利用重要不等式求最大值与最小值
高考数学一轮复习统考 第7章 不等式 第4讲 基本不等式学案(含解析)北师大版-北师大版高三全册数学
第4讲 基本不等式基础知识整合1．重要不等式a 2＋b 2≥012ab (a ，b ∈R )(当且仅当02a ＝b 时等号成立)．2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：03a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当04a ＝b 时等号成立； (3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的06几何平均数．3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当07x ＝y 时，x ＋y 有08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当09x ＝y 时，xy 有10最大值S 24.(简记：“和定积最大”)1．常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 2．利用基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若ax ＋by ＝1，则有1x ＋1y＝(ax ＋by )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝a ＋b ＋by x ＋ax y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.(2)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若a x ＋b y＝1，则有x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1 B.14 C.12 D.22答案 B解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，即ab的最大值为14.故选B.2．已知a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析 ∵a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，则显然有a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab .下面比较a 2＋b 2与a ＋b 的大小．由于a ，b ∈(0,1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b .故各式中最大的是a ＋b .3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)C ．y ＝4e x＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析 A 中x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；B 中若y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)取得最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立；D 中由0<x <1，则log 3x ∈(－∞，0)，y ＝log 3x ＋log x 3＝log 3x ＋1log 3x 没有最小值；C 中y ＝4e x ＋e －x ＝4e x ＋1e x ≥4，当且仅当4e x ＝e －x，即x ＝－ln 2时，函数的最小值为4.故选C.4．(2019·山西晋城模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4C.92 D ．5答案 C解析 y ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立，即1a ＋4b 的最小值是92.故选C.5．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3B.72 C ．4 D.92答案 C解析 原式＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2≥4.当且仅当x ＝y ＝22时取“＝”号，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是4. 6.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为________．答案 92解析 当a ＝－6或a ＝3时，3－aa ＋6＝0；当－6<a <3时，3－a a ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92， 当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．故3－aa ＋b (－6≤a ≤3)的最大值为92.核心考向突破精准设计考向，多角度探究突破考向一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，x (3－3x )取得最大值．故选B.(2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．答案 0解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．[即时训练] 1.设a ，b 均大于0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 答案 3 2解析 ∵(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋1＋b ＋3＋ 2a ＋1b ＋3＝9＋2a ＋1b ＋3，又2a ＋1b ＋3≤a ＋1＋b ＋3＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时取“＝”， ∴(a ＋1＋b ＋3)2≤18， ∴a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.角度2 利用常数代换法求最值 例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )A ．[6，＋∞)B ．[10，＋∞)C ．[12，＋∞)D ．[16，＋∞)答案 D解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D. (2)已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则2a －1＋1b的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8答案 D解析 因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2，所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1＋1b ·[(a －1)＋2b ]＝4＋4b a －1＋a －1b ≥4＋24b a －1·a －1b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1b，即a ＝32，b ＝14时取等号，所以2a －1＋1b的最小值是8，故选D.常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．运用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值．[即时训练] 2.(2020·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 5解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.角度3 利用消元法求最值例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则acb2的最大值为( )A ．8B ．2 C.18 D.16答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·ca＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立，即acb 2的最大值为18.故选C.(2)已知x >54，则函数y ＝16x 2－28x ＋114x －5的最小值为________．答案 5解析 令4x －5＝t ，则x ＝t ＋54(t >0)，∴y ＝t 2＋3t ＋1t ＝t ＋1t ＋3(t >0)，又t ＋1t≥2(当且仅当t ＝1时，取“＝”)，∴y 的最小值为5.通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．[即时训练] 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3ba的最小值为________． 答案 6解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b ＋3ba 的最小值是6.考向二 求参数值或取值范围例4 (1)(2019·山西长治模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴(a ＋1)2≥9.∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.故选B.(2)当0<m <12时，若1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2,0)∪(0,4]B ．[－4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]答案 D解析 因为0<m <12，所以m (1－2m )＝12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋1－2m 22＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m 1－2m ≥8.又1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.(1)要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活地进行转化． (2)利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或取值范围．[即时训练] 4.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2答案 C解析 由1a ＋1b ＋ka ＋b≥0得k ≥－a ＋b 2ab，又a ＋b 2ab＝a b ＋b a＋2≥4(当且仅当a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C.5．(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.故x ＋3y 的最小值为6.解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)(xy －3)≤0，∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.故选C. 考向三 基本不等式的实际应用例5 (2019·辽宁沈阳质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )(万元)，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1450.每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品的销售额为0.05×1000x 万元，依题意得，当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝⎛⎭⎪⎫51x ＋10000x－1450－250＝1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.则当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ≤1200－2x ·10000x＝1200－200＝1000⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝10000x，即x ＝100时取等号，则当x ＝100时，L (x )取得最大值1000万元．由于950<1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元．有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[即时训练] 6.某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)． (2)∵当m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________． 答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab， 由于ab >0，∴4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4. 答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练已知a >b >0，求a 2＋16b a －b的最小值． 解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 24. ∴a 2＋16ba －b ≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16. 当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2＋16b a －b 的最小值为16.。
利用基本不等式求最值的技巧
利用基本不等式求最值的技巧基本不等式是解决最值问题的一个重要工具。
它可以将一个复杂的问题简化为一个简单的不等式，从而帮助我们找到最值。
在本篇文章中，我将分享一些利用基本不等式求最值的技巧。
首先，我们回顾一下基本不等式的定义。
对于任意的正实数a和b，有以下两个基本不等式：1. 算术平均数与几何平均数不等式（AM-GM不等式）：对于任意的正实数a和b，有a+b/2≥√(ab)。
这个不等式可以表示为(a+b)/2≥√(ab)。
当且仅当a=b时，等号成立。
2.平方平均数与算术平均数不等式（QM-AM不等式）：对于任意的正实数a和b，有√(a²+b²)/2≥(a+b)/2、这个不等式可以简化为√(a²+b²)≥(a+b)/2、当且仅当a=b时，等号成立。
现在，让我们来看一些具体的例子，以说明如何利用基本不等式求最值。
例子1：求证x³+y³+z³≥3xyz，其中x、y和z是正实数。
解：根据AM-GM不等式，我们有x³/3+y³/3+z³/3≥√(x³y³z³)。
将等式两边乘以3，得到x³+y³+z³≥3√(x³y³z³)。
由于x、y和z是正实数，所以xyz>0，可以得到√(x³y³z³)≥xyz。
因此，我们有x³+y³+z³≥3xyz。
例子2：已知x+y+z=1，求证xy+yz+zx≤1/3解：根据AM-GM不等式，我们有x+y/2≥√(xy)和y+z/2≥√(yz)。
将这两个不等式相加，得到x+y/2+y+z/2≥√(xy)+√(yz)。
根据算术平均数与几何平均数不等式，有(x+y/2+y+z/2)/2≥(√(xy)+√(yz))/2根据已知条件x+y+z=1，对等式两边进行化简，可以得到(x+y/2+y+z/2)/2=(x+y+z)/2=1/2因此，我们有1/2≥(√(xy)+√(yz))/2将不等式两边乘以2，得到1≥√(xy)+√(yz)。
新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》检测(有答案解析)(3)
一、选择题1．已知a 、b R ∈，224a b +=，求32a b +的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．42．函数y =的最小值是（ ）A B 1C ．11+D ．3．已知a ，0b >，5a b += ）A ．18B ．9C ．D ．4．设,x y ∈R ，且0xy ≠，则222241x y y x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．9-B ．9C ．10D ．05．m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的和为117,对所有这样的m 与n,3m+2n 的最大值是( ) A ．35 B ．37 C ．38D ．416．已知空间向量(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),OA OB OC === 向量,OP xOA yOB zOC =++且424x y z ++=,则OP 不可能是 A ．12B ．1C ．32D ．47．y=x 的最大值是 （ ）A ．1B ．2C D ．48．已知1=，则以下式子成立的是 A ．221a b +> B ．221a b += C ．221a b +<D ．221a b =9．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ， b ， c ＞0，则 222a b b c a c+++++ 的最小值为( ) A ．1B ．3C ．6D ．910．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( )A ．3B ．1C D 11．已知,,(0,1)a b c ∈，且1ab bc ac ++=，则111111a b c++---的最小值为（ ）A B C ．62- D12．若a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，则下列各式中值最大的一个是（ ） A ．ax+cy+bz B ．bx+ay+cz C ．bx+cy+azD ．ax+by+cz二、填空题13．若222494x y z ++=，则+3x y z +的最大值为______. 14．已知a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则111111a b c +++++的最小值为______．15．已知x,y,z ∈R,有下列不等式: ①x 2+y 2+z 2+3≥2(x+y+z);x y2+≥②③|x+y|≤|x -2|+|y+2|; ④x 2+y 2+z 2≥xy+yz+zx.其中一定成立的不等式的序号是_____16．若实数1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为__________． 17．函数2910,122y x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的最小值为________18．若正数,,a b c 满足41a b c ++=,_________ 19．设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为________．20．已知,(0,)x y ∈+∞<恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是________．三、解答题21．已知f (n )＝1＋312＋313＋314＋＋31n ，()g n =32－212n，n ∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f (n )与g(n )的大小关系； （2）猜想f (n )与g(n )的大小关系，并给出证明． 22．已知,x y R ∈，且1x y +=. （1）求证：22334x y +≥； （2）当0,0x y >>时，不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，求a 的取值范围.23．已知函数()31f x x x =+++. （1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为n ，若正实数,,a b c ，满足a b c n ++=，证明4118a b c++≥. 24．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值. 25．已知222x y +=，且x y ≠，求()()2211x y x y ++-的最小值．26．已知函数()2f x m x =-+，m R ∈，且()20f x -≥的解集为[]3,3-. （1）求m 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且23++=a b c m ，求证：111323a b c++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用柯西不等式可求得32a b +的最大值. 【详解】224a b +=，由柯西不等式可得()()()222223232a b a b ++≥+，即()23213452a b +≤⨯=，32a b ∴-+≤当且仅当a =b =时，32a b +取得最大值.因此，32a b +的最大值为 故选：B. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】将y =y =不等式求得2y 的最小值，从而可求出y 的最小值.【详解】y ==根据柯西不等式，得222(1)2(3)5y x x =-++-++22(1)2(3)52[(1)(3)x x x x ≥-++-++--2[(1)(3)]2511x x =-+-++++当且仅当13x x -=-，即13x =时等号成立.此时，min 1y ==，故选：B. 【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题，属于基础题.3．C解析：C 【分析】. 【详解】由题意，()()2111318a b ≤++++=，=∴当72a =，32b =时，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.4．B解析：B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出最小值． 【详解】 （x 224y +）（y 221x+）≥（x 12y x y ⋅+⋅）2＝9．当且仅当xy 2xy=即xy=时取等号． 故选：B ． 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，熟记不等式准确计算是关键，属于基础题．5．B解析：B 【解析】 【分析】由题意结合数列求和的问题将原问题转化为柯西不等式的问题，然后利用柯西不等式求解最值即可，注意等号成立的条件. 【详解】由题意可得：()()135212462117n m ⎡⎤++++-+++++≤⎣⎦，结合等差数列前n 项和公式有：22117n m m ++≤，配方可得：22146924n m ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，结合柯西不等式有：()2222213232322n m n m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++≥++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即：23469231324n m ⎛⎫++≤⨯ ⎪⎝⎭，据此可得：32337.541642n m +≤≈， 由于23n m +为整数，故2337n m +≤，事实上，1+2+3+4+5+6+7+8+10+11+12+14+16+18=117 此时5个奇数,9个偶数,得到5×2+9×3=37,故3m +2n 的最大值是37. 本题选择B 选项. 【点睛】柯西不等式有代数形式和向量形式两种不同的形式.从解决问题的角度看，受思维特点和知识熟悉程度影响，不同的人会喜欢不同的处理方式.从柯西不等式的地位与作用看，由于柯西不等式是经典不等式，向量形式只是其中一种，利用代数形式研究一些相对复杂的问题更让人们所习惯.同时需要注意综合各个部分知识的应用和等号成立的条件.6．A解析：A 【分析】由题求得OP 的坐标，求得OP ，结合424x y z ++=可得答案.【详解】(),,x y y z =+ ，()222OP x y y z =+++利用柯西不等式可得()()()22222224214216x y y z x y z ⎡⎤⎡⎤+-++++≥++=⎣⎦⎣⎦21621OP ∴≥. 故选A. 【点睛】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤， 且()()22222211211222x x y x x ⎡⎤+-⎢⎥=+-≤+=⎢⎥⎣⎦， 则y =x 21x +-2 当且仅当221x x =-，即2x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B 【解析】由柯西不等式可得(()()2222222111111b aa ab b ⎡⎤⎡⎤=--≤+--+=⎣⎦⎣⎦， 2211b a-=-时，上式取等号，所以2211ab a b =--()()222211a b a b =--，故221a b +=．故选B ．9．D解析：D 【解析】2221,a b c a b b c c a ++=∴+++++()1112++a b c a b b c c a ⎛⎫=⋅++ ⎪+++⎝⎭()()()()21111119a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤=+++++⋅++≥++= ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当13a b c ===时等号成立，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.10．D解析：D 【解析】()()()22222221111119,3a b c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=∴++≥，1a b c ===时等号成立，故选D. 11．D解析：D 【解析】21110,,1,()3()33,()111a b c a b c ab bc ca a b c a b c<<∴++≥++=∴++≥++---(1a -+11)b c -+-2111111[(1)(1)(1)]9,111111a b c a b c a b c-+-+-=∴++≥------9(111)a b c -+-+-≥=D.，故选 【点睛】本题考查柯西不等式，涉及转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于中档题.本题想用基本不等式公式求得a b c ++≥利用柯西不等式公式求得111()(111)111a b c a b c++-+-+----9,≥从而求得1119111(111)a b c a b c ++≥≥=----+-+- 12．D解析：D 【解析】试题分析：根据条件：a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，结合排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和，即可得出同序和ax+by+cz 最大． 解：∵a ＜b ＜c ，x ＜y ＜z ，排序不等式：反序和≤乱序和≤同序和， 得：同序和ax+by+cz 最大． 故选D ．点评：本题主要考查了不等关系与不等式、排序不等式等基本知识，解答关键是利用不等关系与不等式的性质：反序和≤乱序和≤同序和．二、填空题13．3【分析】利用条件构造柯西不等式即可【详解】由题得所以所以所以的最大值为3故答案为：3【点睛】该题考查的是有关利用柯西不等式求最值的问题属于基础题目解析：3 【分析】利用条件构造柯西不等式()22222221(3)49112x y z x y z ⎛⎤⎛⎫++≤++++ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦即可 【详解】由题得()()()()22222221231132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()29434x y z ⨯≥++，所以333x y z -≤++≤， 所以3x y z ++的最大值为3 故答案为：3. 【点睛】该题考查的是有关利用柯西不等式求最值的问题，属于基础题目.14．2【分析】根据题意得到再由柯西不等式即可求出结果【详解】因为均为非负数且则所以由柯西不等式可得：所以；当且仅当即由解得：即时等号成立故答案为：2【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值熟记柯西不等式即解析：2 【分析】根据题意得到()()()1419118a b c +++++=，再由柯西不等式，即可求出结果. 【详解】因为a ，b ，c 均为非负数，且494a b c ++=，则()()()1419118a b c +++++=， 所以由柯西不等式可得：()()()()21419111123361111a b a b c c ⎛⎫++≥++=⎡⎤ ++++⎪⎣⎦+++⎝+⎭， 所以11136211118a b c ++≥=+++；==12233a b c +=+=+， 由12233494a b c a b c +=+=+⎧⎨++=⎩解得：2120a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，即12,,02a b c ===时，等号成立. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值，熟记柯西不等式即可，属于常考题型.15．①③④【解析】【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可【详解】逐一考查所给的四个说法：则说法①正确；当时不成立说法②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x−2|+|y+2|⩾|(x−2)+( 解析：①③④ 【解析】 【分析】由题意逐一考查所给的四个说法的正误即可. 【详解】逐一考查所给的四个说法：()()()()222222321110x y z x y z x y z +++-++=-+-+-≥，则()22232x y z x y z +++≥++，说法①正确；当1x y ==-时，2x y+≥②错误；由绝对值三角不等式的性质可得：|x −2|+|y +2|⩾|(x −2)+(y +2)|=|x +y |，说法③正确； ()()()()222222102x y z xy yz zx x y y z z x ⎡⎤++-++=-+-+-≥⎣⎦， 则222x y z xy yz zx ++≥++，说法④正确. 综上可得，一定成立的不等式的序号是①③④. 【点睛】本题主要考查不等式的性质，利用不等式求最值，均值不等式成立的条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【解析】由柯西不等式得（2x2+y2+3z2）（+1+）≥（x+y+z ）2=1∴2x2+y2+3z2≥即的最小值为故答案为： 解析：611【解析】由柯西不等式得，（2x 2+y 2+3z 2）（12+1+13）≥（x+y+z ）2=1 ∴2x 2+y 2+3z 2≥611，即22223x y z ++的最小值为611故答案为：611． 17．25【解析】故答案为【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式属于中档题解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时关键是对原目标函数进行配凑以保证出现常数结果同时要注意等号成立的条件配凑过程采取如下解析：25 【解析】()222229232321212212212y x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+=+=++- ⎪⎣⎦---⎝⎭225≥=，故答案为25.【方法点睛】本题主要考查了一般形式的柯西不等式，属于中档题. 解决问题的关键是利用柯西不等式求最值时， 关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件, 配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标函数进行配凑后利用柯西不等式解答18．【分析】直接利用柯西不等式列式化简后可求得最大值【详解】由柯西不等式得即即【点睛】本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】直接利用柯西不等式列式，化简后可求得最大值. 【详解】 由柯西不等式得222222111112⎡⎤⎫⎡⎤⎢⎥++++≥⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎭⎝⎭⎣⎦，即()2542a b c ++≥≤. 【点睛】 本小题主要考查利用利用柯西不等式求最大值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．9【详解】由柯西不等式可知解析：9【详解】 由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9x y y x++≥+=． 20．【解析】试题分析：由柯西不等式得所以即考点：柯西不等式解析：k >【解析】试题分析：由柯西不等式得22(13)()x y ≤++，所以≤k >考点：柯西不等式三、解答题21．（1）答案见解析；（2）f (n )≤g(n )，证明见解析.【分析】（1）利用解析式计算、比较可得答案；（2）由（1）的结果猜想可得f (n )≤g(n )，再利用数学归纳法进行证明可得答案.【详解】（1）当n ＝1时，f (1)＝1，g(1)＝1，所以f (1)＝g(1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g(2)＝118，所以f (2)＜g(2)； 当n ＝3时，f (3)＝251216，g(3)＝312216，所以f (3)＜g(3)． （2）由（1）猜想： f (n )≤g(n )，用数学归纳法证明．①当n ＝1，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋312＋313＋314＋＋31k ≤32－212k ， 则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋31(1)k +≤32－212k ＋31(1)k +22233111122(1)2(1)2(1)k k k k =-+-++++，因为212(1)k +－23112(1)k k ++＝332(1)k k ++－212k ＝32312(1)k k k --+＜0， 所以f (k ＋1)＜32－212(1)k +＝g(k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g(n )成立.【点睛】关键点点睛：掌握数学归纳法原理是本题解题关键.22．（1）证明见解析；（2）[]4,5-.【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）可先化简计算221111x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值，再分2a ≥，1a 2-<<，1a ≤-三种情况讨论即可得到答案.【详解】（1）由柯西不等式得： 22222)11x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅⎢⎥ ⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦， ()22243()13x y x y ∴+⨯≥+=， 当且仅当334x y ==时取等号， 22334x y ∴+≥； （2）由0,0x y >>，1x y +=， 得222211(1)(1)(1)(1)112111x x y y x y x y x y x y xy ⎛⎫+-+-++⎛⎫--=⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 114x y xy=+≥≥ 当且仅当12x y ==时等号成立， 要使得不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立， 即可转化为|2||1|9a a -++≤，当2a ≥时，219a -≤，可得25a ≤≤，当1a 2-<<时，39≤，可得1a 2-<<，当1a ≤-时，219a -+≤，可得41a -≤≤-，a ∴的取值范围为：[]45-，.【点睛】易错点睛：本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用. 柯西不等式以及均值不等式注意等号成立的条件.23．（1）[]4,0-；（2）证明见解析【分析】（1）由314x x +++≤，分3,31,1x x x ≤--<<-≥-三种情况，分别解不等式，进而可得出答案；（2）先求出()f x 的最小值，进而利用柯西不等式，可证明结论成立.【详解】（1）()4f x ≤，即314x x +++≤，原不等式等价于3143x x x ⎧⎨----≤≤-⎩或33114x x x ⎧⎨+---≤<<-⎩或3141x x x ⎧⎨+++≤≥-⎩， 解得43x -≤≤-或31x -<<-或10x -≤≤，综上，原不等式的解集为[]4,0-.（2）因为()31312f x x x x x =+++≥+--=，所以函数()f x 的最小值2n =， 则正实数,,a b c ，满足2a b c ++=，由柯西不等式，可得()2411a b ca b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭， 即()2411221116a b c ⎛⎫++≥++=⎪⎝⎭，当且仅当2a b c ==时，等号成立. 所以4118a b c++≥. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.24．1【解析】 试题分析：由柯西不等式得[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=，所以1111323232a b c ++≥+++ 试题因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=． 于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭9≥=， 当且仅当13a b c ===时，上式等号成立． 从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===． 考点：柯西不等式25．1【分析】令,u x y v x y =+=-，得224u v ，利用柯西不等式可以求出. 【详解】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u v x y ， 222x y +=，22()()8u v u v ∴++-=，得224u v ，由柯西不等式可得2222211114u v u v ， 即22111u v ， 当且仅当222u v ==，即2,0x y 或0,2x y 时，等号成立， 故()()2211x y x y ++-的最小值为1.【点睛】本题考查柯西不等式的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 26．(1) 3m =;(2)证明见解析.【分析】(1)根据(2)0f x -≥的解集为[3,3]-,结合绝对值不等式的解法,即可求m 的值;(2)利用柯西不等式,即可证明结论.【详解】(1)依题意(2)||0f x m x -=-≥,即||x m m x m ≤-≤≤，，3m ∴=； (2)证明: 233(,,0)a b c a b c ++=>, 所以由柯西不等式得3=≤ 所以111323a b c ++≥,当且仅当23a b c ==,即111,,23a b c ===时取等号. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和柯西不等式的运用，属于中档题.。
基本不等式与利用均值不等式求最值
基本不等式一、知识回顾1.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）2222,2(2||2)a b R a b ab a b ab ab ∈+≥+≥≥若、则或（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号） 最值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 注意：○1前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； ○2“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；○3均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
0,2b a ab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b +≤≤+（当仅当a=b 时取等号）（2）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()()2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≥≤或 则称f(x)为凸（或凹）函数.二、课前预习1、（05福建卷）下列结论正确的是______________.A ．当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时 B．02x >≥当时 C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 2、下列函数中，最小值为22的是______________.A ．x x y 2+=B ．)0(sin 2sin π<<+=x x x yC ．x x e e y -+=2D ．2log 2log 2x x y +=3、若,210<<a 则下列不等式中正确的是___________.A ．log (1)1a a ->B ．x x a)21(≤ C ．)1cos()1cos(a a -<+ D ．n n a a <-)1( 4、若实数a 、b 满足的最小值是则b a ba 22,2+=+_________. 5、函数11122+++=x x y 的值域为 ． 6、已知x >0，y >0且x +y =5，则lg x +lg y 的最大值是 ． 7、若正数,a b 满足3aba b =++，则ab 的取值范围是_____________________. 三、例题分析例1、(1)已知x >0，y >0且x +2y =1，求xy 的最大值，及xy 取最大值时的x 、y 的值．(2)x 、y 、a 、b ∈R +，a 、b 为常数，且1=+y b x a ，求x+y 的最小值.例2．(1)利用基本不等式求22+=x xy 的最值？当0<x<1时，如何求212++=x x y 的最大值.(2)已知0a>，求函数2y =的最小值。
基本不等式最大值最小值公式
基本不等式最大值最小值公式不等式是数学中的一种基本概念。
在实际生活和工作中，我们会遇到各种各样的不等式问题。
投资的收益率大于某个固定值，或者某个物品的价格必须低于定价等等。
为了解决这些问题，我们需要用到不等式的理论和技巧。
不等式的最大值和最小值是非常重要的概念。
其指的是在给定条件下，不等式所能达到的最大和最小的值。
基本不等式就是一种常见的最大最小值公式。
基本不等式是指对于任意的正实数 a_1, a_2, ..., a_n，有如下的不等式关系：\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1a_2\cdot\cdot\cdot a_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{a_n}}左边的式子称为算术平均数和几何平均数不等式，右边的式子称为调和平均数不等式。
这两个不等式可以统称为基本不等式。
基本不等式的原理是利用平均值不等式和相应的积分不等式证明的。
平均值不等式指的是对于一组数，算术平均数大于等于几何平均数，大于等于调和平均数。
即：\frac{a_1+a_2+\cdot\cdot\cdot+a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1a_2\cdot\cdot\cdota_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{a_n}}这是数学中的一个基本定理，其应用范围非常广泛。
而基本不等式是平均值不等式的一种特例，其应用范围也同样广泛。
下面我们来看一下基本不等式的具体应用。
基本不等式广泛应用于数学竞赛等数学问题的解决中。
在一些竞赛题目中，基本不等式常常被用来证明一些不等式关系，或者推导最大最小值等问题。
基本不等式还可以应用于物理、化学等领域的一些问题。
在物理和化学中，我们也经常会遇到一些关于最大最小值的问题。
基本不等式求最值(1)
b ab
ab b
ab
b
当且仅当
a 1 b
b b
a
1
b
，即
a
2
且
b
1
时取等号，所以
a
1 b
a
1
b
的最小值为 4．
1．凑项
例 1（2）已知 x, y 为正实数，则 4x 3y 的最小值为_________.
x 3y x
【分析】为了凑积为定值，可将 3y 添上 1 后，得 3y x ，从而凑出
例 2（1）若 a，b 都是正数，则 1 b 1 4a 的最小值为________． ab 【分析】展开项后凑倒数和结构，即可用基本不等式．
【解析】∵a，b 都是正数，
∴
1
b a
1
4a b
＝5＋ba＋4ba≥5＋2
ba·4ba＝9，
当且仅当
b＝2a＞0
时，取
“＝”，则
1
b a
1
4a b
．
【分析】将 (a b) 和 (a c) 看成两个整体变量，相当于消元，而后转化为二 元变量问题．
【解析】因为 a(a+b+c)+bc= (a b)(a c) ＝4－2 3 ，
所以 2a+b+c＝ (a b) (a c)≥ 2 (a b)(a c) 2 4 2 3 2 3 2 ，
2x 3y
同除以 xy，得 2 6 y 4x 1 ≥ 4 ，
y
x
所以 0 y ≤ 1 ，即 y 的最大值为 1
3
3
4．分离
例6 变式 已知正实数a，b，c满足 1 1 1 ， 1 1 1 1 ，
ab
利用重要不等式求最大值与最小值
利用重要不等式求最大值与最小值（麻城实验高中 阮晓锋）定理：若x,y 为实数，则有22+2xy y x ≥(当且仅当x=y 时取等号）推论：若x,y 为正数，则有+2x y ≥x=y 时取等号） 应用：已知x,y 为正数，则有：（1）如果积xy 是定值p,那么当且仅当x=y 时和x+y 有最小值（2）如果和x+y 是定值s, 那么当且仅当x=y 时积xy 有最大值214s 例1：已知x ≠0,当x 取什么值时，x x 2281+的值最小？最小值为多少？解：∵x ≠0∴x 2>0,x 281>0又 x 2∙x281=81∴x x 2281+≥x x 22812⋅=18 （当且仅当x 2=x 281即x=3±时上式取=号）∴当且仅当x=3±时x x 2281+有最小值，最小值为18例2一段长为Lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个菜园的长，宽分别为多少时菜园的面积最大，最大值为多少？解：设矩形的两邻边分别为x,y m,则2x+y=L2x+y xy 22≥∴xy L 82≥ ∴S=x y L 281≤(当且仅当y=2x 即x=4L ,y=2L 时取=号） 答：矩形的长，宽分别为2L ，4L 时菜园的面积最大，最大的面积为L 281 例3：解方程212-1-=++z y x （x+y+z) 解： x>0,y>0,z>0∴()()2-212-,1-211-,21z z y y x x ≥+≥+≥+ 将上述三式相加得2-1-x )(21z y z y x ++≥++ （当且仅当x=1,y=2,z=3时取=号）故原方程的解为x=1,y=2,z=3 例4：设∆ABC 的边长a,b,c 满足条件a c b c b b a a =+=+=+2222221,12,122c，求S ∆ABC 解：由已知得abc c c b b a a =+⋅+⋅+⋅222222121212∴))(1)(11c b 222+++a （=8abc ①又c b a c b a21,21,21222≥+≥+≥+ abc c b a 81)(1)(1)222≥+++∴（（当且仅当a=b=c=1时上式取=号） 故有①知a=b=c=1,从而得S ∆ABC=43·12=43。
基本不等式及其应用
基本不等式及其应用【考试要求】1.掌握基本不等式ab ≤a ＋b2(a ，b ≥0)；2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 【知识梳理】 1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. (3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)，当且仅当a ＝b 时取等号.3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).【微点提醒】1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).3.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(3)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为4.( )(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.( )【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )A.9B.18C.36D.813.(必修5P100练习T1改编)若x<0，则x＋1x( )A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2【真题体验】4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f(x)＝x2－2x＋1x，则f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12B.43C.－1D.05.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.6.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________.【考点聚焦】考点一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值【例1－1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______.角度2 利用常数代换法求最值 【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n的最小值为________.角度3 基本不等式积(ab )与和(a ＋b )的转化【例1－3】 (经典母题)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.【迁移探究】 本例已知条件不变，求a ＋b 的最小值.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( ) A.2B.12C.4D.14(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________.考点二 基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元. (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元.考点三基本不等式与其他知识的综合应用【例3】(1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n}中，a3＝7，a9＝19，S n为数列{a n}的前n项和，则S n＋10a n＋1的最小值为________.(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC 的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.【规律方法】基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练3】(1)(2019·厦门模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是( )A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)(2)在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为________.【反思与感悟】1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 【易错防范】1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋mx(m >0)的单调性. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.下列结论正确的是( )A.当x>0且x≠1，lg x＋1lg x≥2B.1x2＋1<1(x∈R)C.当x>0时，x＋1x≥2D.当0<x≤2时，x－1x无最大值3.(2019·绵阳诊断)已知x>1，y>1，且lg x，2，lg y成等差数列，则x＋y有( )A.最小值20B.最小值200C.最大值20D.最大值2004.设a>0，若关于x的不等式x＋ax－1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )A.16B.9C.4D.25.(2019·太原模拟)若P为圆x2＋y2＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )A.2B.2 2C.4D.4 26.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件C.100件D.120件7.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.48.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)二、填空题9.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.11.已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.12.已知直线mx＋ny－2＝0经过函数g(x)＝log a x＋1(a>0且a≠1)的定点，其中mn>0，则1m＋1n的最小值为________.【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2018·江西师大附中月考)若向量m＝(a－1，2)，n＝(4，b)，且m⊥n，a>0，b>0，则log13a＋log31b有( )A.最大值log312B.最小值log32C.最大值log1312D.最小值014.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则4a＋b＋a＋bc的最小值为( )A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 215.(2017·天津卷)若a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1ab的最小值为________.16.已知函数f(x)＝x2＋ax＋11x＋1(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是________.【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，1x＋xy的最小值为________.答 案【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( )(2)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( )(4)x ＞0且y ＞0是x y ＋y x≥2的充要条件.( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×【解析】 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值.(4)x >0且y >0是x y ＋y x≥2的充分不必要条件. 【教材衍化】2.(必修5P99例1(2)改编)若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18C.36D.81【答案】 A【解析】 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.3.(必修5P100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x( )A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2【答案】 D【解析】 因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2. 【真题体验】4.(2019·浙江镇海中学月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0【答案】 D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.5.(2018·济宁一中月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 【答案】 15152【解析】 设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30， 所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.6.(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________.【答案】 14【解析】 由题设知a －3b ＝－6，又2a >0，8b >0，所以2a＋18b ≥22a ·18b ＝2·2a －3b 2＝14，当且仅当2a＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a＋18b 的最小值为14. 【考点聚焦】考点一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值【例1－1】 (1)(2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为______.【答案】 (1)92(2)1【解析】 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. (2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.角度2 利用常数代换法求最值 【例1－2】 (2019·潍坊调研)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n 为正数，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】 4【解析】 ∵曲线y ＝a1－x恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)， 可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·mn＝4， 当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.角度3 基本不等式积(ab )与和(a ＋b )的转化【例1－3】 (经典母题)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 【答案】 [9，＋∞)【解析】 ∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，解得ab ≥3，即ab ≥9. 【迁移探究】 本例已知条件不变，求a ＋b 的最小值. 【答案】 见解析【解析】 ∵a >0，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，整理得(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0， 解得a ＋b ≥6或a ＋b ≤－2(舍).故a ＋b 的最小值为6.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.【训练1】 (1)(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( ) A.2B.12C.4D.14(2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)5【解析】(1)因为a>0，b>0，故2a ＋b≥22ab(当且仅当2a ＝b 时取等号). 又因为2a ＋b ＝4，∴22ab ≤4⇒0<ab≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). (2)由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝135＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立)，所以3x ＋4y 的最小值是5. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【答案】 见解析【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100]. 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ， 即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利润是________万元. 【答案】37.5【解析】由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝⎛⎭⎪⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3 ＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216＝37.5， 当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.考点三 基本不等式与其他知识的综合应用【例3】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________. (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)3 (2)9【解析】 (1)∵a 3＝7，a 9＝19，∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1，∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3，当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3. (2)法一 依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 法二 以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ＋32c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1＝0，∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ， 即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 【规律方法】 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是：1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题.【训练3】 (1)(2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)(2)在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a 2 019的最小值为________. 【答案】 (1)B (2)4【解析】 (1)由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 3 2时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.(2)∵{a n }为等比数列，∴a 2 017·a 2 019＝a 22 018＝12.∴1a 2 017＋2a 2 019≥22a 2 017·a 2 019＝24＝4.当且仅当1a 2 017＝2a 2 019，即a 2 019＝2a 2 017时，取得等号.∴1a 2 017＋2a 2 019的最小值为4.【反思与感悟】1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件. 【易错防范】1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.2.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y ＝x ＋m x(m >0)的单调性. 【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立.2.下列结论正确的是( ) A.当x >0且x ≠1，lg x ＋1lg x≥2 B.1x 2＋1<1(x ∈R) C.当x >0时，x ＋1x ≥2D.当0<x ≤2时，x －1x无最大值 【答案】 C【解析】 对于A ，当0<x <1时，lg x <0，不等式不成立； 对于B ，当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，不等式不成立； 对于C ，当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时等号成立；对于D ，当0<x ≤2时，y ＝x －1x 单调递增，所以当x ＝2时，取得最大值，最大值为32.3.(2019·绵阳诊断)已知x >1，y >1，且lg x ，2，lg y 成等差数列，则x ＋y 有( ) A.最小值20 B.最小值200 C.最大值20D.最大值200【答案】 B【解析】 由题意得2×2＝lg x ＋lg y ＝lg (xy )，所以xy ＝10 000，则x ＋y ≥2xy ＝200，当且仅当x ＝y ＝100时，等号成立，所以x ＋y 有最小值200. 4.设a >0，若关于x 的不等式x ＋a x －1≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a 的最小值为( )A.16B.9C.4D.2【答案】 C【解析】 在(1，＋∞)上，x ＋ax －1＝(x －1)＋a x －1＋1≥2（x －1）×a（x －1）＋1＝2a ＋1(当且仅当x ＝1＋a 时取等号).由题意知2a ＋1≥5.所以a ≥4.5.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2【答案】 B【解析】 由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)， ∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.6.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件C.100件D.120件【答案】 B【解析】 设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ＋x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号. 7.若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B.2C.2 2D.4【答案】 C【解析】 依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立.因为1a ＋2b ＝ab ，所以ab ≥22ab ，即ab ≥22(当且仅当a ＝214，b ＝254时等号成立)，所以ab 的最小值为2 2.8.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】 D【解析】 因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号. 依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 二、填空题9.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.【答案】 23＋2【解析】 y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋2x －2＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立. 10.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元. 【答案】 8【解析】 每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元. 11.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 【答案】 6【解析】 因为x >0，y >0，所以9－(x ＋3y )＝xy ＝13x ·(3y )≤13·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y＝1时等号成立.设x ＋3y ＝t >0，则t 2＋12t －108≥0，所以(t －6)(t ＋18)≥0，又因为t >0，所以t ≥6.故当x ＝3，y ＝1时，(x ＋3y )min ＝6.12.已知直线mx ＋ny －2＝0经过函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点，其中mn >0，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】 2【解析】 因为函数g (x )＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的定点(1，1)在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m 2＋n 2＝1. 所以1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋n 2＝1＋n 2m ＋m 2n≥1＋2n 2m ·m 2n＝2， 当且仅当n 2m ＝m 2n，即m 2＝n 2时取等号， 所以1m ＋1n的最小值为2. 【能力提升题组】(建议用时：15分钟)13.(2018·江西师大附中月考)若向量m ＝(a －1，2)，n ＝(4，b )，且m ⊥n ，a >0，b >0，则log 13a ＋log 3 1b有( )A.最大值log 3 12B.最小值log 32C.最大值log 13 12D.最小值0【答案】 B【解析】 由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即4(a －1)＋2b ＝0， ∴2a ＋b ＝2，∴2≥22ab ，∴ab ≤12(当且仅当2a ＝b 时，等号成立). 又log 13 a ＋log 3 1b ＝log 13 a ＋log 13 b ＝log 13 (ab )≥log 1312＝log 3 2， 故log 13a ＋log 3 1b有最小值为log 3 2. 14.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为( ) A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2 【答案】 D【解析】 因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2， 所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋b c≥2＋22， 当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立，所以4a ＋b ＋a ＋b c的最小值为2＋2 2. 15.(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 【答案】 4【解析】 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R)，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ 【解析】 对任意x ∈N *，f (x )≥3， 即x 2＋ax ＋11x ＋1 ≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x≥42， 当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.【新高考创新预测】17.(多填题)已知正数x，y满足x＋y＝1，则x－y的取值范围为________，1x＋xy的最小值为________.【答案】(－1，1) 3【解析】∵正数x，y满足x＋y＝1，∴y＝1－x，0<x<1，∴－y＝－1＋x，∴x－y＝2x－1，又0<x<1，∴0<2x<2，∴－1<2x－1<1，即x－y的取值范围为(－1，1).1 x ＋xy＝x＋yx＋xy＝1＋yx＋xy≥1＋2yx·xy＝1＋2＝3，当且仅当x＝y＝12时取“＝”；∴1x＋xy的最小值为3.。
一次函数最大值和最小值的求法
一次函数最大值和最小值的求法一、确定函数的增减性1. 当一次函数的斜率k>0时，函数为增函数，此时函数无最大值，只有最小值。
2. 当一次函数的斜率k<0时，函数为减函数，此时函数无最小值，只有最大值。
二、利用函数图像确定最值1. 对于增函数，随着x的增大，y的值也增大，因此当x取其定义域内的最大值时，y取最大值。
2. 对于减函数，随着x的增大，y的值减小，因此当x取其定义域内的最小值时，y取最大值。
三、利用一次函数的性质求最值1. 对于形如y=kx+b的一次函数，当k>0时，y随着x的增大而增大，无最小值；当k<0时，y随着x的增大而减小，无最大值。
2. 当k>0时，函数在x=b处取得最小值，即y=kx+b取得最小值；当k<0时，函数在x=b处取得最大值。
四、利用代数方法求最值1. 对于形如y=kx+b的一次函数，其最值可通过代入x=b计算得到。
例如：当k>0时，当x=b时，y取得最小值；当k<0时，当x=b时，y取得最大值。
2. 对于有定义域限制的情况，需在定义域内寻找使函数取得最值的x值，并计算对应的y值。
五、利用参数方程求最值1. 对于形如x=t, y=kt+b的参数方程形式的一次函数，其最值可以通过代入t=0（或t=1）计算得到。
例如：当k>0时，当t=0时，y取得最小值；当k<0时，当t=0时，y取得最大值。
2. 同样地，对于有定义域限制的情况，需在定义域内寻找使函数取得最值的t 值，并计算对应的y值。
六、利用导数求最值1. 一次函数的导数等于斜率k。
对于形如y=kx+b的一次函数，其导数即为k。
2. 当k>0时，由于导数大于0，函数为增函数，无最小值；当k<0时，由于导数小于0，函数为减函数，无最大值。
3. 利用导数等于0的点（即极值点），结合函数图像可以找到函数的最大值和最小值。
如果极值点位于定义域内且k>0（或k<0），则该点为函数的最大（或最小）值点。
求最大值和最小值的公式不等式
求最大值和最小值的公式不等式在数学中，求解函数的最大值和最小值是一项常见的问题。
我们可以通过一些特定的方法和技巧来解决这类问题。
其中，利用不等式来求最大值和最小值是一种常见且有效的方法。
本文将介绍如何使用不等式来求解函数的最大值和最小值。
不等式求最大值假设我们要求解函数f(x)的最大值，其中x属于某个区间[a,b]。
我们可以通过构造一个不等式来找到最大值。
假设我们已经知道了一个不等式 $g(x) \\geqf(x)$，并且g(x)在区间[a,b]上的最大值是M，即对任意 $x \\in [a, b]$，有 $g(x) \\geq M$。
根据不等式 $g(x) \\geq f(x)$，我们可以得到 $f(x) \\leq g(x) \\leq M$，即在区间[a,b]上，f(x)的取值范围在[f min,M]内。
因此，M就是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值。
不等式求最小值与求最大值类似，我们也可以利用不等式来求解函数的最小值。
假设我们已经知道一个不等式 $h(x) \\leq f(x)$，并且ℎ(x)在区间[a,b]上的最小值是m，即对任意 $x \\in [a, b]$，有 $h(x) \\leq m$。
根据不等式 $h(x) \\leq f(x)$，我们可以得到 $m \\leq h(x) \\leq f(x)$，即在区间[a,b]上，f(x)的取值范围在[m,f max]内。
因此，m就是函数f(x)在区间[a,b]上的最小值。
示例让我们通过一个简单的例子来说明如何利用不等式求解函数的最大值和最小值。
考虑函数f(x)=x2在区间[0,2]上的最大值和最小值。
首先，我们可以构造一个不等式 $x^2 \\leq 4$，其中4是x2在区间[0,2]上的最大值。
因此，4就是函数f(x)在区间[0,2]上的最大值。
同样地，我们可以构造一个不等式 $x^2 \\geq 0$，其中0是x2在区间[0,2]上的最小值。
巧求最值问题八种方法
巧求最值问题八种方法如何求“最值"问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。
一、利用配方求最值例1 ：若X,y是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是____________ 。
分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。
原^式=1(x22xy y2) 1(x26x 9) 1 (y26y 9) 1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990显然有(x-y) 2> 0, (x-3) 2> 0, (y-3) 2> 0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3 时, 代数式的值最小，最小是1990;例2，设x为实数，求y=x2x丄3的最小值。
x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的 x 取值相同。
由于y=x 22x i x - 2 i=（x i ）2（依斗）2i ,要求 y 的最小x J x '值，必须有X-仁0,且眉士 0，解得x=1,Vx于是当x=1时，y=x 2x - 3的最小值是-1。
x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代数式 丄 二的最小值 x 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最 小值，可考虑用不等式的性质来解此题，所以：4角的最小值是1x 4y三、构造方程求最值例 4:已知实数 a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4. 求a 、b 、c 中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与 系数的关系，构造方程来解。
解：设c 为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c, ab=4,则 a 、b 可以看作 x 2（2 c ）x 40 的两c c1 （xy ）2=11 ~4 x1 4y 4（27）2根，因为 a 、b 是实数，所以（2 c ）24^ 0，即 c 7c 3 4c 2 4c 16 0, (c 2)( c 2)(c 4) 0,得 c 2 或 c 4,因为 C 是 最大者,所以c的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使x 24 （8—x ）2—16取最小值的实数X 的值 为______ 」分析：用一般方法很难求出代数式的最值 ，由于 X 24（8一XL16=心―0厂（0一2）28厂（0一4）2,于是可构造图形，转化 为：在x 轴上求一点c （x,0）,使它到 『 两点A （0,2）和B （8, 4）的距离 * 和CA+CB 最小，利用对称可求出 C 点坐标，这样，通过构造图形使问 题迎刃而解。
上海进才中学北校高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试(包含答案解析)
一、选择题1．若222494x y z ++=，则3x y z ++的最大值（ ）A ．9B ．3C ．1D ．62．随机变量ξ的分布列如下：其中是互不相等的正数，则的取值范围（ ）A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭3．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ）A ．2B ．1CD ．4．已知a ，0b >，5a b += ）A ．18B ．9C ．D ．5．对于0c >，当非零实数a 、b 满足224240a ab b c -+-=，且使2a b +最大时，345a b c-+的最小值为（ ） A ．12- B ．12C ．2-D ．26．函数()f x cosx = ，则()f x 的最大值是（ ）A BC ．1D ．27．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．38．已知x+3y+5z=6,则x 2+y 2+z 2的最小值为( ) A ．65B ．6 35C ．36 35D ．69．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝3，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．3 B ．1C ．12D ．1310．证明：2111111(1)22342n n n n+<++++++，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++11．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则++a b c 的最大值是（ ） A ．2 B ．32C ．3D ．5312．设是正数，且，，，则A ．B ．C ．D ．二、填空题13．对一切自然数*n N ∈，猜出使2n t n >成立的最小自然数t =_______. 14．设函数()221f x x x =--+的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若a b m +=，求124a b +++的最大值. 15．函数()25f x x x =+-的最大值为___________.16．设1x ，2x ，3x ，4x ，5x 是1，2，3，4，5的任一排列，则123452345x x x x x ++++的最小值是_____．17．若实数1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为__________． 18．函数321452y x x =-+-的最大值为__________． 19．三棱锥的四个顶点都在半径为4的球面上，且三条侧棱两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为________________.20．设向量(,)a b α=，(,)m n β=，其中,,,a b m n R ∈，由不等式αβαβ⋅≤⋅恒成立，可以证明（柯西）不等式()()22222()am bn a bmn +≤++（当且仅当α∥β，即an bm =时等号成立），已知,x y R +∈3x y x y +式可求得实数k 的取值范围是____三、解答题21．已知函数f (x )=|x -2|+|x +1|. （1）解不等式f (x )>x +2；（2）记f (x )的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a +b +c =m ，证明：333222.33a b c a b c ++++≥ 22．若a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋b ＋c ＝2. （1）求abc 的最大值；（2）证明：11192a b c ++≥. 23．已知无穷数列{}n a 满足：00a =，()*101n n a a n N -≤<-∈．（Ⅰ）证明：0n a n <≤； （Ⅱ）证明：()3312212a a a a ≤++；（Ⅲ）证明：()33312122n n a a a a a a ++++++≤……． 24．已知函数5()|21|2f x x x =-+-. （1）求不等式f (x )≤192的解集； （2）记函数f (x )的最小值为M ，若三个正数a ，b ，c 满足a +b +c ＝M ，求111a b c++的最小值.25．已知x ，y ，z 均是正实数，且2229436x y z ++=，求证7x y z ++≤． 26．已知a 、b 、c ∈R +，且6a b c ++=. （1）当5c =时，求221111a b ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值； （2）证明：222242a b b c c +-+-≥-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用条件构造柯西不等式()22222221(3)49112x y z x y z ⎛⎤⎛⎫++≤++++ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦即可 【详解】解：由题得()()()()22222221231132x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++++≥++⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()29434x y z ⨯≥++，所以333x y z -≤++≤， 所以3x y z ++的最大值为3故选：B.【点睛】考查柯西不等式求最值，基础题.2．D解析：D 【分析】根据题意1a b c ++=且,,0a b c >，利用柯西不等式得到13E ξ>，再计算1E ξ<，得到答案. 【详解】根据题意：1a b c ++=且,,0a b c >，()()()222222222211133a b c a b c E a b cξ++++++=++=≥，故13E ξ≥， 当13a b c ===时等号成立，故13E ξ>.2221E a b c a b c ξ=++≤++=，当2a a =，2b b =，2c c =时等号成立， ,,a b c 是互不相等，故1E ξ<.综上所述：1,13E ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：D . 【点睛】本题考查了利用柯西不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）， 当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．4．C解析：C 【分析】. 【详解】由题意，()()2111318a b ≤++++=，=∴当72a =，32b =时，故选：C. 【点睛】本题考查了函数的最值，考查柯西不等式的运用，正确运用柯西不等式是关键.属于较易题.5．C解析：C 【分析】首先将等式224240a ab b c -+-=变形为22154416c b a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再由柯西不等式得到22a b +，分别用b 表示a 、c ，再代入到345a b c-+得到关于1b 的二次函数，求得其最小值即可. 【详解】224240a ab b c -+-=，22221542416c ab b a b a b ⎛⎫∴=-+=-+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式可得22222152241644b b a b a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅+≥-+⎢⎥⎢⎥⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎣⎦⎣⎦22a b =+， 故当2a b +最大时，有4462b a -=，则32a b =，210c b =，222345345121122310222a b c b b b b b b ⎛⎫∴-+=-+=-=-- ⎪⎝⎭， 所以，当12b =时，345a b c-+取得最小值2-. 故选：C. 【点睛】本题考查代数式最值的求解，考查了柯西不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.6．A解析：A 【分析】将()f x 化为()f x cosx =，利用柯西不等式即可得出答案.【详解】因为()f x cosx =所以()()(21f x cosx=+=当且仅当cosx =. 故选：A 【点睛】本题主要考查了求函数的最值，涉及了柯西不等式的应用，属于中档题.7．B解析：B 【解析】 【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111xy z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。
基本不等式求最值的类型及方法,经典大全
专题：基本不等式求最值的类型及方法一、几个重要的基本不等式：①，、)(222222R b a ba ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
二、函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xb ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质：①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。
例1、求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。
解析：21(1)2(1)y x x x =+>-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-21111(1)222(1)x x x x --=+++>-1≥312≥+52=， 当且仅当211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。
评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。
通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。
解“最值问题”的几种方法
综合理论课程教育研究286 学法教法研究最值问题是我们所熟悉的问题，如今，经历了中学乃至大学的知识学习，我们接触到了各种各类的最值问题，同时我们也相应学习了求解各类最值问题的方法，而这些方法也有助于我们解决生活中各式各样的最值问题，下面我就为大家归纳下求解最值问题的几种方法.一、配方法对于可以转换成“一元二次函数型”的函数，我们都可以利用配方法对其最值进行求解.例1 求在区间内的最值.分析 本题看上去较为复杂，包括不同类型指数的运算，但稍加观察的话，你就会发现，此中的函数是可以转化为“一元二次型的函数”又，有取得最大值为；当时，.二、判别式法对于一元二次方程，我们可以利用来判断其是否存在实根，那么对于一个一元二次函数，若其值域不为空集的话，那么我们就可以认为方程的判别式，由此求得原一元二次函数的值域，进而就可以求得该一元二次函数在某定义域内的最值情况.例2 求函数的最值.分析 本题可以利用配方法进行求解，但过程较为繁琐.观察原题，可以发现函数的值域不会为空集，因此可以考虑到利用判别式法进行求解.解法如下：原等式可化为：（）可以得到若，则有若，则有于是，则；若，则.会成立，还需要进行一项后续工作，将等号的值代入原方程，观察原方程是否有实数解，即是否有相应的值与对应.若存在，我们就可以直接确定最值了.三、换元法对于一些特殊的函数，我们可以利用换元法对其进行最值求解，基本思想是将某一部分当做一个整体或者用一个新的变量来代替某一整体，达到化繁为简，化陌生为熟悉，从而帮助我们更加便利的解决问题.换元法通常有三角代换和三角代换两种.例3 求函数.分析 对于这类含根号的函数，为了化繁为简，换元法是比较大众的方法.求解如下：，则所隐含的定义域为，于是，我则即时，取得最小值为不等式法求解最值问题主要是利用以下几个重要的不等式及其变形来处理最值问题的.不等式（），其中注意：当且仅当时等号成立.在用不等式求函数的最值时，经常需要配合某些变形技巧，结合已知条件进而进行求解.例4 设，，记中最大数为，则的最小值为多少？分析 本题的计算涉及到对数，准确应用对数的运算性质，认真观察，发现其中的技巧.由已知条件可得所求为中最大的数，不妨设中最大的数为A，则.由于，所以，当且仅当时等号成立，此时为最小，那么A 能否取到最小值2呢？容易知道，当时，，即A 可以取得最小值2，从而的最小值为.五、单调性法求解函数在指定区间的最值的时候，我们应该考查该函数在该指定区间内的单调性情况.如果函数在该区间内是单调的，则该函数的最值在区间的端点上取得.若函数在该区间上并不是单调的，则我们就可以考虑把该区间分割成若干个小的区间，目的是使得该函数在分割的每一个小区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值情况，通过比较，得到整个区间上的最值.例5 设函数是奇函数，对于任意均有关系，若时，且.求在上的最大值和最小值.解“最值问题”的几种方法陈 龙（福建省晋江市内坑中学 福建 晋江 362200）【中图分类号】G634.6【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2018） 11-0286-02综合理论课程教育研究学法教法研究 287分析 本题若能确定在上的单调性，其最值也就可以相继求得.下面来考察在上的单调性：设任意且，则.由题设可知，为奇函数，且，，则，则在上单调递减,即在两端点处取得最值.因为，则，进而.又故在上的最大值为，最小值为六、导数法对于基本初等函数以及某些复合函数，我们可以利用导数这一工具有效的对其进行最值求解.设在上是连续，在上是可导，则在上的最大值和最小值就是在内的每个极值与中的最大值与最小值.利用导数的方法进行最值的求解适用性广，在解题例.分析 令由于方差恒大于或者等于0的特征，我们也可以利用方差解决某些的最值问题.例7 确定最大的实数Z，使得实数满足： ，.分析 按照常规的思路，本题不容易攻克，可以巧妙的，构造的方差得，Z .八、三角函数最值的常见求法1.巧用定义域求解三角函数的最值问题，在大多数的题目中，我们必.例8，求值和最小值.分析 此类三角函数可以视作为或的形式，求解其最值值为.2.大多数的数学题型中，题干中所给出的条件都有其特殊的作用和功能，所以，在解题的过程中，我们不能忽视任意一个条件.例求的最小值.分析 个，我们要做的是如何正确的去用好这个已知条件.当然，我们也不能盲目地瞎猜，根据题目要我们求的东西去巧妙地利用好这个已知条件.现最小值.又，即对于一些较为复杂的三角函数，为了求解的方便，我们可以去寻找题干的特点，化繁为简，换元法一般是首选.例10 已知,求的最大值和最小值.分析 对于三角函数，我们应该清楚，其存在着这么一种转化关系：此中就启发我们可以运用换元法快捷简便地解决相应三角函数的最值问题.4.巧引辅助角三角函数是一个特殊的函数，自然也有其独门的“法宝”——辅助角公式，能否巧妙地运用辅助角公式也是能否成功解题的关键.例11 求函数的最值.分析 直观地来看，这是一个分式代数式，分子、分母中均含有三角函数，这无疑给解题增添不少难度，但如果我们对其做一个稍微的变形，情况可能就不一样了：原函数可变为：，观察这个等式的。
利用基本不等式求最值的常见方法
(3) a b 2(a,b同号)，当且仅当a b时取等号. ba
3.满足求最值的三个条件：一正二定三相等
类型一：配凑定值法 例1（. 1）已知0 x 1, 求f (x) x(4 3x)的最大值；
（2）已知x 5 , 求f (x) 4x 2 1 的最大值.
2 x y yx
22 x y yx
4
当且仅当
x y
y x
即x y
x y 1
2 时，等号成立. 2
类型二：常数代换法 例2.（1）已知x 0, y 0, x y 1,求 1 1 的最小值；
xy
（2）已知x 0, y 0, x 3y 5xy,求3x 4y的最小值.
所以f (x)的最大值是1，此时x 1.
类型二：常数代换法 例2.（1）已知x 0, y 0, x y 1,求 1 1 的最小值；
xy （2）已知x 0, y 0, x 3y 5xy,求3x 4y的最小值.
解：（1）1 1 (1 1 )(x y) xy xy
3
2
记t x 1(t 2)， x 1
原式y=t 3 2在[2，+）上单调递增，
t
所以y 2 3 2 11，
2
2
当且仅当t 2即x 3时等号成立.
类型四：和积转化法
例4（. 1）已知x 0, y 0, xy x y 8,求xy的最小值; （2）已知x 0, y 0, xy x y 8,求x y的最大值.
类型三：函数单调性法；
特征：函数化成at b（a,b为非零常数）后，且取等条件不成立 t
3.1基本不等式与最大值最小值(1,2课时)
x y x y ④∵x、y∈R，xy＜0，∴y＋x＝－[－y＋－x]
≤－2
• 其中正确的推导为( • A．①② • C．③④
x y － － ＝－2. y x
)
B．②③ D．①④
例2 已知x、y都是正数，求证：
(1)
y x x y
≥2；
证明: a3 b3 c3 3abc (a b)3 c3 3a 2b 3ab2 3abc
(a b c)[( a b) 2 (a b)c c 2 ] 3ab(a b c)
(a b c)[a 2 2ab b 2 ac bc c 2 3ab] (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca)
1 x
|y|≥ 2. 证明：
练习
3 ( x 2) ，求函 1．已知函数 f ( x) x x2
数的最小值．
大家把x = 2 + 3代入看一看，会有什么发现？ 用什么方法求该函数的最小值？
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件．
4 3 求函数y sin 其中 0， ] （ sin 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4,函数的最小值为4。
3.3（1） 基本不等式 （2）基本不等式的最大值与最小值
一.基本不等式
对于任意实数x,y,(x-y)2≥0总是成立的,即
x2 -2xy+y2 ≥0 所以
x2 + y2 ≥ ,当且仅当x=y 时等号成立 xy 2
设 x a , y b , 则由这个不等式可得出以 下结论:
a+b ≥ ab ,当且仅当 如果a,b都是正数，那么 2
第2课时 均值不等式与最大值、最小值
第2课时均值不等式与最大值、最小值授课提示：对应学生用书第34页[教材提炼]知识点用均值不等式求最值用均值不等式≥求最值应注意：(1)x，y是不是正数；(2)若x，y是正数，①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.(3)等号成立的条件是否满足．[自主检测]1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是( )A. B．1 C．2 D．4答案：C2．已知－1≤x≤1，则1－x2的最大值为________．答案：13．当x＞1时，x＋的最小值为________．答案：3授课提示：对应学生用书第35页探究一用均值不等式求最值[例1] (1)若x＞0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；[解析] ∵x＞0.∴x＋≥2＝4当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．∴函数y＝x＋(x＞0)在x＝2时取得最小值4.(2)设0＜x＜，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；[解析] ∵0＜x＜，∴3－2x＞0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.(3)已知x＞2，求x＋的最小值；[解析] ∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6.(4)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．[解析] ∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16，当且仅当＝，＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.应用均值不等式的常用技巧(1)常值代替这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求＋的最小值”和“已知＋＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型．(2)构造不等式当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用均值不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围．(3)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求＋的最小值．解析：∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即y＝x时，等号成立，解得x＝1－，y＝－1，∴当x＝1－，y＝－1时，＋有最小值3＋2.探究二均值不等式的实际应用[例2] 如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝v2＋v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”．(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v 的函数关系式；(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？[解析] (1)T＝＝＝＋＋.(2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小．∵T＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即v＝20时取等号．∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大．利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．某公司一年需要一种计算机元件8 000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货．每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为x件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？解析：设每年购进8 000个元件的总花费为S，一年总库存费用为E，手续费为H，每年分n次进货，则x＝，E＝2××，H＝500 n.所以S＝E＋H＝2××＋500n＝＋500n＝500≥4 000.当且仅当＝n，即n＝4时总费用最少，故以每年进货4次为宜.授课提示：对应学生用书第36页一、用均值不等式求最值的策略1．配凑以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形．一般地，形如f(x) ＝ax＋b＋的函数求最值时可以考虑配凑法．[典例] 函数y＝(x＞－1)的最小值为________．[解析] 因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2，因为x＞－1，所以x ＋1＞0，所以y≥2－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立．[答案] 02．常值代换利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax＋by(或＋)为定值，求cx＋dy(或＋)的最值(其中a，b，c，d均为常参数)”时可用常值代换处理．[典例] 若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( )A．2 B．3C．4 D．5[解析] 由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·(＋)＝(4＋9＋＋)≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y＝2x 时，等号成立，故4x＋3y的最小值为5.[答案] D3．探究通过换元法使得问题的求解得到简化，从而将复杂问题化为熟悉的最值问题处理，然后利用常值代换及均值不等式求最值．[典例] 设x，y是正实数，且x＋y＝1，则＋的最小值为________．[解析] 令x＋2＝m，y＋1＝n，则m＋n＝4，且m＞2，n＞1，所以＋＝＋＝＋－2＝(＋)(＋)－2＝＋－≥2－＝，当且仅当即m＝，n＝时取等号．所以＋的最小值为.[答案]4．减元当题中出现了三个变元，我们要利用题中所给的条件构建不等关系，并减元，在减元后应注意新元的取值范围．[典例] 已知x，y，z均为正实数，且x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．[解析] 由x－2y＋3z＝0得y＝，所以＝＝＋＋.又x，z均为正实数，所以＞0，＞0，所以＝＋＋≥2＋＝3，当且仅当＝即x＝3z时取等号．所以的最小值为3.[答案] 3二、忽视均值不等式的应用条件[典例] 已知一次函数mx＋ny＝－2过点(－1，－2)(m＞0，n ＞0)．则＋的最小值为( )A．3 B．2C. D.[解析] 由题意得＋n＝1，所以＋＝(＋)(＋n)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝即m＝n时取等号．故选C.[答案] C纠错心得应用均值不等式求最值时，必须遵循“一正、二定、三相等”的顺序．本题中求出＋n＝1后，若采用两次均值不等式，有如下错解：＋n＝1≥2，所以≤，≥，①又＋≥2，②所以＋≥2.选B.此错解中，①式取等号的条件是＝n，②式取等号的条件是＝即m＝n，两式的等号不可能同时取得，所以2不是＋的最小值．第2课时均值不等式与最大值、最小值授课提示：对应学生用书第34页[教材提炼]知识点用均值不等式求最值用均值不等式≥求最值应注意：(1)x，y是不是正数；(2)若x，y是正数，①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.(3)等号成立的条件是否满足．[自主检测]1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是( )A. B．1 C．2 D．4答案：C2．已知－1≤x≤1，则1－x2的最大值为________．答案：13．当x＞1时，x＋的最小值为________．答案：3授课提示：对应学生用书第35页探究一用均值不等式求最值[例1] (1)若x＞0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；[解析] ∵x＞0.∴x＋≥2＝4当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．∴函数y＝x＋(x＞0)在x＝2时取得最小值4.(2)设0＜x＜，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；[解析] ∵0＜x＜，∴3－2x＞0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．∵∈，∴函数y＝4x(3－2x)的最大值为.(3)已知x＞2，求x＋的最小值；[解析] ∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6.(4)已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．[解析] ∵x＞0，y＞0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16，当且仅当＝，＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.应用均值不等式的常用技巧(1)常值代替这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求＋的最小值”和“已知＋＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型．(2)构造不等式当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用均值不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围．(3)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求＋的最小值．解析：∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1，∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即y＝x时，等号成立，解得x＝1－，y＝－1，∴当x＝1－，y＝－1时，＋有最小值3＋2.探究二均值不等式的实际应用[例2] 如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝v2＋v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”．(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式；(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？[解析] (1)T＝＝＝＋＋.(2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小．∵T＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即v＝20时取等号．∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大．利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．某公司一年需要一种计算机元件8 000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货．每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为x件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？解析：设每年购进8 000个元件的总花费为S，一年总库存费用为E，手续费为H，每年分n 次进货，则x＝，E＝2××，H＝500 n.所以S＝E＋H＝2××＋500n＝＋500n＝500≥4 000.当且仅当＝n，即n＝4时总费用最少，故以每年进货4次为宜.授课提示：对应学生用书第36页一、用均值不等式求最值的策略1．配凑以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形．一般地，形如f(x) ＝ax＋b＋的函数求最值时可以考虑配凑法．[典例] 函数y＝(x＞－1)的最小值为________．[解析] 因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2，因为x＞－1，所以x＋1＞0，所以y≥2－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立．[答案] 02．常值代换利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知ax＋by(或＋)为定值，求cx＋dy(或＋)的最值(其中a，b，c，d均为常参数)”时可用常值代换处理．[典例] 若正数x，y满足3x＋y＝5xy，则4x＋3y的最小值是( )A．2 B．3C．4 D．5[解析] 由3x＋y＝5xy，得＝＋＝5，所以4x＋3y＝(4x＋3y)·(＋)＝(4＋9＋＋)≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当＝，即y＝2x时，等号成立，故4x＋3y的最小值为5.[答案] D3．探究通过换元法使得问题的求解得到简化，从而将复杂问题化为熟悉的最值问题处理，然后利用常值代换及均值不等式求最值．[典例] 设x，y是正实数，且x＋y＝1，则＋的最小值为________．[解析] 令x＋2＝m，y＋1＝n，则m＋n＝4，且m＞2，n＞1，所以＋＝＋＝＋－2＝(＋)(＋)－2＝＋－≥2－＝，当且仅当即m＝，n＝时取等号．所以＋的最小值为.[答案]4．减元当题中出现了三个变元，我们要利用题中所给的条件构建不等关系，并减元，在减元后应注意新元的取值范围．[典例] 已知x，y，z均为正实数，且x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．[解析] 由x－2y＋3z＝0得y＝，所以＝＝＋＋.又x，z均为正实数，所以＞0，＞0，所以＝＋＋≥2＋＝3，当且仅当＝即x＝3z时取等号．所以的最小值为3.[答案] 3二、忽视均值不等式的应用条件[典例] 已知一次函数mx＋ny＝－2过点(－1，－2)(m＞0，n＞0)．则＋的最小值为( ) A．3 B．2C. D.[解析] 由题意得＋n＝1，所以＋＝(＋)(＋n)＝＋＋≥＋2＝，当且仅当＝即m＝n时取等号．故选C.[答案] C纠错心得应用均值不等式求最值时，必须遵循“一正、二定、三相等”的顺序．本题中求出＋n ＝1后，若采用两次均值不等式，有如下错解：＋n＝1≥2，所以≤，≥，①又＋≥2，②所以＋≥2.选B.此错解中，①式取等号的条件是＝n，②式取等号的条件是＝即m＝n，两式的等号不可能同时取得，所以2不是＋的最小值．。
不等式专题：基本不等式求最值的6种常用方法(解析版)
基本不等式求最值的6种常用方法知识梳理：一、基本不等式常用的结论1、如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab （当且仅当a b =时取等号“=”）推论：ab ≤a 2＋b 22（a ，b ∈R ） 2、如果a ＞0，b ＞0，则a ＋b ≥2ab ，（当且仅当a ＝b 时取等号“＝”）.推论：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22（a ＞0，b ＞0）；a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 223、a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b（a ＞0，b ＞0）二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。
3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为3a ＋4b 与a ＋3b ，分子为a ＋2b ，设a ＋2b ＝λ(3a ＋4b )＋μ(a ＋3b )＝(3λ＋μ)a ＋(4λ＋3μ)b∴ ⎩⎪⎨⎪⎧3λ＋μ＝1，4λ＋3μ＝2.解得：⎩⎨⎧λ＝15，μ＝25.4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。
5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
利用重要不等式求最大值与最小值
（麻城实验高中 阮晓锋）
定理：若x,y 为实数，则有22+2xy y x ≥(当且仅当x=y 时取等号）
推论：若x,y 为正数，则有+2
x y ≥x=y 时取等号） 应用：已知x,y 为正数，则有：
（1）如果积xy 是定值p,那么当且仅当x=y 时和x+y 有最小值（2）如果和x+y 是定值s, 那么当且仅当x=y 时积xy 有最大值
214s 例1：已知x ≠0,当x 取什么值时，x x 2281
+的值最小？最小值为多少？
解：∵x ≠0∴x 2>0,x 281
>0
又 x 2•x
281
=81∴x x 2281+≥x x 22812⋅=18 （当且仅当x 2=x 281
即x=3±时上式取=号）
∴当且仅当x=3±时x x 2281
+有最小值，最小值为18
例2一段长为Lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个菜园的长，宽分别为多少时菜园的面积最大，最大值为多少？
解：设矩形的两邻边分别为x,y m,则2x+y=L
2x+y xy 22≥∴
xy L 82≥ ∴S=x y L 281≤(当且仅当y=2x 即x=4L ,y=2
L 时取=号） 答：矩形的长，宽分别为2L ，4L 时菜园的面积最大，最大的面积为L 28
1 例3：解方程2
12-1-=++z y x （x+y+z) 解： x>0,y>0,z>0
∴()()2-2
12-,1-211-,21z z y y x x ≥+≥+≥+ 将上述三式相加得2-1-x )(2
1z y z y x ++≥++ （当且仅当x=1,y=2,z=3时取=号）
故原方程的解为x=1,y=2,z=3 例4：设∆ABC 的边长a,b,c 满足条件a c b c b b a a =+=+=+2222
22
1,12,122c
，求S ∆ABC 解：由已知得
abc c c b b a a =+⋅+⋅+⋅222222121212
∴))(1)(11c b 222+++a （=8abc ①
又c b a c b a
21,21,21222≥+≥+≥+ abc c b a 81)(1)(1)222≥+++∴（
（当且仅当a=b=c=1时上式取=号） 故有①知a=b=c=1,从而得S ∆ABC=43·12=4
3 练习：已知x 为实数，则2000--2008x x +
的最大值为_________。
（提示：为4）。