角平分线定理
角平分线的性质定理及其逆定理
4
挑战自我
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD 是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长
A
(2)求证:AB＝AC＋CD.
E
C
D
B
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5
定理的逆命题该怎么说？
逆定理：在一个角的内部，且 到角的两边距离相
等的点，在这个角的平分线上。
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，
2
一.角平分线的性质
定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言E ⊥OB
∴PD=PE.
O
A
D
P
1
2
B
E
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3
例1: 已知：如图，E是∠BAC平分线上的一点， EB⊥AB，EC⊥AC，B，C分别是垂足。你能 得到哪些结论？为什么？
B
A
E
C
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求证： 点P在∠MBN的平分线上
M D
A P
E
B
C FN
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10
2、已知：如图，∠B= ∠C=90°，M是 BC的中点，DM平分∠ ADC
求证：AM平分∠DAB。
E
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11
小结 拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距离 相等.
二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上.
三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一点 向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理
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12
小测1：
.已知:如图,∠C=900,∠B=300,
角平分线定理结论
角平分线定理结论
角平分线定理是指：在一个三角形中，从一个角的顶点引出一条
线段，将这个角分成两个相等的角，则这条线段称为该角的角平分线。
该定理的结论是：在一个三角形中，两条边上所作的角的平分线
相交于该三角形内部的一点，并且这个点到三角形三个顶点的距离相等。
这个结论可以用一些几何证明方法来证明，最常用的方法是通过
相似三角形和对应角的等于来证明。
具体来说，我们可以将三角形划分成两个相似三角形，其中一个
三角形的角平分线将另一个相似三角形的两个角平分线分成两个等角。
通过对应角的等于可得，这两个相似三角形的对应线段长度相等，即
这三条角平分线交于一点。
此外，因为三角形内角和为180度，这个点与三个顶点的连线可
以构成三个以交点为顶点的等角三角形，因此这个点到三角形三个顶
点的距离相等。
角平分线的性质定理和判定（经典）
第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：例题剖析例1. 已知：在等腰Rt Rt△△ABC 中，AC=BC AC=BC，，∠C=90°，AD 平分∠平分∠BAC BAC BAC，，DE DE⊥⊥AB 于点E ，AB=15cm AB=15cm，，（1）求证：）求证：BD+DE=AC BD+DE=AC BD+DE=AC．．（2）求△）求△DBE DBE 的周长．的周长．例2. 如图，∠如图，∠B=B=B=∠C=90°，∠C=90°，∠C=90°，M M 是BC 中点，中点，DM DM 平分∠平分∠ADC ADC ADC，求证：，求证：，求证：AM AM 平分∠平分∠DAB DAB DAB．．例3. 如图，已知△如图，已知△ABC ABC 的周长是2222，，OB OB、、OC 分别平分∠分别平分∠ABC ABC 和∠和∠ACB ACB ACB，，OD OD⊥⊥BC 于D ，且OD=3OD=3，△，△，△ABC ABC 的面积是多少？的面积是多少？角平分线的性质定理和判定第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，如图，已知∠1=∠2，P P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180º，求证：∠PCB+∠BAP=180º，求证：∠PCB+∠BAP=180º例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论；？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果【变式练习】如图，△如图，△ABC ABC 中，中，P P 是角平分线AD AD，，BE 的交点．的交点． 求证：点P 在∠在∠C C 的平分线上．21NPF CBA【变式练习】如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边上的点，CE=BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等．求证：AD 平分∠BAC ．例3.如图，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，且DE=2cm ，AB=9cm ，BC=6cm ，求△ABC 的面积．的面积．第四部分：思维误区第五部分：方法规律第七部分：巩固练习DAD M A B C N P E D B C A E F ADP7．如图，如图，已知在△已知在△ABC 中，90C Ð=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ^ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC Ð．8、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB. 9.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ，OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．上．第八部分：中考体验ＢＤＡＥＣA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4A ． 11 B ． 5.5 C ． 7D ． 3.5 3．（2010•鄂州）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △=7，A ． 4B ．3 C ．6 D ．5 间的距离为间的距离为 _________ ．2．（2011•恩施州）如图，AD △ABC DF AB F DE=DG △ADG △AED。
角平分线定理
角平分线定理角平分线定义:从一个角顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等角，这条射线叫做这个角角平分线。
■三角卷角平分线定义：三角形顶点到其内角角平分线交对边点连一条线段，叫三角形角平分线。
【注】三角形角平分线不是角平分线，是线段。
角平分线是射线。
B■拓展：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边距离相等！（即内心）。
■定理1:在角平分线上任意一点到这个角两边距离相等。
■逆定理：在一个角内部（包括顶点），且到这个角两边距离相等点在这个角角平分线上。
■定理2：三角形一个角平分线分对边所成两条线段及这个角两邻边对应成比例，如：在AABC 中，BD 平分ZABC,则AD： DC二AB： BC提供四种证明方法：已知，如图，AM为Z\ABC角平分线，求证AB / AC=MB / MC己知和证明1图证明：方法1:(面积法)SAABM=(l/2)・ AB ・ AM ・ sinZBAM,SAACM=(l/2)・ AC ・ AM ・ sinZCAM,AS A ABM： SAACM=AB:AC乂△ ABM和△ ACM是等高三角形，面积比等于底比,证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ・•・ AB / AC=MB / MC方法2（相似形）过C作CN II AB交AM延长线于N则厶ABM^ANCM・•・ AB/NC=BM/CM又可证明ZCAN=ZANC/. AC=CN・•・ AB / AC=MB / MC证明3图方法3 （相似形）过M作MN II AB交AC于N则厶ABC^ANMC,・•・ AB/AC二MN/NC, AN/NC二BM/MC 又可证明ZCAM=ZAMN・・・AN=MN・•・ AB/AC=AN/NC・•・ AB / AC=MB / MCA方法4 （正弦定理）作三角形外接圆，AM交圆于D,由正弦定理，得,AD证明4图AB/sinZ BMA=BM/ sinZBAM,A AC/sinZ CMA 二CM/ sinZCAM又ZBAM二ZCAM, ZBMA+ZAMC=180°sinZBAM^sinZCAM, sinZBMA^sinZAMC,/. AB / AC=MB / MC。
三角形内角平分线性质定理
三角形内角平分线性质定理
三角形内角平分线性质定理有两个，其中一个是：若AD为△ABC内角平分线，则BD:DC=AB:AC；在该文中记为性质定理一。
另一个就是斯库顿定理。
斯库顿定理
斯库顿定理：若AD为△ABC内角平分线，则
AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\
证明：作∠CDE=∠BAD=∠CAD，显然∠ADE=∠ABD，那么
△ADE∽△ABD，△DCE∽△ACD，所以
\begin{aligned} \frac{AD}{AB}&=\frac{AE}{AD}\\
\therefore\quad AD^2&=AB\cdot AE\\ \end{aligned}\\
\begin{aligned}
\frac{CE}{CD}&=\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{AB}\\
\therefore\quad BD\cdot CD&=AB\cdot CE\\
\end{aligned}\\
两个式子相加，即得所证。
推论
假设△ABC的三条边分别为a、b、c，由性质定理一可得：若AD为△ABC内角平分线，则
\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}\\
再由斯特瓦尔特定理，可知
AD^2=bc-\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\
而斯库顿定理
\begin{aligned} AD²&=AB\cdot AC-BD\cdot CD\\ &=bc-BD\cdot CD \end{aligned}\\
所以
BD\cdot CD=\frac{bca^2}{(b+c)^2}\\。
角平分线比例定理
角平分线比例定理
角平分线比例定理是：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线成比例定理是数学中的一种定理，该定理指出三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
角平分线定理1：是描述角平分线上的点到角两边距离定量关系的定理，也可看作是角平分线的性质。
角平分线定理2：是将角平分线放到三角形中研究得出的线段等比例关系的定理，由它以及相关公式还可以推导出三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。
角平分线的定理
角平分线的定理
角平分线是数学中的一种概念，又称为“垂直”或“弓箭折线”。
它可以用来表示两个同心圆圆心之间的连线。
直角平分线的定理认为，给定任意一个直角，该直角的对角线可以被垂直分割成两条相等的折线，称为“角平分线”。
在几何学中，角平分线最重要的作用是可以将给定的任何直角分成两个相等的角。
这意味着，当绘制一个直角时，将绘制的对角线以等分的折线方式将整个直角分割，每一条折线都会落在与直角有着相同的角度的位置。
角平分线有多种用途，其中最重要的应用是可以用来计算复杂图形的位置，例如矩形，七边形，五边形等。
比如，假设一个矩形要被绘制出来，我们可以通过使用角平分线来计算矩形的对角线的位置，从而绘制出带有最佳对称性的矩形。
另外，角平分线还可以被用来研究同心圆的性质。
假设有两个同心圆在一起，通过使用角平分线，就可以计算出两个同心圆圆心之间的距离，而且它的位置也确定了，这样就可以方便地绘制出同心圆。
在三角形中，角平分线定理也被广泛使用。
比如，它可以用来确定三角形的外心的位置，同时也可以确定三角形的内接圆的位置。
此外，借助角平分线，还可以确定平行四边形和正多边形的形状，以及它们中心点的位置等等。
总之，角平分线的定理被广泛应用于数学和几何学中。
它最重
要的作用在于可以帮助我们准确计算复杂图形之间的位置关系，为我们提供了许多方便的工具。
角平分线的所有定理
角平分线的所有定理
《角平分线的所有定理》
定理1：在△ABC中，如果∠B=90°，若点D在边BC上，使∠ADC=∠ABC，则直线AD是边AB的角平分线。
定理2：在△ABC中，若∠B≠90°，且∠ADC=∠ABC，则直线AD 是角ACD的角平分线。
定理3：在△ABC中，如果∠A=90°，若点D在边BC上，使∠BDC=∠ABC，则直线BD是边AB的角平分线。
定理4：在△ABC中，若∠A≠90°，且∠BDC=∠ABC，则直线BD 是角ACD的角平分线。
定理5：在△ABC中，如果∠C=90°，若点D在边AB上，使∠ADB=∠ABC，则直线AD是边BC的角平分线。
定理6：在△ABC中，若∠C≠90°，且∠ADB=∠ABC，则直线AD 是角ACD的角平分线。
定理7：在△ABC中，如果∠A=90°，若点D在边AB上，使∠BDC=∠ABC，则直线BD是边BC的角平分线。
定理8：在△ABC中，若∠A≠90°，且∠BDC=∠ABC，则直线BD 是角ACD的角平分线。
- 1 -。
角平分线的性质(8月9日)
角平分线的性质与判定1.角平分线性质定理：已知：如图，点P 在AOB ∠的平分线上，PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E 求证：PD PE = 证明：角平分线性质的符号语言： P 在AOB ∠的平分线上 PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E ∴PD PE =总结：该定理为我们提供了证明两条垂线段 的一个新思路．注 ：在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可例1：如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ．求证：BE=CF ．例2：如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ：，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ．(1)如果BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 的中点；(2)如果E 是DC 的中点，求证：BE 平分∠ABC ．ABCDE P O ABCDEP O练1：如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F 。
连接EF ，交AD 于点G 。
说出AD 与EF 之间有什么关系？证明你的结论。
2. 如图，在△ABC 中，∠BAC 的角平分线AD 平分底边BC.求证AB=AC.C2.判定定理（即角平分线性质定理的逆定理）：已知：点P 在AOB ∠的 ，PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E ，且PD PE =求证：点P 在AOB ∠的平分线上。
证明：即：在一个角的内部， 的点，在这个角的角平分线上。
总结：该定理为我们提供了证明两个角 的一个新思路。
角平分线判定的符号语言：PD OA ⊥于D ，PE OB ⊥于E 且PD PE =∴P 在AOB ∠的平分线上 （或写成OP 是AOB ∠的平分线）ABCDE P O ABCD E PO例3：如图，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P 。
求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。
C例4：PB 、PC 分别是△ABC 的外角平分线且相交于P 。
三角形角平分线三个结论
三角形角平分线三个结论
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一条角平分线。
定理1：
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在角的内部至一个角的两边距离成正比的点在这个角的.角平分线上。
定理2：
三角形一个角的平分线与其对边阿芒塔的两条线段与这个角的两边对应成比例。
逆定理：
如果三角形一边上的某个点与这条边阿芒塔的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线就是三角形的一条角平分线。
角平分线定理
角平分线定理
以上都是角平分线定理，其中定理1大家比较熟悉。
而定理2，有些人听过却没几天就忘了。
可能在证明中已经证明了，但是没有被注意到，已经上升到二等结论了。
我是普普通通的三角形
推导
\begin{align} &\left\{ \begin{array}{lc} S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin \angle
BAD=\frac{1}{2}h\cdot BD,\\ S_{\triangle
ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot AD\sin \angle
CAD=\frac{1}{2}h\cdot CD,\\ \angle BAD=\angle CAD.
\end{array} \right.\\ &\Rightarrow \frac{\triangle ABD}{\triangle ACD}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin \angle BAD}{\frac{1}{2}AC\cdot AD\sin \angle
CAD}=\frac{\frac{1}{2}h\cdot BD}{\frac{1}{2}h\cdot CD}\\ &\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}
\end{align}
Q.E.D.
小结
这样就可以得到角平分线区别于其他直线的特征，再结合Stewart定理就可以得到角平分线长度的定理。
三角形的平分线的定理
三角形的平分线的定理
定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线缴其对边的点所连成的线段，叫作这个三角形的一条角平分线。
定理1：
角平分线上的的边这个角两边的距离成正比。
逆定理：在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的.角平分线上。
定理2：
三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
逆定理：
如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
角平分线定理
角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段和这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC提供四种证明方法：已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC已知和证明1图证明：方法1：（面积法）S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM,S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM,∴S△ABM：S△ACM=AB:AC又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB／AC=MB／MC方法2（相似形）过C作CN‖AB交AM的延长线于N则△ABM∽△NCM∴AB/NC=BM/CM又可证明∠CAN=∠ANC∴AC=CN∴AB／AC=MB／MC证明3图方法3（相似形）过M作MN‖AB交AC于N则△ABC∽△NMC,∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC又可证明∠CAM=∠AMN∴AN=MN∴AB/AC=AN/NC∴AB／AC=MB／MC方法4（正弦定理）作三角形的外接圆，AM交圆于D，由正弦定理，得，证明4图AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM,∴AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180°sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, ∴AB／AC=MB／MC。
角平分线的定义是什么判定定理有哪些
角平分线的定义是什么判定定理有哪些角平分线的定义是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
角平分线在三角形中的定义是三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交。
角平分线的定义角平分线的定义是从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。
角平分线在三角形中的定义是三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线，也叫三角形的内角平分线。
由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。
由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。
三角形的角平分线交点一定在三角形内部。
角平分线的判定角平分线的性质定理和判定1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上角平分线的交点叫什么心“角平分线的交点叫内心，垂线的交点叫垂心，中线的交点分别叫重心，垂直平分线的交点叫外心，三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，叫做旁心。
三角形有许多性质，存在很多“心”的性质：1、重心：三角形重心是三角形三条中线的交点。
当几何体为匀质物体时，重心与形心重合。
2、外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。
三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。
角平分线的判定定理
A
练一练
填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
C
1 2
E
D B
(___________________________________________) 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
∠1= ∠2 ∴__________
(_到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 ______________________________________________)
2、点P在∠AOB的内部，且PD⊥OA， o 垂足分别为D、E，PD=PE，∠AOB=60 ， 则∠AOP= .
D O E A P
B
3、如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足 o 分别为B、C，BD=DC，∠BAC=100 ， o o 则∠BAD= ，∠CAD= .
例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E B
F
D
C
4、如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC 上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E， F是OC上的另一点，连接DF，EF。求证： DF=EF
PE OB
O
D
A P
\
PD= PE
E OP 是 AOB的平分线（到一个角的 B 两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）
角的平分线的性质
角的平分线的判定
图形
C
P P
C
已知 条件
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E OP平分∠AOB
角平分线的三个定理公式证明
角平分线的三个定理公式证明说到角平分线的定理，真是让人有点头疼的一个话题，不过别担心，我们慢慢聊，一起来把这个“难题”变得简单有趣。
先来个热身，想象一下，一个三角形就像一块美味的蛋糕，三个角就像三种不同的口味，而角平分线就是把这个蛋糕切得又好看又好吃的神奇刀具。
你看，一条线从角的顶点伸出，把这个角一分为二，就像把巧克力口味和香草口味分得清清楚楚，太棒了吧？咱们得说说第一个定理。
它告诉我们，如果你有一个三角形，角平分线所对的边上，两个小线段的比例正好和相邻两边的比例一样。
听起来有点复杂，其实就像是在说，如果你把这个三角形的某个角切开了，那么对面的那条边就像是个神奇的秤，称出了两边的比例。
想象一下你和朋友一起去买饮料，你买了可乐，他买了果汁，你们两个的饮料总量和价格都得成正比，不然怎么公平呢？这个定理就像在给你们打下了一个公平的基础，让你们都能喝到满意的饮料。
接着再说说第二个定理。
这一条有点意思，简单来说，就是如果你知道了三角形的两边和夹角，你就能利用角平分线来找到一个点，让这个点和三角形的两个顶点连成的线段和角平分线相等。
就像你在公园里散步，突然发现有一条小路把你和朋友们的聚集地分开，你想到了用一条线把它切成两个相等的区域。
这个时候，角平分线就是你的好帮手，它能让你不费吹灰之力找到完美的聚会地点。
再说到第三个定理，这个可真是个宝藏定理！它告诉我们，如果一个角平分线和三角形的另一条边相交，那交点到这条边的距离和两个角的比值也有关系。
简单地说，就是你在一场比赛中，不同的队伍在场上的表现得到了平衡。
如果有一方表现特别优秀，角平分线就像个公正的裁判，确保比赛不会太失衡。
想象一下，如果没有这个裁判，比赛一定会变成一场混乱的“打斗”，没有人知道胜负了，真是让人心烦。
说了这么多，其实这三个定理都有个共同点，就是它们都在强调一个“公正”二字。
就像生活中，我们每个人都希望能得到公平的对待，不管是在工作、学习还是在朋友间的交往。
角的平分线定理 定理1
角的平分线定理定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合矩形的定理矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角矩形性质定理2：矩形的对角线相等矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形菱形定理菱形性质定理1：菱形的四条边都相等菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形定理正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角等腰梯形性质定理等腰梯形性质定理：1.等腰梯形在同一底上的两个角相等2.等腰梯形的两条对角线相等等腰梯形判定定理：1.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形2.对角线相等的梯形是等腰梯形平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边平行四边形定理平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等推论：夹在两条平行线间的平行线段相等平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分平行四边形判定定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形平行四边形判定定理4：一组对边平行相等的四边形是平行四边形初中数学几何平行定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行推论：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行证明两直线平行定理：同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行两直线平行推论：两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补对称定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称中心对称定理定理1：关于中心对称的两个图形是全等的定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分逆定理：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称中位线定理三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L ×h初中数学圆的定理12不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆推论：三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1.3垂径定理圆是中心对称图形；圆心是它的对称中心圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧1.4弧、弦和弦心距定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等二圆与直线的位置关系2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点定理：经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理：圆的切线垂直经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相交，这条直线叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆定理：三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。
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【知识点拨】
1、三角形内角平分线的性质定理：
三角形内角的平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。
（试证明）
2、三角形外角平分线性质定理：
三角形外角平分线分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例。
3、常见问题
对于涉及角平分线的相关计算，常由角平分线性质定理列出比例式进行计算，对于关于角平分线的证明题，常由角平分线性质定理列出比例式进行代换，达到证明的目的。
【赛题精选】
例1、在△ABC中，∠C＝900，CD是∠C的平分线，且CA＝3，CB＝4。
求CD的长。
例2、若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB＝4，PD＝3。
求AD·DC的值。
（2001年全国竞赛题）
【说明】角平分线性质定理又提供计算线段的方法，解题时要注意应用。
计算时要注意对应关系，正确书写比例式。
对于求线段ab 的值的题目，常由相关定理证出等积式ab ＝cd ，求出cd 的值即可。
例3、I 是△ABC 内角平分线的交点，AI 交对应边于D 。
求证：BC
AC AB ID AI +=。
例4、Rt △ABC 中，∠ACB ＝900，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且
EG ∥AB 交CB 于G 。
试求：CF 与GB 的大小关系如何？（1998年“希望杯”邀请赛题）
【说明】欲证线段a ＝b ，由线段成比例定理得出含a 、b 的比例式，111n m x a =、222n m x b =， 然后证2211n m n m =，从而得到2
1x b x a =，再证21x x =，从而得到a ＝b 。
本题证法较多，如过点E 作EH ∥BC 交AB 于H ，则EH ＝GB ，再证EH ＝EC 、EC ＝CF ；或过F 作FM ⊥AB 于M ，证Rt △CEG ≌Rt △FMB 。
例5、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 交AB 于G ，AM 是BC 边的中线，交CG 于F 。
求证：AC ∥DF 。
【说明】三角形角平分线的性质为比例关系的转化提供了新的方法，从而开阔了解题思路，另外在证明几何题时，还应注意合比、等比性质的应用。
本题是由线段成比例证明两条直线平行的，这是证两条直线平行的新方法，对于题设
中有平行、角平分线条件证平行的题目，常用此方法证明。
例6、在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a ＞b ＞c ，AS 、AS ’为∠A 的平分
线与外角的平分线，BT 、BT ’为∠B 的平分线与外角平分线，CU 、CU ’为∠C 的平分线及外角
平分线。
求证：
T T U U S S '='+'111。
（1990年上海市竞赛题）
【说明】通过本题的求解，我们得到
c
b a 111=+型几何题的又一种解法，即分别计算出a 、b 、
c 的值，再验证等式两边相等。
【针对训练】。