三角函数之值域问题

合集下载

三角函数值域的求法及例题

标题：三角函数值域的求法及其应用
一、基本概念：
三角函数是描述周期性现象的关键工具，特别是一元函数微积分中的基本函数。

它们的值域，即能够表示的函数的取值范围，对于理解函数的性质和图形至关重要。

二、求值域的方法：
1. 观察法：根据三角函数的定义，我们知道正弦、余弦和正切函数的值域分别是-1 到1（包括-1，但不包括0），0 到正无穷（包括0），以及-π/2 到π/2（包括0，但不包括π/2 和-π/2）。

当已知函数的表达式时，可以通过观察函数的定义域和函数自身的性质来求值域。

2. 三角函数不等式法：可以利用三角函数的不等式来求值域，例如：对于正弦函数，有0 <= sin(x) <= 1。

3. 反函数法：对于反三角函数，如arcsin(x) 和arctan(x)，可以通过求其反函数的定义域来得到值域。

4. 换元法：对于某些复杂的三角函数，可以通过换元法将问题简化。

5. 判别式法：对于二次或高次方程的解，可以通过判别式小于或等于零来求出函数的值域。

三、例题解析：
【例题】求函数f(x) = 3sin(2x + π/6) 的值域。

解：首先，我们可以看出函数的定义域为R（即所有实数），且函数的周期性表现为sin(x) 的形式。

由于正弦函数的值域为-1 到1（包括-1，但不包括0），因此我们可以得出f(x) 的值域为[-3, 3]。

四、总结：
求三角函数值域的方法多种多样，观察法、三角函数不等式法、反函数法、换元法以及判别式法都是常见的方法。

理解这些方法并灵活运用，可以帮助我们更好地解决实际问题。

以上就是关于三角函数值域求法的介绍以及例题解析，希望对你有所帮助。

专题二微重点6 三角函数中ω,φ的范围问题

P0，12，现将 y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度得到的函数图象也过
点 P，则
√A.ω 的最小值为 2
B.ω 的最小值为 6
C.ω 的最大值为 2
D.ω 的最大值为 6
12345678
依题意 f(0)＝sin φ＝12，0<φ<π2，φ＝π6， f(x)＝sinωx＋π6的图象向左平移π3个单位长度得到 g(x)＝sinωx＋π3＋π6＝sinωx＋π3ω＋π6，g(0)＝sinπ3ω＋π6＝12，所以π3ω＋π6＝2k1π＋π6或π3ω＋π6＝2k2π＋56π，即ω＝6k1或ω＝6k2＋2，其中k1，k2∈Z，由于ω>0，所以ω的最小值为2.
跟踪演练3 (2022·湛江模拟)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，|φ|≤π2，f π3＋x
＝f π3－x，f －π3＝0，且 f(x)在区间1π0，π2上有且只有一个极大值点，
33 则 ω 的最大值为__4___.
由题意知，－π3ω＋φ＝k1π， π3ω＋φ＝k2π＋π2，
k1，k2∈Z，
12345678
若 x∈(0,2π)，则 ωx＋π6∈π6，2ωπ＋π6. 设 t＝ωx＋π6，则 t∈π6，2ωπ＋π6，因为 2ωπ＋π6∈π6，176π，所以函数 y＝sin t 在π6，2ωπ＋π6上的零点最多有 2 个. 所以f(x)在(0,2π)上的零点最多有2个.
12345678
4.(2022·萍乡模拟)设函数 f(x)＝sin2x＋π4在区间a，a＋π3上的最大值为
M，最小值为 m，则 M－m 的最小值为
A.
2 2
√B.12
C.1－
2 2
2－1 D. 2

三角函数的定义域与值域题库(精)

专题三：三角函数的定义域与值域（习题库）一、选择题1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（）A、[﹣，]B、[，]C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）分析：由题意知，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴，解答（k∈Z）∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D．2、函数的定义域是（）A、.B、.C、D、.解答：由题意可得sinx﹣≥0⇒sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B．3、函数的定义域为（）A、 B、C、 D、解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+），∴，故选D．4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（）A、[1，]B、C、D、解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx===又∵∴∴则1≤f（x）≤故选A．5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（）A、[﹣1，1]B、[﹣，1]C、[﹣，﹣1]D、[﹣1，]解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣=sin2x+sinx﹣1=﹣∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣．sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B．6、函数值域是（）A、 B、C、 D、[﹣1，3]解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B7、函数的最大值是（）A、5B、6C、7D、8解答：∵==∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是78、若≤x≤，则的取值范围是（）A、[﹣2，2]B、C、D、解答：=2（sinx+cosx）=2sin（），∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1，则函数f（x）的取值范围是：．故选C．9、若，则函数y=的值域为（）A、 B、 C、 D、解答：函数y===因为，所以sin∈（0，）∈故选D10、函数，当f（x）取得最小值时，x的取值集合为（）A、 B、C、 D、解答：∵函数，∴当 sin（﹣）=﹣1时函数取到最小值，∴﹣=﹣+2kπ，k∈Z函数，∴x=﹣+4kπ，k∈Z，∴函数取得最小值时所对应x的取值集合:为{x|x═﹣+4kπ，k∈Z} 故选A．11、函数y=sin2x﹣sinx+1（x∈R）的值域是（）A、[，3]B、[1，2]C、[1，3]D、[，3]解答：令sinx=t，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2+，t∈[﹣1，1]，由二次函数性质，当t=时，y取得最小值．当t=﹣1时，y取得最大值3，∴y∈[，3] 故选A．12、已知函数，则f（x）的值域是（）A、[﹣1，1]B、C、D、解答：解：由题=，当 x∈[，]时，f（x）∈[﹣1，]；当 x∈[﹣，]时，f （x）∈[﹣1，]可求得其值域为．故选D．13、函数的值域为（）A、 B、 C、[﹣1，1] D、[﹣2，2]解答：=﹣sinxcosx+cos2x=cos2x ﹣sin2x=cos （2x+）∴函数的值域为[﹣1，1] 故选C ．14、若≥，则sinx 的取值范围为（） A 、 B 、 C 、∪D 、∪解答：∵≥，∴解得x ∈[，）∪（，] ∴sinx ∈故选B15、函数y=sin2x+2cosx 在区间[﹣，]上的值域为（）A 、[﹣，2]B 、[﹣，2）C 、[﹣，]D 、（﹣，] 解答：∵x ∈[﹣，] ∴cosx ∈[﹣，1]又∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx ﹣1）2+2 则y ∈[﹣，2] 故选A 二、填空题（共7小题） 16、已知，则m 的取值范围是．解答：∵=2（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∴﹣2≤≤2，∴m≥，或m≤﹣，故m的取值范围是（﹣∝，﹣]∪[，+∞）．17、函数在上的值域是___________．解答：因为，故故答案为：18、函数的值域为．解答：由题意是减函数，﹣1≤sinx≤1，从而有函数的值域为，故答案为19、（理）对于任意，不等式psin2x+cos4x≥2sin2x恒成立，则实数p的范围为．解答：∵psin2x+cos4x≥2sin2x ∴psin2x≥2sin2x﹣1﹣sin4x+2sin2x=4sin2x﹣sin4x﹣1∴p≥4﹣（sin2x+）而sin2x+≥2∴4﹣（sin2x+）的最大值为2则p≥2 故答案为：[2，+∞）20、函数的值域是．解答：令t=sinx+cosx=，t2=1+2sinxcosx∵∴x+∴从而有:f（x）==﹣2 在单调递增当t+1=2即t=1时，此时x=0或x=，函数有最小值当t+1=1+即t=时此时x=，函数有最大值2﹣2故答案为：[﹣2]21、函数的定义域为．解答：要使函数有意义，必须解得，故答案为：（0，）．三、解答题（共8小题）22.（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin （cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。

三角函数的值域问题

x 2k
y sin x
y cos x

2
(k∈z)
2
时y min 1 x 2k 时y min 1
(k∈z)
二、新课讲解
• 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么？ • (1)y=2sinx, xR • (2)y=-3sinx,xR • (3)y=asinx,xR(a>0) • (4)y=asinx,xR(a<0) • (5)y=asinx,xR(a≠0)

类型二：求y A sin( x )型函数的的值域与最值
例3：求函数y 2 sin( 2 x )的最值，并求取得最值时 3 自变量x的集合。

1 变式1：函数y 3 2 sin( x )的值域为 ______ . 2 3 变式2：已知y a sin( 2 x ) b(a 0)的最大值为3, 3 最小值为 1, 求a, b的值.
当题目中有出现自变量x属于某个小区间，那么
要用换元 2 x )的范围。 3

类型三：值域与最值的应用
延伸:
0 (2014 湖北高考改编)某实验室一天的温度(单位： C)
随时间t (单位：h)的变化近似满足函数： t )，t 0,24 12 6 求实验室一天的最大温差。 f (t ) 10 2 sin(
1.在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx和 y= cosx， x[0, 2]的简图：
y
1
一.复习
y=cosx，x[0, 2]

2
o
-1
2

3 2

三角函数最值或值域的求法

三角函数最值或值域的求法三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。

类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。

例1：求函数xx y sin 21sin --=的值域。

解：由x x y si n 21si n --=变形为(1)si n 21y x y +=+，知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，由21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +⇒≤⇒+≤++203y ⇒-≤≤，则此函数的值域是2[,0]3y ∈-类型二：x b x a y cos sin +=型。

此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ϕ=+=+求其最值（或值域）。

例2：求函数)3sin()6sin(ππ++-=x x y （R x ∈）的最值。

解法1：)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(πππππ+=+-=-+-=x x x x y ，∴函数的最大值为2，最小值为2-。

分析2：运用公式sin (α±β) = sin αcos β ± cos αsin β解法2：x x y cos 213sin 213-++=∴函数的最大值为2，最小值为2-。

分析3：观察发现角)3(π+x 与角)6(π-x 的差恰好为2π，故将)6(π-x 看成基本量，将函数化归为同一角)6(π-x 的函数式。

解法3：（运用和差化积公式）)4cos()12sin(2ππ-+=x y )12sin(2π+=x ∴函数的最大值为2，最小值为2-。

类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。

此类型可化为)0(2≠++=a c bt at y 在区间]1,1[-上的最值问题。

例3：求函数1sin 3cos 2++=x x y （R x ∈）的最值分析：转化为一个角的同一种函数sinx ，将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。

求三角函数值域的常用方法

求三角函数值域的常用方法有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。

掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。

一、利用三角函数的有界性求值域1、形如y=asinx+bcosx+c 型引入辅助角公式化为22b a +sin(x+φ)+c 再求值域. 例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+3π)的值域2、形如y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 型通过降幂转化为Asinx+Bcosx 再求值域.例2、（2011重庆高考）设a R ∈，2()cos (sin cos )cos ()2f x x a x x x π=-+-，满足()(0)3f f π-=，求函数11(),]424f x ππ在[上的最大值和最小值二、用换元法化为二次函数求值域1、形如y=sin 2x+bsinx+c 型令sinx=t 转化为二次函数再求值域.例3、（2011北京卷）已知函数2()2cos 2sin 4cos f x x x x =+-（1）求()3f π的值（2）求()f x 的最大值和最小值2、形如y=asinx·cosx+b （sinx±cosx ）+c ，换元令sinx±cosx=t 转化为二次函数在]2,2[-上的值域问题三、根据代数函数的单调性求值域形如y=sint+t b sin ，令sint=x ，根据函数y=x+xb 的单调性求值域. 例6、θ∈(0,π)，则函数y=sin θ+θsin 2的值域为_________.形如y=d x c b x a ++cos cos 型，可用分离常数法转化为y=x+xb 再求值域. 例5、求函数y=1cos 21cos 2-+x x 的值域.。

三角函数专题：三角函数最值(值域)的5种常见考法(解析版)

三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法1、形如sin y a x = (或cos y a x =)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论 2、形如sin()y a x b ωϕ=++ (或cos()y a x b ωϕ=++型（1）先由定义域求得x ωϕ+的范围（2）求得sin()x ωϕ+ (或cos()x ωϕ+)的范围，最后求得最值 3、形如sin cos y a x b x =+型引入辅助角转化为22)y a b x ϕ=++，其中tan baϕ=，再利用三角函数的单调性求最值。

4、形如2sin sin (0)y a x b x c a =++≠或2cos cos (0)y a x b x c a =++≠型，可利用换元思想，设sin y x =或cos y x =，转化为二次函数2y at bt c =++求最值，t 的范围需要根据定义域来确定． 5、形如sin cos (sin cos )y x x x x =⋅±±型利用sin cos x x ±和sin cos x x ⋅的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 6、分式型三角函数值域（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；（2）判别式法题型一借助辅助角公式求值域【例1】该函数sin 3y x x =的最大值是（） A ．1 B 6 C ．2 D ．2- 【答案】C【解析】因为πsin 32sin 3y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数sin 3y x x =的最大值是2.故选：C.【变式1-1】已知()()sin 3cos 0f x A x x A =->的最大值是2，则()3sin 3cos g x x A x +在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的最大值是（）A ．32B ．3C 326+ D ．23【答案】C【解析】根据辅助角公式可得：()2223sin 3=333f x A x x A x x A A ⎫=+⎪⎪++⎭()2=3A x ϕ+-，其中3tan ϕ=. 由()f x 的最大值为2()2320A A +>,解得1A =.∴()1333cos 23sin 2g x x x x x ⎫=+=⎪⎪⎭π233x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π7π13π,31212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴当π7π312x +=，即π4x =时，()g x 取得最大值. 故()max ππ343g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭231326232⎫+==⎪⎪⎝⎭故选:C.【变式1-2】已知函数()()3cos sin 3cos 0,2f x x x x x π⎫⎡⎤=∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则函数()f x 的值域为（） A ．33⎡⎢⎣⎦ B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】()23sin cos 3x x f x x =+)133sin 21cos 22x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以3sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B【变式1-3】函数2()sin 3cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（）A ．1B ．2C ．32D ．3 【答案】C【解析】因为2()sin 3cos f x x x x =，所以1cos 231()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．【变式1-4】己知函数()3sin 4cos ,R f x x x x =+∈，则()()12f x f x -的最小值是_________. 【答案】10-【解析】由题意可得()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为12,R x x ∈,所以min max ()5,()5f x f x =-=.所以()()12f x f x -的最小值是min max ()()10f x f x -=-.题型二借助二次函数求值域【例2】求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【答案】3[3,]2-【解析】y =−2sin 2x +2sinx +1=−2(sinx −12)2+32，−1≤sinx ≤1，根据二次函数性质知，当1sin 2x =时，max 32y =；当sin 1x =-时，min 3y =-，故值域为3[3,]2-.【变式2-1】函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（）A ．11[,]44-B ．1[0,]4C ．1[2,]4-D ．1[1,]4- 【答案】C【解析】函数222cos sin 11sin sin 1sin sin y x x x x x x =+-=-+-=-+，设sin t x =，11t -≤≤，则()2f t t t =-+，由二次函数的图像及性质可知2124t t -≤-+≤，所以cos 2sin 1y x x =+-的值域为1[2,]4-，故选：C.【变式2-2】函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________【答案】[)5,-+∞【解析】因为2tan 4tan 1y x x =+-令tan t x =，则t R ∈所以()()224125f t t t t =+-=+-，所以()[)5,f t ∈-+∞，故函数的值域为[)5,-+∞【变式2-3】函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（） A ．14B ．12 C ．234- D ．414-【答案】C【解析】22197313sin cos 2sin 3sin sin 24422y x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+ ⎪⎝⎭，令sin x t =，则11t -≤≤．因为23122t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭在[]1,1-上单增，所以当1t =-时，2min31231224y ⎛⎫=---+=- ⎪⎝⎭．故选：C ．题型三借助换元法求值域【例】已知函数()，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1 B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1 C ．()f x 的最大值为32，最小值为34D ．()f x 的最大值为32，最小值为32 【答案】C【解析】因为函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，设sin cos 24x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣，则22sin cos 1x x t =-，所以2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣，当12t =-时，()min 34f t =；当2t =时，()max 32f t =故选：C【变式3-1】函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________．【答案】[－1,1]【解析】设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1. 当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．【变式3-2】函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（） A ．1 B ．12 C ．12 D ．3 【答案】C【解析】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[2,2]t ∈-，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[2,2]t ∈，对称轴为12t =-，所以当2t 时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为222121=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为12C【变式3-3】函数f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)的值域为________．【答案】[−12−√2,1]【解析】由于f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)=sinxcosx +sinx −cosx ，令sinx −cosx =t ，则sinxcosx =1−t 22，于是函数化为y =1−t 22+t =−12(t −1)2+1，而t =sinx −cosx =√2sin (x −π4)∈[−√2,√2] ，所以当1t =时，函数取最大值1，当t =−√2时，函数取最小值−12−√2，故值域为[−12−√2,1].题型四分式型三角函数的值域【例4】函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+ C ．[]0,4 D ．[]0,2 【答案】B【解析】令11cos ,1,,122x t t ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，13(21)11322212122211t t y t t t -++===+⋅---，可得[)(]213,00,1t -∈-⋃，[)11,1,213t ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥-⎝⎦，3113,,22122t ⎛⎤⎡⎫⋅∈-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢-⎝⎦⎣⎭，故(][),02,y ∈-∞⋃+∞.故选：B.【变式4-1】函数sin 3sin 2x y x +=+的值域为___________. 【答案】4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：sin 31sin 2sin 21x y x x +==+++，因为1sin 1x -≤≤，所以1sin 23x ≤+≤，所以1113sin 2x ≤≤+，所以411+23sin 2x ≤≤+，所以sin 3sin 2x y x +=+的值域是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．【答案】212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[2,1)(1,2]t ∈---，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[2,1)(1,2]t ∈---，所以()212111,2f t ⎫⎛---∈--⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦，即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x 的值域为212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦．【变式4-3】当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值是________.【答案】4【解析】22cos ()sin cos sin xf x x x x=-21tan tan x x =-，当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，所以21110tan tan 244<-≤-=x x ，()4f x ∴≥，即221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值为4.含绝对值的三角函数值域A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,0] 【答案】D【解析】当0sin 1x ≤≤ 时，sin sin 0y x x =-= ，所以，当1sin 0x -≤<，2sin y x =，又22sin 0x -≤< ，所以函数的值域为[]2,0-，故选：D.【变式5-1】函数()2sin 3cos f x x x =+的值域是（）A ．[]2,5B ．[]3,5C ．13⎡⎤⎣⎦D ．13⎡⎣【答案】C【解析】()sin()2cos()2sin 3cos 2sin 3cos f x x x x x x x +=+++=-+-=+πππ，∴()f x 为周期函数，其中一个周期为T π=，故只需考虑()f x 在[0,]π上的值域即可，当[0,]2x π∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =+=+α，其中cos 13α，sin 13α=, ∴max ()()132f x f =-παmin ()()22f x f ==π，当[,]2x ππ∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =-=+β，其中，cos 13β=sin 13=β， ∴max ()()132f x f =-πβmin ()()22f x f ==π，∴()f x 的值域为13].故选：C【变式5-2】设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______．【答案】0【解析】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈，∴当1t =时，min 2110y =-++=.【变式5-3】若不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】[)2,∞+ 【解析】∵ ()sin 1cos sin tan sin sin cos cos x x xx x x x x++=+=，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ sin 0,1cos 0,cos 0x x x >+><，∴ tan sin 0x x +<，∴sin tan tan sin sin tan tan sin 2tan x x x x x x x x x -++=---=-， ∵ 不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立 ∴ 2tan k x ≥-，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()max 2tan 2k x ≥-=. 故k 的取值范围是[)2,∞+.。

如何求两类分式三角函数的值域

分式三角函数值域问题的难度一般较大.解答此类问题，不仅要将函数式进行合理的变形，还需关注分母不为０的隐含条件，由此根据函数的定义域来求解.本文主要探讨两类分式三角函数值域问题及其解法，以期帮助同学们更加透彻地了解这两类问题的解法.类型一：y =a 1sin x +b 1a 2sin x +b 2或y =a 1sin x +b 1a 2cos x +b 2型分式三角函数形如y =a 1sin x +b 1a 2sin x +b 2或y =a 1sin x +b 1a 2cos x +b 2的分式三角函数值域问题比较常见，解答此类问题，通常有两种思路：（1）先根据函数式明确分母不为０时函数的定义域，然后将函数式变形为sin x =f ()y ,cos x =f ()y ,tan x =f ()y 的形式，再利用三角函数的有界性求得函数的值域；（2）将y 视为参数，把函数式变形为关于y 的方程，利用一次方程的性质或者二次方程的判别式来建立关于y 的不等式，解不等式即可求得值域.例1.求函数y =sin x +1sin x +2的值域.解：由y =sin x +1sin x +2可得sin x =2y -11-y ，因为||sin x ≤1，所以||||||2y -11-y ≤1，即()2y -12≤()1-y 2，解得0≤y ≤23，所以函数y =sin x +1sin x +2的值域为éëùû0，23.解答本题，要先通过恒等变换将函数式变形，再利用三角函数的有界性||sin x ≤1建立关于y 的不等式，解该不等式求就能求出函数的值域.例2.求函数f ()x =sin x +1cos x +2的值域.解：令t =tan x2，由万能公式可得sin x =2t 1+t 2，cos x =1-t 21+t 2，将其代入y =sin x +1cos x +2可得：y =t 2+2t +1t 2+3，整理得：()y -1t 2-2t +()3y -1=0，因为tan x2∈R ，所以t ∈R ，当y -1=0时，t =1；当y -1≠0时，根据∆≥0得0≤y ≤43，且y ≠1，因此函数f ()x 的值域为éëùû0，43.我们根据万能公式将tan x2用t 替换，通过换元将问题转化为关于t 的一元二次方程()y -1t 2-2t +()3y -1=0有解的问题，由一元二次方程的根的判别式建立不等式，进而求得函数的值域.类型二：y =a 1sin x cos x()sin x +a 2()cos x +a 3型分式三角函数解答形如y =a 1sin x cos x()sin x +a 2()cos x +a 3的分式三角函数值域问题，要先根据同角的三角函数关系式sin 2x +cos 2x =1以及完全平方公式，将sin x cos x 用sin x +cos x 表示出来，以便把函数式转化为只含有sin x +cos x 的式子，这样根据辅助角公式和正余弦函数的性质就能顺利求得函数的值域.例3.已知θ∈æèöø0，π2，则2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1的值域为_____.解：令t =sin θ+cos θ，∴t =2sin æèöøθ+π4，∵θ∈æèöø0，π2，θ+π4∈æèöøπ4，3π4，∴t ∈(]1，2，∴t 2=1+2sin θcos θ，∴sin θcos θ=t 2-12，∴2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1=2()t -1t +1=2-4t +1，而在(]1，2上g ()t =2-4t +1单调递增，∴0<2-4t +1≤6-42，∴函数2sin θcos θ()sin θ+1()cos θ+1的值域为(]0,6-42.本题较为复杂，解答时需先根据重要三角函数不等式将函数式进行变形，然后设t =sin θ+cos θ，通过换元将问题转化为求g ()t 在(]1，2上的最值，根据反比例函数的性质即可解出.在求值域的过程中，需注意自变量的取值范围，若自变量的取值范围错误，则所求的值域也必定是错误的.总的来说，求解分式三角函数值域问题的关键是要明确函数式的特征，据此将函数式进行适当的变形，如变形为sin x =f ()y 、cos x =f ()y 、tan x =f ()y 的形式、一元二次方程、反比例函数等，再根据三角函数的有界性和方程的性质就能求得最值.（作者单位：安徽省蚌埠市怀远县包集中学）方法集锦45。

求三角函数的值域(最值)题型例析

3c
2
2
1
3
3
s
i
n2
x c
o
s2
x +
=
3 =
2
2
2
s
i
n2
x-
(
3
7π
π
。由 0≤x ≤
,可得
+
2
1
2
3
)
π
π
5π
3
,所以 - ≤ 2
x ≤
≤
3
3
6
2
s
i
n2
x-
(
π
π
≤1,所以 0 ≤ s
i
n2
+
x3
3
)
(
)
[
;
当定义域为某个给定
-|A|+k,
|A|+k]
函数的单调性求值域。
题型 2:
(
或 y=Ac
Aω≠0)
o
s(
ωx+φ)
+k(
Aω≠0)
例1
(32π-x) - 3 cosx + 3。当 x ∈
[0,712π] 时,函数 f(x)的最小值和最大值分
s
i
n
2
。
别为
解:
函数 f(
x)= (-s
i
nx)(-c
o
sx)-
1
3
(
o
s2x+ 3= s
i
n2
xc
o
s2
x+1)+
i
n(
ωx+φ)
+k 或y=Ac

高考数学：三角函数中的最值问题(4种方法)

三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

三角函数值域的求法

例谈三角函数值域（最值）的几种求法南县一中肖胜军有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。

掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。

一、合理转化，利用有界性求值域例1、求下列函数的值域：（1）1sin cos y x x =+ （2）cos 3cos 3x y x -=+（3）22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ （4）3sin()4cos()44y x x ππ=+++解析：（1）根据11sin cos sin 222x x x ≤≤可知：1322y ≤≤ （2）将原函数的解析式化为：3(1)cos 1y x y +=-，由cos 1x ≤可得：122y -≤≤-(3) 原函数解析式可化为：21sin 22cos 2sin 2cos 22)4y x x x x x π=++=++=+可得：22y -≤≤+（4）根据sin cos )a x b x x φ⎡+=+∈⎣可得：55y -≤≤二、单调性开路，定义回归例2、求下列函数的值域：（1）y =（2）y =（3）2cos ,63y x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（4）y =1sin 022x ≤≤≤≤解析：（1）由-1知：1sin 1,cos1cos sin 122x x ππ≤-≤≤≤≤≤≤≤（2）由-有（）125sin()663366x x x ππππππ+≤≤≤+≤≤≤（3）y=2由知：由正弦函数的单调性：1y 2[](4)0,2y ==三、抓住结构特征，巧用均值不等式2222min 9sin 430,()sin 0sin 0,4()9sin 12sin 449sin sin ()12sin 9x x x f x x xx x x f x x x x x x x x x f x x x ππ+<<=<<>=+≥====例、若求的最小值解析：由得：根据均值不等式：当即时，例4、sin cos(),sin βαβαββα=+已知其中、为锐角，求tan 的最大值 [][]22sin sin ()sin()cos cos()sin sin cos()sin()cos 2sin cos(),tan()2tan tan()tan tan 1tan tan ()11tan tan()12tan 42tan tan 112tan tan tan 2βαβααβααβαααβαβαααβαβααβααβαβαααβαααααα=+-=+-+=++=++=+-=+-===≤++++==解析：由即有于是：当即时，有maxtan 4β=（）四、易元变换，整体思想求解5sin cos sin cos y x x x x =++例、求函数的值域22211)sin 2)12sin ()424241sin ())442sin()142y x x x x x x x ππππππ⎡⎤=++=+--+⎢⎥⎣⎦=+++-⎡=++-⎢⎣⎦解法一：max 1sin()142x y π+==当时，222max 1sin cos ),sin cos 4211(1)1221,2t x x t t x x x t y t t t y π-⎡+==+∈=⎣-⎡∴=+=+-∈⎣==解法二：设，则，t 故当有222222222max sin ,cos ,sin cos 2,sin cos 1sin cos 1,2221sin cos sin cos 222,,222122x m n x m n x x m x x m n x m n m y x x x x m m n m m m m y =+=-+==-⎡+=+=∈-⎢⎣⎦⎡∴=++=+-=+-∈-⎢⎣⎦==解法三、构造对偶式转化为某一变量的二次函数在闭区间内求最大值设则由，得故当五、方程架桥，问题转化()()[]221sin 3sin 62sin sin (4)sin 320sin ,132011x x y xx y x y t x t t y ++=++-+-==≤∴++-=-例：求函数的最大值、最小值。

求三角函数值域及最值的常用方法+练习题

求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解；（2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、换元及图像法求解。

（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。

此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。

例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。

解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。

作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。

结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。

求三角函数的值域的方法

求三角函数的值域的方法三角函数是数学中的重要概念，其值域（或最值）在数学中起到了重要的作用。

在解决三角函数的值域问题时，我们需要了解三角函数及其基本特性，并运用一些基本的数学方法来求解。

首先，我们需要了解一些关于三角函数的基本知识。

在直角三角形中，正弦函数（sin）表示的是对边与斜边的比值，余弦函数（cos）表示的是邻边与斜边的比值，正切函数（tan）表示的是对边与邻边的比值。

1. 正弦函数（sin）的值域：正弦函数的值域在$[-1,1]$之间，即$-1 \leq \sin(x) \leq 1$。

最小值为$-1$，当$x$为$\frac{\pi}{2} +2k\pi$（$k$为整数）时取到；最大值为$1$，当$x$为$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi$（$k$为整数）时取到。

2. 余弦函数（cos）的值域：余弦函数的值域也在$[-1,1]$之间，即$-1 \leq \cos(x) \leq 1$。

最小值为$-1$，当$x$为$k\pi$（$k$为整数）时取到；最大值为$1$，当$x$为$(2k+1)\frac{\pi}{2}$（$k$为整数）时取到。

3. 正切函数（tan）的值域：正切函数是一个无界函数，其值域为$(-\infty,\infty)$，即$\tan(x) \in (-\infty,\infty)$。

正切函数的最小值和最大值是在其不连续点出现，当$x$为$k\pi$（$k$为整数）时，$\tan(x)$不存在。

除了上述基本的三角函数外，还存在一些其他的三角函数，如余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）等，它们也具有类似的值域。

在求解三角函数的最大值和最小值时，我们可以运用一些基本的数学方法：1.寻找定义域：首先，我们需要确定三角函数的定义域，即取哪些值作为变量。

对于一般情况下的三角函数，其变量可以是实数，因此我们只需要考虑定义域。

2. 寻找连续区间：在定义域中，我们需要确定三角函数的连续区间。

(完整版)三角函数值域求解归纳

三角函数最值问题的几种常见类型三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用，近几年的高考题中经常出现。

其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中，作为解决解答题所用的知识点之一；或者在解决某一问题时，应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）。

题目给出的三角关系式往往比较复杂，进行化简后，再进行归纳，主要有以下几种类型。

掌握这几种类型后，几乎所有的三角函数最值问题都可以解决。

1．y=asinx+bcosx 型的函数特点是含有正余弦函数，并且是一次式。

解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。

应用课本中现成的公式即可：sin(x+φ)，其中tan baφ= 例1已知函数f (x )=2cos x sin(x +)－sin 2x +sin x cos x 3π3(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值；(3)若当x ∈［，］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值.12π127π解：(1)f (x )=2cos x sin(x +)－sin 2x +sin x cos x 3π3=2cos x (sin x cos +cos x sin )－sin 2x +sin x cos x 3π3π3=2sin x cos x +cos2x =2sin(2x +)33π∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +=2k π－，即x =k π－ (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.3π2π125π(3)令2sin(2x +)=1，又x ∈［］,3π27,2ππ∴2x +∈［,］,∴2x +=，则3π3π23π3π65πx =，故f -－1(1)= .4π4π 2．y=asin 2x+bsinxcosx+cos 2x 型的函数。

特点是含有sinx, cosx 的二次式，处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。

三角函数的值域和最值问题

三角函数的值域与最值一、主要方法及注意点：1．求值域或最值的常用方法有：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式，利用配方法或图象法求解；（3）借助直线斜率的关系用数形结合法求解；（4）换元法。

2．要注意的问题有：（1）注意题设给定的区间；（2）注意代数代换或三角变换的等价性；（3）含参数的三角函数式，要重视参数的作用，很可能要进行讨论。

二、基本练习：1．求下列函数的最大、最小值：（1）x x y cos sin 32⋅= （2）x y sin 41-=解：1sin 23y x =∴y ∈[13-,13]解：50,4y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（3）1)21(sin 22++-=x y （4）1615)45(sin 2+-=x y解：7[,1]2y ∈- 解：y ∈[1,6]2．若|x|≤4π，则f(x)=cos 2x+sinx 的最小值是（ D ） A ．212- B ．221+- C ．－1 D ．221- 3．求函数的值域：（1）y=3sin x －4cosx (2)f(x)=sinx+3cosx (2π-≤x ≤2π) 解：y ∈[－5,5]解：()2sin()3f x x π=+又2π-≤x ≤2π ∴y ∈[－1,2]4．（1）求函数xxy sin cos 2-=（0<x<π）最小值。

（2）求函数2sin 1sin 3)(+-=x x x f 的最大值和最小值。

解：（1）设点A （0，2），B （－sinx ，cosx ）又0<x<π，则点B 的轨迹如图而y 的值就是经过AB 两点的斜率，所以y.（2）21sin3yxy+=-，而sinx∈[-1,1]于是－1≤213yy+-≤1所以－4≤y≤23即y的最大值为23，最小值为－4.三、典例精析：例1．求函数y=sin x ·c osx+sinx+cosx 的最大值。

高一三角函数定义域、值域习题及答案

高一三角函数定义域、值域习题及答案
三角函数是数学中重要的概念之一，它在解决各种实际问题中发挥着重要的作用。

本文将介绍高一三角函数的定义域、值域，并提供一些题及答案供参考。

一、正弦函数的定义域和值域
正弦函数是三角函数中常见的一种，表示为sin(x)。

它的定义域是所有实数集合R，即无限制。

而它的值域是闭区间[-1, 1]，即sin(x)的取值范围在-1到1之间。

例题1：求函数y = sin(x)的定义域和值域。

答案：
定义域：D = R
值域：V = [-1, 1]
二、余弦函数的定义域和值域
余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。

它的定义域也是所有实数集合R，无限制。

值域同样是闭区间[-1, 1]，即cos(x)的取值范围在-1到1之间。

例题2：求函数y = cos(x)的定义域和值域。

答案：
定义域：D = R
值域：V = [-1, 1]
三、正切函数的定义域和值域
正切函数是三角函数中另一个重要的函数，表示为tan(x)。

它的定义域是除去所有使得tan(x)无定义的点的实数集合。

tan(x)在x = (2n+1)π/2 (n为整数)时无定义，因此其定义域为除去这些点的实数集合。

正切函数的值域是全体实数R。

例题3：求函数y = tan(x)的定义域和值域。

答案：
定义域：D = R - {(2n+1)π/2} (n为整数)
值域：V = R
以上是高一三角函数定义域、值域的基本介绍以及一些习题的答案。

希望对您的学习有所帮助！。

高考数学常见题型三角函数的值域与最值

【解析】 ①∵f(x)＝2cos2x＋2 3sinxcosx＋m ＝1＋cos2x＋ 3sin2x＋m＝2sin(2x＋π6)＋m＋1， ∴函数 f(x)的最小正周期 T＝π.
②假设存在实数 m 符合题意．∵x∈[0，π2]， ∴π6≤2x＋π6≤76π，∴sin(2x＋π6)∈[－12，1]． ∴f(x)＝2sin(2x＋π6)＋m＋1∈[m,3＋m]．又∵f(x)∈[12，72]，解得 m＝12， ∴存在实数 m＝12，使函数 f(x)的值域恰为[12，72]．
cos2x＋
3 4
＝12sinx·cosx－
23cos2x＋
3 4
＝14sin2x－
43(1＋cos2x)＋
3 4
＝14sin2x－ 43cos2x＝12sin2x－π3.
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
(2) 因为 f(x) 在区间－π4，－1π2 上是减函数，在区间－1π2，π4上是增函数，
故 y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－ 2≤t≤ 2)．从而知 f(－1)≤y≤f( 2)，即－1≤y≤ 2＋12. 则函数的值域为[－1， 2＋12]．
点评：可化为y＝f(sinx)型三角函数的最值或值域也可通过换元法转为其他函数的最值或值域．
对点训练 (1)求函数 y＝s1in－2xcsoisnxx的值域．【解析】 ∵y＝2si1n－xcocsoxssxinx＝2cos1x－1－coscxos2x ＝2cos2x＋2cosx＝2(cosx＋12)2－12，于是当且仅当 cosx＝1 时，ymax＝4. 但 cosx≠1，∴y<4. 且 ymin＝－12，当且仅当 cosx＝－12时取得．故函数值域为[－12，4)．

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

海豚教育个性化简案
学生姓名：年级：科目：
授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时
教学目标1.……掌握三角函数的的一般形式的应用
2.……掌握三角函数的值域的求法
3.……理解换元法和几何法的应用
重难点导航1.……三角函数的图像应用
2.……三角函数的值域求法1.……换元法和几何法
教学简案：
1、教学流程
知识回顾
例题讲解
随堂练习
课后作业
2、作业布置
3、教学反馈
授课教师评价：今日学生课堂表现符合共项（大写）审核人签字（姓名、日期）
□准时上课：无迟到和早退现象
□今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握□上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况
□海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象课前：
课后：
学生签字：
教师签字：胡洪光
备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：
（2011杭九中高一期末） 1、设()⎪⎭
⎫
⎝⎛≤≤--
+-=20214sin cos 2
πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 2、求函数sin cos sin cos y x x x x =⋅++的最大值并指出当x 为何值时，取得最大值。

（2008•重庆）函数f （x ）=sin 54cos x
x
+（0≤x ≤2π）的值域是。

（2006•辽宁）已知函数f （x ）=sinx+cosx-|sinx-cosx|，则f （x ）的值域是。

（2011四川）求下列各式的最值：（1）已知(0,)x π∈，求函数23sin 13sin y θ
θ
=+的最大值；
（2）已知(0,)x π∈，求函数2
sin sin y x x
=+的最小值．
已知函数x x f 2sin )(=，()cos(2)6g x x π=+，直线x ＝t （t ∈0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦）与函数f (x )、g (x )的图像分别
交于M 、N 两点，则|MN |的最大值是．
函数y=（sinx+cosx+1）2
+sinxcosx （﹣
≤x ≤）的最小值为 _________ ．
若方程cos 223sin cos 1x x x k -=+有解，则k ∈ 。

已知函数1sin 1sin y x x =++-
（１）求函数的定义域和值域；（2）用定义判定函数的奇偶性；（3）作函数在[]0,π内的图象；（4）求函数的最小正周期及单调区间。

利用三角函数值域；
例1：若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，求a,b 。

利用辅助角公式；
例2：函数sin cos y x x =+的取值范围是（）
()0,2A ⎡⎤⎣⎦ []()0,2A []()1,2C ()1,2D ⎡⎤⎣⎦
例3：求函数3sin 4cos ,(0,)2
y x x x π
=+∈的最值。

例4：已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 2
3
cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。

例5：求函数)3
sin()6sin(π
π
++-=x x y （R x ∈）的最值。

例6：求函数)24
74
(cos sin 4sin 3cos 35)(2
2π
π
≤
<-+=x x x x x x f 的最值，并求取得最值时x 的值。

例7：求函数2cos (0)sin x
y x x
π-=<<的最小值．
构造二次函数式；
例7：函数3cos 3sin 2
+--=x x y 的最小值为。

例8：函数2
()sin 2cos f x x x =+在区间2,3πθ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1，则θ的值是。

例9：是否存在实数a ，使得函数y =sin 2x +a ·cos x +85a －23在闭区间［0，2
π
］上的最大值是1？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由.
例10：函数()2sin cos 2sin 2cos 1f x x x x x =+++的值域为。

分式值域问题；例11：求函数x
x y sin 21
sin --=的值域。

.
例12：函数1sin cos ()sin cos x x
f x x x
+=+的值域为。

例13：当04
x π
<<时,函数22cos ()cos sin sin x
f x x x x =-的最小值是（）
A ．4
B ．12
C ．2
D ．14
1、求y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x 的最小值，并求出y 取最小值时的x 的集合
2、求函数y=2sinxcosx+sinx+cosx 的最值.
3、求函数y ＝2)4
cos()4
cos(π
π
-
+x x ＋x 2sin 3的值域和最小正周期．
4、函数()sin 3cos ()f x x x x R ωω=+∈，又()2f α=-，()0f β=且αβ
-的最小值等于34π
，则正数ω
的值为__________
5、设()sin()3cos()(0)f x x x ωϕωϕω=+-+>是偶函数，{}1()0A x f x ==，若[]1,1A ⋂-含有10个元素，则ω的取值范围是_______
6、函数sin 1
()(02π)32cos 2sin x f x x x x
-=--≤≤的值域是_______
一．选择题：１．若1
()cos 22
f x x =
-的最大值为M ，最小值为N ，则（）
()30A M N -= ()30B M N += ()30C M N -= ()30D M N += ２．在直角三角形中两锐角为,A B ，则sin sin A B 的值（）（A ）有最大值
12和最小值0 （B ）有最大值1
2
，但无最小值（C ）既无最大值也无最小值（D ）有最大值1，但无最小值３．函数()22log 1sin log (1sin )y x x =++-，当,64x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时的值域为（） []()1,0A - (]()1,0B - [)()0,1C []()0,1D ４．函数3sin cos ,,
2y x x x ππ⎡
⎤
=--∈⎢⎥⎣
⎦
，则此函数的最大值，最小值分别为（） ()1,1A - ()1,2B -- ()2,2C - ()2,1D 5．函数sin 2sin y x x =-的值域为（）
[]()3,1A -- []()1,3B - []()0,3C []()3,0D - 二．填空题：
１．函数sin cos y x x =-的定义域为_____________值域为______ ２．函数(1sin )(1cos )y x x =++的最大值为_________最小值为__________ ３．设单位圆上的点(,)P x y ，求过点P 斜率为3
4
-
的直线在ｙ轴上截距的最大值为________________
４．设直角三角形两个锐角为Ａ和Ｂ，则sin sin A B +的范围是___________ 三．解答题：
５．求下列函数的最值 []sin (1),0,2sin x
y x x π=
∈+ cos (2),2sin x y x R x
=∈+
６．已知关于ｘ的函数2
122cos 2sin y a a x x =---的最小值为()f a ，求()f a 的解析式。

13．设函数253sin cos ,0,822y x a x a x π⎡⎤
=++
-∈⎢⎥⎣⎦
的最大值为１，求实数a 的值。

７．在某海滨城市附近有一台风，据监测，当台风位于城市Ｏ（如图）的东偏南
2 (arccos)
10
θθ=方面
的300km海面P处，并以20km h的速度向西偏北45方向移动。

台风侵袭范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？并会持续多长时间？
θ
O
P
东西
0 45。