初等数论同余式

进而有 M ,1 4, M , 2 1, M ,3 5
72M ,1 1(mod7),63M , 2 1(mod8),56M ,3 1(mod9)
所以有x 72 4 1 63 (1) 2 56 5 3 498(mod504)
是原一次同余式组的解。
f ( x) 0(modmi ),i 1,2k 设 和 f ( x) 0(modmi ) f ( x) 0(mod m) 数为 则有
（2） 的解
T , Ti . 下面来看证明
T T1T2 Tk
证明：若 x0 是（1）的解，即 f ( x0 ) 0(modm) 则 m | f ( x0 ) 从而有 mi | f ( x0 ) ，即 f ( x0 ) 0(modmi ) 即（1）的解就是（2）的解， 反之若 x0 是（2）的解，则有 f ( x0 ) 0(modmi ),i 1,2k 即 mi | f ( x0 ) 从而有[m1, m2 ,mk ] | f ( x0 ) 由于 m1 , m2 ,mk 两两互素，所以
模m的一个完全剩余系中满足同余方程的个 数称为满足同余方程的解数。
.
注：对模m互相同余的解是同一个解。 例：同余式 x 2 x 1 0(mod3)
x 1(mod3) 是解， x 2(mod3)也 次数为2， 是解，因为 1 2(mod3)
所以为同一解，解数是1，
为了求方程的解经常有等价变形的问题， 对 于同余方程同样也有等价变形，即使原同余 方程和新的同余方程互相等价的若干变换。 常用的变换有
§3 一次同余方程组的解法
定义:如下(*)称为一次同余方程组
x≡b1(mod m1)
x≡b2(mod m2)
……
x≡bk(mod mk)
（*）
有解判定定理：同余方程组（*）有解的充 要条件是 (mi , m j ) | bi b j , i j
下面给出k=2时的证明.
2 x b1 (mod(m1 , m2 ))
x x0 m1t , y y0 a1t , t Z m 1
m ( a , m)) t (modm), t 0,1(a, m) 1
因当 t1 t 时， x0 m1t1 x0 m1 (t2 dk) （ mod) 2
x0 m1t2 mk x0 m1t （ 2 modm)
2.2 一次同余方程ax≡b(mod m)的解法。
（1）化为不定方程ax+my=b
例：解同余式 45x 21(mod132)
解 因为(45,132)=3¦ 21,所以同余式有3个解.
化简为等价的同余方程 15x 7(mod44)
k
即是(*)的解
若 x1 , x2
是满足 (*)的两个整数，则有 ,所以有
又 x1 x2 (modm)
m | x1 x2 ,即
x1 x2 (modmi ) ,说明是惟一解。
x 1(mod7) 例：解一次同余式组 x 2(mod8) x 3(mod9)
解 :因为7，8,9两两互素，可以利用孙子定理. m=504, M1 72, M 2 63, M 3 56
由一次同余方程有解条件知t有解,即同余方程组有解.
下面给出一个例子，并用代入法求解
x 3(mod4) 例：解一次同余式组 x 1(mod6)
解：因为(4,6)=2|3-1,所以有解,由(1)式得x=3+4t 代入(2)得 4t 2(mod6) 2t 1(mod3) 即 t 1(mod3) 得 t 1 3t1 代入x=3+4t 得 x 3 4(1 3t1 ) 7 12t1 即 x 7(mod12)为一次同余式组的解。
注：若给出的同余方程组不是标准形式，必 须注意化为标准形式，同时我们得到的有解 的判别定理及求解方法都是在这一标准形式 得到的。
同余方程组（1）有解的条件
(mi ,mj) ∣bi-bj ，1≤i，j≤k 。
在使用时一定要对所有的组合进行验算，进 行有解的判别
求解一次同余方程组（ * ）有两种方法： 待定系数法和孙子定理 , 二种方法各有特长。 待定系数法适应的范围较广，对模没有什么 要求。孙子定理有一个具体的公式，形式也 较漂亮。但对模要求是两两互素。
m m1m2 mk
(mi , M i ) 1 证明：因为 m1 , m2 ,mk 两两互素，
, M M 所以有 i i 1(modmi )
， M 中的 i 存在，又对 任意的 i j 有 (mi，mj ) 1, i j 有mj | Mi
所以
, , M M b M M j j j i i bi bi (modmi ) j 1
即有解的条件，解数及如何求解，
一般地说，对于一般的同余方程，由于仅有有 限个解，只要把模m的一个完全剩余系一一代 入即可，满足同余方程的就是解。 但当模较大或次数较高时应寻求简洁而实 用的解法.
这一章主要讨论 1、一次同余方程ax≡b(mod m) ２、一次同余方程组 x≡b1(mod m1) x≡b2(mod m2) … x≡bk(mod mk) f ( x) 0(modm) ３ 的求解。
[m1 , m2 ,mk ] m1m2 ,mk
，
从而 有 m | f ( x0 ) 即 f ( x0 ) 0(modm) 即（2） 的解也是（1）的解。
又由于（2）中第i个方程有 Ti个解，则（2） 一共可组合成 T1T2 Tk 个一次同余式组， 由孙子定理每一个同余式组有惟一解，所以 T1T2 Tk 有 个解，又由于（ 1）（2）的等 价性，所以有 T T1T2 Tk
c1 c 2、（d，m）=1，且 a da1, c dc1，则 a1 a (modm)
利用形式分数的性质把分母变成1，从而求出 一次同余式的解。
例：解一次同余方程17x 19(mod25) 解：∵（17，25）=1，原同余方程有解，利 用形式分数的性质，同余方程解为
19 6 3 28 x 7(mod 25) 17 8 4 4
证: 若 x b1 (modm1 ) (1)有解,则有 x b (modm )(2)
2
x b2 (mod(m1 , m2 ))
反之由(1)得
即
(m1 , m2 ) | b1 b2
代入(2)有
x b1 m1t
m1t b2 b1 (modm2 ) 因为 (m1 , m2 ) | b1 b2
数多项式，设 x1 是 则有
f ( x) 0(mod p 1 )
的一个解，
, f （1） ( x1 ) 0(modp) 则存在整数t使得 1 x x1 p t 是 f ( x) 0(modp ) 的解。
（1）移项运算是传统的，
（2）同余方程两边也可以加上模的若干倍。 相当于同余方程两边加“零”。 （3）乘上一数k或除去一个数k，为了保持其 同解性，必须（k ,m）=1，这一点和同余的性 质有区别。
例
15x 2 17x 5(mod12) 等价于 3x 2 5x 5(mod12)
12 7
下面我们给出模两两互素的情形，此时显然 满足有解的条件，即
孙子定理：设 m1 , m2 ,mk 两两互素， 则同余式(*)组的解为
, , x M1M1,b1 M 2 M 2 b2 M k M k bk (modmi )
其中 m mi M i , M i M i, 1(modmi )
对一般模的高次同余方程我们要通过 “小模”和“降次”的方法来得到一般 模的高次同余方程的解。
1、小模：即把一般模高次同等方程转化为 一系列模两两互素的高次同余方程组，即有
m1 , m2 ,mk 两两互素， 定理：设m m1m2 mk ， f ( x) 0(mod m ) 等价于下面方程组 则 （1 ）
9 9 4
6 （ 2） 30 8(mod11)
4
(3)用形式分数
定义1：当（a，m）=1时，若ab 1(modm)， 则记b 1 a (modm)称为形式分数。
1 c 根据定义和记号， 有性质 a (modm) c a
1、
c c m t1 (modm), t1 , t2 Z a a m t2
，则有
即
a
( m)
x ba
( m) 1
(modm)
因为 a ( m) 1(modm) 所以
x ba
( m)1
(modm)
例: 解同余式 8x 9(mod 11) 解：因为(8,11)=1,所以由欧拉定理 有
x 8 9 (3) (2) 9 6
§2
一次同余方程
一次同余方程的一般形式为 ax≡b(mod m)， a 0(modm) 有
a 0(modm) ，则 2.1定理：a,b为整数，
ax≡b(mod m)有解的充要条件是(a,m)|b,若有解 则有d=(a,m)个关于模m的解
证明：由同余的定义知ax≡b(mod m)等价于 不定方程ax=b-my，而此不定方程有解的充 要条件是(a,m)|b。在有解的情况下，设不定 方程的解为
x 2x 6 x 8 0(mod5)
2 5 2
等价于
( x ) x 2x x 5x x 5 3 0(mod5)
5 2
即 x 4 2 x3 x 3 0(mod5)
x x(mod5)
5
，
同余方程和不定方程一样，我们同样要考虑 以下三个问题，
次数大于1的同余方程称为高次同余方 程，一般地高次同等方程可转化一系列的高 次同余方程组。然后将每一个高次同余方程 的解都求出，最后利用孙子定理可求出原高 次同余方程的解。
§4 高次同余方程 定义1、次数大于1的同余方程称为高次 同余方程 f ( x) 0(modm)
f ( x) an xn a1x a0
例：同余方程 x3 x 2 x 1 0(mod15)
解：原同余方程等价于同余方程组
x3 x 2 x 1 0(mod3)
x3 x 2 x 1 0(mod5)
即有
x 1,2(mod3) x 1,4(mod5)
所以有4解，由孙子定理为
x 1,4,11,14(mod15)
我们再解不定方程15x-44y=7,得到一解(21,7).,
方程3个解为 x 21,21 44,21 2 44(mod132)
即为 x 21, x 65, x 109(mod132)
2) 利用欧拉定理 若(a,m)=1,则有 ax≡b(mod m),两边同乘
a
( m ) 1
由于 m p1 p2 pk 所以 f ( x) 0(modm)
1 2 k
i f ( x ) 0 (mod p ,2k i ), i 1 等价于同余方程组
从而从理论上说只要能解 f ( x) 0(modp ) 即可， f ( x ) 0 (mod p ) 而由性质可知若x是 的解， 1 f ( x) 0(mod p的解 ) 则一定是
第四章 同余式
§1 同余方程的基本概念 定义：设 f ( x) an xn a1x a0 , ai Z , m Z f ( x) 0(modm) 叫做模m的同余方程 则 若 an 0(modm) ,则称n为同余方程的次数。
若 f (c) 0(modm) ， 则 x c(modm) 称为同 余式的解
所以只要在 f ( x) 0(mod p) 的解中 找 f ( x) 0(mod p ) 的解。 所以理论上只要解素数模 f ( x) 0(mod p)同余 方程即可。
对素数模同余方程，可以降次，看下面的
n f ( x ) a x a1x a0 是整系 定理：设p是素数， n