专题 导数在函数中的应用

学 大 教 育 个 性 化 教 学 学 案

知识归纳：

一. 学习内容：

导数的四则运算法则：

)()())()((x g x f x g x f '±'='±

)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='

)()

()()()()()(2

x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ （0)(≠x g ） 函数的导数公式：

（1）)(0为常数C C =' （2）

)(1

Q n nx x n n ∈='-）（

（3）x x cos )(sin =' （4）x x sin )(cos -='

（5）x x 1)(ln =' （6）e x x a a log 1

)(log ='

（7）x x e e =')( （8）a a a x

x ln )(='

复合函数求导法则：

复合函数()[]x u f y =在点x 处的导数为x u x u y y '⋅'='

求导过程像链条一样，必须一环一环套下去，绝不能丢掉其中的一环。其间很重要的一步是正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的层次顺序复合而成的。 二. 考点分析：

（1）求导方法；

（2）函数在点0x x =处的导数与函数在点0x x =处的切线； （3）函数的单调性、极值与在闭区间上的最值； （4）函数的值域、零点个数等相关问题。

姓 名 年 级 性 别

课 题

函数与导数

教 学 目 的 1. 了解导数的概念, 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义.

2. 熟记基本导数公式, 掌握两个函数的四则运算的求导法则和复合函数的求导法则,

会求某些简单函数的导数.

3. 会用导数求多项式函数的单调区间, 极值及闭区间上的最值. 会利用导数求最值的方法解决一些实际问题.

教 学 重 难 点

运用导数求解函数问题。

教 学 过 程(内容可附后)

【典型例题】

例1. 求函数y ＝（ x 2－2x ＋ 3 ）e 2 x 的导函数；

解题思路：求导函数，关键是看清函数的构成方式。这个函数虽有乘积形式及复合形式，但从整体上看应是属于x 2－2x ＋ 3与e 2 x 的乘积形式，所以应该先用乘积的求导公式。

解题过程：()()()

'e 3x 2x e

'3x 2x y'x 22x

22

+-++-=

()()()x

22

x

22

x

2e

2x x 2e

23x 2x e 2x 2+-=+-+-=

解题后思考：对于原函数的结构，有时观察角度不同，结论会有所差异。比如函数

()2

12-=

x y 如果关注分式结构，可将它看作()2=x f ，()()2

1-=x x g 的()()x g x f y =形式，

如果关注次方数，可将它看作()2

1x 2y --=，运用公式

1

-='n n

nx x ）（求导。

例2. 若函数12

3

+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是

A. ),31(+∞

B. ]31,(-∞

C. ),31[+∞

D. )3

1

,(-∞

解题思路：此题涉及三次函数的单调性，所以应从导数角度思考。原函数在R 上是单调函数⇔导函数在R 上恒有0≥'y 或0≤'y ，可以根据导函数的具体形式来确定到底是0≥'y 还是0≤'y 。

解题过程：函数12

3

+++=mx x x y 是R 上的单调函数⇔由于导函数是一条开口向上的抛物线，所以导函数m x x 'y ++=232

在R 上恒有0≥'y 。所以，012m 4≤-=∆，则

∈m ),3

1

[+∞，故选C 。

解题后思考：此题的易错点为极易忽略掉0≥'y 中等于零的情况。实际上对于初等数学中涉及的函数，只要不是常值函数，均存在这种等价关系：原函数单调递增⇔0≥'y ，原函数单调递减⇔0≤'y ，这样等于零的情形就没那么容易被忽略了。

例3. 函数2

2

1ln )(x x x f -

=的图象大致是（ ）

A B C D

解题思路：此题涉及的函数不是初等函数，不能直接利用原有初等函数来画出它的图象，所以应从导数角度思考。首先处理定义域，先搞清楚自变量的取值范围；然后利用导数确定单调区间；最后根据选项分组，A 、B 一组，C 、D 一组，由此看来还要考虑值域；所以第三点看值域。

解题过程：定义域：()+∞∈,0x ，四个选项都满足

导函数x )x ('f -=

x

1

，()+∞∈,0x

其中x 1在()+∞∈,0x 上是递减的，x -在()+∞∈,0x 上是递减的，所以x )x (f -=x

1

在

()+∞∈,0x 上是递减的。

因为01=)('f ，所以x )x ('f -=x 1

在()10x ,∈上有0>)x ('f ，在()+∞∈,1x 上有

0<)x ('f ，即22

1

ln )(x x x f -=在()10x ,∈上递增，在()+∞∈,1x 上递减。

最后考虑极大值，计算02

1

1<-=)(f

所以选B

解题后思考：单调区间是定义域的子集这一点是非常明显的，但也非常容易被忽视。

例 4. 已知函数3

2

()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示。求：

（I ）0x 的值； （II ）,,a b c 的值。

解题思路：此题涉及三次函数的单调性与极值，所以应从导数角度思考。题目中有三个系数,,a b c 和一个极大值点0x 要求。条件中给出了导函数与x 轴的两个交点，实际上是给出了0=)x ('f 的两个根：2121==,x x 。而且从导函数图象上还可看出导函数在相应区间上的正负情况。

在()1,

∞-上0>)x ('f ，在()21,上0<)x ('f ，在()+∞,2上0>)x ('f ； 所以函数在()1,

∞-上单调递增，在()21,上单调递减，在()+∞,2上单调递增； 由此可直接看出极大值点为0x ＝1。

接下来求三个未知系数，需要将三个方程联立起来。来源显然是函数图像所经过的三个点。

解题过程：（I ）由图象可知，

在（－∞，1）上()0f x '>，在（1，2）上()0f x '<，在(2,)+∞上()0f x '>， 故()f x 在(,1)-∞和(2,)+∞上单调递增，在（1，2）上单调递减， 因此()f x 在1x =处取得极大值，所以01x =。

（II ）2

()32,f x ax bx c '=++由(1)0,(2)0,(1)5,f f f ''===

得320,1240,5,a b c a b c a b c ++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩

解得2,9,12.a b c ==-=