垂径定理

A B

4．1圆的对称性(1)

龙泉中学 刘文芹

一、教学目标

1、了解圆的轴对称性。

2、探索并证明垂径定理，能用垂径定理解决有关问题。

3、让学生经历操作、观察、发现、思考、推理、交流等过程，丰富学生教学活动经验，感悟数学思想。 二、教学重点与难点

1、教学重点：垂径定理及其应用。

2、教学重点：垂径定理的证明。 三、教学过程 （一）旧知回顾

1、回忆圆的有关概念：圆、弦、直径、弧、优弧、劣弧。

2、举例说明什么是轴对称图形。 （二）交流与发现

1、 我们是用什么方法研究轴对称图形?

2、 圆是轴对称图形吗?

3、 让学生拿出准备好的半透明纸片，在纸上画一个圆，记为⊙O ，任意作出一条直径，将⊙O 沿这条直径折叠，是否发现有同样的结论？

4、在小组内交流自己的结论。

5、教师引导学生总结发现的结论：的直线都是它的对称轴。 （三）深入探究 1、创设问题情境

在上述⊙O 中作弦CD ⊥AB,,垂足为E 。如果将⊙O 沿直径AB 线段CE 与DE 有什么关系？AC 与AD 有什么关系？BC 与BD 有什么关系？

通过试验验证你的猜想。 图1

M

N

.

A B

O

2、引导学生进行探究，发现命题

学生折叠，观察图形，发现结论，在小组内交流发现的结论。

教师引导学生总结发现的结论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所

对的两条弧。

教师对学生的发现给与肯定与鼓励，并提醒学生：

（1）两条弧是指优弧和劣弧；（2）CD也可以是圆的直径。

3、运用演绎推理，证明命题

教师引导和帮助学生分析证明思路，梳理并写出证明过程。

教师点拨：同学们发现的命题经过证明是正确的，因为定理的条件是垂直于

弦的直径，故简称为“垂径定理”。用符号语言表示出垂径定理：

∵AB是⊙O直径,CD是弦，CD⊥AB,垂足为E，

∴CE=DE,AC = AD,BC=BD.

4、正误辨析

判断下面的命题是否正确，并说出为什么？

（1）已知，如图2，AB是⊙O的弦，OM是圆的半径，AB⊥OM,垂足为M,则OE=EM.

（2）如图3，AB是⊙O的弦,MN经过圆心O，MN⊥AB, 垂足为M,则AM=BM,

图2 图3 （四）迁移与应用

1、例题示范

例1: 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，

圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。

. A

C

D

B

O

教师引导学生作出辅助线构造直角三角形，学生解答。 一生板演解答过程，集体反馈矫正。

例2（多媒体展示） 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).

（1）教师介绍赵州桥的资料，然后让学生阅读题目，找出其中的关键词语，抽象为数学问题，并正确画出图形。 （2）学生独立思考，尝试解答。

学生写出解答过程，让一个学生板演，教师巡视指导。 （3） 合作交流，反馈矫正。教师规范解答过程。

学生小组内交流解答过程，有疑问或困惑的地方，互相交流提示。 （4） 学生完成解答过程。

例3 、已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点。

求证：AC ＝BD 。

教师引导学生说出证明过程。

(5) 教师点拨：对于圆中有关弦、圆心到弦的距离、半径的问题，常作辅助线：作出半径或圆心到弦的垂线段，构成直角三角形，运用垂径定理和勾股定理解决有关问题。其中，⊙O 的半径r ，圆心到弦的距离d 、弦a 之间的关系是

（2）

（1）

B

B

A

(2)

(1)

C

C

2

r

=d 2+（

2

a ）2。在a ，d ，r 三个量中，知道任何两个量可以求出第三个量。

2、思维拓展

在直径为10cm 的⊙O 中有两条平行弦AB 和CD ，AB=8cm ，CD=6cm ，求AB 与CD 之间的距离。

教师分析：题目没有给出图形，满足条件的图形具有多样性，即有弦AB 、CD 在圆心O 的同侧和两侧两种位置关系，要分别求解。

目的：培养学生周密思考，全面分析的良好思维习惯。

3、思维迁移（学有余力的学生完成）

在半径为1的⊙O 中，弦AB,AC 的长分别为3和2，求∠BAC 的度数。

（五）随堂练习

1、课本110页练习1、2，要求学生限时独立完成。

2、补充练习题（学有余力的学生完成）

.

A O

B

E C

D

F

已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，求线段OM 的长的最小值。 （六）小结反思 1、知识点

（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理及其推论。 2、数学思想方法

（1）转化思想；（2）数形结合思想。 3、知识迁移

（1）运用垂径定理证明线段相等或弧相等； （2）运用垂径定理和勾股定理解决有关问题。

学生围绕上述几个方面，先在小组内交流自己的收获与感受，然后每个小组推选一位代表发言，尽量不要与前面同学的发言重复，教师做出点评，并对学生总结的内容与方式给与指导。 （七）布置作业

A 组：（必做题）课本习题4、1A 组第1、2、3

B 组：（选做题）

1、已知：如图,AB 是⊙O 直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，BF ⊥CD. 求证：EC ＝DF

2、如图，⊙O 的直径是10，弦AB 的长为8，P 是AB 上的一个动点，求OP 的取值范围。

3、在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度。