人教版高中数学教案：第6章：不等式,教案,课时第 (1)

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人教版高二数学第六章不等式结课教案-第六章-不等式

第六章不等式小结学习目标1. 理解不等式的性质，并能证明；2. 掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理，并会简单地应用；3. 掌握证明不等式的常用方法，如：比较法、分析法、综合法、反证法等等。

4. 培养我们的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。

学习过程一、本章的基本内容 1．不等式的性质定理1：如果a>b ，那么b<a ；如果b<a ，那么a>b ；定理2：如果a>b 且b>c ，那么a>c ．定理3：如果b a >，那么c b c a +>+ （加法单调性）反之亦然推论1：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+（相加法则）推论2：如果b a >且d c <，那么d b c a ->-（相减法则）定理4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac <（乘法单调性）推论1 ：如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >（相乘法则）推论1：（补充）如果0>>b a 且d c <<0，那么dbc a >（相除法则）推论2 如果0>>b a , 那么nnb a >)1(>∈n N n 且定理5：如果0>>b a ，那么nn b a >)1(>∈n N n 且2．几个重要不等式定理1：如果R b a ∈,，那么（当且仅当时取“=”）定理2：如果a ，b 是正数，那么ab ba ≥+2（当且仅当时取“=”）定理3：如果+∈R c b a ,,，那么，（当且仅当时取“=”）推论：如果+∈R C b a ,,，那么33abc c b a ≥++（当且仅当时取“=”）推广：（均值不等式）：≥，3．极值定理：已知y x ,都是正数，则（1）如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值241s 。

高中数学《不等式》教案

高中数学《不等式》教案教学内容：不等式
教学目标：
1. 理解不等式的概念和性质。

2. 掌握不等式的解法和解集表示法。

3. 能够根据不等式的性质解决实际问题。

教学重点：
1. 掌握不等式的基本概念和性质。

2. 能够利用不等式解决实际问题。

教学难点：
1. 熟练掌握各种不等式的解法。

2. 能够根据实际问题建立并解决不等式。

教学过程：
一、导入（5分钟）
1. 引入不等式的概念，并和等式做比较，引发学生思考。

二、讲解不等式的性质和解法（15分钟）
1. 讲解不等式的符号表示及性质。

2. 讲解不等式的解法，包括加减法、乘法、除法等。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 练习不等式的基本运算和解法。

2. 让学生在小组讨论中解决不等式问题。

四、实际问题应用（10分钟）
1. 列举一些实际问题，让学生通过建立不等式解决。

五、总结与展望（5分钟）
1. 总结不等式的性质和解法。

2. 展望下节课内容，讲解高级不等式的解法。

六、作业布置（5分钟）
1. 布置练习题，巩固不等式的知识。

教学板书：
不等式
1. 定义：比较两个数的大小关系的代数式。

2. 符号表示：大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。

3. 特性：加减法、乘除法性质。

教学反思：
通过本节课的教学，学生对不等式的概念和性质有了初步了解，并能够熟练解决基本的不等式问题。

下一步可以引入更复杂的不等式，挑战学生的解题能力。

2020-2021年高二数学第六章不等式： 6.4不等式解法举例(一)优秀教案

2019-2020年高二数学第六章不等式： 6.4不等式解法举例(一)优秀教案教材：复习一元一次不等式目的：1、理解|ax+b|＞c,|ax＋b|＜c,(c＞0)型不等式的概念，并掌握它们的解法；2、了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的联系，掌握一元二次不等式的解法。

3、进一步掌握|ax²+bx+c|＞k , |ax²+bx+c|＞k( k＞0)型不等式的解法。

过程：一．例题示范：例1、已知集合A＝｛x｜｜x｜＜1｝，B＝｛x｜｜5－2x｜＞5｝，则A∩B＝。

解：由题意可知，集合A是不等式｜x｜＜1的解集，又由｜x｜＜1 ⇒－1＜x＜1有：A＝（－1，1）同理，可求B＝（－∞，0）∪（5，＋∞）所以A∩B＝｛x｜－1＜x＜0｝。

例2、已知集合A＝｛x｜｜x－1｜＜c, c＞0｝，B＝｛x｜｜x－3｜＞4｝，且A∩B≠∅，求c的范围。

解：由题意可知，集合A 是不等式｜x －1｜＜c 的解集，又由｜x －1｜＜c （c ＞0） ⇒1－c ＜x ＜1＋c 有：A ＝（1－c ，1＋c ），同理，可求B ＝（－∞，－1）∪（7，＋∞）。

由上图可知，要A ∩B ≠∅,即要有: 1－c ＜－1 ⇒c ＞2所以c 的范围为c ＞2 。

例3、已知集合A ＝｛x ｜x ²－5x ＋4≤0｝，B ＝｛x ｜x ²－5x ＋6≥0｝，则A ∩B ＝。

解：由题意可知，集合A 是不等式x ²－5x ＋4≤0 的解集，又其对应的二次函数f(x )= x ²－5x ＋4 的图象如下 (与x 轴的两个交点的横坐标为其对应的方程x ²－5x ＋4＝0 的两个根），要函数值不大于零，即取图象在 x 轴上或 x 轴下方的部分所对应的 x 的取值范围，故集合A ＝［1，4］；同理可求B ＝（－∞，2］∪［3，＋∞）。

人教A版高中数学高三一轮第六章不等式 6-1不等关系

高三一轮复习 6.1不等关系与不等式【教学目标】1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．2.了解不等式(组)的实际背景．【重点难点】1.教学重点：掌握不等式的性质及比较两个数大小的方法；2.教学难点：学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】解析当0<ab <1时，若b >0，则有a <1b ；若b <0，则a <0，从而有b >1a .故“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件．反之，取b ＝1，a ＝－2，则有a <1b 或b >1a ，但ab <0.故选A. 答案 A 知识梳理：知识点1 两个实数比较大小的方法 1．作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a 1⇔a >b a ∈R ，b ，ab ＝1⇔a ＝b a ∈R ，b，a b <1⇔a b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性)(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；(双向性) a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(单向性) (4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(单向性) (5)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥2)；(单向性)(6)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)．(单向性) 1．必会结论；(1)不等式的倒数性质①⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，ab >0⇒1a <1b ；②a >0>b ⇒1a >1b .(2)有关分数的性质①b a b >0，m >0，b －m >0)； ②b a >b ＋m a ＋m ，b a a >0，m >0，b －m >0)．。

人教版高中数学必修第二册6.1不等式基本性质教案

第二教时教材：不等式基本性质〔续完〕目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。

过程：一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2二、1．性质3：如果b a >，那么c b c a +>+ 〔加法单调性〕反之亦然证：∵0)()(>-=+-+b a c b c a ∴c b c a +>+从而可得移项法那么：b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(推论：如果b a >且d c >，那么d b c a +>+ 〔相加法那么〕证：d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭⎬⎫+>+⇒>+>+⇒> 推论：如果b a >且d c <，那么d b c a ->- 〔相减法那么〕证：∵d c <∴d c ->-d b c a dc b a ->-⇒⎩⎨⎧->-> 或证：)()()()(d c b a d b c a ---=---d c b a <> ⇒⎭⎬⎫<-∴>-∴00d c b a 上式>0 ……… 2．性质4：如果b a >且0>c , 那么bc ac >；如果b a >且0<c 那么bc ac < 〔乘法单调性〕证：c b a bc ac )(-=-∵b a >∴0>-b a根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：0>c 时0)(>-c b a 即：bc ac >0<c 时0)(<-c b a 即：bc ac <推论1 如果0>>b a 且0>>d c ，那么bd ac >〔相乘法那么〕证：bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0, 推论1’〔补充〕如果0>>b a 且d c <<0，那么d b c a >〔相除法那么〕证：∵0>>c d ∴⇒⎪⎭⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a > 推论2 如果0>>b a , 那么n n b a >)1(>∈n N n 且3．性质5：如果0>>b a ，那么n n b a >)1(>∈n N n 且证：〔反证法〕假设n n b a ≤ 那么：假设ba b a b a b a n n n n=⇒=<⇒<这都与b a >矛盾 ∴n n b a > 三、小结：五个性质及其推论口答P8 练习1、2 习题6.1 4四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6五、供选用的例题〔或作业〕1．0>>b a ，0<<d c ，0<e ，求证：db ec a e ->- 证：⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-<-⇒>-<-⇒⎭⎬⎫<<>>011000e d b c a d b c a d c b a d b e c a e ->- 2．假设R b a ∈,，求不等式ba b a 11,>>同时成立的条件解：00011<⇒⎪⎭⎪⎬⎫<-⇒>>-=-ab a b b a ab a b b a 3．设R c b a ∈,,，0,0<=++abc c b a 求证0111>++c b a 证：∵0=++c b a ∴222c b a ++0222=+++bc ac ab又∵0≠abc ∴222c b a ++>0∴0<++bc ac ab ∵abcca bc ab c b a ++=++1110<abc ∴0<++bc ac ab ∴0111>++cb a 4．||||,0b a ab >> 比较a 1与b1的大小解：a 1-b 1aba b -=当0,0>>b a 时∵||||b a >即b a > 0<-a b 0>ab ∴0<-ab a b ∴a 1即b a <0>-a b 0>ab ∴0>-ab a b ∴a 1>b 1 5．假设0,>b a 求证：a b ab >⇔>1 解：01>-=-aa b a b ∵0>a ∴0>-a b ∴b a < 0>-⇒>a b a b ∵0>a ∴01>-=-a b a a b ∴1>ab 6．假设0,0<<>>dc b a 求证：d b c a ->-ππααsin sin log log 证：∵1sin 0<<απ>1 ∴0log sin <πα 又∵0,0>->->>d c b a ∴d b c a ->- ∴d b c a -<-11∴原式成立。

高中数学不等式人教版教案

高中数学不等式人教版教案
教材版本：人教版高中数学
课时安排：2课时
教学目标：
1. 掌握不等式的基本概念和性质；
2. 能够运用不等式解决实际问题；
3. 提高学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。

教学重点与难点：
重点：不等式的基本概念和性质。

难点：能够熟练运用不等式解决实际问题。

教学准备：
1. 教师准备教学课件、课堂活动设计、相关课外练习题；
2. 确保课堂的教学设备齐全。

教学过程：
第一课时：
1. 引言（5分钟）：介绍不等式的基本概念，引导学生了解不等式的形式和符号含义。

2. 直观理解不等式（10分钟）：通过绘制图形、实例分析等方式，让学生直观地感受不等式的意义。

3. 不等式的性质（15分钟）：讲解不等式的传递性、加减乘除不等式两边的数等方面的性质，让学生掌握不等式的基本规则。

第二课时：
1. 不等式的应用（15分钟）：结合生活中的实际问题，让学生通过不等式来解决实际应用问题。

2. 解题方法指导（10分钟）：讲解解不等式问题的具体步骤和方法，引导学生掌握解题技巧。

3. 练习与总结（15分钟）：进行一系列的练习，巩固学生对不等式的理解和运用，做好知识的总结和归纳。

教学反思：
本节课的教学目标主要是让学生掌握不等式的基本概念和性质，并能够运用不等式解决实际问题。

在课堂中，要重视引导学生体会不等式的实际意义，帮助他们建立正确的数学观念和解题思维。

同时，要注重练习环节，让学生通过实际操作来巩固知识，提高解决问题的能力。

高二数学第六章不等式： 6.4不等式解法举例(一)优秀教案

§6.4不等式解法举例(一)教材：复习一元一次不等式目的：1、理解|ax+b |＞c,|ax ＋b |＜c,(c ＞0)型不等式的概念，并掌握它们的解法；2、了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的联系，掌握一元二次不等式的解法。

3、进一步掌握|ax²+bx+c |＞k , |ax ²+bx+c |＞k( k ＞0)型不等式的解法。

过程：一．例题示X ：例1、集合A ＝｛x ｜｜x ｜＜1｝，B ＝｛x ｜｜5－2x ｜＞5｝，那么A ∩B ＝。

解：由题意可知，集合A 是不等式｜x ｜＜1的解集，又由｜x ｜＜1 ⇒－1＜x ＜1有：A ＝〔－1，1〕同理，可求B ＝〔－∞，0〕∪〔5，＋∞〕所以A ∩B ＝｛x ｜－1＜x ＜0｝。

例2、集合A ＝｛x ｜｜x －1｜＜c, c ＞0｝，B ＝｛x ｜｜x －3｜＞4｝，且A ∩B ≠∅，求c 的X 围。

解：由题意可知，集合A 是不等式｜x －1｜＜c 的解集，又由｜x －1｜＜c 〔c ＞0〕 ⇒1－c ＜x ＜1＋c 有：A ＝〔1－c ，1＋c 〕，同理，可求B ＝〔－∞，－1〕∪〔7，＋∞〕。

由上图可知，要A ∩B ≠∅,即要有: 1－c ＜－1 ⇒c ＞2所以c 的X 围为c ＞2 。

例3、集合A ＝｛x ｜x ²－5x ＋4≤0｝，B ＝｛x ｜x ²－5x ＋6≥0｝，那0 1 x么A ∩B ＝。

解：由题意可知，集合A 是不等式x ²－5x ＋4≤0 的解集，又其对应的二次函数f(x )= x ²－5x ＋4 的图象如下 (与x 轴的两个交点的横坐标为其对应的方程x ²－5x ＋4＝0 的两个根〕，要函数值不大于零，即取图象在 x 轴上或 x 轴下方的部分所对应的 x 的取值X 围，故集合A ＝［1，4］；同理可求B ＝〔－∞，2］∪［3，＋∞〕。

第六章不等式教学设计人教版教案

第六章不等式教学设计Ⅰ总体设计一．本章知识结构框图1.理解不等式的性质及其证明.2.掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.3.掌握用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.4.掌握某些简单不等式的解法.5.理解不等式及其几何意义.6.通过不等式的一些应用，使学生进一步理解在现实世界中的量之间，不等是普遍的、绝对的，相等则是局部的、相对的，从而对学生进行辩证唯物主义观点的教育.7．恰当应用信息技术对一些重要不等式的几何背景进行探究，从图形的、解析的、数据的等多种思维形式研究不等关系，重视形象思维与抽象思维的结合，渗透数形结合思想.三．内容编排本章教材是在初中介绍了不等式的概念，学习了一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，高一学习了一元二次不等式，简单的分式不等式和含绝对值不等式的解法的基础上，研究不等式的性质，不等式的证明和一些不等式的解法.不等式与数、式、方程、函数、三角等内容有密切的联系，讨论方程或方程组的解的情况，研究函数的定义域、值域、单调性、最大值、最小值，讨论线性规划问题等，都要经常用到不等式的知识，不等式在解决各类实际问题时也有广泛的应用.可见，不等式在中学数学里占有重要地位，是进一步学习数学的基础知识.本章教材内容分为五部分．第一部分学习不等式的性质．首先通过实际问题引出不等关系存在的普遍性，给出了比较实数大小的方法，在这基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了证明．不等式的其他性质，都可由它们推导出来．第二部分学习算术平均数与几何平均数．信息技术整合本首先利用数学家大会给学生创设了一个趣味性环境，证明了一个重要的不等式a2＋b2≥2ab，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，最后，通过几个例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用．第三部分讲不等式的证明．通过七个例题，分别介绍了证明不等式的三种基本方法——比较法、综合法和分析法．第四部分举例介绍不等式的解法．通过例题，复习、总结了一元二次不等式、一元二次不等式组、含绝对值不等式、简单高次不等式和分式不等式的解法．第五部分讲含绝对值不等式．在这一部分里，介绍了含绝对值不等式的一个定理及其证明，并给出它的两个推论，在例题中，介绍了它们的应用．本章内容中，不等式的证明和不等式的解法是重点．不等式的性质及其证明，不等式的证明是难点．掌握不等式的性质是学好本章的关键．利用信息技术对一些不等式的几何背景进行探究，将激发学生学习的主动性，有益于动手实践能力的提高.四．课时分配本章教学时间约需16课时，具体分配如下（仅供参考）：6．1 不等式的性质约3课时6．2 算术平均数与几何平均数约2课时6．3 不等式的证明约5课时6．4 不等式的解法举例约2课时6．5 含有绝对值的不等式约2课时小结与复习约2课时五．学法指导1．信息技术的介入，给学生学习本章内容增添了新的工具.在信息技术支持下，可以更好地理解不等式的基本思想，为不等式的解决方法提供多种呈现形式，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯，力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识，因此学习本章时恰当应用信息技术是必要的.2．不等式的内容主要有在不等式的证明、解不等式的过程中，信息技术将使一些不等式的几何背景呈现更为清晰，为传统教学中抽象思维的培养注入形象思维的活力，学生可以利用信息技术，亲自操作，在变动的状态下，分析引起不等关系变化的原因，发现各数学对象之间的逻辑联系，从动手实践归纳、猜想、发现不等式，探究其形成背景及时加以验证，然后理论证明，体验数学的本质，这样对学生数学思维的完整性连续性将是很有益的.3．在信息技术的帮助下，与学习伙伴展开讨论，研究问题.4．注意适度形象化.在不等式的证明过程中，既可以先绘制出图形观察不等关系，然后从逻辑角度证明其正确性，也可以先证明，然后寻找其几何背景，从数形结合的角度去认识.比如：作出函数y=f(x)的图象，观察图象判断2)()2(b f a f b a f ++）（与的大小关系并给出证明. （1）f (x )=x 2; （2）f (x )=x 2log （x >0）.6．信息技术可能使得原先有一定难度的学习内容变得容易起来，因此可以根据学生的具体情况让学生学习更多的数学，更好的数学，甚至更难的数学，利用信息技术可以将一些问题适度开放，进行更加深入的研究.六．教法建议1．信息技术在不等式这部分内容的教学中可以发挥一定的辅助作用，教师应该恰当运用信息技术搞好与数学教学的整合.从教学方法上讲，教师应该注意改变“教师讲学生听”的教学方式，让学生利用信息技术比较多地在操作中探究不等式的几何背景，深入到主动探究中去，利用几何图形探究不等式存在的必然性.教师要抓住动态演示的优势，让学生在动态中观察和研究问题.由于不等式的抽象性，学生的学习较为枯燥，信息技术可以更好提起学生学习的兴趣，培养“数形结合”的数学思想方法.让学生亲自操作、观察以及通过学生之间的交流，发现不等式的性质及其规律，可以先让学生猜想、归纳自己的发现，及时加以验证，体验数学的本质，教师帮助学生总结、规范.养成良好的思维习惯.2．鼓励学生利用信息技术提出问题.传统的教学，问题往往是由教师提出来的，信息技术的采用，就可能使学生更方便地产生联想，提出自己的设想，然后探求结论，教师应该鼓励学生利用信息技术去发现，提出问题.3．“兴趣是最好的老师”，信息技术的采用使得不等式的教学生动起来，通过运用信息技术可以激发学生研究问题的兴趣，引发学习动机.教师应该充分运用信息技术创设教学情境，利用信息技术提出问题，调动学生学习数学的积极性.例如：数学实验：问题建筑设计规定：民用建筑的采光度等于窗户面积与地面面积之比，窗户面积必须小于地面面积，采光度越大说明采光条件越好. 问当窗户与地面增加相同面积后，采光条件是变好还是变坏了，为什么？上面的实际问题可以归结为下面的数学问题：给定函数xb xa x f ++=)(，当a >b >0时，判断f (0)与f (m )的大小．（1）使用图形计算器或计算机画出函数xb xa x f ++=)(的图象，观察f (0)与f (m )的大小. （2）利用函数的单调性，证明f (0)与f (m )的大小关系. （3）如果b >a >0，结果怎样？教学实践已经表明，动态的演示，生动的画面，学生觉得这个问题十分有趣，都很高兴地参与到教学中来，教学效果是明显的.4．要把握好信息技术介入的“度”，注意各种教学方式之间的平衡.不能由于信息技术的介入，一切都形象化，削弱抽象思维能力的培养.信息技术要用在改变学生的学习方式，要用在改变教学模式上，目的是培养与提高学生的数学思维能力.4321-1-2246f(x)=x 2(a+b)/2a b。

高中不等式的教案

高中不等式的教案高中不等式的教案（通用11篇）高中不等式的教案篇1教学目标1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题;理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。

2、过程与方法目标：按照创设情景，提出问题→剖析归纳证明→几何解释→应用(最值的求法、实际问题的解决)的过程呈现。

启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣。

3、情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

教学重难点1、基本不等式成立时的三个限制条件(简称一正、二定、三相等);2、利用基本不等式求解实际问题中的最大值和最小值。

教学过程一、创设情景，提出问题;设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实基于此,设置如下情境: 上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗?本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式在此基础上，引导学生认识基本不等式。

三、理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b是正数，A是a,b的等差中项，G是a,b的正的等比中项，A与G有无确定的大小关系?两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

3、符号语言叙述：4、探究基本不等式证明方法：[问]如何证明基本不等式?(意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。

高中数学优秀教案第二册上：6.1 不等式的性质(一)

课题：不等式的性质（1）教学目的：1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用；2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小．教学重点：比较两实数大小．教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、引入：复习初中学过的不等式的性质①正数的相反数是负数②任意实数的平方不小于0。

③不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题二、讲解新课：1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了．三、讲解范例：例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项解：由题意可知：（a＋3）（a－５）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－1５）－（a2－2a－８）＝－７＜0∴（a＋3）（a－５）＜（a＋2）（a－4）例2已知x≠0，比较（x2＋1）2与x4＋x2＋1的大小分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项解：由题意可知：（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＝（x4＋2x2＋1）－（x4＋x2＋1）＝x4＋2x2＋1－x4－x2－1＝x2∵x≠0 ∴x2＞0∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1例2引伸：在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么两式的大小关系如何?在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么意味着x可以全取实数，在解决问题时，应分x＝0和x≠0两种情况进行讨论，即：当x＝0时，（x2＋1）2＝x4＋x2＋1当x≠0时，（x2＋1）2＞x4＋x2＋1此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写得出结论：例1，例2是用作差比较法来比较两个实数的大小，其一般步骤是：作差——变形——判断符号这样把两个数的大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少，在此无关紧要例3．设且，比较与的大小解：当时∴>当时∴>∴总有>例4已知a>b>0，m>0，试比较与的大小解：∵a>b>0，m>0，∴a-b>0，a+m>0∴∴>从而揭示“糖水加糖甜更甜”的数学内涵例5比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)＝(a-b)[(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)]= - (a-b)2(3a3+2ab+b2)=- (a-b)2 (当且仅当d＝b时取等号)∴a4-b44a3(a-b)说明：“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法例6 已知x>y，且y≠0，比较与1的大小解：∵x>y，∴x-y>0当y<0时，<0，即<1当y>0时，>0，即>1说明：变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论四、课堂练习：1如果x＞0，比较（－1）2与（＋1）2的大小解：（－1）2－（＋1）2＝［（－1）＋（＋1）］［（－1）－（＋1）或［（x－2＋1）－（x＋2＋1）］＝－4∵x＞0 ∴＞0 ∴－4＜0∴（－1）2＜（＋1）22已知a≠0，比较（a2＋a＋1）（a2－2a＋1）与（a2＋a＋1）·（a2－a＋1）的大小解：（a2＋a＋1）（a2－a＋1）－（a2＋a＋1）（a2－a＋1）＝［（a2＋1）2－（a）2］－［（a2＋1）2－a2］＝－a2∵a≠0，∴a2＞0 ∴－a2＜0故（a2＋a＋1）（a2－a＋1）＜（a2＋a＋1）（a2－a＋1）3在以下各题的横线处适当的不等号：(1)（＋）2６＋2；（2）（－）2（－1）2；（3）；(4)当a＞b＞0时，log a log b答案：(1)＜（2）＜（3）＜（4）＜4选择题若a＜0，－1＜b＜0，则有( )A a＞ab＞ab2B ab2＞ab＞aC ab＞a＞ab2D ab＞ab2＞a 分析：利用作差比较法判断a，ab，ab2的大小即可∵a＜0，－1＜b＜0∴ab＞0，b－1＜0，1－b＞0，0＜b2＜1，1－b2＞0∴ab－a＝a（b－1）＞0ab＞aab－ab2＝ab（1－b）＞0ab＞ab2a－ab2＝a（1－b2）＜0a＜ab2故ab＞ab2＞a答案：D5比较大小：(1)（x＋５）（x＋７）与（x＋６）2；(2)log与log解：(1)（x＋５）（x＋７）－（x＋６)2＝（x2＋12x＋3５）－（x2＋12x＋3６）＝－1＜0∴（x＋５）（x＋７）＜（x＋６）2(2)解法一：(作差法)log－log＝＝＞0∴log＞log解法二：(中介法，常以“－1，0，1”作中介)∵函数y＝log x和y＝log x在（0，＋∞）上是减函数且＞∴log＞log＝1，log＜log＝1∴log＞log五、小结：本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小，其具体解题步骤可归纳为：第一步：作差并化简，其目标应是n个因式之积或完全平方式或常数的形式第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论第三步：得出结论在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小它与作差法的区别在于第二步，作商法是判断商值与1的大小关系六、课后作业：1．已知，比较与的大小解：-=……= ∴≥2．比较2sinθ与sin2θ的大小(0<θ<2π)解： 2sinθ-sin2θ=2sinθ(1-cosθ)当θ∈(0,π)时2sinθ(1-cosθ)≥0 2sinθ≥sin2θ当θ∈(π,2π)时2sinθ(1-cosθ)<0 2sinθ<sin2θ3．设且，，比较与的大小解：∴当时≤；当时≥习题6.1 1--3七、板书设计（略）八、课后记：。

高中数学高三第六章不等式数学归纳法(教案)

高三一轮复习 6.7 数学归纳法【教学目标】1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【重点难点】1。

教学重点：了解数学归纳法的原理并能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；2。

教学难点：学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力；【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】叫做数学归纳法．2．数学归纳法的框图表示1．必知关系；数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据",两个步骤缺一不可．2．必清误区；运用数学归纳法应注意以下两点：(1）第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．（2)第二步中,归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n ＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是拨从而提高学生的解题能力和兴教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。

强理解记忆，提高解题技能。

k＋1·错误!＝错误!，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证错误!≥错误!，即证错误!≥k＋1k＋2，由基本不等式得错误!＝错误!≥错误!成立，故错误!≥错误!成立，所以，当n＝k＋1时,结论成立．由①②可知，n∈N*时，不等式错误!·错误!·……·错误!〉错误!成立．跟踪训练:1。

已知数列｛a n｝，a n≥0，a1＝0，a错误!＋a n＋1－1＝a错误!。

求证：当n∈N＊时，a n<a n＋1.【证明】(1)当n＝1时，因为a2是方程a错误!＋a2－1＝0的正根，所以a1〈a2。

(2）假设当n＝k(k∈N*)时，。

高中数学人教版《不等式的性质与解法》教案2023版

高中数学人教版《不等式的性质与解法》教案2023版第一节不等式的基本性质不等式是数学中常见的一种关系式，它用来表示两个数之间的大小关系。

在解不等式时，我们需要了解不等式的基本性质，以便有效地求解。

1. 不等式的加减性质当不等式两边同时加（或减）一个相同的数时，不等式的大小关系保持不变。

例如：若a < b，则a + c < b + c（其中c是任意实数）。

2. 不等式的乘除性质当不等式两边同时乘（或除）以一个正数时，不等式的大小关系保持不变；当不等式两边同时乘（或除）以一个负数时，不等式的大小关系发生翻转。

例如：若a < b，则a * c b * c（其中c是负实数）。

3. 不等式的倒置性质若a > b，则-b > -a。

例如：若2 > 1，则-2 > -1。

第二节一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数（即只含有一个变量）的一次方程。

解一元一次不等式的关键是找出变量的取值范围，使不等式成立。

1. 解法一：移项法对于一元一次不等式ax + b > 0（或ax + b < 0），可通过一下步骤求解：（1）将不等式中的常数项移到另一边，得到ax > -b（或ax < -b）；（2）根据系数a的正负情况，将不等式转化为x > (-b/a)（或x < (-b/a)）。

2. 解法二：图像法对于一元一次不等式ax + b > 0（或ax + b < 0），可通过绘制一次函数y = ax + b的图像，找出函数图像在x轴上与y = 0的交点（即解）所对应的x的取值范围。

第三节一元二次不等式的解法一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次方程。

解一元二次不等式的关键是找出变量的取值范围，并根据二次函数的凹凸性质进行分类讨论。

1. 解法一：利用根与系数的关系对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或ax^2 + bx + c < 0），可以利用一元二次方程根与系数的关系来求解。

人教版高中数学必修《不等式》教案

必修5不等式二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题知识点：● 二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． ● 二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．● 二元一次不等式(组)的解集：满足二元一次不等式(组)的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．● 在平面直角坐标系中，已知直线0Ax By C ++=，坐标平面内的点()00,P x y ． ①若0B >，000Ax By C ++>，则点()00,P x y 在直线0Ax By C ++=的上方． ②若0B >，000Ax By C ++<，则点()00,P x y 在直线0Ax By C ++=的下方． ● 在平面直角坐标系中，已知直线0Ax By C ++=．①若0B >，则0Ax By C ++>表示直线0Ax By C ++=上方的区域；0Ax By C ++<表示直线0Ax By C ++=下方的区域．②若0B <，则0Ax By C ++>表示直线0Ax By C ++=下方的区域；0Ax By C ++<表示直线0Ax By C ++=上方的区域．● 线性约束条件：由x ，y 的不等式(或方程)组成的不等式组，是x ，y 的线性约束条件．目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式．线性目标函数：目标函数为x ，y 的一次解析式．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．可行解：满足线性约束条件的解(),x y ．可行域：所有可行解组成的集合．最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．【同步练习一】1、不等式260x y -->表示的平面区域在直线260x y --=的()A ．上方且包含坐标原点B ．上方且不含坐标原点C ．下方且包含坐标原点D ．下方且不含坐标原点2、不在326x y +<表示的平面区域内的点是()A ．()0,0B ．()1,1C ．()0,2D ．()2,03、不等式490x y +-≥表示直线490x y +-=() A ．上方的平面区域B ．下方的平面区域C ．上方的平面区域(包括直线本身)D ．下方的平面区域(包括直线本身)4、原点和点()11，在直线0x y a +-=两侧，则a 的取值范围是() A ．0a <或2a > B ．2a =或0a =C ．02a <<D ．02a ≤≤5、不等式组13y xx y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，表示的区域为D ，已知点()10,2P -，点()20,0P ，则()A ．1D P ∉，2D P ∉B ．1D P ∉，2D P ∈C ．1D P ∈，2D P ∉ D ．1D P ∈，2D P ∈6、431210x y x y y +<⎧⎪->-⎨⎪≥⎩表示的平面区域内整点的个数是()A ．2个B ．4个C ．5个D ．8个7、不等式组43035251x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，所表示的平面区域图形是()A ．四边形B ．第二象限内的三角形C ．第一象限内的三角形D ．不能确定8、已知点()3,1--和()4,6-在直线320x y a --=的两侧，则a 的取值范围是() A ．()24,7- B ．()7,24- C ．()(),724,-∞-+∞ D ．()(),247,-∞-+∞9、不等式260x y +-<表示的区域在直线260x y +-=的() A ．右上方 B ．左上方C ．右下方D ．左下方10、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是()A ．4B ．1C ．5D ．无穷大11、不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+>⎨⎪<⎩表示的平面区域是()A ．B ．C ．D ．12、不等式组()()5003x y x y x -++≥⎧⎪⎨≤≤⎪⎩表示的平面区域是一个()A ．三角形B ．直角三角形C ．梯形D ．矩形13、已知点()00,x y P 和点()1,2A 在直线:3280l x y +-=的异侧，则()A ．00320x y +>B ．00320x y +<C ．00328x y +<D ．00328x y +>14、已知x 、y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值是()A ．5B ．6-C ．10D ．10-15、某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价为60元、70元的样片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有()A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种16、设R 为平面上以()4,1A ，()1,6B --，()3,2C -为顶点的三角形区域(包括边界)，则43z x y =-的最大值与最小值分别是()A ．最大值14，最小值18-B ．最大值14-，最小值18-C ．最大值18，最小值14D ．最大值18，最小值14-17、目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是() A ．该直线的横截距B ．该直线的纵截距C ．该直线纵截距的一半的相反数D ．该直线纵截距的两倍的相反数18、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件51122239211x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1010z x y=+的最大值是() A ．80 B ．85C ．90D ．9519、在平面直角坐标系中，不等式组20202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，表示的平面区域的面积是()A． B ．4 C． D ．220、点()2,t -在直线2360x y -+=的上方，则t 的取值范围是() A ．23t > B ．23t <C ．23t >-D ．23t <-21、若01x ≤≤，02y ≤≤，且21y x -≥，则224z y x =-+的最小值是()A ．2B ．3C ．4D ．522、已知非负实数x ，y 满足2380x y +-≤且3270x y +-≤，则x y +的最大值是() A ．73 B ．83C ．2D ．323、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的取值范围是()A ．[]2,6B ．[]2,5C ．[]3,6D ．()3,524、已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，那么2枝玫瑰的价格与3枝康乃馨的价格比较的结果是() A ．2枝玫瑰价格高 B ．3枝康乃馨价格高C ．价格相同D ．不确定25、已知点()3,1和点()4,6-在直线320x y m -+=的两侧，则m 的取值范围是_____________．26、原点在直线210x y -+=的①左侧，②右侧，③上方，④下方，其中正确判断的序号是________．27、若01x ≤≤，12y -≤≤，则4z x y =+的最小值是__________________．28、若0x ≥，0y ≥，23100x y +≤，260x y +≤，则64z x y =+的最大值是________．29、已知12a ≤≤，13b -≤≤，则2a b +的取值范围是__________________．30、求2z x y =+的最大值和最小值，使式中x 、y 满足约束条件*20204,x y x y x x y -≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪∈N⎩，则z 的最大值是__________，最小值是____________．31、设x ，y 满足约束条件10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是_______________．32、设2z x y =+式中变量x ，y 满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 的最大值是_______________．33、已知x 、y 满足约束条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，分别确定x 、y 的值，使2z x y =+取得最大值和最小值．【同步练习二】1．已知x y ，满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，．则24z x y =+的最大值为()A ．5B ．38-C ．10D ．38 答案：D2．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是()A ．10220x y x y +-≥⎧⎨-+≥⎩B ．10220x y x y +-≤⎧⎨-+≤⎩C ．10220x y x y +-≥⎧⎨-+≤⎩D ．1022x y x y +-≤⎧⎨-+≥⎩0答案：A3．已知点1(00)P ，，231(11)03P P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，则在3210x y +-≥表示的平面区域内的点是() A ．1P ，2P B ．1P ，3P C ．2P ，3P D ．2P 答案：C4．若222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，，，则目标函数2z x y =+的取值范围是()A ．[26]，B ．[25]，C ．[36]，D ．[35]，答案：A5．设a 是正数，则同时满足下列条件：22ax a ≤≤；22a y a ≤≤；x y a +≥；x a y +≥；y a x +≥的不等式组表示的平面区域是一个凸边形．答案：六6．原点(00)O ，与点集{()|2102250}A x y x y y x x y =+-≥≤++-≤，，，所表示的平面区域的位置关系是，点(11)M ，与集合A 的位置关系是．答案：O 在区域外，M 在区域内7．点(3)P a ，到直线4310x y -+=的距离等于4，且在不等式23x y +<表示的平面区域内，则P 点坐标是．答案：(33)-，8．给出下面的线性规划问题：求35z x y =+的最大值和最小值，使x ，y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，，．要使题目中目标函数只有最小值而无最大值，请你改造约束条件中一个不等式，那么新的约束条件是．答案：30153x y y x x y --≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，，．9．某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少180t 支援物资的任务．该公司有8辆载重6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次；每辆卡车每天往返的成本费A 型为320元，B 型为504元．请为公司安排一下，应如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低? 若只安排A 型或B 型卡车，所花的成本费分别是多少?解：设需A 型、B 型卡车分别为x 辆和y 辆．列表分析数据．A 型车B 型车限量车辆数 xy10 运物吨数 24x 30y 180费用320x504yz由表可知x ，y 满足的线性条件：1024301800804x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，且320504z x y =+．作出线性区域，如图所示，可知当直线320504z x y =+过(7.50)A ，时，z 最小，但(7.50)A ，不是整点，继续向上平移直线320504z x y =+可知，(52)，是最优解．这时min 320550422608z =⨯+⨯= (元)，即用5辆A 型车，2辆B 型车，成本费最低．若只用A 型车，成本费为83202560⨯=(元)，只用B 型车，成本费为180504302430⨯=(元)．10．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见表．轮船运输量∕t飞机运输量∕t粮食 300 150 石油250100现在要在一天内运输至少2000t 粮食和1500t 石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机?解：设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则3001502000250100150000x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩ ，，，．即6340523000x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，，，．目标函数为z x y =+．作出可行域，如图所示．作出在一组平行直线x y t +=(t 为参数)中经过可行域内某点且和原点距离最小的直线，此直线经过直线63400x y +-=和0y =的交点2003A ⎛⎫⎪⎝⎭，，直线方程为：203x y +=．由于203不是整数，而最优解()x y ，中x y ，必须都是整数，所以，可行域内点2003⎛⎫⎪⎝⎭，不是最优解．经过可行域内的整点(横、纵坐标都是整数的点)且与原点距离最近的直线经过的整点是(70)，，即为最优解．则至少要安排7艘轮船和0架飞机．11．用图表示不等式(3)(21)0x y x y +--+<表示的平面区域．解：12．求22z x y =+的最大值和最小值，使式中的x ，y 满足约束条件27043120230x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩．方式效果种类解：已知不等式组为27043120230x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩．，在同一直角坐标系中，作直线270x y -+=，43120x y --=和230x y +-=，再根据不等式组确定可行域△ABC (如图)．由27043120x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得点(56)A ，．所以22222max ()||5661x y OA +==+=；因为原点O 到直线BC 的距离为|003|355+-=，所以22min 9()5x y +=．13．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，并希望桌椅的总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍．问：桌、椅各买多少才合适?解：设桌椅分别买x ，y 张，由题意得502020001.500x y y x x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩，，，，．由50202000x y x y =⎧⎨+=⎩，，解得20072007x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．∴点A 的坐标为20020077⎛⎫ ⎪⎝⎭，．由 1.550202000y x x y =⎧⎨+=⎩，，解得25752x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，．∴点B 的坐标为75252⎛⎫ ⎪⎝⎭，以上不等式所表示的区域如图所示，即以20020077A ⎛⎫⎪⎝⎭，，75252B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(00)O ，为顶点的△AOB 及其内部．对△AOB 内的点()P x y ，，设x y a +=，即y x a =-+为斜率为1-，y 轴上截距为a 的平行直线系．只有点P 与B 重合，即取25x =，752y =时，a 取最大值． y ∈Z ∵，37y =∴．∴买桌子25张，椅子37张时，是最优选择．14．画出不等式组200112x x y y x ⎧⎪-≤⎪-≥⎨⎪⎪≥-⎩表示的平面区域，并求出此不等式组的整数解．解：不等式组表示的区域如图所示，其整数解为22x y =-⎧⎨=-⎩，；0001x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩，，；；1122210210x x x x x y y y y y =====⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨=====⎩⎩⎩⎩⎩，，，，，；；；；．15．已知点(31)，和(46)-，在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是() A ．7a <-或24a >B ．7a =或24a =C ．724a -<<D ．247a -<<答案：C16．给出平面区域如图所示，若使目标函数z ax y =+(0)a >取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为()A ．14B ．35C ．4D ．53 答案：B17．能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是()A ．01220y x y ≤≤⎧⎨-+≤⎩B ．1220y x y ≤⎧⎨-+≥⎩ C ．012200y x y x ≤≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩D ．10220y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩答案：C18．已知目标函数2z x y =+中变量x y ，满足条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+<⎨⎪≥⎩，，．则()A ．max min 123z z ==，B ．max 12z =，无最小值C ．min 3z =，无最大值D ．z 无最大值，也无最小值答案：C19．下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是()A ．10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-<⎪⎨--≥⎪⎪-+≤⎩B ．10236010220x y x y x y x y +-<⎧⎪+-≥⎪⎨--≥⎪⎪-+<⎩ C ．10236010220x y x y x y x y +->⎧⎪+-≤⎪⎨--≤⎪⎪-+>⎩D ．10236010220x y x y x y x y +-≥⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪-+≥⎩ 答案：C20．已知x ，y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，，．则24z x y =+的最小值为()A ．5B ．6-C ．10D ．10-答案：B21．满足||||2x y +≤的整点(横、纵坐标为整数)的个数是()A ．11B ．12C ．13D ．14答案：C22．不等式260x y -+>表示的平面区域在直线260x y -+=的()A ．右上方B ．右下方C ．左上方D ．左下方答案：B 23．不等式组(5)()003x y x y x -++≥⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域是一个() A ．三角形B ．直角梯形C ．梯形D ．矩形答案：C24．不在326x y +<表示的平面区域内的点是() A ．(00)，B ．(11)，C ．(02)，D ．(20)，答案：D25．ABC △中，三个顶点的坐标分别为(24)A ，，(12)B -，，(10)C ，，点()P x y ，在ABC △内部及边界运动，则z x y =-的最大值及最小值分别是和．答案：1，3-26．已知集合{()|||||1}A x y x y =+≤，，{()|()()0}B x y y x y x =-+≤，，M AB =，则M 的面积是．答案：127．某企业生产A 、B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力(个) 煤(吨) 电(千瓦) A 产品3 94 B 产品 10 45 已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A 、B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润? 解：设生产A 、B 两种产品各为x 、y 吨，利润为z 万元，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0,02005436049300103y x y x y x y x z ＝7x ＋12y作出可行域，如图阴影所示．当直线7x ＋12y ＝0向右上方平行移动时，经过M （20，24）时z 取最大值．∴该企业生产A 、B 两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．。

高中高一数学上册《不等式》教案、教学设计

（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：
-基础题：求解一元一次不等式；
-提高题：求解一元二次不等式；
-拓展题：求解不等式组及实际问题。
3.教师巡回指导：在学生做题过程中，教师进行巡回指导，解答学生疑问，及时发现问题并进行纠正。
（五）总结归纳
1.学生总结：让学生回顾本节课所学内容，用自己的话总结不等式的概念、性质、解法及实际应用。
（二）讲授新知
1.不等式的概念：介绍不等式的定义，强调不等式与等式的区别，让学生理解不等式的意义。
2.不等式的性质：详细讲解不等式的性质，如同向可加性、反向可减性等，并通过实例进行说明。
3.不等式的解法：以一元一次不等式为例，讲解求解不等式的基本步骤，引导学生掌握解题方法。
4.不等式在实际问题中的应用：结合购物优惠券问题，讲解如何将实际问题转化为不等式模型，并求解。
8.适时进行课堂小结，巩固所学知识，查漏补缺。
-通过提问、讨论等方式，帮助学生梳理知识体系，形成系统化认识。
9.注重课后辅导，针对学生的个体差异，给予有针对性的指导和帮助。
-定期检查作业，了解学生学习情况，及时解答学生疑问，提高学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例引入：以同学们熟悉的购物优惠券问题作为切入点，提出问题：“同学们在购物时，如何利用优惠券使得自己的购物更加划算？”通过这个实例，引导学生思考如何用数学方法解决实际问题。
2.一元一次不等式、一元二次不等式及不等式组的解法。
3.不等式在实际问题中的应用。
4.不等式的证明方法及逻辑推理能力的培养。
（二）教学难点
1.学生对不等式性质的灵活运用。

高中数学教案不等式

高中数学教案不等式教学目标：
1. 掌握不等式的概念和性质；
2. 能够熟练解不等式；
3. 能够应用不等式解决实际问题。

教学重点和难点：
1. 不等式的定义和性质；
2. 解不等式，注意不等式两端的运算符号的改变。

教学准备：
1. 课件、教材、黑板、粉笔；
2. 题目练习册、答案。

教学过程：
一、复习导入（5分钟）
1. 复习前几节课所学习的代数式和方程的知识；
2. 引导学生回顾不等式的概念。

二、新知传授（10分钟）
1. 讲解不等式的定义和性质；
2. 讲解解不等式的基本方法和技巧。

三、示范演练（15分钟）
1. 做几道简单的例题让学生跟着老师一起做；
2. 提醒学生注意符号的变化、运算的规则。

四、学生练习（15分钟）
1. 学生自行完成教师给出的练习题；
2. 教师巡视指导学生，帮助解决问题。

五、讲解拓展（10分钟）
1. 讲解一些不等式的应用题，并辅以实例说明；
2. 激发学生的思考，引导学生灵活运用不等式解决问题。

六、小结提问（5分钟）
1. 教师对本节课所学内容进行小结，并强调重点；
2. 鼓励学生积极参与，提问解疑。

七、作业布置（5分钟）
1. 布置课后作业，加深学生对不等式知识的理解；
2. 鼓励学生勤加练习，巩固所学知识。

教学反思：
本节课教学设计主要是通过简单明了的不等式范本教案，引导学生掌握不等式的基本概念和解法，培养学生解决实际问题的能力。

要重视培养学生的逻辑思维能力和学习兴趣，激发他们对数学学习的热情。

高中数学第六章不等式教案

高中数学第六章不等式教案教学目标：学习并掌握不等式的基本概念，学会解决一元一次不等式和一元二次不等式；通过练习和应用，提高学生解题的能力和思维逻辑。

教学内容：1. 不等式的基本概念2. 一元一次不等式的解法3. 一元二次不等式的解法4. 不等式的综合运用教学重点和难点：一元一次不等式和一元二次不等式的解法，以及不等式的综合运用。

教学方法：讲授相结合，引导学生主动思考和解题练习。

教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾上节课所学的不等式相关知识，激发学生对不等式的兴趣和好奇心。

二、讲解不等式的基本概念（10分钟）1. 引导学生理解不等式的定义和符号表示。

2. 介绍不等式的性质和基本性质。

三、讲解一元一次不等式的解法（15分钟）1. 讲解一元一次不等式的基本求解方法。

2. 通过例题解析，让学生掌握解题技巧和步骤。

四、讲解一元二次不等式的解法（15分钟）1. 引导学生理解一元二次不等式的定义和性质。

2. 通过例题讲解，让学生掌握一元二次不等式的解法方法。

五、综合训练（15分钟）1. 给学生提供一些练习题，让他们通过练习加深对不等式的理解。

2. 引导学生探讨不等式在生活和实际问题中的应用。

六、作业布置（5分钟）布置相应的作业，加强学生对不等式知识的巩固和提高。

七、课堂小结（5分钟）教师对今天的教学内容进行总结，并鼓励学生多多练习，提高解题的能力和思维逻辑。

教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握不等式的基本概念和解法方法，培养其解题思维和逻辑推理能力，进一步提高数学学习的兴趣和能力。