达朗贝尔原理(动静法)

§13-1刚体定轴转动时轴承的动反力
第十三章 达朗贝尔原理
§13-1惯性力的概念
Inertial Force
第十三章 达朗贝尔原理
§13-1 惯性力的概念
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表
示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学问题 —— 动 静法(达朗贝尔原理)。
动静法为解决非自由质点系的动力学问题提供了有别于
M IO
FIR maC
—— 加在轴与对称平面的交点O 上；
FIR

M IO J z —— 质量对称平面内。
几种特殊情形：
（1） 转轴通过刚体的质心，则 aC 0
惯性力系合成为一合力偶：
FIR 0
M IO M IC J C
M IO J z J zC
y
a W O
平衡位置
y
O FN m a
平衡位置
FI
W
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 应用动静法 y FN m
y
FI＝mA 2sin t
2
FI
FN－W＋mA sin t＝0
颗粒脱离台面的条件 FN＝0， sin t＝1时， 最小。
FT2
cos m1 m2 m1l
2
FT3
B
F′T1
FI
C
g
FT1
m1 g
m2 g
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
例 题2
y
振动筛
y
O
平衡位置
y＝A sin t 求：颗粒脱离台面的 最小振动频率
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 y y FI FN m
§13-2
质点的动静法
非自由质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx FNx FIx Fx 0
i
Fy FNy FIy Fy 0
i
Fz FNz FIz Fz 0
i
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
O1
l l A l C
x1
例 题 1
moves to the right with an uniform acceleration, the single pendulum will turn to the left by an angle , and does not move
relative to the carriage. Determine the acceleration of the carriage a.
Solution Investigate the single pendulum, add the virtual inertial forces.
Q ma
According to the dynamic-static method
we have
X 0,
mg sin Q cos 0.
C
第十三章 达朗贝尔原理
§13-3 质点系的动静法
第十三章 达朗贝尔原理
§13-3 质点系的动静法
F1 m1 a1 FN2 FI2 m2 FIi
质点系的主动力系
FI1
FN1 FNi mi Fi ai
F1 , F2 , , Fi , , Fn
质点系的约束力系 质点系的惯性力系
FN1 , FN 2 , , FNi , , FNn FI1 , FI 2 , , FIi , , FIn
O x
y
s
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
根据牛顿定律
z
m a ＝ F + FN
F
FI
m
a FN
FR
F + FN － m a ＝0
FI ＝－ m a
—— 质点的惯性力
O x
y
F + FN ＋ FI ＝0
质点的动静法: 作用在质点上的主动力和约束力与假想施加 在质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。

FIi

n
FIR F
主矩：
n IR
FIi

n
FIi
M IO M O ( FIi ) M O (FIi ) M O (FIi ) FIi ri (mi ri ) ri

0
( mi ri ) J z
2
M IO
（13-7）
y1
2、分析运动：施加惯性力。 FI＝m1l 2sin 重锤静止，无惯性力。
3、应用动静法： 对于球 B
Fx1 0 Fy1 0 m1l sin ( FT1 FT2 )sin 0
2
m1 g ( FT1 FT2 )cos 0
对于重锤 C
Fx1 0 Fy1 0 FT1 FT3 0 FT1 cos FT3 cos＝m2 g
工程力学多媒体课件
第三篇 动力学
第十三章
达朗贝尔原理
D’Alembert’s principle
Inertial-force method Dynamic-static method
第十三章 达朗贝尔原理
§13-1惯性力的概念 §13-2质点的动静法 §13-3质点系的动静法 §13-4刚体惯性力系的简化
Ai
a i ain
Bi
FIi
n
FIi FIi FIi


n
FIi mi ai n FIi mi ain
n 2

FIi FIi
FIi mi ri FIi mi ri
类似地，将其它直线 的惯性力系也都简化质量对称 平面合惯性力。—— 变成一平面的惯性力系。 （2） 将平面的惯性力系 ——向轴与对称平面的交点O 简化： 主矢： FIR
FI
W
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
[Example 3] A train is running along a horizontal railway, and a
single pendulum is hanging in the carriage. When the carriage
a g tg .
Solving it we get
The angle changes with the acceleration a, when a does not change, the angle does not change, too. If we know the angle the acceleration a of the train can be calculated . This is the theory of a pendulum accelerometer.
3. 刚体作平面运动 限于研究具有质量对称平面，且在平行于该平面运动的情形。 与前面定轴转动类似，第一步：将惯性力系 向对称平面简化；第二步：向质心 C 简化。
aM i aC aiC aiC
n

a iC
mi aC

Mi
mi a
n iC
Mi
a iC

Mi
n
mi aiC
n
ri a n aC mi aC iC mi aiC FIR
M IO J z
结论2：
FIR

刚体定轴转动时，其惯性力系过转动中心 O 的 一个力 Fii 和质量对称平面内的一力偶 MIO 。
FIR maC M IO J z
—— 加在轴与对称平面的交点O 上； —— 质量对称平面内。
结论2： 刚体定轴转动时，其惯性力系简化为过转动中心 O 的一个力 FIR 和质量对称平面内的一力偶 MIO 。
离心调速器
已知： m1－球A、B 的质量； m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度； － O1 y1轴的旋转角速度。 求：

l
B
－ 的关系。
y1
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
O1
l l A l C
x1

l
B
解： 1、分析受力：以球 B(或A)和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和 约束力 FT3 F´T1 FT2 B FT1 FI C m1 g m2 g
F2
a2
对质点系应用达朗贝尔原 理，由动静法得到
F M
i i O i
i
FNi FIi＝0
i i i
( Fi ) M O ( FNi ) M O ( FIi ) 0 ＝
FR＝0,
M O (F ) 0
例4： 杆AB 长 2l ，两端各有一重 P 的重物，此杆连同重物 以匀角速度ω 绕通过杆轴线的铅垂轴 Oz 转动。O点到
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
动静法
应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法 F + FN ＋ FI ＝0 FI ＝－ m a
1、分析质点所受的主动力和约束力；
2、分析质点的运动，确定加速度；
3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力；
4、列写形式上的平衡方程，求解未知量。
第十三章 达朗贝尔原理
动力学普遍定理的另外一类方法。
动静法一方面广泛应用于刚体动力学 求解动约束力；另
一方面又普遍应用于弹性杆件求解动应力。
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
z
非自由质点 A
F
m A a FN FR
m —— 质量；
F —— 主动力； FN —— 约束力； S —— 运动轨迹。
a A aB l sin
n n
FIA
2
2
惯性力与其它所有力一起，形式上构成一平衡力系 列写动静法方程，求解
aA
x
FDy
n
y
FDz
Fiz 0, FDZ P P 0 M x (F i) 0,
iy
FDZ 2P
0 FDy
FDx
FCy 2b FIA 2l sin Pl cos Pl cos 0
i i
C
二、几种刚体运动中惯性力系的简化
1. 刚体作平行移动 将惯性力系向质心 C 简化
FI2
i i
m2 FI1
m1
主矩： M IC
r ( m a )
i
mrC a 0
FIR
a2 C m aC mn an FIn
a1
0 主矢： F ma IR C
aபைடு நூலகம்
结论1： 刚体平动时，其惯性力系合成为质心 C 点的一合力，此力的大小等 于刚体的质量与加速度的乘积，方向与加速度的方向相反。
F

Ii
maC
n
FIR maC F ma
n IR n C


aC
FIi

FIi
n
F Ii F Ii

FIi
FIR FIR
n
主矢： FIR
F

Ii
maC
n
FIR maC FIR maC
n n


ri
F Ii F Ii
—— 加在对称平面内
（2） 刚体作匀速转动，则
n FIR maC maC
0
M IO 0 FIR me
2
惯性力系合成为一合力：
( FIR me )
2
（3） 刚体作匀速转动，且转轴通过刚体的质心，则
FIR 0
M IO
—— 惯性力系自成平衡 0 称这种平衡为动平衡。
2. 刚体作定轴转动
仅限于具有垂直于转轴 z 的质量对称平面的情形。 （1） 将空间的惯性力系 —— 简化为一平面的惯性力系：
取直线 AiBi // z 轴，与质量对称平面的交点 Mi， 直线 AiBi 作平动，惯性力系简化为其质心 Mi 的一 合力FIi， 设直线 AiBi 的质量为 mi ，则
Dy IA IB
FCy
F 0, F F F F M (F ) 0, F 2b 0 F F 0, F F 0 F
Cy
y i
CX
Cx
ix
CX
Dx
Dx
§13 –4
一、惯性力系的主矢
主矢： FIR
刚体惯性力系的简化
—— 适用于刚体作任何运动。
(m a ) ma
轴承C、D 的距离均为 b 。杆 AB 与铅垂轴 Oz 所成的 角度保持为常数α。不计杆的重量与重物的大小，求当 杆在平面 Oyz 内时，轴承 C 与 D 处的反力。
FCy
FCx
aB
P
n
FIB
解： 整体 —— 研究对象；
受力分析； 分析运动，加惯性力；
P
FIA FIB P g l sin
平衡位置
a W O
＝
g A
第十三章 达朗贝尔原理
§13-2
质点的动静法
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。 y 应用动静法
FN W ma sin t＝0
2
y
O FN m a
平衡位置
FN＝W＋ma sin t 0
2
颗粒在平衡位置以下时不会 脱离台面。