数字信号复习提纲

第1-4章复习题

1、虚指数序列 x [k ]= e jωk 不一定为周期序列；而连续虚指数信号x (t )= e jωt 必是周期信号。

2、线性卷积[][][]n y k x n h k n ∞

=-∞

=

-∑

例题： x[k]非零范围为N 1≤ k ≤ N 2，h[k]的非零范围为N 3≤ k ≤ N 4，求：y[k]=x[k]* h[k]的非零范围。

解答：N 1+N 3≤ k ≤ N 2+N 4

解析：两个序列卷积时，卷积所得序列的起点等于两个序列起点之和，终点等于两个序列的终点之和，序列长度等于两个序列的长度之和减1。 3、互相关[][][]xy

k r n x k y k n ∞

=-∞

=

+∑

，自相关[][][]x

k r n x k x k n ∞

=-∞

=

+∑

r xy [n ]=x [-n ] * y [n ] r x [n ]= x [-n ] * x [n ] 4、离散LTI 系统因果性：h[k]=0，k<0 离散LTI 系统稳定性：[]k h k S ∞

=-∞

=<∞∑

5、DTFT ：()[]j j k

k X e x k e

∞

Ω-Ω=-∞

=

∑

IDTFT ：2π1

[]()d 2πj j k x k X e e ΩΩ<>

=Ω⎰

6、已知x [k ]为一有限长序列且[]{2,1,1,0,3,2,0,3,4}x k ↓

=---，不计算x [k ]的DTFT X (e jω)，试直接确定下列表达式的值。 （1）6

02

()[]0j k X e x k =-=

=∑

（2）6π2

()(1)[]0j k k X e x k =-=-=∑ （3）π

π

()d 2π[0]2πj X e x Ω-Ω==-⎰

（4）6

π

2

2

π2

()d 2π[]88πj k X e x k Ω

-=-Ω==∑⎰

（5）

2

6

π

22π

2

d ()

d 2π[]1780πd j k X

e k x k Ω

-=-Ω==Ω∑⎰

7、单频信号通过LTI 系统的响应 LTI

()j k j k j e e H e ΩΩΩ−−→

8、系统稳态响应sr []()j jk y k H e e ΩΩ=

例题：设系统的初始状态为零，试确定输入信号为x [k ]=cos(πk )u [k ]，

[][]2[2][4]h k k k k δδδ=+-+-时，系统的稳态响应。

解答：系统的频率响应2422()124cos j j j j H e e e e Ω-Ω-Ω-Ω=++=Ω 由已知πΩ=，所以22()4cos 4j j H e e πππ-== 根据系统稳态响应定义sr []()j jk y k H e e ΩΩ= 所以，sr []()4cos()j jk y k H e e k πππ==

9、LTI 系统稳定的充要条件：[]k h k ∞

=-∞<∞⇔∑H (z )的收敛域ROC 包含单位圆。

因果系统H (z )的极点位于z 平面单位圆内时，系统稳定。 例题：已知一离散LTI 系统的系统函数为111

()(12)(13)

H z z z --=--判断系统的稳定性和

因果性。

● |z |>3系统不稳定、因果，11[](23)[]k k h k u k ++=-+

● 2<|z |<3系统不稳定、非因果，11[]2[]3[1]k k h k u k u k ++=---- ● |z |<2系统稳定、非因果，11[]2[1]3[1]k k h k u k u k ++=----- 10、简单数字滤波器

一阶FIR 低通数字滤波器1LP1()0.5(1)H z z -=+

LP11()0.5

j j z e z H e z Ω

Ω=+=，0LP1()1j H e =，πLP1()0j H e =。 一阶FIR 高通数字滤波器1HP11()(1)2

H z z -=-

HP11()0.5

j j z e z H e z Ω

Ω=-=，0HP1()0j H e =，πHP1()1j H e =。 11、一阶复系数全通滤波器111

()1z d A z dz -*

--=-

最小相位系统H min (z )：零极点都在z 平面单位圆内的因果系统称为最小相位系统。等价于零点都在z 平面单位圆内的稳定因果系统称为最小相位系统。 12、任一实系数因果稳定系统的H (z )都可表示为min ()()()m H z H z A z =

例题：一实系数因果稳定系统的系统函数H (z )为1

1

(),1,11b z H z a b az --+=

<<+ 解答：由于系统的零点为z = -1/b ，故不是一最小相位系统。

11111()11

b z bz

H z az bz ----++=++1111

111bz z b

az bz ----++=++

与H (z )具有相同幅度响应的最小相位系统为

1

min 1

1()1bz H z az

--+=+ 13、利用数字系统处理模拟信号，A/D ，D/A 转换，考察各步输出的频谱。

A/D

h [k ]

A/D

T T

x (t )

x [k ]

y [k ]

y (t )

14、DFT ：2π1

[][],0,1,2,,1N j mk N

m X m x k e

m N --==⋅=-∑L

IDFT ：2π1

1[][],0,1,2,,1N j mk N m x k X m e k N N -==⋅=-∑L

15、引入DFT 的意义？

16、利用DFT 分析连续非周期信号的频谱