相似矩阵和矩阵

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相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件

【注】逆不真,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似.
反例1 A 1 0 0 1
B 1 1 0 1
（3）相似矩阵有相同的秩
【注】逆不真,即秩相同的矩阵不一定相似.——反例1
推论：相似矩阵同为可逆或不可逆，若可逆，逆矩阵也相似.
（4）如果 A～B，则 Ak ~ Bk（k 为非负整数）
【注】逆命题不成立.
1
1 0 2
例2 判断 A 1 2 1 是否可以相似对角化.
1
3
0
解：解出A的特征值为 1 1 ，2 1(二重)
属于特征值-1的特征向量为
3
1 1
0
属于特征值 1 的特征向量为
1
2 0
1
因为仅有2个线性无关的特征向量
所以，A不能相似于对角阵.
定理2 矩阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关.
P(a0 Bn a1 Bn1 an1 B an E) P1
P(B) P1.
若A～B , 则 ( A) ~ (B)
特别地,若可逆矩阵P使 P1 AP 为对角矩阵,
Ak P k P1, ( A) P() P1. 对于对角矩阵,有
k
1
( )
1
k
k 2
,
()
( ) 2
,
定理3 设是矩阵 A 的 k 重特征值，则A 的属于的
线性无关的特征向量最多 k 个.
即设 A 的不同的特征值：
1，2，… m
重数分别为：
k1，k2，… km
线性无关特征向量的个数： s1，s2，… sm
则有 si ki ， i=1,2,…,m，及
s1＋ s2＋ … ＋ sm k1＋ k2＋ … ＋ km n

第六章相似矩阵

这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵பைடு நூலகம்运算．
6.2.1、相似矩阵的性质
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵 P,使 P1 AP B,
则称B是A的相似矩阵 , 或说矩阵 A与B相似.对A进行运算 P1 AP称为对A进行相似变换 ,可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 .
注 P1AP表示对n阶方阵A作一系列的初等行变换与初等列变换，只是对初等变换的要求更高，即A右乘与左乘的矩阵是互逆的。因此，相似变换是一种特殊的初等变换，矩阵之间相似是矩阵之间等价的特殊情形.
从而也有 tr ( A) tr (B) 性质二、见教材 P133 定理 5
性质3的一个推论：
若n 阶方阵A与对角阵
1
2
n
相似,则1,2,,n即是A的n个特征值.
１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，相似矩阵的性质
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A 变成 P 1 A P，而可逆矩阵 P称为进行这一变换的相似变换矩阵．
矩阵之间的相似关系具有如下等价关系
(1)反身性 A与A本身相似. (2)对称性若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性若A与B相似, B与C相似,
则A与C相似.
性质一：若 n阶方阵 A与 B相似，则有 1、 | A || B | 2、 R( A) R(B) 3、 A与 B有相同的特征多项式和特征值 ;

相似矩阵的例子

相似矩阵的例子
1. 嘿，你看那两个矩阵，就像一对双胞胎一样，比如说一个 2x2 的矩阵[1 2; 3 4]和另一个[1 2; 3 4]，这多明显是相似矩阵呀！这就好像是两个长得一模一样的人站在你面前，你能不觉得神奇吗？
2. 哇哦，再想想，像[2 4; 6 8]和[1 2; 3 4]这样的矩阵也是相似矩阵呢！可以类比成两个人穿着不同的衣服，但本质上还是很相似的呀，这是不是很有意思？
3. 嘿呀，还有那种有旋转变化的矩阵，就如同一个人在跳舞转身，比如[0 1; -1 0]经过某种变换后与另外一个矩阵相似，这难道不是很奇妙吗？
4. 你瞧，矩阵[3 0; 0 3]和矩阵[1 0; 0 1]也是相似矩阵哦，就好像两个不同性格的人其实有着相似的内心，这多特别呀！
5. 哎呀呀，再看看[0 1; 1 0]和[1 0; 0 1]这两个矩阵呀，是不是很像两片对称的树叶呀，可它们也是相似矩阵呢！
6. 还有啊，[2 0 0; 0 3 0; 0 0 4]和经过一些变换后的另一个矩阵也是相似矩阵呢，这就如同在一个大舞台上，虽然表现形式不同，但内在是相似的呀！
总之，相似矩阵有着各种各样神奇有趣的例子，就像生活中充满了各种奇妙的相似之处一样，真的是太让人大开眼界啦！。

矩阵相似矩阵

矩阵矩阵的运算例：设,A B 为n 阶方阵，且22, A A BB==，2()A B A B+=+，证A BO=注意：不可222()2A B A A B BA B A B O+=++=+⇒=证：222()A B A A B B A B A A B B A B A B+=+++=+++=+，A B B A O∴+= ①，用A 左、右乘上式得：22, A B A B A A B A B A O A B A B A A B A B A O+=+=+=+=两式相减得A B B A O -= ②，由①②式可得：A B O =例：设J 为所有元为1的n 阶方阵，X 为n 阶方阵，证：矩阵方程XX J JX=+仅有零解。

当1n =时，由x x x =+，得0x =。

当1n>时，用J左、右乘原方程，（注意2J nJ=）得：222 JX J JX J J X J nJX J JX J O=+=⇒= 用J 左乘原方程，得2JX JX J J X nJX JX O =+=⇒= 用J 右乘原方程，得2X J X JJX J nX J X J O=+=⇒=将X JJX O==代入原方程，得X O=。

例：设,A B 为n 阶正交方阵，且1A B=-，证：0A B +=因为,A B 为n 阶正交方阵()''''''A B A A A B A E B A B B B A +=+=+=+()'BB A B B A=+=+又 ()'A B A A B A +=+，A A B B B A B A B A A B∴+=+=+=-+，所以，A B +=例：设A 为3阶正交阵，0A <，B 为3阶方阵，且4B A -=，求'E A B -'''''E A B A A A B A A B A B -=-=-=--()()()3114B A B A =---=---=例：设()ij n nAa ⨯=是行列式为1-的正交矩阵，()*ij A b =为A 的伴随矩阵，求, 1,ijij a b i j n+≤≤因为1**1A A AA-==-，又1'A A-=，所以()'**'A A A A =-⇒=-即得()'*A A O+=， 0ij ij a b ⇒+=例：05104 设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B,**,BA 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B . (C) 交换*A 的第1列与第2列得*B-.(D) 交换*A 的第1行与第2行得*B-.[ C ]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得BA E =12，于是12*11212*12***12*)(E A E E A EA A EB -=⋅===-，即*12*BE A -=,可见应选(C).例： 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 1 1A --⎛⎫⎪--⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，求6A242624, 1664, 2561024A A A A A A A A=-==-==-例：设121P ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，()2,1,2Q =-，AP Q=，求100A 。

5.2 相似矩阵与矩阵的相似对角化

第二节矩阵相似与矩阵的相似对角化
主要内容
矩阵相似的概念矩阵相似的性质矩阵的相似对角化
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
一、矩阵相似的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, P 为 n 阶可逆
矩阵, 且 P-1AP = B , 则称矩阵 A 与矩阵 B相似. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
5 0 6 1
2 1 2
所以A的全部特征值为1 2 1, 3 2.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
将1 2 1代入 A E x 0得方程组
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0 3 x 6 x 0 1 2
2 4
2
4 2
0
2 7
得 1 2 2, 3 7.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
将 1 2 2代入 A 1 E x 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
所以1 , 2 , 3线性无关.
即A有 3个线性无关的特征向量 ,因而A可对角化.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化
2 1 2 ( 2) A 5 3 3 1 0 2 2 1 A E 5 1 3 0
2
3 3 1 2
A 不一定有 n 个线性无关的特征向量, 所以 A 不
一定能对角化.
黄凤英 5.2矩阵相似与矩阵的相似对角化

矩阵相似的性质：矩阵相似例题

1 矩阵的相似1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形2 相似的条件3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】）矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质（1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE.（2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。

（3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。

已知有X,Y使B?X?1AX，C?Y?1BY。

令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。

3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩?1（B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A）（2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B)证明设f(x)?anx?an?1xnnn?1a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1Bn?1kk由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得Bk?X?1AkX，?1?1anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X?a1A?a0E?X?anX?1AnX?an?1X?1An?1X? ?anBn?an?1Bn?1? ?f(B) 所以f(A)相似于f(B)。

?a1X?1AX?a0Ea1B?a0E（3）相似矩阵有相同的行列式，即A?B,trA?trB；证明设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC，两边取行列式?1?1AC?AC?1C?A，从而相似矩阵有相同的行列式。

相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件

A 有n 个线性无关的特征向量.
【注】 ①若矩阵 A 相似于对角阵，则称 A可相似对角化.
②证明过程给出找与 A 相似的对角阵的方法：即用 A 的n个线性无关的特征向量 1,2 ,,n
构成可逆矩阵U，U (1 2 n ) ，则
1
U 1 AU
2
n
其中i 是属于特征值i 的特征向量.
【注】矩阵U的列向量和对角阵中特征值的位置要
～A
【注】单位矩阵 E 只与自己相似
因为对任意可逆矩阵 U，U 1 EU E
数量矩阵 aE 只与自己相似 U 1aEU aE
2. 相似矩阵的性质（1）基本性质
反身性，即A～A，对称性，即A～B，则B～A 传递性，如果A～B，B～C，则A～C
（2）相似矩阵有相同的特征多项式
相同的特征值(包括重数),迹,行列式.
【注】逆不真,即有相同特征多项式的矩阵不一定相似.
反例1 A 1 0 0 1
B 1 1 0 1
（3）相似矩阵有相同的秩
【注】逆不真,即秩相同的矩阵不一定相似.——反例1
推论：相似矩阵同为可逆或不可逆，若可逆，逆矩阵也相似.
（4）如果 A～B，则 Ak ~ Bk（k 为非负整数）
【注】逆命题不成立.
相互对应.
例1
判断
1 A 2
2 1
2 2
是否可以相似对角化.
2
2
1
A的属于特征值5的特征向量为
1
1 1
1
A的属于特征值
-1（二重）2
1
的特征向量为
0
1
3
1,2 ,3 线性无关，A可以相似对角化
1
0
1
令U

矩阵的相似和相合2.

2014-10-23 zeng, Shanghai University, linear algebra
一、对称矩阵的性质
说明：本节所提到的对称矩阵，本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指实对称矩阵．定理1 定理1 对称实矩阵的特征值为实数. 对称实矩阵的特征值为实数. 证明设复数 λ为对称矩阵 A的特征值 , 复向量 x为
1 0 ξ 2 = 0 , ξ 3 = 1 . ξ 2与ξ 3 恰好正交 , 0 1
所以 ξ1 , ξ 2 , ξ 3两两正交 .
ξi 再将 ξ1 , ξ 2 , ξ3单位化, 令ηi = ( i = 1,2,3) 得 ξi
0 1 0 η1 = 1 2 , η2 = 0 , η3 = 1 2 . − 1 2 0 1 2
λ −3
−1
，所以特征值为5，2，2
1 (1,1,1)T 3
1 1 (−1,1, 0)T , β3 = (−1, 0,1)T 2 2
λ −3
当 λ =5
时，有特征向量
α1 =
α2 =
当
λ=2
时，有特征向量
α2 =
正交单位化得
1 1 (−1,1, 0)T , α 3 = (1,1, −2)T 2 6
所以
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
根据上述结论，根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，为对角矩阵，其具体步骤为其具体步骤为： 1. 求A的特征值; 2.
由( λi I − A ) x = 0, 求出A的特征向量;
3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化.
2014-10-23 zeng, Shanghai University, linear algebra

相似矩阵与矩阵的对角化

相似矩阵与矩阵的对角化
用A左乘式（6-11），得 x1Ap1+x2Ap2+…+xk－1Apk－1+xkApk=0 x1λ1p1+x2λ2p2+…+xk－1λk－1pk－1+xkλkpk=0（6-12）式（6-12）减去式（6-11）的λk倍，得 x1(λ1－λk)p1+x2(λ2－λk)p2+…+xk－1(λk－1－λk)pk－1=0 按归纳法假设p1,p2,…,pk－1线性无关，故xi(λi－ λk)=0(i=1,2,…,k－1).而λi－λk≠0(i=1,2,…,k－1)，于是得 xi=0(i=1,2,…,k－1)，代入式（6-11）得xkpk=0，而pk≠0，得 xk=0.因此，向量组p1,p2,…,pm线性无关. 因此有以下定理：
相似矩阵与矩阵的对角化
解若用3维向量xi表示第i年后从事这三种职业的人员总数（单位：万人），则已知
相似矩阵与矩阵的对角化
相似矩阵与矩阵的对角化
一、相似矩阵的概念
定义6-5
对n阶方阵A，B，若存在一个n阶可逆矩阵P，使 P－1AP=B
成立，则称矩阵A与B相似或矩阵A相似于B，记作A~B. 矩阵的相似是一种等价关系c，满足以下三个性质：（1）反身性：A与自身相似. （2）对称性：若A与B相似，则B与A相似. （3）传递性：若A与B相似，B与C相似，则A与C相似.
在实际问题中，有时会将问题归结为计算一个矩阵A的高次幂Ak，一般用矩阵乘积的行乘列法则来计算矩阵幂是很麻烦的，特别在幂次很大时尤甚.我们知道，从对角阵的特点可知有如下简单的结论：
相似矩阵与矩阵的对角化
自然想到，当A可对角化时，能否找到一个计算矩阵的高次幂Ak的简单方法呢？回答是肯定的.事实上，若 A可对角化，则可建立起分解式A=PΛP－1，有

相似矩阵和合同矩阵

相似矩阵和合同矩阵是线性代数中的两个概念。

下面对它们进行简要解释：
1. 相似矩阵（Similar Matrix）：设A和B都是n×n的方阵。

如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP = B，那么我们称矩阵B是矩阵A的相似矩阵。

换句话说，相似矩阵是指具有相同特征值（即特征多项式相同）的矩阵。

相似矩阵的重要性在于它们具有相似的性质，如行列式、秩、迹等。

通过相似变换，我们可以简化矩阵的计算和分析。

2. 合同矩阵（Congruent Matrix）：设A和B都是n×n 的方阵。

如果存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP = B，那么我们称矩阵B是矩阵A的合同矩阵。

也可以写作A ≡B。

不同于相似矩阵，合同矩阵之间的关系是通过转置操作得到的。

合同矩阵具有一些共同的性质，例如它们具有相同的矩阵秩和正定性。

需要注意的是，相似矩阵是在线性代数中用来研究线性变换和特征值等概念的重要工具，而合同矩阵则主要涉及到二次型等相关概念。

矩阵的分类

合同矩阵(等价矩阵、相似矩阵、置换矩阵、若尔当标准型)(2012-04-05 13:58:14)标签：分类：工作篇校园合同矩阵在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。

两个矩阵和是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵，使得对于二次型的矩阵表示来说，做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。

性质合同关系是一个等价关系，也就是说满足：反身性：对称性：合同于，则可以推出合同于。

传递性：合同于，合同于，则可以推出合同于。

由于每个二次型都可以经过线性替换变成若干个平方和的形式，对于矩阵来说，就是每个对称矩阵都合同于一个对角矩阵，后者称为一个标准形。

根据谱定理，替换的过渡矩阵可以是一个正交矩阵。

如果不考虑替换矩阵的正交性，那么在复数域中，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。

对角线上的1的个数等于原来的矩阵的秩。

因此每个可逆的对称矩阵都合同于单位矩阵。

在实数域中，根据惯性定理，每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和正负1构成的对角矩阵。

如果设1的个数是p，-1的个数是q,那么给定(p,q)后，就确定了一个关于合同关系的等价类。

数对(p,q)称为一个对称矩阵(或相应二次型)的惯性指数其中1的个数p 称为正惯性指数，J 的个数q称为负惯性指数，p-q叫做符号差。

据此可以得出：合同关系将所有的对称矩阵分为个等价类。

正定二次型主条目：正定二次型一个二次型被称为半正定的，如果它对应的对称矩阵在实数域内合同到一个一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。

如果一个二次型的矩阵在实数域内合同于单位矩阵，那么称其为正定二次型。

一个二次型是半正定二次型当且仅当它的正惯性指数等于它对应的矩阵的秩；是正定二次型当且仅当它的正惯性指数是no正定二次型必然是可逆矩阵，而且它的行列式大于0。

同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。

参看相似矩阵参考资料北京人学数学系几何与代数教研室前代数小组，《高等代数》，高等教育出版社，2003年。

线性代数课件-5.3相似矩阵

1 2 2 (1) A 2 2 4
2 4 2
2 1 2
(
2)
A
5
3
3
1 0 2
解
1l
(1) 由 A lE 2
2
2
2l
4
2 4
2l
(l 22(l 7 0
得 l1 l2 2, l3 7.
将 l1 l2 2 代入( A lE x 0,得方程组
2xx1124xx2224xx33
定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同．
推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的多项式 j (B) 相似．
若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, …, ln ) 相似，则
P
(1,2,3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1
0
.
0 0 2
注意
若令
则有
1 2 0
P
(3,1,2
1
1
1
0
,
0 1
2 0 0
P 1 AP
0
1
0
.
0 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．
小结
１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0
3 x1 6 x2 0
解之得基础解系
2
1 1 ,
0
0
2 0.

7-2 相似矩阵与矩阵对角化

(3)若 A 与 B 相似，则 Am 与 Bm 相似.（ m 为正整数）
4
(4) 若 A 与 B 相似，而 f ( x ) 是一个多项式，则 f ( A ) 与 f ( B ) 相似。
(5) P 1 A A P P 1 A P 1 2 1
P
1
A2 P .

(6) P 1 k 1 A1 k 2 A 2 P k 1 P 1 A 1 P k 2 P 1 A 2 P （ k 1 , k 2 为任意常数）
求得
P
1

17
A PP
1
1 1 1
1 0 1
1 0 2 1
1
3
1 3 1 2 1 6
1 3 0 1 3
1 3 1 2 1 6
（1）反身性：
A A.
A B则
（2）对称性：若
（3）传递性：若
B A.
则A C.
A B,B C ,
相似矩阵还具有如下性质：性质1 相似矩阵有相同的特征多项式、相同特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩. 推论若矩阵 A n n与对角阵相似，即
3
A n n
A 的特征值是 2 , 4 , , 2 n 即 i 2 i ,
解
A 3 E 的特征值是 f ( i ) 2 i 3
A 3E
( 2 i 3 ) ( 1) 1 3 ( 2 n 3 )
i 1
n
22
方法2：已知 A 有 n 个不同的特征值，所以 A 可以对角化，即存在可逆矩阵 P , 使得 2

第四章相似矩阵与矩阵的对角化

定理4.1 n阶矩阵A可对角化(即相似于对角阵)的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量。
证明必要性设有可逆矩阵U，使得
U-1AU=, 其中 = diag(1, 2,, n),
即AU = U .
将U按列分块，U = (1, 2, , n)，则有
1
A(1,2, ,n ) (1,2, ,n )
证明若A～B，则由性质1知 |A|=|B|，因此矩阵A、B 的行列式或者均不为零，或者均为零，故它们或者都可逆，或者都不可逆。
在A、B为可逆阵时，在等式U-1AU=B两边同时取逆有： U-1A-1U=B-1，故A-1～B-1.
性质3 若A～B，则An～Bn，n为自然数。
证明因为A～B，所以存在可逆阵U，使得U-1AU=B,
A的特征值为1 1，2 3 2
当1 1时，解方程( I A)X 0. 由
1 1 1 1 0 1 I A 0 3 0 0 1 0
4 1 4 0 0 0
1
得基础解系：1 0
1
所以k1 (k 0)是对应于特征值1 1
定理4.2 方阵A的属于不同特征值的特征向量线性无关。
2
n
因而 A i i i , i 1,2, , n,
因为U = (1, 2, , n)可逆，故1, 2, , n线性无关，
且它们分别是A对应于特征值1, 2,, n的特征向量。
充分性设矩阵A有n个线性无关的特征向量1, 2, , n，
它们对应的特征值分别为1, 2,, n，则
Ai = ii，(i = 1, 2, ,n )
具有关系式
A =
(1)
成立，则数称为方阵A的特征值， n维非零列向量

相似矩阵简.ppt

A ~ B E A E B 4）相似矩阵有相同的特征值.
5）相似矩阵或者都可逆或都不可逆，当它们都可逆时,它们的逆矩阵也相似.
A~ B
A与B可逆性相同. 当它们都可逆时，A1 ~ B1
证2) 由 A ~ B
B P 1 AP
B P 1 AP P 1 A P 1 A P A P
" " 反推即得 .
A可对角化
A有n个线性无关的特征向量
设A的n个线性无关的特征向量为
p11
p12
p1n
1

p21

2

p22

... n

p2n

pn1

相应的特征值为
pn
2

1,2 ,...,n
A ~ B Ak ~ Bk
当k=2,3,4,…时,由 A ~ B, B P1 AP
Bk
P 1 AP
k

(
P
1
AP
)(
P
1
AP
)(
P
1
AP
)
...
(
P
1
AP
)

P 1 Ak P Ak ~ Bk
k个
证7) 由 A ~ B 知，B P1 AP
P 1 AP

0
2
0

0 0 4 1令P1 1 0
1 1
1 2
0 1

P1可逆,
2 0 0
P11 AP1

0

线性变换的矩阵表示及相似矩阵

δ(1)=0，δ(x)=1，δ(x2)=2x 那么微商δ在基1,x,x2的矩阵表示为
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
【例5-10】
在上一节【例5-7】的平面解析几何中，定义了将平面绕原点O逆时针旋转θ角的线性变换Tθ.取定R2中的基 ε1=(1,0)T,ε2=(0,1)T，则容易验证Tθ在这组基下的矩阵即为
(v1,v2,…,vn)=(α1,α2,…,αn)A
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
其中vi(i=1,2,…,n)是V中任意的向量.根据定理52，则存在V上的一个线性变换σ，满足
σ(αi)=vi,i=1,2,…,n 由于［σ(α1),σ(α2),…,σ(αn)］ =(v1,v2,…,vn)=(α1,α2,…,αn)A 故矩阵A是σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.因此 φ(σ)=A.这样φ是一个满射.
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
【例5-11】
在空间R3中，取定一个直角坐标系{O;e1,e2,e3}.对于R3 中的任意一个向量xe1+ye2+ze3，令 ρ(xe1+ye2+ze3)=xe1+ye2，显然ρ是R3的一个线性变换.又 e1,e2,e3是R3的一组基，直接验证可得ρ关于这组基的矩阵表示为
称式（5-8）的矩阵A为σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示.
线性变换的矩阵表示及相似矩阵
提示
σ在基α1,α2,…,αn下的矩阵表示A是式（5-7）右端α1,α2,…,αn的系数矩阵的转置；矩阵A的第j 列(a1j,a2j,…,anj )T就是σ(α j)在基α1,α2,…,αn下的坐标向量，j=1, 2,… ,n.
线性变换的矩阵表示及相似矩阵

线性变换的矩阵表示及相似矩阵

相似矩阵和矩阵

相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件

第六章相似矩阵

相似矩阵的例子

矩阵相似矩阵

5.2 相似矩阵与矩阵的相似对角化

矩阵相似的性质：矩阵相似例题

相似矩阵与矩阵相似于对角阵的条件

矩阵的相似和相合2.

相似矩阵与矩阵的对角化

相似矩阵和合同矩阵

矩阵的分类

线性代数课件-5.3相似矩阵

7-2 相似矩阵与矩阵对角化

第四章 相似矩阵与矩阵的对角化

相似矩阵简.ppt

线性变换的矩阵表示及相似矩阵

第四章相似矩阵与矩阵的对角化