弹性波和塑性波

第一题：推导波动方程，简述弹性波和塑性波的主要区别？要求给出主要的推导步骤，主要的方程，以及弹性波和塑性波的本质区别。 圆柱杆中的弹性波的传播，如图所示为撞击杆以速度V 撞击长圆柱杆，并在圆柱杆中产生了自左向右传播的压缩应力波。T 时刻，这个扰动的波阵面在x 位置处。分析时忽略横向即杆Oy 方向的应变和惯性。在t 时刻，考察波阵面在截面AB 和A`B`的情况，截面A`B`离起始位置的距离为x+δx,对AA ’BB ’部分。

这里需要设定几个假设：

1、忽略细长杆的横向应变和横向惯性效应；

2、忽略杆的重力和材料阻尼；

3、变形前后横截面为平面，即平截面假定。

应用牛顿第二定律，有

图：波在杆中的传播

（a ）冲击前；（b ）冲击后

F ma =

22x A A x A x x t σσσδρδ⎡∂⎤∂⎛⎫--+= ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎣

⎦ 22u x t

σρ∂∂=∂∂ 而变形是弹性的且假定满足胡克定律：

=E σε

其中ε为应变，定义为/u x ∂∂，负号表示压应变，因此有

22u u E x x t

ρ∂∂∂⎡⎤=⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 和

2222u E u t x

ρ∂∂=∂∂ 上式即为弹性波的波动方程，其中0E

C ρ=为波速。

二、弹性波和塑性波的区别

当物体某部分突然受力时，该处将产生弹性变形，并以波的形式向周围传播，使整个物体产生弹性变形，这种波称为弹性波。

当物体受到超过弹性极限的冲击应力扰动后产生的应力和应变的传播、反射，并使得物体产生塑性变形，这种波称为塑性波。

由于固体材料弹性性质和塑性性质的不同，因此在均匀的弹塑性介质中传播的塑性波和弹性波是有区别的，主要表现在：

1、塑性波波速与应力有关，它随着应力的增大而减小，较大的变形将以较小的速度传播，而弹性波的波速与应力大小无关；

2、在应力σ和应变ε的关系满足()σσε=时，塑性波波速总比弹性波波速小；

3、塑性波在传播的过程中波形会发生变化,而弹性波则保持波形不变。

弹性波和塑性波的这些本质区别可以从波动方程中看出，在波动方程中的C 表示的就是应力波的传播速度，其中 弹性波的波速为：001d C C d σε

ρ==，,Y d d E σσε≤= 塑性波的波速为：001d C C d σερ=

<，,Y d d E σσε>< 其中Y 表示材料的屈服强度，E 表示材料的弹性模量。

从上式中我们很容易看出，无论的弹性波还是塑性波的波速都取决于材料的应力—应变曲线的斜率d d σε，显然在弹性阶段和塑性阶段是不同的。塑性波的波速是应变的函数，它

的波速跟应力的变化相关，而弹性波因为在弹性阶段传播，应力变化恒定，因此与应力的大小无关。对于大多数的材料来说应力—应变曲线是向上凸的，即材料屈服后呈现逐渐硬化的特性，因此对应着塑性波的波速随着应力或者应变的增长而逐渐降低，并且小于弹性波速。如图所示：

图：弹塑性材料中波速随着应力—应变关系的变化