Lagrange插值

9
个节点
个等式， n+1个等式，得到一个
关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组， 关于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得
拉格朗日插值公式
拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是， 拉格朗日 （ Lagrange ） 插值公式的基本思想是 ， n+1 把 pn(x) 的 构 造 问 题 转 化 为 n+1 个 插 值 基 函 数 (x)(i=0 ,n)的构造 li(x)(i=0,1,…,n)的构造。 ,n)的构造。
8
插值方法
一、解方程组法： 解方程组法： 类似插值唯一性定理证明过程， 类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函 数为 Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + + an x n ，将 1 n+ 的函数值代入多项式里，便得到 的函数值代入多项式里， 到所要求的插值多项式。 到所要求的插值多项式。 二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机 基函数法：一种既能避免解方程组， 求解的方法，下面将具体介绍。 求解的方法，下面将具体介绍。
x x0 l1 ( x) = x1 x0
x x0 x x1 y0 + y1 x0 x1 x1 x0
可以看出
P ( x) = 1
的线性组合得到， 的线性组合得到，其系数分别为 y0，y1 称 l0 ( x), l1 ( x)为节点 x0 , x1 的线性插值基函数
17
一次Lagrange插值多项式(5) 一次Lagrange插值多项式(5)
Pn ( x ) = a0 + a1 x + + a n x n
使之满足条件
Pn ( x i ) = y i
i = 0, 1, 2,…, n
xi ≠ x j
13
要求：无重合节点， 要求：无重合节点，即 i ≠ j
一次Lagrange插值多项式(1) 插值多项式(1)
已知函数 y = f ( x ) 在点 x0 , x1上的值为 y0 , y1 ，要
20
二次Lagrange插值多项式2 二次Lagrange插值多项式2
设被插函数在插值节点 x0 , x1 , x2 处的函数值为
y0 , y1 , y2 以过节点 ( xi , yi ) (i = 0,1, 2) 的二次函数
为插值函数。 P2 ( x) 为插值函数。 用基函数的方法获得 P2 ( x)
p 求多项式 y = p1 ( x )，使 p1 ( x0 ) = y0，1 ( x1 ) = y1。其几何意
的一条直线， 义，就是通过两点 A( x0 , y0 ), B( x1 , y1 ) 的一条直线， 如图所示。 如图所示。
14
一次Lagrange插值多项式(2) 插值多项式(2)
一次插值多项式
22
N次插值多项式问题2 次插值多项式问题2
已知n+1个节点处的函数值 个节点处的函数值 已知
xi yi
x0 y0
x1 y1
xn yn
求一个n次插值函数 求一个 次插值函数 Ln ( x) 满足
Ln ( x) = yi (i = 1, 2, , n)
23
N次插值多项式3 次插值多项式3
构造各个插值节点上的基函数 li ( x) (i = 0,1, , n) 满足如下条件
4
插值的几何意义
插值多项式的几何意义 插值多项式的几何意义
5
插值唯一性定理
定理：(唯一性 满足 P ( x i ) = y i , i = 0 , ... , n 的 n 阶插值 唯一性) 定理： 唯一性 多项式是唯一存在的。 多项式是唯一存在的。
6
存在唯一性定理证明
设所要构造的插值多项式为： 设所要构造的插值多项式为：
21
其中
N次插值函数1 次插值函数1
我们看到，两个插值点可求出一次插值多项 式 式 ， 而三个插值点可求出二次插值多项 当插值点增加到n+1个时 ， 我们可以利 个时， 。 当插值点增加到 个时 ，
插值方法写出n次插值多项式 用 Lagrange插值方法写出 次插值多项式 插值方法写出 如下所示： 如下所示：
P ( x) = a0 + a1x + a2 x2 ++ an xn n
使 P (x) 满足条件 n
P (xi ) = yi , i = 0, 1,, n n
f ( x)称 被 函 , pn ( x)称 值 项 , 条 (3 3)称 值 件 为 插 数 插 多 式 件 插 条 , x0, x1,, xn称 值 点 这 求 数 似 的 法 为 值 插 节 种 函 近 式 方 称 插 法 几 上 其 质 用 过 +1个 ( x1, y1)(i = 0,1,, n)的 项 曲 何 , 实 是 通 n 点 多 式 线 = pn ( x),当 曲 y = f ( x)的 似 线 图 示 y 作 线 近 曲 .如 所
15
一次Lagrange插值多项式(3) 一次Lagrange插值多项式(3)
由直线两点式可知，通过 ， 的直线方程为 由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
它也可变形为
显然有： 显然有：
16
一次Lagrange插值多项式 一次Lagrange插值多项式(4) 插值多项式(4)
记
x x1 l0 ( x) = x0 x1
=∏
j =0 j≠k
n
x xj xk x j
从而得n 阶拉格朗日（Lagrange）插值公式： 从而得n 阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：
n x xj Pn ( x ) = ∑ l k ( x ) yk = ∑ ∏ yk k =0 k =0 j =0 xk x j j≠k
xi l0 ( x) l1 ( x) x0 x1 x2
xn
1 0
0 1
0 0
0 0
ln ( x)
0
0
0
1
24
N次插值多项式4 次插值多项式4
求n次多项式
lk ( x ) ， k
1,…, = 0, 1, , n
1, lk ( xi ) = 0,
则
n
k=i k≠i
i = 0, 1, 2,…, n
第二讲 Lagrange插值 Lagrange插值
1
主要知识点
插值的基本概念，插值多项式的存在唯一性； 插值的基本概念，插值多项式的存在唯一性； Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、n次 Lagrange插值(含线性插值、抛物插值、 插值 Lagrange插值公式）； Lagrange插值公式）； 插值公式 插值余项； 插值余项； 插值方法：（1）解方程组、（2）基函数法。 插值方法：（1 解方程组、（2 基函数法。 ：（ 、（
P2 ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) + y2l2 ( x)
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) l0 ( x) = l1 ( x) = ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) = ( x2 x0 )( x2 x1 )
3
多项式插值定义
在众多函数中,多项式最简单、最易计算， 在众多函数中 多项式最简单、最易计算，已知函数 y = f (x)在n +1 多项式最简单 , ,n 个互不相同的点处的函数值 yi = f (xi ),i = 0,1 ，为求 的近似式， y = f (x的近似式，自然应当选 n 次多项式 )
x1 ］连续，在 ( x0 , x1 )充分光滑， 连续， 充分光滑，
存在
ξ ∈ ( x0 , x1 ) 使得 。
Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + + an x n
由插值条件
Pn ( x i ) = yi
i = 0, 1, , n
得到如下线性代数方程组： 得到如下线性代数方程组： n 1 a0 + x0 a1 + + x0 a n = y0 n 1 a0 + x1a1 + + x1 a n = y1 1 a + x a + + x n a = y n 1 n n n 0
2
插值问题描述
设已知某个函数关系 y = f ( x) 在某些离散点上的 函数值： 函数值：
x x0 x1 y y0 y1
xn 1 xn yn 1 yn
插值问题：根据这些已知数据来构造函数 插值问题： y = f ( x) 的一种简单的近似表达式,以便于计算 的一种简单的近似表达式, 点 x ≠ xi , i = 0,1,, n 的函数值 f ( x) ，或计算函数 的一阶、二阶导数值。 的一阶、二阶导数值。
x1 的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取 的一次插值基函数。
值为1，而在另外的插值点上取值为0。插值函数 值为1 而在另外的插值点上取值为0 是这两个插值基函数的线性组合， p1 ( x ) 是这两个插值基函数的线性组合，其组合系 数就是对应点上的函数值。 数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作 为拉格朗日（Lagrange）插值。 为拉格朗日（Lagrange）插值。
19
二次Lagrange插值多项式1 二次Lagrange插值多项式1
线性插值只利用两对值 近似值，误差较大。 近似值，误差较大。 及 求得的
p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。 的二次函数， 是 的二次函数 称为二次插值多项式。 通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。 通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。
7
存在唯一性定理证明( 存在唯一性定理证明(续)
此方程组的系数行列式为
1 x0 D= 1 x1 1 xn
当
x x
2 0
x x
n 0
2 1
n 1
=
0≤ j < i ≤ n
∏(x
i
xj)
x
2 n
x
n n
范得蒙行列式 ！
xi ≠ x j
i = 1,2, n;
j = 1,2, n
时，
D ≠ 0， 因此，Pn(x)由a0, a1,…, an唯一确定。 ， 因此， , 唯一确定。
n nΒιβλιοθήκη Baidu
27
N次插值多项式7 次插值多项式7
n 设节点 a ≤ x0 < x1 < < xn ≤ b ，且 f 满足条件 f ∈C [a, b] ,
内存在, 内存在 f ( n + 1 )在[a , b]内存在 考察截断误差
Rn (x) = f (x) Ln (x)
罗尔定理 : 若 ( x ) 在［x0 ,
Pn ( xi ) = ∑ yk l k ( xi ) = yi
k =1
即 pn ( x ) 满足插值条件 的表达式， 的根， 根据 lk ( x ) 的表达式，xk 以外所有的结点都是 lk ( x ) 的根，
25
N次插值多项式5 次插值多项式5
因此令
lk ( x) = λ ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk +1 ) ( x xn )
= λ∏ ( x x j )
j =0 j≠k n
又由
lk ( xk ) = 1
，得：
1 λ= ( xk x0 )( xk x1 )( xk xk 1 )( xk xk +1 )( xk xn )
26
N次插值多项式6 次插值多项式6
( x x0 )( x x1 ) ( x x k 1 )( x x k +1 )( x x n ) lk ( x ) = ( x k x0 )( x k x1 )( x k x k 1 )( x k x k +1 )( x k x n )
线性插值基函数 l0 ( x), l1 ( x) 满足下述条件
xi
l0 ( x) l1 ( x)
x0
1 0
x1
0 1
并且他们都是一次函数。 并且他们都是一次函数。 注意他们的特点对下面的推广很重要
18
一次Lagrange插值多项式(6) 一次Lagrange插值多项式(6)
我们称 l0 ( x ) 为点 x0 的一次插值基函数，( x ) 为点 的一次插值基函数， l1
10
线性插值函数
f(x)
(x0 ，y0) (x1，y1) ，
P1(x)
x0
x1
可见
是过
和
两点的直线。 两点的直线。
11
抛物插值函数
p2(x) ≈ f(x)
f(x)
x0
x1
x2
因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。 因过三点的二次曲线为抛物线，故称为抛物插值。
12
N次插值函数
b]上对给定 1个不同结点 个不同结点： 设连续函数 y = f ( x ) 在[a, b]上对给定n + 1个不同结点： 分别取函数值 其中 试构造一个次数不超过n的插值多项式