【教学随笔】数学归纳法应用中的四个常见错误

数学归纳法应用中的四个常见错误
数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法。

证明时，它的两个步骤：归纳奠基和归纳递推缺一不可。

使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误：（1）初始值确定的错误；（2）对项数估算的错误；（3）没有利用归纳递推；（4）关键步骤含糊不清。

现举例如下：
（1）初始值估计的错误。

归纳奠基是归纳的基础，是数学归纳法的关键之处。

通常是1，但不总是1。

有些同学思维定势，认为是1，而不能具体问题具体分析。

例1.用数学归纳法证明“＞+1对于n＞的正整数n成立”时，第一步证明中的起始值应取（）
A. 1
B. 2
C. 3
D.5
【答案】选D
例2.若f(n)= ,则n=1时f(n)是
A. 1
B.
C.
D.以上答案均不正确。

【答案】选C
点评：这也是一个常见的错误，解题的关键是因为分母是连续的，由最后一项既其前面的项组成。

（2）对项数估算的错误
用数学归纳法证明恒等式时，由n=k递推到n=k+1时，左端增加的项有时是一项有时不只是一项，有有时左端的第一个因式也可能变化。

举例如下：
例3.用数学归纳法证明不等式＜n（n∈）过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左端增加的项数是（）
A. 1
B. -1
C.
D. +1
解析;当n=k时，左端=
当n=k+1，左端=
括号内的部分是增加的式子，计算可知共项
点评：这类问题的特点是分母从1开始在正整数范围内递增，抓住这个关键，再通过n=k 和n=k+1左端进行对比，就不会发生错误了。

【答案】选C
例4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)= ﹒1﹒3…(2n-1)(n∈N)时，从“n=k→n=k+1”两边同乘以一个代数式，它是（）
解析：当n=k时，=
当n=k+1时，=
通过对比可知，增加了两项（2k+1）（2k+2）减少了一项k+1。

故答案选D。

点评：通过对比n=k和n=k+1时的变化确定增减项。

因为每一项中都有n，项数会有增有减。

（3）没有利用归纳递推
数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推缺一不可，归纳奠基是递推的基础，归纳递推是递推的依据，二者是一个整体，不能割裂开来。

就像多米诺骨牌游戏，第一块不到，后面的块肯定不到，中间的任意一块不到，游戏也不能继续，环环相扣。

例5.用数学归纳法证明的过程如下：
①当n=1时，左边=1，右边==1，等式成立。

②假设当n=k时，等式成立，即
则当n=k+1时，
所以，当n=k+1时等式成立。

由此可知，对任何，等式都成立。

上述证明的错误
．．是
【答案】没有用上归纳递推。

正确的解法是②，即用上了第二步中的假设。

点评：步骤不完整是常犯的错误，除忘记用归纳递推外，有时还忘记第一步——起始值的确定，或忘记归纳结论，所以一定牢记“两个步骤一个结论”。

（4）关键步骤含糊不清。

用数学归纳法证明时有一个技巧，即当n=k+1时，代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”。

但中间的计算过程必须有，不能省略也不能含糊不清。

这一步是数学归纳法的精华所在，阅卷老师关注的重要环节。

例题略。