状态转移矩阵例题
数学物理方法第三章答案完整版
第三章答案1. (6分)已知齐次状态方程Ax x=&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其逆矩阵)(1t -Φ和系统矩阵A 。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=Φ--------2t t 2t t 2t t 2t t 3e 2e 3e3e 2e 2e 2e 3e )t (。
解： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-Φ=Φ-2t t 2t t 2t t 2t t 13e 2e 3e3e 2e 2e 2e 3e )t ()t ( （3分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 2. (8分)求定常控制系统的状态响应。
()()()()()()0101,0,0,11210x t x t u t t x u t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+≥== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭&解：11t tt Att tt t tt e te te e e t t tee te -------+⎛⎫+⎛⎫== ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ （4分）0()()(0)()()10t t t t t x t t x Bu t d e te e d te e e τττττττττ------=Φ+Φ-⎡⎤⎡⎤+⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰ （4分）3．(3分) 已知齐次状态方程Ax x =&的状态转移矩阵)(t Φ如下，求其系统矩阵A 。
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=Φ--------2t t 2tt 2t t 2tt 3e 2e 3e3e 2e 2e 2e 3e )t (。
解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Φ==4-3-21|)t (A 0t & （3分） 4．(8分)已知系统的状态方程为：u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111101&， 初始条件为1)0(1=x ，0)0(2=x 。
求系统在单位阶跃输入作用下的响应。
解：解法1：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=Φ--t t t e te e s s L t 01101)(11； （4分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰---t t t t t t t t t t t ttte e te e te e d e e t e e tee x 212111)(00100τττττ。
状态转移概率矩阵计算
状态转移概率矩阵计算摘要：1.状态转移概率矩阵的概念2.状态转移概率矩阵的计算方法3.状态转移概率矩阵的应用正文：一、状态转移概率矩阵的概念状态转移概率矩阵是在马尔可夫过程中，描述系统从某一状态转移到另一状态的概率分布的矩阵。
在马尔可夫过程中，系统的状态转移是随机的，且只与当前状态有关，与过去状态无关。
状态转移概率矩阵是一个方阵，行和列分别对应系统的所有可能状态。
矩阵中的每个元素表示从当前状态转移到对应状态的概率。
二、状态转移概率矩阵的计算方法状态转移概率矩阵的计算方法有多种，以下介绍两种常用的方法：1.直接计算法对于具有n 个状态的马尔可夫过程，假设状态转移概率矩阵为P，那么P 的第i 行第j 列元素表示从状态i 转移到状态j 的概率，可以通过如下公式计算：P(i, j) = (观测到从状态i 转移到状态j 的次数+ 1) / (总的观测次数+ n)2.隐马尔可夫模型算法在实际应用中，通常使用隐马尔可夫模型（HMM）算法来估计状态转移概率矩阵。
该算法的基本思想是利用训练数据中的观测序列和状态序列，通过最小二乘法或其他优化算法来估计状态转移概率矩阵。
具体步骤如下：（1）初始化状态转移概率矩阵P 为任意值。
（2）根据训练数据中的观测序列和状态序列，计算观测概率矩阵O 和观测概率矩阵I。
（3）利用最小二乘法或其他优化算法，求解状态转移概率矩阵P，使得观测概率矩阵O 和观测概率矩阵I 的乘积等于观测序列的概率分布。
（4）不断迭代，直到状态转移概率矩阵P 收敛。
三、状态转移概率矩阵的应用状态转移概率矩阵在实际应用中有广泛的应用，例如：1.在马尔可夫过程中，用于描述系统的状态转移规律，预测未来状态的概率分布。
2.在隐马尔可夫模型中，用于估计状态转移概率，从而推测隐藏状态序列。
控制理论lesson15-状态转移矩阵的求法
结
束
i
1 i
则
J=QAQ-1
e Jt e Q
1
AQt
e J1t Q 1e At Q 0
e J2t
0 J Lt e
e At Qe Jt Q1
其中：若Ji为J的约当块，则eJit为Φ （t）中对应的约当块。
2.求特征矢量： 即
(1 I A) P1 0
1 1 1 P11 6 10 6 P 0 21 6 11 6 P31
P21 0
1 P1 0 1
解出：
P11 P31 1 (任取）
1 P 1 AP A 0
2
0 nt
e 1t P 1e At P 0
e 2 t
0 n t e
e At
e 1t 0 P 1 P n t e 0
2e 3e e 2 t 3 t 6e 6e t 2 t 3 t 2e 12e 9e
t 2 t 3 t
t 2 t 3 t 3 e 3 e e 6e 2 t 6e 3 t t 3e 12e 2 t 9e 3 t
3.求P，P-1：
1 1 1 , P 0 2 6 1 4 9
P 1 5 3 2 2 adj 3 4 3 P 3 1 1 2
4.求
eAt
e
At
：
At
Pe P 1
e 1t P 0
(3 I A) P3 0
状态转移问题
状态转移问题本节介绍两种状态转移问题，解决这种问题的方法,有状态转移法，图解法及用图的邻接距阵等。
1 人、狗、鸡、米问题人、狗、鸡、米均要过河，船上除1人划船外，最多还能运载一物，而人不在场时，狗要吃鸡，鸡要吃米，问人，狗、鸡、米应如和过河？分析：假设人、狗、鸡、米要从河的南岸到河的北岸，由题意，在过河的过程中，两岸的状态要满足一定条件，所以该问题为有条件的状态转移问题。
1. 允许状态集合我们用(w, x, y, z)，w, x, y, z=0或1，表示南岸的状态，例如(1，1，1，1)表示它们都在南岸，(0，1，1，0)表示狗，鸡在南岸，人，米在北岸；很显然有些状态是允许的，有些状态是不允许的，用穷举法可列出全部10个允许状态向量，(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)我们将上述10个可取状态向量组成的集合记为S ，称S 为允许状态集合2、状态转移方程对于一次过河，可以看成一次状态转移，我们用向量来表示决策，例(1,0,0,1)表示人，米过河。
令D 为允许决策集合， D={ (1, x, y, z) : x+y+z=0 或 1}另外，我们注意到过河有两种，奇数次的为从南岸到北岸，而偶数次的为北岸回到南岸，因此得到下述转移方程，k k k k d S S )1(1−+=+ (2.1)),,,(k k k k k z y x w S =表示第k 次状态，D d k ∈ 为决策向量.图2-1 2. 人、狗、鸡、米过河问题，即要找到D d d d m ∈−121,,,"S S S S m ∈,,,10")0,0,0,0(0=S)1,1,1,1(=m S 且满足(2.1)式。
下面用状态转移图求解将10个允许状态用10个点表示，并且仅当某个允许状态经过一个允许决策仍为允许状态，则这两个允许状态间存在连线，而构成一个图, 如图2—1 , 在其中寻找一条从(1,1,1,1)到(0,0,0, 0)的路径，这样的路径就是一个解, 可得下述路径图由图，有两个解都是经过7次运算完成，均为最优解2 商人过河问题三名商人各带一个随从乘船渡河，现有一只小船只能容纳两个人，由他们自己划行，若在河的任一岸的随从人数多于商人，他们就可能抢劫财物。
移位寄存器 第三章答案
第三章习题参考答案1．画出以1)(246+++=x x x x f 为联接多项式的线性移位寄存器逻辑框图，及其对应的状态图。
解：由1)(246+++=x x x x f ，得反馈函数为531621),,,(x x x x x x f ++= ，故 （1）逻辑框图：（2）状态图：状态圈-1： 状态圈-2：状态圈-3： 状态圈-4：状态圈-5： 状态圈-6：状态圈-7： 状态圈-8：状态圈-9： 状态圈-10：状态圈-11： 状态圈-12：2．已知图3-2所示的7级线性反馈移位寄存器：图3-2（1）绘出该移位寄存器的线性递推式，联接多项式及特征多项式。
（2）给出状态转移矩阵。
（3）设初态为（1 1 1 1 1 1 1），给出输出序列a 。
解：(1)由逻辑框图得，递推式为：k k k k a a a a ++=+++357 ()0≥k 。
联接多项式为：7421)(x x x x f +++=。
特征多项式为：7531)(~x x x x f +++=（2）状态转移矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0100000101000000010001000100000001000000011000000。
（3）输出序列：)111111111( =-a 。
3．设5级线性反馈移位寄存器的联接多项式为1)(25++=x x x f ，初态为（10101）。
求输出序列a 。
解：由联接多项式得，反馈函数为：41521),,,(x x x x x f += 。
故以)10101(为初态的状态转移图为：1010101010001010001000001100000100000100100100100110100110100110100110100111100111100111101111101111001110001110001110000110010110110111110101110101110101110101→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→ 由此可得，输出序列为：=a一个周期0110100100000011111001010111011…。
自控原理9(第九章418-437)
由于：
则： (9-65)
定义输入向量至输出向量之间的传递矩阵，为闭环传递矩 阵，记为 (s)，则：
（9-66） 它描述了 U(s) 至 Y(s) 之间的传递关系。 由于： 则： （9-67）
定义输入向量至偏差向量之间的传递矩阵为偏差传递矩阵， 记为e (s)，则： 它描述了 U(s) 至 E(s) 之间的传递关系。 （9-68）
(9-77) 成立，则称系统 (A, B, C, D) 是 G(s) 的一个实现。 简言之，实现问题就是由传递函数矩阵寻求对应的状态空 间表达式。前面曾就由传递函数导出几种标准型式动态方程问
题进行过研究，乃属于传递函数矩阵的实现。
由于多输入多输出系统传递函数矩阵的实现问题比较复 杂, 这里仅限于研究单输入多输出或多输入单输出系统, 它 们的传递函数矩阵是一列向量或行向量。
矩阵为一行向量，故不存在其对偶形式，即不存在可控标准型 实现。
[例9-12] 已知单输入-双输出系统的传递矩阵为：
求传递矩阵的可控标准型实现及对角型实现。 [解] 由于系统是单输入、双输出的，故输入矩阵只有一列，输 出矩阵有两行。 将 G(s) 化为严格有理真分式：
各元素的最小公分母 D(s) 为：
1) 单输入-多输出系统传递矩阵的实现 设单输入、q 维输出系统如图9-22所示，系统可看作由 q 个 独立子系统组成，
传递矩阵 G(s) 为：
(9-78) 式中，d 为常数向量； (i = 1, 2, …, q) 为不可约分的严格有 理真分式 (即分母阶次大于分子阶次) 函数。 通常 的特性并不相同，具有不同
故其输出方程为：
7. 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解
离散系统的特点是系统中的各个变量被处理成为只在离散 时刻取值，其状态空间描述只反映离散时刻的变量组间的因果 关系和转换关系，因而这类系统通常称为离散时间系统，简称 为离散系统。 线性离散系统的动态方程可以利用系统的差分方程建立， 也可以利用线性连续动态方程的离散化得到。
现代控制理论 状态转移矩阵
= 0 = 0 − (− ) − =()() (−)
故有： + =
从- 到t的转移，可以看作是从- 转移到0，再从0转移到t的组合。
2. 可逆性
−
= −
证明： 由性质1
− = − =
再从 1 转移到 2 。
证明：由状态转移矩阵的物理意义：
2 = 2 − 0 (0 )
2 = 2 − 1 (1 ) = 2 − 1 1 − 0 (0 )
故有： 2 − 1 1 − 0 = 2 − 0
4. 倍时性 ()
状态转移矩阵实质上就是矩阵指数函数，其求解方法与矩阵指数函数相同。
例：已知线性定常系统的状态转移矩阵 为：
1 −
1
3
( + )
(− − + 3 )
4
= 2
1 −
−
3
− +
( + 3 )
2
求系统矩阵。
ሶ
解：由状态转移矩阵的定义：()
=A ， 0 = ， ≥ 0
求解矩阵微分方程可得，状态转移矩阵为： − 0 = (−0 ) ， ≥ 0
当 0 = 0时，状态转移矩阵可表示为: = ， ≥ 0
系统的零输入响应可用状态转移矩阵表示：
=
−0
0 = − 0 0 ， ≥ 0
或 = 0 = 0 ， ≥ 0
《现代控制理论》MOOC课程
2.2 状态转移矩阵
2.2 状态转移矩阵
一. 状态转移矩阵的定义
定义：对于给定的线性定常系统 ሶ =A + 其中，x为n维状态向量
矩阵指数函数-状态转移矩阵
e2t
0 T 1 n t e
4 矩阵指数的计算
1、根据定义直接计算 0 1 【例2－1】已知系统矩阵 A 求 2 3 解：
1 e At I At 2! A2t
e
At
k1! Ak t k
2
k1! Ak t k
k 0
s3 ( s 1)( s 2) 2 ( s 1)( s 2) 1 ( s 1)( s 2) s ( s 1)( s 2)
则有：
1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 At 1 e L 1 2 2 2 s 1 s 2 s 1 s 2
2et e2t t 2t 2e 2e
et e2t t 2t e 2e
A( t t0 )
称为状态转移矩阵。
这样，线性系统的自由解又可表示
x(t ) (t t0 ) x(t0 )
(3) 当t0 0 时，状态转移矩阵为 (t ) e At 状态方程解为 x(t ) (t ) x(0)
状态转移矩阵的几何意义
x(t1 ) (t1 ) x(0)
3 拉氏变换法： 可用拉氏反变换求矩阵指数
1 e At (t ) L1 ( sI A )
例2-4 用拉式变换法计算矩阵指数： 解： s 0 1 sI A A 2 2 3
1
1 s 3
s 3 1 1 ( sI A) 2 s s( s 3) 2
1 T 1 2 1 0 1 21 1 1 0 1 2 1 3 , 3 2 3 4 4 9 3 4 1 T 1 6 5 1 4 4 1
作业-1和作业-2_解答_录屏用
1 3
log
1 3
1 4
2 3
log
2 3
2 log 2 1 log 1 3 33 3
0.390 0.528 0.918 比特 / 符号
所以
IX;Y HX HX |Y 0.062
比特/ 符号
(2) 此信道为二元对称信道，所以信道 容量
C 1 H p 1 H 2 0.082
(1-a)/4log(1-a) bit/symbol
(3)
PXY
11//
2 2
a a
1/ 2 a 1/ 4 a
0
1/
4
a
H(Y|X)=1.5-0.5a bit/symbol
I(X; Y)= H(Y) - H(Y/X)
=0.5a-(1+a)/4log(1+a)-
(1-a)/4log(1-a)
I ( X ; a
1 1
3
p
1 3
p( X
1)
3 i 1
p(1 | si ) p(si )
1 3
p 2
1 1
3
p
1 3
p 2
1 3
可以看出，一阶马尔可夫信源平稳 后符号的一维极限概率分布等于其状 态的极限概率分布。因为，根据定义， 一阶马尔可夫信源的状态集就是符号
集 ， 由 其 条 件 概 率 P(ak2 | ak1 ) ( (ak2 , ak1 A {a1, a2 , , aq} )来确定状态转 移概率。
信源平稳分布等于一阶马尔可夫 信源状态的极限分布，即
p(0)
p(1)
p(2)
1 3
进而求符号的极限概率分布，即：
p( X
0)
基本解阵和状态转移矩阵
基本解阵和状态转移矩阵一、基本解阵基本解阵是指对于一个线性方程组，通过矩阵运算得到的一组基础解向量的矩阵表示。
在解决线性方程组问题时，基本解阵是非常重要的工具。
我们来看一个例子，假设有一个线性方程组：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中aᵢⱼ表示矩阵A的元素，bᵢ表示矩阵B的元素。
我们可以将其转化为矩阵形式：AX = B其中X为未知数向量，A为系数矩阵，B为常数向量。
为了求解方程组的解，我们需要求出基础解向量。
基本解阵的求解方法有很多，其中一种常用的方法是高斯消元法。
通过将增广矩阵进行一系列行变换，使得矩阵A变为行阶梯形矩阵，然后根据行阶梯形矩阵的特点，可以得到基础解向量。
二、状态转移矩阵状态转移矩阵是指在马尔可夫链模型中，描述状态之间转移概率的矩阵。
马尔可夫链是一种随机过程，在任意时刻，其未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
假设有一个马尔可夫链，其状态空间为S={s₁, s₂, ..., sₙ}，转移概率矩阵为P，其中P[i,j]表示从状态sᵢ转移到状态sₙ的概率。
状态转移矩阵的作用是描述了马尔可夫链在任意时刻的状态转移情况。
通过状态转移矩阵，我们可以计算出在给定初始状态下，马尔可夫链在未来的状态分布情况。
状态转移矩阵的求解方法有很多，其中一种常用的方法是通过统计实际观测到的状态转移序列，估计转移概率。
通过最大似然估计或贝叶斯估计等方法，可以得到状态转移矩阵的估计值。
总结：基本解阵和状态转移矩阵都是在不同领域中应用的重要概念。
基本解阵用于求解线性方程组的解，而状态转移矩阵用于描述马尔可夫链在不同状态之间转移的概率。
它们在数学、物理、计算机科学等领域都有广泛的应用。
通过对基本解阵和状态转移矩阵的理解和运用，我们可以更好地解决相关问题，并推动相关领域的发展。
马尔柯夫状态转移图与转移矩阵
马尔柯夫过程
当条件概率为
时，则称X(tn)与过去历史无关，即为独立随机过 程 当条件概率为
时，则称X(tn)仅与前一状态X(tn-1)有关而与更前的 状态无关。这一随机过程就是最简单的马尔柯夫过程
•2020/4/30
马尔柯夫过程
将上述过程推广到一般，则马尔柯夫过程是这样一种 随机过程，即其随机变量在任意时刻tn时的状态X(tn) ，仅与其前有限次数之内的状态X(tn-i-1), X(tn-i-2), …,X(tn-i)有关，而与以前的状态无关。
•2020/4/30
马尔柯夫转移矩阵
可见矩阵P为遍历矩阵
•2020/4/30
马尔柯夫转移矩阵
当概率矩阵P为正规的遍历矩阵时，则具有以下性质： Pn随着转移步数n的增加而趋于某一稳定矩阵。即各态 转移的概率趋于稳定； 稳定矩阵的各元素均大于0； 稳定矩阵的各行是同一概率向量：
且
•2020/4/30
马尔柯夫转移矩阵
既然极限状态概率向量不再变化，因此，即使再转移一 步，其状态概率也是不会变的，故有
•2020/4/30
马尔柯夫过程所具有的这种更以前的各种状态不影响 现状态X(tn)的性质，称为“马氏性”或“无后效性”，“无 记忆性”。而马尔柯夫过程又称为“无记忆过程”。
•2020/4/30
马尔柯夫过程
为了方便，现将状态X(tn)记为j, X(tn-1)记为i，则式可 写为
条件概率Pij称为过程从状态i到状态j的转移概率。
如果马尔可夫过程从一个给定状态向另一个状态转移 的概率仅与两状态的相对时间有关，而与观测时刻无 关，或具体观测时间变化时其转移概率值仍不变，即
则称为“稳态马而可夫过程”，“平稳~”，“齐次~”。
一步状态转移矩阵应用题
一步状态转移矩阵应用题一步状态转移矩阵应用题可以涉及许多领域，包括物理、生物、经济等等。
以下是一个应用于经济领域的例子：假设有一个国家的经济系统，分为三个主要部门：农业、制造业和服务业。
三个部门之间有一定的关联，存在物质和资金的流动。
我们可以建立一个简化的模型来描述这个经济系统，其中状态可以表示为每个部门的经济产出。
假设农业、制造业和服务业的经济产出分别用变量A、M和S表示。
我们将这三个变量放在一个向量中，记为X=[A, M, S]。
通过分析过去的经济数据，我们可以得到一步状态转移矩阵T，它表示每个部门的经济产出在下一个时间步中可能发生的变化。
假设我们有以下状态转移矩阵：T = [0.6 0.3 0.1;0.2 0.7 0.1;0.1 0.2 0.7]这个矩阵表示：- 农业部门的产出有60%的概率保持不变，30%的概率转移到制造业，10%的概率转移到服务业。
- 制造业部门的产出有20%的概率转移到农业，70%的概率保持不变，10%的概率转移到服务业。
- 服务业部门的产出有10%的概率转移到农业，20%的概率转移到制造业，70%的概率保持不变。
在给定初始经济产出X0=[100, 200, 300]的情况下，我们可以使用状态转移矩阵来计算下一个时间步的经济产出。
X1 = T * X0将矩阵T乘以向量X0，我们可以得到：X1 = [0.6 0.3 0.1; [1000.2 0.7 0.1; * 2000.1 0.2 0.7] 300]计算结果为：X1 = [160210230]这意味着在下一个时间步，农业部门的产出可能增加到160，制造业部门的产出可能增加到210，服务业部门的产出可能增加到230。
通过不断进行状态转移，我们可以模拟出经济系统在不同时间步中的发展趋势，并进行预测和分析。
信息论 例题
1、 一个二阶马氏链，其符号概率如表1，求其状态转移概率表，画出其状态转移图，求出各状态的平稳分布概率。
表1 符号条件概率表 表2 状态转移概率表表4 状态转移概率矩阵1/21/200001/32/31/43/400001/54/5P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦表3 状态转移图求解稳态分布概率得 解之得2、 设信源符号集X={x 1,x 2,x 3}，每个符号发生的概率分别为p(x 1)=1/2，p(x 2)＝l/4，p(x 3)＝1/4。
则信源熵为 H(X)=1/2log 22+1/4log 24+1/4log 24=1.5 比特/符号 3、 电视屏上约有 500×600=3×105个格点，按每点有 10个不同的灰度等级考虑，则共能组成n=103×105个不同的画面。
按等概率1/103×105计算，平均每个画面可提供的信息量为 5310221()()log ()log 10ni i i H X p x p x -⨯==-=-∑ ≈3 × 105 × 3.32 比特/画面有一篇千字文章，假定每字可从万字表中任选，则共有不同的千字文N=100001000=104000 篇，仍按等概率1/100001000计算，平均每篇千字文可提供的信息量为H （X ）＝log 2N ＝4 × 103 × 3．32 ≈1．3 × 104 比特／千字文4、一个马尔可夫信源有3个符号{}1,23,u u u ，转移概率为：()11|1/2p u u =，()21|1/2p u u =，()31|0p u u =，()12|1/3p u u =，()22|0p u u =，()32|2/3p u u =，()13|1/3p u u =，()23|2/3p u u =，()33|0p u u =，画出状态图并求出各符号稳态概率。
解：状态图如下13111,24W W W +=13213,24W W W +=24424,35W W W +=24311,35W W W +=12341W W W W +++=1i ij j i i iW p W W ==∑∑和12343664,,,3535357W W W W ====状态转移矩阵为：1/21/201/302/31/32/30p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭设状态u 1，u 2，u 3稳定后的概率分别为W 1，W 2、W 3由1231WP W W W W =⎧⎨++=⎩得1231132231231112331223231W W W W W W W W W W W W ⎧++=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪++=⎩计算可得1231025925625W W W ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 5、由符号集{0，1}组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：(0|00)p =0.8，(0|11)p =0.2，(1|00)p =0.2，(1|11)p =0.8，(0|01)p =0.5，(0|10)p =0.5，(1|01)p =0.5，(1|10)p =0.5。
状态转移矩阵计算
下面讨论之。
约旦规范形法(2/8)
下面首先讨论矩阵指数函数的一条性质: 对矩阵A,经变换矩阵P作线性变换后,有
A P 1 AP
则相应地有如下矩阵指数函数的变换关系
e Pe P
At
~ At
1
e P e P
1 At
~ At
约旦规范形法(3/8)
该结论可简单证明如下:
解: 1. 先求A的特征值。由特征方程可求得特征值为 1=-1 2=-2 3=-3
2. 求特征值所对应的特征向量。由前述的方法可求得特征值 1,2和3所对应的特征向量分别为 p1=[1 0 1] p2=[1 2 4] p3=[1 6 9]
约旦规范形法—例3-5
故将A变换成对角线矩阵的变换矩阵P及其逆阵P-1为
最小多项式在矩阵多项式的分析与计算中起着重要作用。 定理3-2给出了特征多项式与最小多项式的关系。 定理3-2 设首一多项式d()是I-A的伴随矩阵adj(I-A)的所有 元素的最高公约式,则最小多项式为
I A ( ) d ( )
()=m+1m-1+…+m-1+m
级数求和法(2/3)
显然,用此方法计算eAt一般不能写成封闭的、简洁的解析形 式,只能得到数值计算的近似计算结果。
其计算精度取决于矩阵级数的收敛性与计算时所取的 项数的多少。 如果级数收敛较慢,则需计算的级数项数多,人工计算是 非常麻烦的,一般只适用于计算机计算。 因此,该方法的缺点: 计算量大 精度低
f(A)=An+a1An-1+…+an-1A+anI = 0
上述特征多项式亦称为矩阵A的零化特征多项式。 □
控制系统的状态方程求解练习题及答案
第2章 “控制系统的状态方程求解”练习题及答案2.1计算下列矩阵的矩阵指数t e A 。
200200(1)020;(2)031002003--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦A A0001(3) ; (4) 1040-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A（1）解 222000000ttt t e e e e ---⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A （2）解 233300000tt t t t e e e te e ----⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A （3）解()122011001111s s s s s s s s s s -⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦I A I A ()()()11101t t e L s tt --⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I A （4）解： 14s s s ⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦I A()1222221144124242244s s s s ss s s s s --⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦⎡⎤-⋅⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦I A 221221242422441cos 2sin 222sin 2cos 2t ss s e L s s s t t tt -⎡⎤-⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A2.2 已知系统状态方程和初始条件为()1001010,000121⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x x (1) 试用拉氏变换法求其状态转移矩阵；(2) 试用化对角标准形法求其状态转移矩阵； (3) 试用化te A 为有限项法求其状态转移矩阵； (4) 根据所给初始条件，求齐次状态方程的解。
（1）解 12100010012O O ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦A A A ， 其中， 12101,12⎡⎤==⎢⎥⎣⎦A A则有 1200tt t e e e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A A A而 1t t e e =A ， ()2112teL s --⎡⎤=-⎣⎦A I A ()112101220111(1)(2)101111212s s s s s s s s s s s ---⎡⎤-=⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤=⎢⎥---⎣⎦⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥---⎣⎦I A()2112220ttt tt e eL s e e e --⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦-⎣⎦A I A 所以状态转移矩阵为()112200000tt t t tt e e L s e e e e --⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎣⎦A I A （2）解21(1)(2)012I λλλλλ--==--=--A 121,2λλ==对于11λ=，100011101⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦1P P对于22λ=，2210001001⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⇒=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦P P110101111-⎡⎤⎡⎤=⇒=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦P P 2122220010100111100t tt tt tt t t e ee e e e e ee -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A P P2200000tt t t tt e e e e e e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦P （3）解 矩阵的特征值为1,21λ=,32λ=对于32λ=有： 2012()2()4()t e t t t ααα=++ 对于1,21λ=有： 012()()()t e t t t ααα=++ 因为是二重特征值，故需补充方程 12()2()t te t t αα=+ 从而联立求解，得：202122()2()322()t tt t t t t tt e te t te e e t e e te ααα=-=-+=--()()20122222222()()()20100020322010002012100100 0100100120120000 0t t t t t t t t t t t t t t t t t t e t t t e te e te te e e e te e e te e e e e e ααα=++⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A I A A（4）解：0)0222()()(0)001000001t t t tt t t tt t t e t e e e e e e e e -==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A(A x x x2.3 矩阵A 是22⨯的常数矩阵，关于系统的状态方程式= xAx ，有 1(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时， 22t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x2(0)1⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x 时， 2t t e e --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦x试确定这个系统的状态转移矩阵(,0)t Φ和矩阵A 。