＜时，h′（x）＞0，h（x）递增．即有x=时，h（x）取得最大值，且为ln﹣，由ln﹣≤0，可得α≥，综上可得，实数α的取值范围是[，+∞）；（2）记直线l分别切f（x），g（x）的图象于点（x1，x12﹣x1+t），（x2，ln x2），由f′（x）=2x﹣1，得l的方程为y﹣（x12﹣x1+t）=（2x1﹣1）（x﹣x1），即y=（2x1﹣1）x﹣x12+t．由g′（x）=，得l的方程为y﹣ln x2=（x﹣x2），即y=•x+ln x2﹣1．所以（*）消去x1得ln x2+﹣（t+1）=0 （**）．令F（x）=ln x+﹣（t+1），则F′（x）=﹣==，x＞0．由F'（x）=0，解得x=1．当0＜x＜1时，F'（x）＜0，当x＞1时，F'（x）＞0，所以F（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，从而F（x）min=F（1）=﹣t．当t=0时，方程（**）只有唯一正数解，从而方程组（*）有唯一一组解，即存在唯一一条满足题意的直线；当t＞0时，F（1）＜0，由于F（e t+1）＞ln（e t+1）﹣（t+1）=0，故方程（**）在（1，+∞）上存在唯一解；令k（x）=ln x+﹣1（x≤1），由于k'（x）=﹣=≤0，故k（x）在（0，1]上单调递减，故当0＜x＜1时，k（x）＞k（1）=0，即ln x＞1﹣，从而ln x+﹣（t+1）＞（﹣）2﹣t．所以F（）＞（+）2﹣t=+＞0，又0＜＜1，故方程（**）在（0，1）上存在唯一解．所以当t＞0时，方程（**）有两个不同的正数解，方程组（*）有两组解．即存在两条满足题意的直线．综上，当t=0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；当t＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．2020年9月9日。

2020四川高考数学(理科)试题及参考答案

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{（x,y）|x,y∈N*,y≥x},B＝{（x,y）|x+y＝8},则A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．62．复数的虚部是（）A．﹣B．﹣C．D．3．在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且p i＝1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是（）A．p1＝p4＝0.1,p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4,p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2,p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3,p2＝p3＝0.24．Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝,其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．695．设O为坐标原点,直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D,E两点,若OD⊥OE,则C 的焦点坐标为（）A．（,0）B．（,0）C．（1,0）D．（2,0）6．已知向量,满足||＝5,||＝6,•＝﹣6,则cos＜,+＞＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．在△ABC中,cos C＝,AC＝4,BC＝3,则cos B＝（）A．B．C．D．8．如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是（）A．6+4B．4+4C．6+2D．4+29．已知2tanθ﹣tan（θ+）＝7,则tanθ＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．210．若直线l与曲线y＝和圆x2+y2＝都相切,则l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x+C．y＝x+1D．y＝x+11．设双曲线C：﹣＝1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为．P是C上一点,且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4,则a＝（）A．1B．2C．4D．812．已知55＜84,134＜85．设a＝log53,b＝log85,c＝log138,则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。

2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)(含答案解析)

【详解】
展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.
9．A
【分析】
首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值.
【详解】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为： .
参考答案
1．D
【分析】
由题意首先求得的值，然后计算其模即可.
【详解】
由题意可得：，则 .
故 .
故选：D.
【点睛】
本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.
2．B
【分析】
由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】
求解二次不等式可得：，
用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.
【详解】
，得，
即，解得或（舍去），
又 .
故选：A.
【点睛】
本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.
10．A

2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）-普通用卷（含参考答案）

2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|x+y=1}，则A∩B中元素的个数是（）A.0B.1C.2D.32.已知复数z满足（1-i）•z=|+i|，则z=（）A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i3.已知x•log32=1，则4x=（）A.4B.6C.4D.94.有报道称，据南方科技大学、上海交大等8家单位的最新研究显示：A、B、O、AB血型与COVID-19易感性存在关联，具体调查数据统计如图：根据以上调查数据，则下列说法错误的是（）A.与非O型血相比，O型血人群对COVID-19相对不易感，风险较低B.与非A型血相比，A型血人群对COVID-19相对易感，风险较高C.与O型血相比，B型、AB型血人群对COVID-19的易感性要高D.与A型血相比，非A型血人群对COVID-19都不易感，没有风险5.在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（）A.-360B.-160C.160D.3606.在△ABC中，若sin B=2sin A cos C，那么△ABC一定是（）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形7.已知两个单位向量，的夹角为120°，若向量═2-，则•=（）A. B. C.2 D.32018年南非双曲线大教堂面世便惊艳世界，8.数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如图．若将此大教堂外形弧线的一段近似看成焦点在y轴上的双曲线的一部分，且上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为（）A.2B.3C.9.设函数f（x）=则下列结论错误的是（）＞0）上支，则此双曲线的离心率为D.2A.函数f（x）的值域为RB.函数f（|x|）为偶函数C.函数f（x）为奇函数D.函数f（x）是定义域上的单调函数10.已知函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，确的是（）A.f （1）＜f （0）＜f （2）C.f （2）＜f （0）＜f （1））的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正B.f （0）＜f （2）＜f （1）D.f （2）＜f （1）＜f （0）的零点个数为（）11.已知x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f （x ）=x -[x ]，则函数A.1B.2C.3D.412.在△ABC 中，∠C =90°，AB =2，，D 为AC 上的一点（不含端点），将△BCD 沿直线BD 折起，使点C在平面ABD 上的射影O 在线段AB 上，则线段OB 的取值范围是（）A.（，1）B.（，）C.（，1）D.（0，）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则sinα=______．14.若曲线f （x ）=e x cos x -mx ，在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为，则实数m =______．15.已知F 1，F 2是椭圆C ：的两个焦点，P 是椭圆C ．上的一点，∠F 1PF 2=120°，且△F 1PF 2的面积为，则b =______．16.在一个半径为2的钢球内放置一个用来盛特殊液体的正四棱柱容器，要使该容器所盛液体尽可能多，则该容器的高应为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.若数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，a n +1=（1）求S n ；（2）设b n =，求证：b 1+b 2+b 3+…+b n ＜．18.如图，已知点S 为正方形ABCD 所在平面外一点，△SBC 是边长为2的等边三角形，点E 为线段SB 的中点．（1）证明：SD ∥平面AEC ；（2）若侧面SBC ⊥底面ABCD ，求平面ACE 与平面SCD 所成锐二面角的余弦值．．19.2020年3月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从甲地到乙地的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期200天内每天配送的蔬菜量X（40≤X＜200，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：蔬菜量X 天数[40，80）25[80，120）50[120，160）100[160，200）25若将频率视为概率，试解答如下问题：（1）该物流公司负责人决定随机抽出3天的数据来分析配送的蔬菜量的情况，求这3天配送的蔬菜量中至多有2天小于120件的概率；（2）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从甲地到乙地的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟，每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁几辆货车？20.已知函数f（x）=ax-（a+2）ln x-+2，其中a∈R．（1）当a=4时，求函数f（x）的极值；（2）试讨论函数f（x）在（1，e）上的零点个数．21.已知动直线l过抛物线C：y2=4x的焦点F，且与抛物线C交于M，N两点，且点M在x轴上方．（1）若线段MN的垂直平分线交x轴于点Q，若|FQ|=8，求直线l的斜率；（2）设点P（x0，0），若点M恒在以FP为直径的圆外，求x的取值范围．0）22.如图，在极坐标系中，曲线C1是以C（为圆心的半圆，曲线C2是以14，为圆心的圆，曲线C1、C2都过极点O．（1）分别写出半圆C1，C2的极坐标方程；（2）直线l：与曲线C1，C2分别交于M、N两点（异于极点O），P为C2上的动点，求△PMN面积的最大值．23.已知函数f（x）=|x-2|+|x+1|．（1）解关于x的不等式f（x）≤5；（2）若函数f（x）的最小值记为m，设a，b，c均为正实数，且a+4b+9c=m，求的最小值．2020年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）答案和解析1.【答案】C【解析】解：画出x2+y2=1和x+y=1的图象如下：可看出圆x2+y2=1和直线x+y=1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2．故选：C．可画出圆x2+y2=1和直线x+y=1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B中的元素个数．考查了描述法的定义，交集的定义及运算，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：（1-i）•z=|+i|，∴（1+i）（1-i）•z=2（1+i），则z=1+i．故选：B．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵x•log32=1，∴x=log23，∴4x===9，故选：D．利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用．4.【答案】D【解析】解：根据A、B、O、AB血型与COVID-19易感性存在关联，患者占有比例可知：A型37.75%最高，所以风险最大值，比其它血型相对易感；故而D选项明显不对．故选：D．根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，患者占有比例即可解答．本题考查由频数直方图，看频数、频率，判断问题的关联性，属于基础题5.【答案】B【解析】解：∵展开式中，仅第四项的二项式系数最大，∴展开式共有7项，则n=6，则展开式的通项公式为Tk+1=C x6-k（-）k=（-2）k C x6-2k，由6-2k=0得k=3，即常数项为T4=（-2）3C=-160，故选：B．根据展开式二项式系数最大，求出n=6，然后利用展开式的通项公式进行求解即可．本题主要考查展开式的应用，求出n的值，结合展开式的通项公式是解决本题的关键．比较基础．6.【答案】B【解析】解：∵sin B=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C=2sin A cos C，∴cos A sin C-sin A cos C=sin（C-A）=0，即C-A=0，C=A，∴△ABC为等腰三角形．故选B.由三角形的内角和定理得到B=π-（A+C），代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值得到A=C，由此可得到三角形为等腰三角形．此题考查了两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7.【答案】A1×cos120°=-，【解析】解：由题意知||=||=1，且•=1×又向量═2-，1-（-）=．所以•=2-•=2×故选：A．根据平面向量的数量积定义，计算即可．本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：双曲线＞0）的上焦点到上顶点的距离为2，到渐近线距离为，可得：，解得a=1，c=3，b=2，所以双曲线的离心率为：e==3．故选：B．利用已知条件求出方程组，得到a，c，即可求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的离心率的求法，是基本知识的考查，基础题．9.【答案】A【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）=，当x＞0时，f（x）=2x+1＞2，当x＜0时，f（x）=-2-x-1=-（2-x+1）＜-2，其值域不是R，A错误；对于B，函数f（|x|），其定义域为{x|x≠0}，有f（|-x|）=f（|x|），函数f（|x|）为偶函数，B正确；对于C，函数f（x）=，当x＞0时，-x＜0，有f（x）=2x+1，f（-x）=-f（x）=-2-x-1，反之当x＜0时，-x＞0，有f（x）=-2x-1，f（-x）=-f（x）=2x+1，综合可得：f（-x）=-f（x）成立，函数f（x）为奇函数，C正确；对于D，函数f（x）=，当x＞0时，f（x）=2x+1＞2，f（x）在（0，+∞）为增函数，当x＜0时，f（x）=-2-x-1＜-2，f（x）在（-∞，0）上为增函数，故f（x）是定义域上的单调函数；故选：A．根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．本题考查分段函数的性质，涉及函数的值域、奇偶性、单调性的分析，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：∵函数的最小周期是π，∴=π，得ω=2，则f（x）=sin（2x+φ），∵f（x）关于中心对称，∴2×（-）+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ+，k∈Z，∵，∴当k=0时，φ=，即f（x）=sin（2x+），则函数在[-，]上递增，在[，]上递减，f（0）=f（），∵＜1＜2，∴f（）＞f（1）＞f（2），即f（2）＜f（1）＜f（0），故选：D．根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可．本题主要考查三角函数值的大小比较，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的单调性进行判断是解决本题的关键．难度中等．11.【答案】B【解析】解：函数的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y=f（x）与y=-的交点个数．由y=-，得y′=．可知当x＜1时，y′＜0，函数单调递减，当x＞1时，y′＞0，函数单调递增．作出两函数y=f（x）与y=-的图象如图：由图可知，函数故选：B ．函数的零点个数为2个．的零点个数，即方程的零点个数，也就是两函数y =f （x ）与y =-的图象的交点个数，画出图象，数形结合得答案．本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．12.【答案】A【解析】解：由题意，OC ⊥平面ABD ，根据三余弦定理，线线角的值等于线面角的余弦值与射影角余弦值的积．-θ；则cosθ=cosθ1×cos （60°-θ）设∠CBD =θ，∠CBO =θ1，则∠ABD =60°所以cosθ1==，∵θ∈（30°，60°）；∴OB =cosθ1∈（，1）．故选：A ．由题意，OC ⊥平面ABD ，根据三余弦定理，线线角的值等于线面角的余弦值与射影角余弦值的积．从而求解；本题考查△ABC 的折叠和三余弦定理（最小角定理），要求熟悉余弦定理；是中档题．13.【答案】【解析】解：∵，∴两边平方可得：cos 2+sin 2-2cos sin =，可得1-sinα=，∴sinα=．故答案为：．将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：f ′（x ）=e x （cos x -sin x ）-m ．∴∴m =2．故答案为：2对函数求导，然后得f ′（0）=，由此求出m 的值．．本题考查导数的几何意义以及切线问题．抓住切点处的导数为切线斜率列方程是本题的基本思路．属于基础题．15.【答案】2=PF 1•PF 2=4【解析】解：△F 1PF 2的面积=PF 1•PF 2sin120°=又根据余弦定理可得cos120°，则PF 1•PF 2=16，，即4c 2=PF 12+PF 22+16=（2a ）2-32+16，所以4b 2=16，解得b =2，故答案为：2．根据正余弦定理可得PF 1•PF 2=16且4c 2=（2a ）2-16，解出b 即可．本题考查椭圆性质，考查正、余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】【解析】解：设正四棱柱的高为h ，底面边长为a ，如图所示；2）2，则h 2+2a 2=（2×所以a 2=8-h 2，所以正四棱柱容器的容积为V =a 2h =（8-h 2）h =-h 3+8h ，h ∈（0，4）；求导数得V ′=-h 2+8，令V ′=0，解得h =所以h ∈（0，h ∈（，）时，V ′＞0，V （h ）单调递增；，4）时，V ′＜0，V （h ）单调递减；时，V 取得最大值．．所以h =所以要使该容器所盛液体尽可能多，容器的高应为故答案为：．设正四棱柱的高为h ，底面边长为a ，用h 表示出a ，写出正四棱柱容器的容积，利用导数求出V 取最大值时对应的h 值．本题考查了球内接正四棱柱的体积的最值问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是中档题．17.【答案】解：（1）a n +1=由a 1=1，可得S 1=1，，可得a n +1=S n +1-S n =S n ，即Sn+1=Sn，可得数列{Sn}是首项为1，公比为的等比数列，则Sn=（）n-1；（2）证明：bn==（）n-1，则b1+b2+b3+…+bn==-•（）n＜．【解析】（1）由数列的递推式：an+1=Sn+1-Sn，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得bn==（）n-1，由等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证．本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查定义法和运算能力、推理能力，属于基础题．18.【答案】（1）证明：连接BD交AC于F，连接EF，∵ABCD为正方形，F为BD的中点，且E为BS的中点，∴EF∥SD．又SD⊄平面AEC，EF⊂平面AEC，∴SD∥平面AEC；（2）解：取BC的中点O，连接OF并延长，可知OF⊥OC，在等边三角形SBC中，可得SO⊥BC，∵侧面SBC⊥底面ABCD，且侧面SBC∩底面ABCD=BC，∴SO⊥平面ABCD，得OS⊥OF，OS⊥OC．以O为坐标原点，分别以OF，OC，OS所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，得：A（2，-1，0），C（0，1，0），E（0，-，），D（2，1，0），S（0，0，，，，，．．）．设平面CDS与平面ACE的一个法向量分别为由，取z=1，得；由，取x1=1，得．∴cos＜＞=．．∴平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值为【解析】（1）连接BD交AC于F，连接EF，由已知结合三角形的中位线定理可得EF∥SD，再由直线与平面平行的判定可得SD∥平面AEC；OS⊥OF，OS⊥OC，（2）取BC的中点O，连接OF并延长，可知OF⊥OC，利用线面垂直的判定定理与性质定理可得：建立空间直角坐标系，分别求出平面CDS与平面ACE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面ACE与平面SCD所成锐二面角的余弦值．本题考查直线与平面平行与垂直的判定、法向量与数量积的应用、空间角，考查空间想象能力与思维能力、计算能力，属中档题．19.【答案】解：（1）记事件A为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P （A ）=，∴随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率为：p ==．，（2）由题意得每天配送蔬菜量X 在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为设物流公司每天的营业利润为Y ，若租赁1辆车，则Y 的值为2000元，若租赁2辆车，则Y 的可能取值为4000，1600，P （Y =4000）=，P （Y =1600）=，∴Y 的分布列为：Y P∴E （Y ）=4000×4000=3700元．1600若租赁3辆车，则Y 的可能取值为6000，3600，1200，P （Y =6000）=，P （Y =3600）=，P （Y =1200）=，∴Y 的分布列为：Y P ∴E （Y ）=60003600=4800元，1200若租赁4辆车，则Y 的可能取值为8000，5600，3200，800，P （Y =8000）=，P （Y =5600）=，P （Y =3200）=，P （Y =800）=，∴Y 的分布列为：Y P ∴E （Y ）=∵4800＞4700＞3700＞2000，8000 5600 3200=4700，800∴为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车．【解析】（1）记事件A 为“在200天随机抽取1天，其蔬菜量小于120件”，则P （A ）=，由此能求出随机抽取的3天中配送的蔬菜量中至多有2天的蔬菜量小于120件的概率．（2）由题意得每天配送蔬菜量X 在[40，80），[80，120），[120，160），[160，200）的概率分别为，设物流公司每天的营业利润为Y ，若租赁1辆车，则Y 的值为2000元，若租赁2辆车，则Y 的可能取值为4000，1600，若租赁3辆车，则Y 的可能取值为6000，3600，1200，若租赁4辆车，则Y 的可能取值为8000，5600，3200，800，分别求出相应的数学期望，推导出为使该物流公司此项业务的营业利润最大，该物流公司应一次性租赁3辆货车．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频数分布表、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）当a =4时，f （x ）=4x -6ln x -+2，易得f （x ）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（=）上单调递减，，x ＞0，故当x =时，函数取得极大值f （）=6ln2，当x =1时，函数取得极小值f （1）=4，（2）=，当a ≤0时，f （x ）在（1，e ）上单调递减，f （x ）＜f （1）=a ≤0，此时函数在（1，e ）上没有零点；当a ≥2时，f （x ）在（1，e ）上单调递增，f （x ）＞f （1）=a ≥2，此时函数在（1，e ）上没有零点；当0即时，f （x ）在（1，e ）上单调递减，由题意可得，，解可得，0当即，时，f （x ）在（1，）上单调递减，在（=，）上单调递增，由于f （1）=a ＞0，f （e ）=a （e -1）-令g （a ）=f （）=2-（a +2）ln -a +2=（a +2）ln a -（1+ln2）a +4-2ln2，令h （a ）=所以h （a ）在（所以g （a ）在（即f （）＞0，所以f （x ）在（1，e ）上没有零点，综上，当0＜a ＜当a ≤0或a，则＜0，）上递减，h （a ）＞h （2）=1＞0，即g ′（a ）＞0，）上递增，g （a ）＞g （）=2-，时，f （x ）在（1，e ）上有唯一零点，时，f （x ）在（1，e ）上没有零点．【解析】（1）把a =4代入后对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，进而可求极值；（2）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a 进行分类讨论，确定导数符号，然后结合导数与函数的性质可求．本题综合考查了导数与函数性质的应用，体现了转化思想与分类讨论思想的应用．21.【答案】解：（1）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为：x =ty +1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），线段MN 的最大E （x 0，y 0），联立直线与抛物线的方程可得：，整理可得y 2-4ty -4=0，y 1+y 2=4t ，y 1y 2=-4，所以y 0=2t ，x 0=ty 0+1=2t 2+1，即E （2t 2+1，2t ），故线段MN 的中垂线方程为：y -2t =-t （x -2t 2-1），令y =0，则Q （2t 2+3，0），所以|FQ |=|22+3-1|=8，解得t =，所以直线l 的斜率k ==；＞0，（2）点M 恒在以FP 为直径的圆外，则∠FMP 为锐角，等价于设M （，y 1），F （1，0），P （x 0，0），则故=（x 0-，-y 1），=（1-，-y 1），+（1-）x 0＞0恒成立，=（x 0-）（1-）+y 12=+令t =，t ＞0，原式等价于t 2+3t +（1-t ）x 0＞0对任意t ＞0恒成立，即t 2+（3-x 0）4+x 0＞0对任意t ＞0恒成立，令h （t ）=t 2+（3-x 0）4+x 0，t ＞0，①△=（3-x 0）2-4x 0＜0，即1＜x 0＜9，②，解得0≤x 0≤1，又因为x 0≠1，故x 0∈[0，1），综上所述x 0∈[0，1）∪（1，9）．【解析】（1）由题意可得直线l 的斜率存在且不为0，设l 的方程与抛物线联立，求出两根之和及两根之积，进而可得MN 的中点坐标，进而可得MN 的中垂线方程，令y =0可得Q 的坐标，进而求出|QF |的值，由题意可得直线l 的斜率；（2）由题意可得∠FMP 为锐角，等价于＞0，求出的表达式，换元等价于h （t ）=t 2+（3-x 0）4+x 0，t＞0恒成立，分两种情况求出x 0取值范围．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合及点在圆外的性质，属于中难题．22.【答案】解：（1）曲线C 1是以C 1（4，0）为圆心的半圆，所以半圆的极坐标方程为曲线C 2是以，．为圆心的圆，转换为极坐标方程为．（2）由（1）得：|MN |=|显然当点P 到直线MN 的距离最大时，△PMN 的面积最大．此时点P 为过C 2且与直线MN 垂直的直线与C 2的一个交点，设PC 2与直线MN 垂直于点H ，如图所示：在Rt△OHC2中，|所以点P到直线MN的最大距离d=所以．，，【解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的变换和三角形的面积的公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：（1）f（x）=|x-2|+|x+1|=∵f（x）≤5，∴或-1≤x≤2或，．∴-2≤x≤3，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤3}．（2）∵f（x）=|x-2|+|x+1|⩾|（x-2）-（x+1）|=1∴f（x）的最小值为1，即m=3，∴a+4b+9c=3．==3，当且仅当∴时等号成立，最小值为3．【解析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≤5，利用零点分段法解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值m，然后由a+4b+9c=m，根据++=用基本不等式求出的最小值．++（a+4b+9c），利本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

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7．在△ABC中，cos C=23，AC=4，BC=3，则cos B=A．19B．13C．12D．238．下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是A．6+42B．4+42C．6+23D．4+239．已知2tanθ–tan(θ+π4)=7，则tanθ=A．–2 B．–1 C．1 D．210．若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为A．y=2x+1 B．y=2x+12C．y=12x+1 D．y=12x+1211．设双曲线C：22221x ya b-=（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=A．1 B．2 C．4 D．8 12．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b18．（12分）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次锻炼人次[0，200] （200，400] （400，600] 空气质量等级1（优） 2 16 252（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 84（中度污染）7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？19．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在棱11,DD BB 上，且12DE ED =，12BF FB =．（1）证明：点1C 在平面AEF 内；（2）若2AB =，1AD =，13AA =，求二面角1A EF A --的正弦值．20．（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<15，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．21．（12分）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t ty t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．（1）求||AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，1abc =．（1）证明：0ab bc ca ++<；（2）用max{,,}a b c 表示a ，b ，c 的最大值，证明：max{,,}a b c 34．2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案选择题答案一、选择题 1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．C 9．D 10．D11．A12．A非选择题答案二、填空题13．7 14．240 15 16．②③三、解答题17．解：（1）235,7,a a ==猜想21,n a n =+由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，……2153(3)a a -=-.因为13a =，所以2 1.n a n =+（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①从而23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②-①②得23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，所以1(21)2 2.n n S n +=-+18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率的估计值如下表：概率的估计值 0.430.27 0.21 0.09（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为1(100203003550045)350100⨯+⨯+⨯=．（3）根据所给数据，可得22⨯列联表：人次≤400人次>400 空气质量好 33 37 空气质量不好228根据列联表得22100(3382237) 5.82055457030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于5.820 3.841>，故有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关． 19．解：设AB a =，AD b =，1AA c =，如图，以1C 为坐标原点，11C D 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系1C xyz -．（1）连结1C F ，则1(0,0,0)C ，(,,)A a b c ，2(,0,)3E a c ，1(0,,)3F b c ，1(0,,)3EA b c =，11(0,,)3C F b c =，得1EA C F =．因此1EA C F ∥，即1,,,A E F C 四点共面，所以点1C 在平面AEF 内．（2）由已知得(2,1,3)A ，(2,0,2)E ，(0,1,1)F ，1(2,1,0)A ，(0,1,1)AE =--，(2,0,2)AF =--，1(0,1,2)A E =-，1(2,0,1)A F =-．设1(,,)x y z =n 为平面AEF 的法向量，则 110,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,220,y z x z --=⎧⎨--=⎩可取1(1,1,1)=--n ．设2n 为平面1A EF 的法向量，则 22110,0,A E A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 同理可取21(,2,1)2=n ．因为121212cos ,||||⋅〈〉==⋅n n n n n n ，所以二面角1A EF A --．20．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=.（2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =||BQ =，因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -. 11||PQ =11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=. 22||PQ 22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52. 21．解：（1）2()3f x x b '=+．依题意得1()02f '=，即304b +=.故34b =-．（2）由（1）知3(3)4f x x x c -=+，2()334f x x '=-. 令)0(f x '=，解得12x =-或12x =.()f x '与()f x 的情况为：x1()2-∞-，12- 11()22-， 12 1()2∞，+ ()f x ' + 0 – 0 + ()f x14c +14c -因为11(1)()24f f c =-=+，所以当14c <-时，()f x 只有大于1的零点.因为11(1)()24f f c -==-，所以当14c >时，f （x ）只有小于–1的零点．由题设可知1144c -≤≤，当1=4c -时，()f x 只有两个零点12-和1.当1=4c 时，()f x 只有两个零点–1和12.当1144c -<<时，()f x 有三个等点x 1，x 2，x 3，且11(1,)2x ∈--，211(,)22x ∈-，31(,1)2x ∈．综上，若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，则()f x 所有零点的绝对值都不大于1. 22．解：（1）因为t ≠1，由220t t --=得2t =-，所以C 与y 轴的交点为（0，12）；由2230t t -+=得t =2，所以C 与x 轴的交点为(4,0)-．故||410AB =（2）由（1）可知，直线AB 的直角坐标方程为1412x y+=-，将cos sin x y ρθρθ==，代入，得直线AB 的极坐标方程3cos sin 120ρθρθ-+=．23．解：（1）由题设可知，a ，b 均不为零，所以22221[()()]2ab bc ca a b c a b c ++=++-++2221()2a b c =-++0 <.（2）不妨设max{a，b，c}=a，因为1,()abc a b c==-+，所以a>0，b<0，c<0.由2()4b cbc+≤，可得34aabc≤，故a≥，所以max{,,}a b c≥.。