中考数学复习一元二次方程组专项易错题及详细答案
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中考数学复习一元二次方程组专项易错题及详细答案
一、一元二次方程
1.随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,汽车消费成为新亮点.抽样调查显示,截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆.已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆.
(1)求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率;
(2)为保护城市环境,要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆,据估计从2008年底起,此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%,那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆?(假定每年新增汽车数量相同)
【答案】详见解析
【解析】
试题分析:(1)主要考查增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)解决问题;
(2)参照增长率问题的一般规律,表示出2010年的汽车拥有量,然后根据关键语列出不等式来判断正确的解.
试题解析:(1)设年平均增长率为x,根据题意得:
10(1+x)2=14.4,
解得x=﹣2.2(不合题意舍去)x=0.2,
答:年平均增长率为20%;
(2)设每年新增汽车数量最多不超过y万辆,根据题意得:
2009年底汽车数量为14.4×90%+y,
2010年底汽车数量为(14.4×90%+y)×90%+y,
∴(14.4×90%+y)×90%+y≤15.464,
∴y≤2.
答:每年新增汽车数量最多不超过2万辆.
考点:一元二次方程—增长率的问题
2.如图,A、B、C、D为矩形的4个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别以
3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发,点Q从点C向点D移动.
(1)若点P从点A移动到点B停止,点P、Q分别从点A、C同时出发,问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm?
(2)若点P从点A移动到点B停止,点Q随点P的停止而停止移动,点P、Q分别从点A、C 同时出发,问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动,点P、Q分别从点A、C同时出发,点Q从点C移动到点D停止时,点P随点Q的停止而停止移动,试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2?
【答案】(1)cm;(2)8
5
s或
24
5
s;(3)经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2.
【解析】
试题分析:(1)作PE⊥CD于E,表示出PQ的长度,利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可;
(2)设x秒后,点P和点Q的距离是10cm.在Rt△PEQ中,根据勾股定理列出关于x的方程(16-5x)2=64,通过解方程即可求得x的值;
(3)分类讨论:①当点P在AB上时;②当点P在BC边上;③当点P在CD边上时.试题解析:(1)过点P作PE⊥CD于E.
则根据题意,得
EQ=16-2×3-2×2=6(cm),PE=AD=6cm;
在Rt△PEQ中,根据勾股定理,得
PE2+EQ2=PQ2,即36+36=PQ2,
∴cm;
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是;
(2)设x秒后,点P和点Q的距离是10cm.
(16-2x-3x)2+62=102,即(16-5x)2=64,
∴16-5x=±8,
∴x1=8
5
,x2=
24
5
;
∴经过8
5
s或
24
5
sP、Q两点之间的距离是10cm;
(3)连接BQ.设经过ys后△PBQ的面积为12cm2.
①当0≤y≤16
3
时,则PB=16-3y,
∴1
2
PB•BC=12,即
1
2
×(16-3y)×6=12,
解得y=4;
②当16
3
<x≤
22
3
时,
BP=3y-AB=3y-16,QC=2y,则
1 2BP•CQ=
1
2
(3y-16)×2y=12,
解得y1=6,y2=-2
3
(舍去);
③22
3
<x≤8时,
QP=CQ-PQ=22-y,则
1 2QP•CB=
1
2
(22-y)×6=12,
解得y=18(舍去).
综上所述,经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2.
考点:一元二次方程的应用.
3.已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣4)﹣m2=0.
(1)求证:对任意实数m,方程总有2个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是2,求m的值及方程的另一个根.
【答案】(1)证明见解析;(2)m的值为,方程的另一个根是5.
【解析】
【分析】
(1)先把方程化为一般式,利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可;
(2)根据方程的根,利用代入法即可求解m的值,然后还原方程求出另一个解即可.【详解】
(1)证明:
∵(x﹣3)(x﹣4)﹣m2=0,
∴x2﹣7x+12﹣m2=0,
∴△=(﹣7)2﹣4(12﹣m2)=1+4m2,
∵m2≥0,
∴△>0,
∴对任意实数m,方程总有2个不相等的实数根;
(2)解:∵方程的一个根是2,
∴4﹣14+12﹣m2=0,解得m=±,