两种反常积分敛散性的判别方法
反常积分的审敛法
第11章 反常积分§11. 1 反常积分的概念一 基本内容一、无穷限反常积分定义 1 设函数()f x 在[, )a +∞上有定义，且在任意区间[, ]a u 上可积，如果lim()d uau f x x→+∞⎰存在，则称此极限为()f x 在[, )a +∞上的反常积分，亦称为()f x 在[,)a +∞上的无穷限反常积分，简称无穷限积分，记作 ()d af x x+∞⎰．ie ()d lim()d uaau f x x f x x+∞→+∞=⎰⎰:，此时并称 ()d af x x+∞⎰收敛．如果极限不存在，则称 ()d af x x+∞⎰发散．同理可定义 ()d lim()d bbuu f x x f x x-∞→-∞=⎰⎰， ()d ()d ()d a af x x f x x f x x+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰⎰，几何解释如图．()d af x x+∞⎰收敛是指图中阴影区域的 面积存在．二、瑕积分定义 2 设函数()f x 在(, ]a b 上有定义，且在点a 的任一右邻域内无界，而在[, ](, ]u b a b ⊂上有界可积，如果 lim ()d buu a f x x+→⎰存在，则称此极限为无界函数()f x 在上(, ]a b 的反常积分，记作 ()d baf x x⎰，ie ()d lim ()d bbauu af x x f x x+→=⎰⎰:，并称 ()d baf x x⎰收敛，否则称其发散．其中a 称为瑕点．无界函数的反常积分亦称为瑕积分．同理可得b 为瑕点时，()d lim ()d buaau bf x x f x x-→=⎰⎰．当()f x 的瑕点(, )c a b ∈，则定义()d ()d ()d bcbaacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰lim ()d lim ()d u bauu cu cf x x f x x -+→→=+⎰⎰．若, a b 都是()f x 的瑕点，则定义()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x=+⎰⎰⎰lim ()d lim ()d c uucu au bf x x f x x+-→→=+⎰⎰．二 习题解答１ 讨论下列无穷积分是否收敛？若收敛，则求其值 (1)2d x xe x+∞-⎰；解：由于2201d (1)2ux u xe x e --=--⎰，21limd 2ux u xe x -→+∞=⎰．所以该反常积分收敛，且收敛于12．(2)2d x xe x+∞--∞⎰；解：由于22 01d (1)2x u uxe x e -=--⎰21limd 2x ux xe x -→-∞=-⎰而2220d d d 0x x x xe x xe x xe x +∞+∞----∞-∞=+=⎰⎰⎰所以该反常积分收敛，且收敛于0．(3)0x +∞⎰；解：由于21ux ⎛⎫= ⎝⎰，lim 212u →+∞⎛⎫= ⎝．所以该反常积分收敛，且收敛于2．(4) 2 11d (1)x x x +∞+⎰；解：由于22 111111d d (1)1uu x x x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰11111ln 1ln ln 2ux u x x u u ++⎛⎫=-+=-+- ⎪⎝⎭．211limd 1ln 2(1)uu x x x →+∞=-+⎰．所以该反常积分收敛，且收敛于1ln 2-．(5) 2 1d 445x x x +∞-∞++⎰；解：由于 22 0 0111d d(21)4452(21)1u u x x x x x =+++++⎰⎰011arctan(21)arctan(21)228|u x u π=+=+-2 01lim d 445488u u x x x πππ→+∞=-=++⎰，022 111d d(21)4452(21)1uu x x x x x =+++++⎰⎰011arctan(21)arctan(21)282|u x u π=+=-+02 1lim d 44584u u x x x ππ→-∞=+++⎰所以该反常积分收敛，且收敛于2π．(6)1sin d x e x x+∞-⎰；解：由于 11sin d [1(sin cos )]2ux ue x x e u u --=-+⎰，11lim sin d 2ux u e x x -→+∞=⎰．所以该反常积分收敛，且收敛于12．(7) sin d x e x x+∞-∞⎰；解：由于 01sin d [1(sin cos )]2uxu e x x e u u =-+⎰，1limsin d ux u e x x →+∞=∞⎰．所以该反常积分发散． (8)1x +∞⎰．解：由于 1ln(u x u =+⎰，1lim u u x →+∞=+∞⎰．所以该反常积分发散．2 讨论下列瑕积分是否收敛？若收敛，则求其值(1) 1d ()b p a x x a -⎰； 解：由于x a =为瑕点，而11 ()1()11d 11()ln()ln()1p p b p u b a u a p x p px a b a u a p --⎧---≠⎪=--⎨-⎪---=⎩⎰，1 ()11lim d 1()1pb p u u a b a p x p x a p +-→⎧-<⎪=-⎨-⎪∞≥⎩⎰，所以1p <时，该瑕积分收敛，且值为1()1pb a p ---；所以1p ≥时，该瑕积分发散．(2) 12 01d 1x x -⎰；解：由于1x =为瑕点，而u2011d [ln(1)ln(1)]12x u u x =+---⎰，u2011lim d 1u x x -→=∞-⎰．所以该瑕积分发散．(3)2x⎰；解：由于1x =为瑕点，而2(1uux x ==⎰⎰，1lim 2uu x -→=⎰．同理21lim 2uu x +→=⎰，所以该瑕积分收敛，且值为4．(4)1x ⎰；解：由于1x =为瑕点，而1u x =⎰，1lim 1uu x -→=⎰所以该瑕积分收敛，且值为1． (5)1ln d x x⎰；解：由于0x =为瑕点，而1ln d 1ln ux x u u u=-+-⎰，1lim ln d 1uu x x +→=-⎰．所以该瑕积分收敛，且值为1-． (6)x ⎰；解：令2sin x t =，则cos d x t t t=⎰⎰222 02sin d (1cos2)d 2t t t t πππ==-=⎰⎰，所以该瑕积分收敛，且值为2π．(7)1x⎰；解：令2sin x t =，则12 0x tπ=⎰⎰2 02d t ππ==⎰．所以该瑕积分收敛，且值为π．(8) 1 01d (ln )p x x x ⎰． 解：由于0x =，1为瑕点，又11(ln )111d (ln )ln ln 1p p x C p px x x x C p -⎧+≠⎪-=⎨⎪+=⎩⎰，而1p =时，1limlnln x x -→=∞，1p <时，101lim (ln )1p x x p +-→=∞-1p >时，111lim (ln )1p x x p --→=∞-所以p R ∀∈，瑕积分 101d (ln )px x x ⎰发散．3 举例说明：瑕积分 ()d ba f x x⎰收敛时， 2 ()d baf x x⎰不一定收敛．解：例如x ⎰收敛于2π，但 1 0d 1x x x -⎰发散．4 举例说明：积分()d af x x+∞⎰收敛，且()f x 在[,)a +∞上连续时，不一定有lim ()0x f x →+∞=．解：例如 +4 1sin d x x x∞⎰．因令x =+ +4 111sin d 4x x x t ∞∞=⎰⎰．所以 +4 1sin d x x x∞⎰收敛，且4()sin f x x x =在[,)a +∞上连续，但lim ()x f x →+∞不存在．5 证明：若 ()d af x x+∞⎰收敛，且lim ()x f x A→+∞=存在，则0A =． 证：假设0A ≠，不妨设0A >，因lim ()x f x A→+∞=，所以0M ∃>，()2Ax M f x ∍>⇒>“”．于是()d ()2uMAf x x u M >-⎰，从而lim()d uMu f x x →+∞=∞⎰．此与 ()d af x x+∞⎰收敛矛盾，故0A =．6 证明：若()f x 在[,)a +∞上可导，且()d af x x+∞⎰与()d af x x+∞'⎰都收敛，则lim ()0x f x →+∞=．证：因为()d ()()u af x x f u f a '=-⎰，所以由()d af x x+∞'⎰都收敛知lim ()x f x →+∞存在，故由上一题知lim ()0x f x →+∞=．§11. 2 无穷限积分的性质与收敛判别一 基本内容一、无穷限积分的性质 由无穷限积分的定义知()d af x x+∞⎰收敛lim()d uau f x x→+∞⇔⎰存在；由极限的柯西收敛准则知lim()d uau f x x→+∞⎰存在0,,G a ε⇔∀>∃≥2112 ,()d u u u u G f x x ε∍>⇒<⎰“”．定理1()d af x x+∞⎰收敛0,,G a ε⇔∀>∃≥2112 ,()d u u u u G f x x ε∍>⇒<⎰“”．性质1 若 1 ()d ,af x x +∞⎰ 2 ()d af x x+∞⎰都收敛，则12,k k ∀，[] 1111()()d ak f x k f x x +∞+⎰也收敛，且[] 11111122 ()()d ()d ()d a aak f x k f x x k f x x k f x x+∞+∞+∞+=+⎰⎰⎰．性质2 若,()u a f x ∀>在[, ]a u 上可积，则b a ∀>， ()d af x x+∞⎰与 ()d bf x x+∞⎰同收同发，且()d ()d ()d b aabf x x f x x f x x+∞+∞=+⎰⎰⎰．性质3 若,()u a f x ∀>在[, ]a u 上可积，则()d af x x+∞⎰收敛()d af x x+∞⇒⎰收敛，且()d ()d aaf x x f x x+∞+∞≤⎰⎰．定义1 如果 ()d af x x+∞⎰收敛，则 ()d af x x+∞⎰称绝对收敛．二、比较判别法比较判别法仅应用于绝对收敛的判别． 由于()()d uaF u f x x=⎰单调上升，所以，()d af x x+∞⎰收敛()()d ua F u f x x⇔=⎰有上界．定理2 若,(),()u a f x g x ∀>在[, ]a u 上可积，且,()()x a f x g x ∀>≤，则 ()d ag x x+∞⎰收敛()d af x x+∞⇒⎰收敛；而 ()d af x x+∞⎰发散()d ag x x+∞⇒⎰发散．推论 (比较判别法的极限形式)若,(),()u a f x g x ∀>在[, ]a u 上可积，, ()0x a g x ∀>>，且()lim()x f x cg x →+∞=， 则(1) 0c <<+∞ ()d af x x+∞⇒⎰与 ()d ag x x+∞⎰同收同发； (2) 0c =时， ()d ag x x+∞⎰收敛()d af x x+∞⇒⎰收敛； (3) c =+∞时， ()d ag x x+∞⎰发散()d af x x+∞⇒⎰发散．当选用 11d p x x +∞⎰为比较“尺子”时，则得下面的柯西判别法．定理3 (柯西判别法) 若0,()u a f x ∀>>在[, ]a u 上可积，则1(1) ()p f x x ≤，且1p >时， ()d a f x x+∞⎰收敛； 1(2) ()p f x x ≥，且1p ≤时， ()d a f x x+∞⎰发散．定理'3(柯西判别法的极限形式) 若0,()u a f x ∀>>在[, ]a u 上可积，且lim ()p x x f x λ→+∞=，则(1) 0λ≤<+∞，且1p >时， ()d af x x +∞⎰收敛； (2) 0λ<≤+∞，且1p ≤时， ()d af x x+∞⎰发散．三、狄立克雷判别法与阿贝尔判别法 此法是对一般无穷限积分的敛散性判别． 定理4 (狄立克雷判别法) 若,()()d uau a F u f x x∀>=⎰有界，()g x 在[,)a +∞上单调，且lim ()0x g x →+∞=，则()()a f x g x dx +∞⎰收敛．定理 5 (阿贝尔判别法) 若()d af x x+∞⎰收敛，()g x 在[,)a +∞上单调有界，则()()d af xg x x+∞⎰收敛．二 习题解答1 设()f x 与()g x 是定义在[,)a +∞上的函数，u a ∀>，()f x 与()g x 在[,]a u 上可积，证明：若2 ()d af x x+∞⎰与 2 ()d ag x x+∞⎰都收敛，则 ()()d af xg x x+∞⎰与 2 [()()]d af xg x x+∞+⎰亦收敛．证：(1) 因为t R ∀∈，()2()()0tf x g x -≥，从而()2()()d 0a tf x g x x +∞+≥⎰， 即222()d 2()()d ()d 0aaat f x x t f x g x x g x x +∞+∞+∞-+≥⎰⎰⎰．故由判别式为负得()2222()()d 4()d ()d 0aaaf xg x x f x x g x x +∞+∞+∞-≤⎰⎰⎰．即()222()()d ()d ()d aaaf xg x xf x xg x x+∞+∞+∞≤⎰⎰⎰．而 2()d a f x x+∞⎰，2()d ag x x+∞⎰收敛，所以 ()()d a f x g x x+∞⎰收敛．又2 [()()]d af xg x x+∞+⎰2()d af x x +∞=⎰2()()d af xg x x +∞+⎰2()d ag x x+∞+⎰，所以2 [()()]d af xg x x+∞+⎰收敛．证：(2) 因为 2 ()d af x x+∞⎰与 2 ()d ag x x+∞⎰都收敛，。
反常积分的敛散性判定方法
内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法作者陈志强学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012级学号122094102指导教师魏运导师职称教授最终成绩75分目录摘要..............................................................。
(1)关键词………………………………………………。
.……。
….…………。
.1引言-—--—-———-———--——----—---————-------——-—--———-—-—-—--—---—--—-—-—-----————-—--————--—--—2一、预备知识......................................。
...。
. (2)1.无穷限反常积分…………………………。
.…….…。
…………….。
22.瑕积分........................。
..........。
(3)3。
反常积分的性质........................。
...........。
(3)二、反常积分的收敛判别法.....................................。
.. (4)1无穷积分的收敛判别 (4)（1)。
定义判别法......................。
......。
...................。
(4)（2）。
比较判别法.....................。
............................。
(4)（3）。
柯西判别法.....................。
.. (5)(4)阿贝尔判别法。
…………………..……。
…。
……………。
6（5)。
狄利克雷判别法.............................。
. (7)2瑕积分的收敛判别......................。
........................... ...。
§6.2反常积分判敛法
§6.2反常积分判敛法复习：1．反常积分⎪⎩⎪⎨⎧无界函数的反常积分无穷限的反常积分2．P 积分⎰∞+ apxdx 当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
3. q 积分⎰-baqa x dx )(及)()( b a x b dx baq<-⎰当1<q 时收敛；当1≥q 时发散。
6.2.1无穷区间反常积分判敛法定理1(比较判别法)设),[)( ),(+∞∈a C x g x f ，且)()(0x g x f ≤≤（),[+∞∈a x ）， 则（1）当⎰∞+ )(a dx x g 收敛时，⎰∞+ )(a dx x f 也收敛； （2）当⎰∞+ )(adxx f 发散时，⎰∞+ )(adxx g 也发散。
证明：设⎰∞+ )(adxx g 收敛A 于，∵)()(0x g x f ≤≤，∴a b ≥∀，有A dx x g dx x g dx x f b I ababa=≤≤=⎰⎰⎰∞+ )()()()(∵0)()(≥='b f b I ，∴)(b I 单调不减且有上界， 故⎰+∞→+∞→=bab b dxx f b I )(lim)(lim 存在，即⎰∞+ )(adxx f 收敛。
（2）用反证法由（1）即得。
例1．判别反常积分的敛散性： （1）dxex⎰∞+-12解：∵xxee--<<20，而eedx ex x111=-=∞+-∞+-⎰，∴dxex⎰+∞-1收敛，故dxex⎰∞+-12也收敛， （2）⎰∞++0sin 1xx dx解：∵011sin 11>+≥+xxx ，而+∞=+=+∞+∞+⎰)1ln(1x xdx ，∴⎰∞++01xdx 发散，故⎰∞++0sin 1xx dx 也发散。
由于反常积分)0( >⎰∞+a xdx ap当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
因此在定理1中取pxx g 1)(=，即可得反常积分的极限判别法。
定理2(极限判别法)设),[)(+∞∈a C x f ，0)(≥x f ，且l x f x p x =+∞→)(lim ，则当（1）当1>p ，+∞<≤l 0时，⎰∞+ )(a dx x f 收敛； （2）当1≤p ，+∞≤<l 0时，⎰∞+ )(adxx f 发散。
§9.3反常积分判敛法
1 1 dx （q 1
的 q 积分 ）收敛，
xx
0x
2
sin 1
sin 1
∴
1 0
x x
dx
，从而
1 0
x dx 收敛。 x
例 5．判别反常积分 ett x1 dt 的敛散性。 0
3.3 函数
1. 函数的定义
函数(x) ett x1 dt ，x(0,) 称为伽马函数。 0
2． 函数的递推公式 ： (x1) x(x)(x 0)
例2．判别下列反常积分的敛散性：
（1） x arctan xdx
1 3 x 4 1
（2） ex2dx 0
解：∵ lim x 2 ex2 lim x 2 0 ，( p 2, l 0.)
x
x e x2
∴ ex2 dx 收敛， 1
e
x2
dx
称为概率积分，利用重积分的知识可得
0
ex2 dx 。
0
3.2 被积函数有无穷型间断点的反常积分的判敛法
定理 4（比较判别法）
设 f (x),g(x)C[a, b) ， x b 为无穷型间断点，
且 x[a,b) 时，0 f (x) g(x) ，
则敛时，
b a
f
(x)dx
也收敛；
b
b
（2）当 a f (x)dx 发散时，a g(x)dx 也发散。
0
2
注意比较法和极限法只有在被积函数非负的条件下才能用；
若f (x) 0,可考虑 f (x) 0;对 变号的函数,有下列结论 :
定理
设f (x) C[a,) , 若反常积分 f (x) dx收敛,
a
则 f (x)dx也收敛.(绝对收敛的反常积分必收敛).
§6.2反常积分判敛法1
1 x 1 x2
1 1 ， p 2, l 1, 1 1 x2
3
（2） x 2 dx
1 1 x 2 3
解：∵ lim x x 2 lim x2 x ， p 1, l ,
x 1 x 2 x 1 x 2
3
∴ x 2 dx 发散。
1 1 x 2
（3） x arctan xdx
0 (1 x 2 )(1k 2 x 2 )
解：x1 是瑕点。
1
∵ lim (1 x) 2
1
x1
(1 x2 )(1k 2 x2 )
lim
1
1 , (q 1, l
x1 (1 x)(1k 2x2 ) 2(1k 2 )
2
1) 2(1k 2 )
∴ 1
dx
收敛。
0 (1 x2 )(1k 2 x2 )
（2）
定理 4（比较判别法）
设 f (x),g(x)C[a, b) ， x b 为无穷型间断点，
且 x[a,b) 时，0 f (x) g(x) ，
则（1）当
b
ag
(x)dx
收敛时，
b a
f
(x)dx
也收敛；
b
b
（2）当 a f (x)dx 发散时，a g(x)dx 也发散。
定理 5（极限判别法）
设 f (x)C[a, b) ， f (x) 0 ，x b 为无穷型间断点，
0
当 x 为正整数n 时，有
(n1)n(n)n(n1)(n1) n(n1)(n2)21(1)n!(1)
而(1) etdt 1 ，故 (n1) n !。 0
3． 函数的定义域的扩充
当 1 x 0 ，即x1 0 时，(x1) 有定义， 从而定义(x) (x1) ，1 x 0 ，
课件：反常积分判敛法
lim ( xa)q f ( x)l 。
xa
16
例 5．判别下列反常积分的敛散性：
（1） 1
dx
(k 2 1) (椭圆积分）
0 (1 x2 )(1k 2 x2 )
解： x1是瑕点。
1
∵ lim (1 x) 2
1
x1
(1 x2 )(1k 2 x2 )
lim
1
1
,(q
1 ,
l
1
)
x1 (1 x)(1k 2 x2 ) 2(1k 2 ) 2
I1
1 0
et
t
x1
dt
，
I2
et t x1 dt ，
1
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x1 时，I1 是常义积分，收敛的；
∵ lim (t 0)1x et t x1 lim et 1 ，
t0
t0
20
②当0 x1 时，有 q1 x1, l 1,
∴ I1
1 et t x1 dt 收敛。
0
③ x0时,
1
0
收敛。
例 2．判别下列反常积分的敛散性：自习
（1）
1 1 sinx2dx
解：∵
0sin
1 x2
1 x2
， 而
1
1 x2
dx
收敛
，
∴
sin
1
1 x2
dx
收敛
。
（2）
0
1
dx x sinx
解：∵
1
1 x sinx
1 1 x
0
，而
dx 0 1 x
ln(1
x)
0
，
∴
5.5 反常积分的审敛法
3 2
根据极限审敛法 , 该积分发散 .
5.5 反常积分的审敛法
函数
二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分 . 由定义 例如
1 令 x a , 则有 t b f ( x) d x lim
a
f ( x) d x a f ( x) d x lim 0 a
函数
这表明左端的积分可用 函数来计算. 例如,
5.5 反常积分的审敛法 四、内容小结
函数
1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 .
2. 若在同一积分式中出现两类反常积分, 可通过 分项使每一项只含一种类型的反常积分, 只有 各项都收敛时, 才可保证给定的积分收敛 . 3. 函数的定义及性质 .
根据极限审敛法, 椭圆积分收敛 .
5.5 反常积分的审敛法
函数
三、 函数
1. 定义5.4 函数
( s )
s 1 x x e 0
d x ( s 0)
下面证明这个特殊函数在 s 0 内收敛 .令
I1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1) 讨论 I1 . 当s 1时, I1 是定积分 ; 1 1 1 s 1 x 当0 s 1时, x e 1 s x 1 s x e x 而1 s 1, 根据比较审敛法知 I1 收敛 .
函数
的敛散性 .
解
由比较审敛法可知原积分收敛 .
5.5 反常积分的审敛法 例2 判别反常积分
函数
1
1
dx x 1 x2
2
的敛散性 .
解
lim x
x
2
x 1 x
两种反常积分敛散性的判别方法
两种反常积分敛散性的判别方法反常积分是指在规定的区间上，被积函数无界，或者积分区间为无穷区间的情况下，计算积分时出现的问题。
判断反常积分的收敛性或发散性是数学分析中的一项重要内容。
下面将介绍两种常见的反常积分的收敛性判别方法。
一、比较判别法比较判别法是反常积分判别方法中最常用的一种方法。
主要思想是通过比较待求反常积分与已知收敛或发散的积分之间的大小关系来判断待求反常积分的收敛性或发散性。
1.比较判别法之比较审敛准则a.比较审敛准则：若对于一个正值函数f(x)及一个非负函数g(x)，在其中一点x0附近有f(x)≤g(x)，则在该点附近函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
b.比较审敛准则的推广：若对于一个正值函数f(x)及一个非负函数g(x)，在其中一区间上有f(x)≤g(x)，则在该区间上函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
2.比较判别法之极限审敛准则a. 极限审敛准则：若在其中一点x0附近，存在一个正数A，使得lim[f(x)/g(x)] = A，则在该点附近函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
b. 极限审敛准则的推广：若在其中一区间上，存在一个正数A，使得lim[f(x)/g(x)] = A，则在该区间上函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
比较判别法的优点是简单易用，但需要找到合适的比较函数，有时可能比较困难。
二、绝对收敛性判别法绝对收敛性判别法是反常积分收敛性判别方法中的另一种重要方法。
主要思想是通过研究被积函数的绝对值函数的收敛性来判断原函数的收敛性。
1. 绝对收敛性判别法之Dirichlet判别法a. Dirichlet判别法：若被积函数f(x)在区间[a,b]上满足以下两个条件：i.f(x)在[a,b]上的每个有限区间上是单调函数；ii. f(x)在[a,b]上仅有有限个间断点则f(x)的反常积分在区间[a,b]上绝对收敛。
两种反常积分敛散性的判别方法
两种反常积分敛散性的判别方法在数学分析中，反常积分是指函数在一些区间上的积分无法用常规的积分定义进行计算的情况。
常见的反常积分问题包括无界函数的积分、奇点处的积分和振荡函数的积分。
对于反常积分的收敛性，常用的判别方法有以下两种：1.比较判别法：比较判别法是通过比较被积函数与一些已知的函数的大小关系来判断反常积分的收敛性。
常见的比较函数包括幂函数、指数函数和对数函数等。
（1）正比较法：若在一些区间上，存在常数c>0和N>0，对于任意x＞N有0≤f(x)≤c*g(x)，其中g(x)为已知收敛或发散的反常积分，则称反常积分∫f(x)dx收敛；若存在常数d>0，对于任意x＞N有0≤f(x)≥d*g(x)，则反常积分∫f(x)dx发散。
（2）极限判别法：若存在常数L，满足Limx→∞f(x)/g(x)=L（L为有限数或∞），且∫g(x)dx收敛，则反常积分∫f(x)dx也收敛；若Limx→∞f(x)/g(x)=∞或Limx→∞f(x)/g(x)=0，且∫g(x)dx发散，则反常积分∫f(x)dx也发散。
比较判别法的核心思想是通过比较被积函数与一些已知函数的大小关系来推断其积分的收敛性。
这种方法灵活性较大，可以根据需要选取适当的比较函数，但需要有一些常用函数的性质作为基础。
2.极限判别法：极限判别法是利用极限的性质来判断反常积分的收敛性。
具体方法是将反常积分转化为一个极限的形式，并通过求解该极限来判断积分的收敛性。
常见的极限包括无穷极限和有界变量趋于奇点的极限。
（1）无穷极限：若极限Limx→∞f(x)=A（A为有限数或∞），则反常积分∫f(x)dx收敛；若极限Limx→∞f(x)=±∞或不存在，则反常积分∫f(x)dx发散。
（2）奇点极限：若在奇点c附近，存在极限Limx→c，x-c，f(x)=L（L为有限数或∞），则反常积分∫f(x)dx收敛；若在奇点c附近，极限Limx→c，x-c，f(x)=±∞或不存在，则反常积分∫f(x)dx发散。
zt8专题八 关于反常积分敛散性的判别
专题八 关于反常积分敛散性的判别积分区间为无限，或被积函数为无界的积分，称为广义积分，它们是定积分的推广．在这里，主要就它们的敛散性判别答疑．问题1：一元函数反常积分的判别法常见的有哪些内容？都有些什么特点？有些什么关系？答：一元函数反常积分包含无穷限的反常积分和无界函数反常积分，对于无界函数反常积分通过适当的代换就可以转化为无穷限的反常积分。
这里只就无穷限的反常积分进行叙述，对于无界函数反常积分，有类似的结果。
判定反常积分的敛散性要点如下：⑴如()0f x ³，且lim ()0x f x ?=，可考察x ?时无穷小量()f x 的阶，若阶数1l >，则反常积分()af x dx + ò收敛；1l £时发散．⑵若()0f x ³，可用比较判别法或比较判别法的极限形式进行判断．⑶若()0f x ³，可考察()af x dx + ò是否有界．⑷以上()0f x ³的条件，只要对于充分大的()x x a ³能保持成立即可． ⑸因()af x dx + ò与()af x d x + -ò同时敛散，故对()0f x £有类似的方法．⑹若x ? 时()f x 无穷次变号，则以上判别法失效，可考虑用Abel 判别法或Dirichlet 判别法．⑺用Abel 判别法，与Dirichlet 判别法判定为收敛，只是()af x dx + ò本身收敛．至于是绝对收敛还是条件收敛，还有赖于进一步考虑()af x d x + ò收敛还是发散．⑻以上方法无效，还可考虑用Cauchy 准则来判断．或 ⑼用定义，看极限lim()AA af x d x ?ò是否存在．⑽用分部积分法，或变量替换法变成别的形式，看是否能判定它的敛散性． ⑾用级数方法判定积分的敛散性． ⑿用运算性质判断敛散性，例如： 若()a f x dx + ò，()ag x d x + ò收敛，则()()()af xg x d x + ±ò亦收敛．若()af x dx + ò收敛，()ag x d x + ò发散，则()()()af xg x d x + ±ò亦发散．⒀对于无界函数反常积分，以上各条都有类似的结论，第⑴条要特别注意，对于无界函数反常积分而言，此条应是x 趋向奇点时，()f x 为无穷大量，若无穷大量的阶数1l <则积分收敛，若阶数1l ³则积分发散．问题2：无穷限的反常积分有一个无穷级数相对应，那么无穷限的反常积分()af x dx+ò收敛与li m ()0x f x ?=的关系是否有无穷级数1nn u ¥=å收敛与limn n u=这样的关系呢？答：无穷限的反常积分()af x dx + ò收敛与lim ()0x f x ?=的关系和无穷级数收敛，通项趋于0的关系有很大的不同。
反常积分的敛散性判定方法
内受古财经大教本科教年论文之阳早格格创做反常积分敛集性的判决要领做家陈志强教院统计与数教教院博业数教与应用数教年级2012级教号122094102指挥西席魏运导师职称熏陶最后结果75分目录纲要 (1)关键词汇 (1)弁止----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识 (2) (2) (3) (3)二、反常积分的支敛判别法 (4)1无贫积分的支敛判别 (4)(1).定义判别法 (4)(2).比较判别法 (4)(3).柯西判别法 (5)(4)阿贝我判别法 (6)(5).狄利克雷判别法 (7)2瑕积分的支敛判别.................................................. . (8)(1).定义判别法 (8)(2).定理判别法 (9)(3).比较判别法 (9)(4).柯西判别法 (9)(5).阿贝我判别法 (10)(6).狄利克雷判别法 (10)参照文件 (11)纲要正在很多本量问题中，要突破积分区间的有贫性战被积函数的有界性，由此得到了定积分的二种形式的推广：无贫限反常积分战瑕积分.咱们将那二种积分统称为反常积分.果为反常积分波及到一个支敛问题，所以反常积分的敛集性判决便隐得非常要害了.本文将对于反常积分的敛集性判决举止归纳归纳，并给出了相关定理的道明，举例道明其应用，那样将有帮于咱们机动的使用百般等价定理推断反常积分的敛集性.关键词汇：反常积分 瑕积分 极限 敛集性弁止近些年此后，一些数教处事者对于反常积分敛集性的判别要领干了钻研并博得了许多要害的收达.如华东师范大教数教系编，数教分解（上册），对于反常积分积分的定义，本量的使用及道义其判别支敛性的要领.华中科技大教出版的数教分解表里要领与本领，也对于反常积分敛集性判别干了仔细的道解，还用图形的要领道明其意思.扩充出反常积分敛集性的等价定义，并通过例题道明其应用.稠密教者钻研的真量齐而广，真用性很下，更加是正在钻研敛集性的判别很明隐，那对于我现所钻研的论文题目提供了洪量的表里依据战参照文件，对于我完毕此次论文有很大的帮闲，但是绝大普遍文件不过对于其一种要领举止钻研，而本文将对于其举止归纳归纳，举例道明其应用.一 、预备知识()f x 正在[ａ，＋∞）有定义，若()f x 正在[ａ，A]上可积（A>a ）且当A →＋∞时，lim ()AaA f x dx→∞⎰ 存留，称反常积分 ()af x dx∞⎰支敛，可则称反常积分()af x dx-∞⎰与()f x dx∞-∞⎰收集.对于反常积分()af x dx-∞⎰与()f x dx ∞-∞⎰可类似的给出敛散性定义。
两种反常积分敛散性的判别方法
两种反常积分敛散性的判别方法定理I 设"P 定义于「1•十•且在任何有械区间［lz ］上町积，则有 (i)竺/：：f V FV I 时*q 攵敛；(ii) 当pi 叭厂心皿发敬. 证 寸N+ »便A 匕C « — 1 “订 (1)冈为!｛壬一J ' < r < l ，/(j) > 0 , J e ［1・十8).所以=j V(J ><U + J ：/(K 十 1〉ch 十…+ J ：7<4 +J ?-2)U Jx >d.r + J </(乂 }dx +…十J 严7丿心}山rA即F(A) = /(.r)d.r 在[E + oo>上单调递增有上界宀JI1 —J ( JT ) th ■收敛./(jJdj .由单调冇界性定理知Hm F(A)j*l -*4-™存柱.丙而⑹因为虫口・卜S 所必卄爪》"［V(j?>dj = i ： /(jr)d L i L4-/{jr)djr + **' + L)J 于 A f + 8 时 M -H- 8> /(j)dr4- HjJcir F 」1J 2/(.r >dj - /(J -+ l)d-rH ---- 1- /(JT + M —3)dx ]''J iLA (fl-2)■而 lim(^-2) /3(k =+8.故 \knF(A)不存在•因而 ■-*8 J ] A-*«比值判别锂的扱限形戌:f\L r)dr发散.推论I 设f")定文于JCHXO ，在任何有限区何［1』］上可积*且lim=r^- +era J I 龙丿⑴当A < I 时*£"/(x>(k 收埶 (ii)当 A > 1 HL 发散.1E 因为1血化+「= A +即V E >0.3M>0.当心M 时.有A -e <门；f V A +« ■⑴当A < 1时・取武=匕二 AOVMi A0・当，r>M t 时吊牛=古<1^<1 T 由定理(ii)当入〉1 时，取 e = ^-^>0* 3M t >0,当 JT >M J 时•有 f “ > 苇土 > 1 * 由定理-可编辑修改-1 知 发散.f( r)I /< r)d.r =f(_r)dr +『八刃右 + (I)/( r)d r定理2 设J （-L >盧文于［l ・ + s>.屮丄，上0.11在枉何有限区何口“］上可积•如黑 2L L ±12I2<ii) 3> 0 I > 科*tn>r> 1 心皿收敛* 1 •则 /(j)dr 笈散./<x+l)-证 ⑴由丁 fJ ）宦义于［1”十=0）"仃）豪0・且mMAO,当』>W 时*有」［】一心、心+匸1-工由真数的黑嶽性却存在实数彷快!</><r, 畤hJ 沖—打•叩记）J * + *Lirn j *+*4一]11-(1-丄)——=史<1・所以3M>0,当Vf 时.寂 ------------------ -<】•即1_7<（］ _7）*⑵兰F 允分大吋.必仔杜q 旨尽.便% <M +】•由门〕亢池约穴再t/（j + “<（】—j /（J ） *< 3反貝应用d ）式得1 P 1 t 1 p+ 1） < p-y ）（】_77?7）…卩一扫）门丄‘，即/（.r + l ）<•曲于P>】加比较刿別范知J 「F2 + l ）cLr 收«t*因而J 「F （D 壮 收散.<H> 若 3 xr > 0 .当kA 就时•有 丁< 1 •则JQ + 1）鼻 ^―ty （j> *⑷■J -当丁充分览时.存在T ff e ［A^./VT + I ）.应旨应用（4）式得：J f| |、、」、一1 _r — 2 -r Q — 1 /（x + 1J > ---- ---- … ------ ”心»j 」—】 J （IEP 丿心+打步 牛丄八如）”由比较判别仕知『「门工+ 1加工发散.因而「/（"dj 发触”推论2 设 2、世文于［1，+ oo>./（x>莎叭在任何右眼仪间［1.«］上可积•且 皿匹「1 _尹：广「>］ = I •则<0> 1时骨f^JUOd-r 收敛骨J L 当< I 时fCr ）山农散.由以上m 如比值判别旅埋号护=】时先紅此时血用定理2进-步判别. 刚】求无穷积升［円”丁⑴丄的敛散性..lim r-►十y £Cr+jD /3(« _L | UTHll Kmb + ：弋 =-< 1 • fit [tl 推论1知对任您—无警积分j--»+w_/ tCr- d i 收敛、例2考緊J 一 厂早士- <-« <的第散性.J ： j In J7 解令Inr = /^ f = J 諾亦.-L Af ±1)- <■芒厂宀广 -IA—丄比f77T -「怛戶吋石匸帀—戶* 披 ⑴当j^>l Bt*A <1 T 无力积分】=「咼匚收做.<<i)当p< I 吋J > I +无穷枳分I = I*舱亂(iii) 当/> = 1SJ . / = 也.故当1 N 收戏.当q< 1时发fit J r*的敛散性.i +77 解 lim W ： +L 「= lim1 +^ = 1 *比值网别法失瓶—严八1 + 4 + 1=lim ------------- ―^ ------- = 4~ V ] *上*少{ J 工 + ]_ + } ( 1 + J_r 丰 T) 2由推论2知「」_^昭发散.Jj1 十r+™ LTHANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书,学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
反常积分判敛法2011
f
xdx 发散时, a
gxdx 发散.
定理 2(比较判别法极限形式)
如果 f , g 在a,非负连续, 且 gx 0 ,
设
lim
x
f x gx
l
有 限 或
,那么
1
当l 0时 , f xdx 与 gxdx同敛散;
利用分部积分法可得：
x 1 x x,
又(1) 1,
故当x为正整数 n时, (n 1) n!
2. 函数定义域的扩充:
当 1 x 0时, x 1 0, ( x 1)有定义,
从而定义 ( x) ( x 1)
1 x 0
x
与无穷区间的审敛准则类似，有: (仅讨论 f , g 在[a,b)连续，b为奇点的积分）
定理4(比较判别法)
设 f , g 在[a, b)连续, lim f ( x) , lim g( x) ,
xb
xb
并且0 f x gx, x [a,b),
则
1
当
b
a
a
2
当l 0时 , 若 gxdx 收敛,则 f xdx
a
a
也收敛;
3
当l 时 , 若 gxdx 发散,则 f xdx
a
a
也发散.
常取p积分作为比较对象。
若取g( x)
1 xp
, 则 由 比 较 判 别 法 可 得 使用 起 来 比 较 方 便 的
a
g
x
dx
收敛
时,
b
a
f
x
dx
收
敛;
2