利用重要不等式求最大值与最小值

利用重要不等式求最大值与最小值

（麻城实验高中 阮晓锋）

定理：若x,y 为实数，则有22+2xy y x ≥(当且仅当x=y 时取等号）

推论：若x,y 为正数，则有+2

x y ≥x=y 时取等号） 应用：已知x,y 为正数，则有：

（1）如果积xy 是定值p,那么当且仅当x=y 时和x+y 有最小值（2）如果和x+y 是定值s, 那么当且仅当x=y 时积xy 有最大值

214s 例1：已知x ≠0,当x 取什么值时，x x 2281

+的值最小？最小值为多少？

解：∵x ≠0∴x 2>0,x 281

>0

又 x 2•x

281

=81∴x x 2281+≥x x 22812⋅=18 （当且仅当x 2=x 281

即x=3±时上式取=号）

∴当且仅当x=3±时x x 2281

+有最小值，最小值为18

例2一段长为Lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个菜园的长，宽分别为多少时菜园的面积最大，最大值为多少？

解：设矩形的两邻边分别为x,y m,则2x+y=L

2x+y xy 22≥∴

xy L 82≥ ∴S=x y L 281≤(当且仅当y=2x 即x=4L ,y=2

L 时取=号） 答：矩形的长，宽分别为2L ，4L 时菜园的面积最大，最大的面积为L 28

1 例3：解方程2

12-1-=++z y x （x+y+z) 解： x>0,y>0,z>0

∴()()2-2

12-,1-211-,21z z y y x x ≥+≥+≥+ 将上述三式相加得2-1-x )(2

1z y z y x ++≥++ （当且仅当x=1,y=2,z=3时取=号）

故原方程的解为x=1,y=2,z=3 例4：设∆ABC 的边长a,b,c 满足条件a c b c b b a a =+=+=+2222

22

1,12,122c

，求S ∆ABC 解：由已知得

abc c c b b a a =+⋅+⋅+⋅222222121212

∴))(1)(11c b 222+++a （=8abc ①

又c b a c b a

21,21,21222≥+≥+≥+ abc c b a 81)(1)(1)222≥+++∴（

（当且仅当a=b=c=1时上式取=号） 故有①知a=b=c=1,从而得S ∆ABC=43·12=4

3 练习：已知x 为实数，则2000--2008x x +

的最大值为_________。 （提示：为4）