第一讲-插值方法

插值基函数满足条件 k ( xk ) 1, k ( x j ) 0
k 1 ( x )
1
j k 1, k 1
基 函 数 的 图 形
k ( x )
k 1 ( x )
0
x k 1
xk
x k 1
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n >2时，插值多项式
pn ( x) k ( x) f ( xk )
第一讲
插值方法
讲者介绍:袁玉波
1997-2000在 兰州大学，学 士和硕士。 2000-2003在 西安交通大学 ，博士。
2003-2011电子 科技大学，数学 学院教学
2012至今 华东理工 大学。
1976年出生 于云南宣威 ，乌蒙山。
计算方法的研究目标：
信息安全； 云计算； 大数据； 物联网； 决策支持等
g ( xi ) yi (i 0,1, n )
再用 g ( x) 计算插值，即
y g ( x ).
* *
y1 y0
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y
*




x0 x1 x*
xn
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插值与逼近
上述过程就是逼近过程，上述方法就称为逼近 方法，即构造一个简单函数 g(x) 作为 f(x) 的近似 ，然后通过处理g(x)获得关于f(x)所要的结果
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Aitken逐步插值算法：
x0 x1 x2 x3 x4
y0 y1 y2 y3 y4
•••
y01 y02 y03 y04
y12 y13 y14 y1n
•••
y23 y24 y2n
•••
y34
y3n
•••
xn yn
y0n
•••
•••
•••
yn-1,n
n+1点插值 n点插值 n-1点插值
插值方法是逼近方法的一种
如果要求逼近函数 g(x) 与其所逼近的函数 f(x) 在
若干节点上取相同的离散信息（函数值、导数
值），这种逼近方法称为插值方法，逼近函数
g(x)称为插值函数
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如果限定插值函数为代数多项式 pn(x)。这类插值方
法称为代数插值，相应的插值函数称为插值多项式
此方程组是病态方程组，当阶数n越高时，病态越重。
为此我们从另一途径来寻求获得pn(x)
常用的代数插值方法
Taylor插值 Lagrange插值 Hermite插值
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Taylor插值
在给定点x0邻近用Taylor展开式 pn(x) 来逼近：
(n) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 n pn ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ... ( x x0 ) 2 n!
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… 1点插值
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例：用下表中第1、2列的值求解f(0.462)的值
f ( x)

x
sin t dt t
y2i
解： 利用所给数值及Aitken公式，有 xi yi y0 i y1i
f ( x)
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x
sin t dt 0.456557 t
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Neville（内维尔）逐步插值算法：
k 0
n
插值基函数
k ( x)
j 0 j k
n
x xj xk x j
k 0,1,, n
优点: 结构紧凑,
理论分析方便
缺点 : 改变一个节点则全 部的插值基函数都改变， 即节点增加，基函数失效
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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例
已给 sin 0.32 0.314567 ， sin 0.34 0.333487 ,
其中：x0=100, y0=10, x1=121, y0=11, x2=144, y2=12, x=115，将这些信息代入上面的公式，有
115 10.7228 同精确值比较，该结果有4位有效数字。
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3. Aitken（埃特金）逐步插值算法

化三点插值为两点插值：
对于点 (x0, y0), (x1, y1)和(x0, y0), (x2, y2)
y f ( x)
y p1 ( x )
y k 1
yk
xk
x k 1
p1 ( x ) k ( x ) y k k 1 ( x ) y k 1
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y k 1 y k p1 ( x ) y k ( x xk ) xk 1 xk x xk 1 x xk p1 ( x ) yk y k 1 xk xk 1 xk 1 xk
求 sin38º 13´
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实例2
求机翼下轮廓线上一点的近似数值
机翼下 轮廓线
y

该点的值是多少?


x
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6
对于诸如此类的问题，设法利用已给数据表求出给
定点x的函数值y，称为插值。目的在于通过尽可能
简便的方法，利用所给数据表加工出插值点x上具
x xk 1 ( x ) , 令 k xk xk 1
( 点斜式)
(两点式)
插值基函数
x xk k 1 ( x ) xk 1 xk
在 节 点x k 及 x k 1上 满 足 条 件
k xk 1, k 1 xk 0,
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例：利用100、121和144开平方值计算 115
解： 令 y x ，利用三点Lagrange公式
y 0 y0 1 y1 2 y2
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) y y0 y1 y2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
… 1点插值
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小结：
Aitken 算法和 Neville 算法是逐步插值的两种 基本形式 共同特点：都是将高阶插值逐步归结为线性
插值（最简单、最基本）的重复
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4. 插值逼近
问题的提出
已知 n+1个点
*
互不相同，不妨设 a 求任一插值点
( xi , yi ) (i 0,1, n, 其中 xi
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多点插值：
形式
y i yi
i 0
n

插值公式
n x xj y i 0 j 0 xi x j j i
n
yi
Lagrange 插值公式特点：各节点地位相同，形式对 称，但增加节点时，所有系数需要重新计算
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y1 y2 ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
p 2 (0.3367 ) 0.330374
这个结果与六位有效数字的正弦函数表完全一样， 这说明查表时用二次插值精度已相当高了。
* 处的插值 y . xi )
x0 x1 xn b),
这些点可视为由 y=f(x)产生，但f表 达式复杂，或根 本无法提供
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x (

y1 y0
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y
*




x0 x1 x*
xn
求解插值问题的基本思路
构造一个相对简单的函数
y g ( x ), 通过全部点，即
该多项式满足：
p ( x0 ) f
(i ) n
(i )
( x0 )
i 0,1, , n
Taylor插值的特点：原理简单，但要求插值函数p(x)与所逼
近的函数f(x)在展开点x0处具有相同的直到n阶的导数值
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Lagrange 插值
线性插值(n=1)：假定给定区间[xk,xk+1]及端点的函数值
如果插值函数为分段多项式，就称为分段插值，如
果为三角多项式，就称为三角插值
本章只讨论代数插值和分段插值
我们的问题是如何确定
p n ( x ) 0 1 x 2 x ... n x
2
n
?
进而求得
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y pn ( x )
* *
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事实上，方程组的解λ0, λ1, …, λn存在且唯一。解出λi (i=0, 1, 2, …, n)， pn(x)就可构造出来了。但遗憾的是
1
k 1 ( x)
k ( xk 1 ) 0; k 1 xk 1 1.
k ( x)
0
xk
x k 1
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同理，当 n=2 时，即利用二次插值基函数立即得到二次 插值多项式
p 2 ( x ) k （ 1 x） f ( x k 1 ) k ( x ) f ( x k ) k 1 ( x ) f ( x k 1 )

插值公式
x x0 x x1 y01 y0 y1 x0 x1 x1 x0 x x0 x x2 y02 y0 y2 x0 x2 x2 x0
以(x1, y01), (x2, y02)作为节点构造两点插值公式：
x x2 x x1 y12 y01 y02 x1 x2 x2 x1

两点插值：

y 0 y0 1 y1 x x0 x x1 y0 y1 插值公式 y x0 x1 x1 x0 三点插值：
形式
y 0 y0 1 y1 2 y2 形式 插值公式

( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) y y0 y1 y2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
x0 x1 x2 x3 x4
y0 y1 y2 y3 y4
•••
y01 y12 y23 y34
•••
y02 y13 y24
•••
y03 y14
•••
y04
•••
•••
•••
xn yn
yn-1,n yn-2,n yn-3,n yn-4,n
y0,n
n+1点插值 n点插值 n-1点插值
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sin 0.36 0.3522787 ，用线性插值及抛物插值 计算 sin( 0.3367 )
解 由题意取
x0 0.32, y0 0.314567 , x1 0.34, y1 0.333487 , x2 0.36, y 2 0.352274 .
用线性插值计算，取 x0=0.32、x1=0.34
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Hermite（埃尔米特） 插值
是Taylor插值与Lagrange插值的综合与推广。思想： 在节点 xi 处插值函数 pn(x) 和要逼近的函数具有相同的 函数值和导数值，这种插值方法称为Hermite插值
i 0
7
定义1：称近似关系式
f ( x) i yi 具有m阶
i 0
n
精度，如果它对于次数≤m的多项式均能准确成 立 特别地，当y＝1时，
n

i 0
i
1。所以，插值方法
是平均化的过程，故称为插值平均
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插值的几何意义
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2. Lagrange（拉格朗日）插值公式
研究科学问题的求解方法和过程设计
科学问题 模型建立
计算方法和算法设计
程序语言 结论展示或集成系统 研究内容
主要内容
1 插值平均 3
2 Lagrange插值公式
3 Aitken逐步插值算法
4 插值逼近
5 分段插值 3 6
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样条插值
7 曲线拟合的最小二乘法 3
4
实例1
查 函 数 表
sinx
得
sin 0.3367 p1 (0.3367 )
y1 y0 y0 (0.3367 x0 ) x1 x0
0.01892 0.314567 0.0167 0.330365 0.02
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用抛物插值计算sin 0.3367时，
( x x1 )( x x2 ) sin 0.3367 y0 ( x0 x1 )( x0 x2 )
有足够精度的插值结果y
xi 称为插值节点，所要插值的点x称为插值点
现在的考虑：能否通过对表中数据进行适当的加权
平均来得到想要的插值结果？即用y来近似f(x)
f ( x) y ，其中 y i yi i f ( xi )
可以，关键在于λi的选取
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n
n
i 0