2015年高考第一轮复习数学：13.3 函数的极限

13.3 函数的极限
●知识梳理
1.函数极限的概念：（1）如果+∞
→x lim f （x ）=a 且-∞
→x lim f （x ）=a ,
那么就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞
→x lim f （x ）
=a ,也可记作当x →∞时，f （x ）→a.
（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0
lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）
→a .
（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作-→0
lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限
趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作+→0
lim x x f （x ）=a .
2.极限的四则运算法则：
如果0
lim x x → f （x ）=a , 0
lim x x →g （x ）=b ,那么
lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; 0
lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; 0
lim
x x →)()(x g x f =b
a
（b ≠0）.
特别提示
（1）上述法则对x →∞的情况仍成立； （2）0
lim x x →[Cf （x ）]=C 0
lim x x →f （x ）（C 为常数）;
（3）0
lim x x →[f （x ）]n =[0
lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）.
●点击双基
1.+→0
lim x x f （x ）=-→0
lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 答案:C
2.f （x ）=⎩⎨⎧<≥,
10,
12x x x 下列结论正确的是
A.)(lim 1
x f x +
→=-→1
lim x f （x ） B.)(lim 1
x f x +→=2，)(lim 1
x f x -
→不存在 C.+→1
lim x f （x ）=0, )(lim 1
x f x -
→不存在 D.+→1
lim x f （x ）≠-
→1
lim x f （x ） 答案:D
3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 答案:A
4.（2005年西城区抽样测试
）
1lim
→x x
x x x --+222
=________________. 解析: 1lim →x x
x x x --+222=1lim →x )1()2)(1(-+-x x x x =1lim →x x x 2
+=3. 答案:3
5.若1lim →x 3322+++x ax x =2,则a =__________.
解析: 1lim →x 3
322+++x ax x =2, ∴
4
4
+a =2.∴a =4. 答案:4
●典例剖析
【例1】求下列各极限：
（1） 2lim →x （)21
442
---x x ； （2）∞
→x lim （))((b x a x ++－x ）；
（3） 0
lim
→x |
|x x
；
（4） 2
πlim
→
x .2
sin
2cos cos x x x
-
剖析:若f （x ）在x 0处连续，则应有0
lim x x → f （x ）=f （x 0）,故求f （x ）在连续点x 0处的极限时，只需求f （x 0）即可；若f （x ）在
x 0处不连续，可通过变形，消去x －x 0因式，转化成可直接求f （x 0）的式子.
解:（1）原式＝2lim →x 4)2(42-+-x x ＝2lim →x 2
1
+-x =－41. （2）原式=∞
→x lim
x
ab x b a x ab x b a ++++++)()(2
=a +b .
（3）因为+
→0lim x ||x x =1,而=-→0lim x ||x x
=－1，
+→0lim x ||x x ≠-→0lim
x |
|x x , 所以0lim →x |
|x x
不存在．
（4）原式=2
π
lim
→
x 2
sin 2cos 2sin 2cos 22
x x x x --＝2
πlim →
x （cos 2x +sin 2x ）＝2.
思考讨论
数列极限与函数极限的区别与联系是什么？ 【
例
2
】
（
1
）
设
f
（
x
）
=⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧<+=>+→,
02
1;)(lim ,,00,
020
x x f b x x b
x x
x 存在使的值试确定;
（2）f （x ）为多项式,且∞→x lim x x x f 34)(-=1,0lim →x x
x f )(=5,求f
（x ）的表达式.
解:（1）+→0
lim x f （x ）= +→0
lim x （2x +b ）=b ,-→0
lim x f （x ）= -
→0
lim x （1+2x ）=2,
当且仅当b =2时, +→0
lim x f （x ）= -
→0
lim x f （x ）, 故b =2时,原极限存在.
（2）由于f （x ）是多项式,且∞→x lim x
x x f 34)(-=1,
∴可设f （x ）=4x 3+x 2+ax +b （a 、b 为待定系数）.
又∵0
lim
→x x
x f )
(=5, 即0
lim →x （4x 2+x +a +
x
b
）=5, ∴a =5,b =0,即f （x ）=4x 3+x 2+5x .
评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同. （2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.
【例3】 讨论函数f （x ）= ∞
→n lim
n
n x x 2211+-·x （0≤x ＜+∞）的
连续性，并作出函数图象.
部析:应先求出f （x ）的解析式，再判断连续性.
解:当0≤x ＜1时，f （x ）= ∞→n lim ⋅+-n
n
x x 2211x =x ;
当x ＞1时，f （x ）= ∞
→n lim
n
n
x x 2211+-·x =∞→n lim 11
1122+-n n x
x ·x =－x ; 当x =1时，f （x ）=0.
∴f （x ）=⎪⎩
⎪
⎨⎧>-=<≤).
1(),
1(0
),
10(x x x x x i ∵+→1
lim x f （x ）=+→1
lim x （－x ）=－1,-→1
lim x f （x ）= -→1
lim x x =1, ∴1
lim →x f （x ）不存在.
∴f （x ）在x =1处不连续，f （x ）在定义域内的其余点都连续. 图象如下图所示.
评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性.
●闯关训练 夯实基础
1.已知函数f （x ）是偶函数,且-∞
→x lim f （x ）=a ,则下列结论一定
正确的是
A. +∞
→x lim f (x )=－a B. +∞
→x lim f （x ）=a
C. +∞
→x lim f (x )=|a | D. -∞
→x lim f （x ）=|a |
解析：∵f （x ）是偶函数,∴f （－x ）=f （x ）. 又-∞
→x lim f （x ）=a ,
+∞
→x lim f （－x ）=a ,f （x ）=f （－x ）,
∴+∞
→x lim f （－x ）= +∞
→x lim f （x ）=a .
答案：B
2.（2004年全国Ⅱ，理2）1lim →x 5
42
22-+-+x x x x 等于
A.21
B.1
C.5
2
D.
4
1 解
析
:
∵
122lim ,52
)5)(1()2)(1(5
42→∴++=+-+-=-+-+x x x x x x x x x x x 5422
2-+-+x x x x =21. 答案:A
3.已知函数y =f （x ）在点x =x 0处存在极限,且+→0
lim x x f （x ）=a 2
－2,-→0
lim x x f （x ）=2a +1,则函数y =f （x ）在点x =x 0处的极限是
____________.
解析:∵y =f （x ）在x =x 0处存在极限,
∴+→0
lim x x f （x ）=-→0
lim x x f （x ）,即a 2－2=2a +1.∴a =－1或a =3.
∴0
lim x x → f （x ）=2a +1=－1或7.
答案:－1或7 4.若 f （x ）=
1
11
13
-+-+x x 在点x =0处连续，则 f （0）
=__________________.
解析:∵f （x ）在点x =0处连续，
∴f （0）=0
lim →x f （x ）,
lim →x f （x ）= 0lim
→x 1
1113
-+-+x x
= 0
lim
→x 1
111)1(33
2++++++x x x =23
. 答案:
2
3
5.已知函数f （x ）=∞
→n lim
n
n
n n x
x +-22，试求:
（1）f （x ）的定义域，并画出图象； （2）求--→2
lim x f （x ）、+
-→2l
i m x f （x ）,并指出2
lim -→x f （x ）是否存
在.
解:（1）当|x |＞2时，
∞→n lim
n n n
n
x x +-22=∞→n lim 1)2(1)2(+-n
n
x
x =－1; 当|x |＜2时，∞→n lim n n n
n
x x +-22=∞
→n lim
n
n
x x )2
(1)2(1+-=1; 当x =2时，∞→n lim n
n n
n x x +-22=0;
当x =－2时，∞→n lim n
n n
n x x +-22不存在.
∴f （x ）=⎪⎩
⎪
⎨⎧<<-=-<>-).
22(1),
2(0
),22(1x x x x 或
∴f （x ）的定义域为{x |x ＜－2或x =2或x ＞2}. 如下图
:
（2）∵--→2
lim x f （x ）=－1,+-→2
lim x f （x ）=1.∴2
lim -→x f （x ）不存
在.
6.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1
lim →x f （x ）=0,2
lim -→x f
（x ）=－3,求出这一函数最大值.
解:∵f （x ）=ax 2+bx +c 是一偶函数, ∴f （－x ）=f （x ）, 即ax 2+bx +c =ax 2－bx +c . ∴b =0.∴f （x ）=ax 2+c .
又1
lim →x f （x ）= 1
lim →x ax 2+c =a +c =0, 2
lim -→x f （x ）=2
lim -→x ax 2+c =4a +c =
－3,
∴a =－1,c =1.
∴f （x ）=－x 2+1.
∴f （x ）max =f （0）=1. ∴f （x ）的最大值为1. 培养能力
7.在一个以AB 为弦的弓形中,C 为
的中点,自A 、B 分别作弧
AB 的切线,交于D 点,设x 为弦AB 所对的圆心角,求ABD
ABC
x S S ∆∆→0lim
.
解：设所在圆圆心为O ,则C 、D 、O 都在AB 的中垂线上,
∴∠AOD =∠BOD =
2
x
.设OA =r . S △ABC =S 四边形AOBC －S △AOB =r 2
sin 2x －21r 2sin x =r 2sin 2x （1－cos 2
x ）,
S △ABD =S 四边形AOBD －S △AOB =r 2tan 2x －21
r 2sin x =r 22
cos
2sin 3
x x .
∴0
lim
→x ABD
ABC S S ∆∆=0lim
→x 2
cos
2
sin )
2cos 1(2sin 3
22x x
r x
x r -=0lim →x 2cos 12cos x x +=21. 8.当a ＞0时,求0
lim
→x b
b x a a x -+-+2
2
22.
解:原式=0
lim
→x )
)()(())()((2
2
2
2
2
2
222222a a x b b x b b x b b x a a x a a x ++++-+++++-+
=0
lim
→x )
)(())((2
2
2
2
2
22222a a x b b x b b x a a x ++-+++-+
=0
lim
→x a
a x
b b x ++++2222=
a
a b
b ++|||| =⎪⎩
⎪⎨⎧>≤).
0(),0(0时当时当b a b b
探究创新
9.设f （x ）是x 的三次多项式，已知
a x 2lim →=
a x x f 2)(-=a x 4lim →a
x x f 4)
(-=1.
试求a x 3lim →a
x x f 3)
(-的值（a 为非零常数）.
解:由于a x 2l i m →a
x x f 2)
(-=1,可知
f （2a ）=0.
①
同理
f
（
4a
）
=0.
②
由①②，可知f （x ）必含有（x －2a ）与（x －4a ）的因式，由
于f （x ）是x 的三次多项式，故可设f （x ）=A （x －2a ）（x －4a ）（x －C ）.
这里A 、C 均为待定的常数.
由a x 2lim
→a
x x f 2)
(-=1,即
a x 2lim
→a
x C x a x a x A 2)
)(4)(2(---- =a
x 2lim →A （x －4a ）（x －C ）=1, 得A （2a －4a ）（2a －C ）=1, 即4a 2A －2aCA =－ 1.
③
同理，由于a
x 4lim
→a
x x f 4)
(-=1, 得A （4a －2a ）（4a －C ）=1, 即8a 2A －
2aCA =1.
④
由③④得C =3a ,A =
221
a
, 因而f （x ）=
2
21
a （x －2a ）（x －4a ）（x －3a ）. ∴a x 3lim →a x x f 3)
(-=a x 3lim →2
21a （x －2a ）（x －4a ）
=
221a ·a ·（－a ）=－21. ●思悟小结
1. ∞
→x lim f （x ）=A ⇔+∞
→x lim f （x ）= -∞
→x lim f （x ）=A ,
lim x x →f （x ）=A ⇔+→0
lim x x f （x ）=-→0
lim x x f （x ）=A .
2.函数f （x ）在x 0处连续当且仅当满足三个条件： （1）函数f （x ）在x =x 0处及其附近有定义； （2）0
lim x x →f （x ）存在；
（3） 0
lim x x →f （x ）=f （x 0）.
3.会熟练应用常见技巧求一些函数的极限. ●教师下载中心 教学点睛
1.在讲解过程中，要讲清函数极限与数列极限的联系与区别，借助于函数图象讲清连续性的意义.
2.函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需给予关注.
3.在求函数极限时，需观察，对不能直接求的可以化简后求，但提醒学生要注意类似于+∞
→x lim
x x 1
2+与-∞→x lim x
x 1
2+的区别. 拓展题例
【例1】 设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤+),0(e
)
,0(25x k x k x x
为常数问k 为何值时，有0
lim →x f （x ）存在？
解: -→0
lim x f （x ）=2k , +
→0
lim x f （x ）=1, ∴要使0
lim →x f （x ）存在，应有2k =1.∴k =
2
1
. 【例2】 a 为常数，若+∞
→x lim （12-x －ax ）=0,求a 的值.
解:∵
+∞
→x lim （
1
2-x －ax ）=
+∞
→x lim
ax
x x a x +---112
222=+∞
→x lim
ax
x x a +---11)1(2
22=0,
∴1－a 2=0.
∴a =±1.但a =－1时，分母→0, ∴a =1.。