函数一致连续性的判定及性质

函数一致连续性的判定及性质

摘要:在函数的众多性质中，函数的一致连续性是非常重要的一个，它刻划出了函数在一个区间上的全局性，是理解数学中其它知识的基础，对这一性质的深刻理解与掌握能够很好的促进数学分析的学习，研究函数一致连续性必然要研究一致连续性的判定定理及性质，这有利于描绘函数的图像和进一步了解函数的性质。本文简要概括了一元函数的一致连续性概念及连续与一致连续的联系与差别，并深入分析了函数一致连续的判定、性质及应用。

关键词:一致连续性连续函数非一致连续极限可导

The Judgemental Theorems and Properties of Uniform

Continuity for Functions

Abstract The uniform continuity of function is a very important concept in the mathematical analysis course,it skins out the overall importance of function on an interval and it is a foundation in understanding other knowledge associated with mathematics.Deep understanding and mastering of this nature can promote us learning about mthematical analysis.Studying the judgemental theorems and properties of uniform continuity for function are useful for researching the uniform continuity of function,and this helps us to depict the images of function and further understand the nature of the function.The paper summarizes the uniform continuity concept of the unary function and the difference between continuous function and uniformly continuous function,at the same time,it analysizes the determination,properties and application of uniformly continuous function in depth.

Keywords consistent continuity continuous function non-uniform limit differentiable

1引言

一致连续是数学分析上册第四章第2节所学到的一个概念，它能够帮助我们理解和解决很多问题。教材中给出了一元函数一致连续性的的定义和判断函数在闭区间上一致连续的一致连续性定理(若函数在闭区间上连续，则它在闭区间上一致连续),但是当我们应用时这些内容往往不够，使用定义证明函数在区间上一致连续是非常复杂

且不易想到的，一致连续性定理的使用条件又比较苛刻，因此有必要探索判别函数一致连续的其它方法。本文从一致连续性出发结合连续、极限、导数、绝对连续等概念性质给出了另外几种判定函数在开区间、任意区间以及无穷区间一致连续的判定定理及证明，并总结了函数一致连续的若干性质，并在此基础上列举了几个典型具体的例子来分析函数一致连续性的应用。

２一致连续性的概念及其与连续性质的联系与差别

定义1①

：设f 为定义在区间I 上的函数，若对任给的ε>0,存在δ=()εδ>0,使得对

任何x '，x ''∈I ，只要|x '－x ''|<δ，就有｜()()f x f x '''-｜<ε，则称函数f 在区间I 上一致连续。

(1)函数f 在区间I 上连续，是指任给ε0>，对每一点x ∈I ，都存在相应正数δ＝

(),x δε，只要x '∈I 且｜x －x '｜<δ，就有｜()f x －()f x '｜<ε，δ的取值除依赖ε之外还与点x 有关，()f x 在区间I 上一致连续是()f x 的一个整体性质，由函数在区间上的一致连续性必可推出它在区间上的连续性。

（2）函数的一致连续性意味着对于区间上的任意两点只要它们的距离无限接近，就可以使它们的函数值无限接近。

（3）要证明函数f 在某区间I 上非一致连续，只要证明：存在某0ε>0对于任何δ总存在两点x '，x ''∈I ，尽管|x '－x ''|<δ，但有

()()f x f x '''->0

ε３函数一致连续性的判定

判定１

②

函数()f x 在区间(),a b 上连续且f ()0a +与()0f b -都存在⇔()f x 在

(),a b 上一致连续。

证明：充分性

令

①华东师范大学数学系．数学分析[M]，高等教育出版社，2001，79P ．

②

常明．一元函数一致连续性的判定及性质[J],平顶山市宝丰一高，2009，下旬刊．

()G x =()()()()0,,

,0,f a x a f x x a b f b x b +=⎧⎪

∈⎨⎪-=⎩

f ()0a +与()0f b -都存在，

又lim x a

+→()f x =f ()0a +=()a G ,所以可得()G x 在点x a =是连续的，又因为lim x b

-→()f x =()0f b -=()G b ，所以()G x 在点x b =是连续的,又由

假设知道()f x 在(),a b 上是连续的，可推出()G x 在闭区间上连续,由一致连续性定理，从而可推出()G x 在闭区间上一致连续，即()f x 在区间(),a b 上一致连续。

必要性

()f x 在(),a b 上是一致连续的，由一致连续性定义,ε∀>0,δ∃0>对任何x ',x ''∈(),a b ，当|x '－x ''|<δ，有｜()()f x f x '''-｜<ε，所以可以得出对任意x '，x ''∈(),a b ，当x ',x ''∈(),a a δ+时有|x '－x ''|<δ，故有｜()()f x f x '''-｜<ε

由已学数学分析知识知(0)f a +=lim x a

+→()f x 存在

同理可推出()0f b -=lim x b

-→()f x 存在,综上所述判定1即可被证明。

判定2①

f 在某区间I 上一致连续的充要条件是对{}{},n n x y ∀⊂I ,当()lim 0n n n x y →+∞

-=有

()()()lim 0n n n f x f y →+∞

-=。

证明：充分性

函数f 在区间上非一致连续，即知存在0ε>０对任何δ>0，∃,x y ∈I ,当|n x -n y |<δ时有lim n →+∞

|()()n n f x f y -|0ε≥,取2

1

n n =δ，3,2,1=n ，于是存在

n x ，n y I ∈且满足|n x -n y |<2

1

n ，|()()n n f x f y -|0ε≥，显然()lim 0n n n x y →+∞

-=，

但由假设()()()lim 0n n n f x f y →+∞

-≠，这矛盾,所以f 在区间I 上一致连续。必要性

()f x 在(),a b 上是一致连续由一致连续性的定义知,对ε∀>0,存在正数δ，对任

意的,x y ∈I ，只要|x y -|<δ就有()()f x f y ε-<，又因为()lim 0n n n x y →+∞

-=，对

①

范新华．判别函数一致连续的几种方法[J]，常州工学院学报，2004（8），第17卷第4期．