九年级数学 《一元二次方程》小结与复习学案
第一章一元二次方程小结与复习学案(湘教版九上)
第一章一元二次方程小结与复习学案（湘教版九上）学习目标：1、通过对本章的复习与小结，使学生熟练掌握解一元二次方程的四种方法，并会根据具体方程的特点选择适当的方法。
2、进一步运用建立一元二次方程模型解决实际问题的能力。
学习重点：能灵活运用四种方法解一元二次方程。
学习难点：建立一元二次方程模型解决实际问题的能力。
学习过程：复习引入：1、回顾本章的主要数学思想和方法.本章主要的数学思想是化归与转化，即把需要解决或较难解决的问题，通过适当的方法，把它化归与转化为已经解决或较容易解决的问题，从而使问题得以解决.如一元二次方程，通过“降次”转化为两个一元二次方程，配方法是一种非常重要的方法，由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少，但它是推导一元二次方程求根公式的基础，而且在今后学习二次函数等内容时，还将多次用到，是中学数中的重要方法，应熟练掌握这种方法.2、理清本章的知识结构图（课本P.29的知识结构图）.请同学们带着以下问题用5分钟的时间自学教材 P28 -P29复习题一前的内容，并自学思考题：自学思考题：1．方程中只含有未知数，并且未知数的最高次数是，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：________________ ( )其中二次项系数是、一次项系数是常数项。
例如：一元二次方程7x－3=2x2化成一般形式是___________________其中二次项系数是、一次项系数是常数项是。
2．解一元二次方程的一般解法有：（1）____________法，适用于能化为（x+m)2=n(n≥0）的一元二次方程。
（2） 法，适用于能化为（x+a )（x+b ）=0的一元二次方程。
（3） 法，关键是 ________________________（4）求根公式法，求根公式是 ________________________3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）的根的判别式是 ，当 时，它有两个不相等的实数根；当 时，它有两个相等的实数根；当 时，它没有实数根。
09第21章一元二次方程小结与复习教案
二、一元二次方程的根与系数的关系
已知 x1，x2 是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c 为常数，a≠0)的两根. 则有：
x1
x2
b a
，
x1 x2
c a
.注意：(1)不是一般式的，要化成一般式；(2)在方程有实数根的条
件下应用，即
b2-4ac≥0；(3)在使用
x1
x2
b a
时，注意“-”不要漏写.
大种植，造成该种蔬菜滞销.小王为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每
千克 3.2 元的价格对外批发销售.求平均每次下调的百分率是多少？
解：设平均每次下调的百分率是 x，根据题意得
5(1-x)2=3.2
解得 x1=1.8(舍去)，x2=0.2=20% 答：平均每次下调的百分率是 20%.
10.为了响应市委市政府提出的建设绿色家园的号召，我市某单位准备将院内一个长为 30m，
高于每件 28 元，该公司想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应当为多少元？
解：(1)每天的销售量为：32-2(x-24)=(80-2x)件；
(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150
解得 x1=25，x2=35 由题意 x≤28，∴ x=25，即销售价应当为 25 元.
针对训练
9.菜农小王种植的某种蔬菜，计划以每千克 5 元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩
A.(x－1)2＝6
B.(x＋2)2＝9
C.(x＋1)2＝6
D.(x－2)2＝9
(2)某三角形两边长分别为 3 和 6，它第三边的长是方程 x2－13x＋36＝0 的根，则该三角形
的周长为( )
A.13 B.15 C.18 D.13 或 18
九年级数学上册 第2章 一元二次方程小结与复习导学案
一元二次方程【学习目标】1．进一步理解一元二次方程的有关概念．2．能灵活运用配方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程．3．进一步提高建一元二次方程模型解决实际问题的能力．【学习重点】一元二次方程的解法与应用．【学习难点】一元二次方程的应用。
情景导入 生成问题【本章知识结构】【基础知识梳理】1．一元二次方程的定义及一般形式一元二次方程的定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫作一元二次方程． 一元二次方程的一般形式是：ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)．2．一元二次方程的解法(1)解一元二次方程的基本思路是降次(即转化为解两个一元一次方程)．一元二次方程的解法有：配方法，公式法，因式分解法等．(2)一元二次方程的求根公式是x ＝2a(b 2－4ac≥0)．其中b 2－4ac 叫作一元二次方程根的判别式． 当b 2－4ac>0时，它有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，它有两个相等的实数根；当b 2－4ac<0时，它没有实数根．(3)若设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)的两实根为x 1、x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a． 3．一元二次方程的应用(1)解决应用题的一般步骤：审题、设未知数、找等量关系、列方程、解方程、检验、作答．(2)平均增长率(降低率)问题的常用公式：a(1±x)n＝b.自学互研 生成能力知识模块一 一元二次方程的定义及一般形式【例1】 (1)方程(m ＋1)xm 2－2m －1＋7x －m ＝0是一元二次方程，则m ＝3．(2)若关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0，则m 等于( B ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．0教师提示：紧扣一元二次方程的定义．知识模块二 一元二次方程的解法【例2】 选择恰当的方法解下列方程：①(2y －3)2＝5； ②(x＋3)2＝2x ＋6；解：原方程可化为 解：原方程可化为2y －3＝±5， (x ＋3)2－2(x ＋3)＝0，y ＝3±52， (x ＋3)(x ＋3－2)＝0， ∴y 1＝3＋52，y 2＝3－52. ∴x 1＝－3，x 2＝－1. ③2x 2－3(x －1)2＝1; ④x 2－5x －14＝0.解：原方程可化为 解：原方程可化为x 2－6x ＝－4, b 2－4ac ＝(－5)2－4×1×(－14)＝81，(x －3)2＝5, x ＝5±812＝5±92， ∴x 1＝3＋5，x 2＝3－ 5. ∴x 1＝7，x 2＝－2.教师点拨：解一元二次方程时要注意：先观察方程的特点，再选择恰当的解法，一般情况下：①首先看能否用平方根的意义或因式分解法；②不能用以上方的可考虑配方法；③最后考虑公式法．知识模块三 一元二次方程的应用【例3】 某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个．市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个．若销售利润率不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？解：设这种台灯的售价上涨x 元，根据题意，得(40＋x －30)(600－10x)＝10000.即x 2－50x ＋400＝0.解得x 1＝10，x 2＝40.所以每个台灯的售价应定为50元或80元．当台灯售价定为80元时，销售利润率为53，不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为23，符合要求． 答：每个台灯售价应是50元．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 一元二次方程的定义及一般形式知识模块二 一元二次方程的解法知识模块三 一元二次方程的应用检测反馈 达成目标1．关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0，则m 等于( B ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．02．用适当的方法解一元二次方程．(1)x 2＝3x; (2)(x －1)2＝3；(3)2x 2＋5x －3＝0.解：(1)x 1＝0，x 2＝3.(2)x 1＝1＋3，x 2＝1－ 3.(3)x 1＝12，x 2＝－3. 3．某商场将销售成本为30元的台灯以40元的价格售出，平均每月销售600个，市场调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，每月平均销售数量将减少10个，若销售利润不得高于100%，那么销售这种台灯每月要获利10000元，台灯的售价应定为多少元？解：设这种台灯的售价上涨x 元，根据题意，得(40＋x －30)(600－10x)＝10000，即x 2－50x ＋400＝0，解得x 1＝10，x 2＝40.∴每个台灯的售价应定为50元或80元．当台灯售价定为80元时，销售利润将为53，不符合要求；当台灯售价定为50元时，销售利润率为23，符合要求．所以台灯的售价应定为50元。
北师大版数学九年级上册第二章《一元二次方程》复习教案
一、教学内容
北师大：
1.一元二次方程的定义与一般形式；
2.一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；
3.一元二次方程根的判别式及其应用；
4.一元二次方程的根与系数的关系；
5.实际问题中的一元二次方程及其应用。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如测量物体的高度，通过一元二次方程来计算。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要复习的是《一元二次方程》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数关系的问题？”（如面积和边长关系等）这个问题与我们将要复习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同回顾一元二次方程的奥秘。
此外，小组讨论环节中，学生们能够积极参与，相互交流，分享自己的观点。但在讨论过程中，我也观察到有些学生过于依赖他人，缺乏独立思考。为了培养学生的独立思考能力，我将在今后的教学中，多设置一些开放性问题，引导学生自主探究，提高他们的问题解决能力。
在实践活动方面，学生们对实验操作表现出浓厚兴趣，能够积极参与。但在操作过程中，部分学生还显得有些手忙脚乱，对实验原理的理解不够深入。针对这一问题，我将在后续的教学中，加强对实验原理的讲解，让学生们在操作前能够充分理解实验的目的和步骤。
（二）新课讲授（用时10分钟）
第23章《一元二次方程》小结与复习教学案(1课时)(华东师大版初三上)doc初中数学
第23章《一元二次方程》小结与复习教学案（1课时）（华东师大版初三上）doc 初中数学初三数学备课组第13课时：本章小结与复习 课型：复习一、学习目标：⒈把握一元二次方程的差不多概念及其解法。
⒉灵活运用一元二次方程知识解决一些实际咨询题。
二、学习重难点：⒈重点：一元二次方程的应用；⒉难点：一元二次方程的应用；三、学习过程：㈠创设情境回忆本章学过哪些知识点？㈡点拨矫正⒈关于x 的方程〔 a+3〕x a 2-1+(a-1)x-1=0⑴当m 为何值时，它是一元二次方程；⑵当m 为何值时，它是一元一次方程；⒉解以下方程⑴5(x-1)2=54 ⑵(1-2)x 2=(1+2)x⑶3x 2-7x-10=0 ⑷(21x-1)(x+2)=163.假设关于x 的一元二次方程x 2-(m+1)x+m+4=0两实根的平方和为2，求m 的值。
4．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)⑴当a 、c 异号时，试讲明该方程必有两个不相等的实数根；⑵当a 、c 同号时，该方程要有实数根，还需滿足什么条件？请你找出一个a 、c 同号，且有实数根的一元二次方程，然后解那个方程。
㈢规律总结解一元二次方程时，一样情形下，先考虑能否用直截了当开平方和因式分解法，假设不能，再考虑用公式法，配方法不常用。
㈣尝试练习⒈方程(k 2-1)x 2+kx-5=0是一元二次方程，那么k 的值不能是〔 〕A. 0B. 1C. –1D. ±1⒉假设(x+y)(1-x-y)+6=0，那么x+y 的值为〔 〕A. 2B. 3C. –2或3D. 2或-33．关于x 的方程2x 2+(8k+1)x+8k=0两个不相等的实数根,那么k 的取值范畴为_______。
4．α和β是x 2+2x-2001=0的两个实数根，那么α2+3α+β=___________________.5.a 、b 是实数，且62 a +(b-2)=0，解关于x 的方程(a+2)x 2+b 2=(a-1)x 。
人教版九年级数学上第22章一元二次方程 小结与复习教案
第22章一元二次方程小结与复习教学内容本节课主要是对一元二次方程进行系统复习，巩固所学知识，提升应用能力．教学目标知识技能理解一元二次方程概念，灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程．重难点、关键重点：运用知识、技能解决问题难点：解题分析能力的提高．关键：引导学生参与解题的讨论与交流教学准备教师准备：制作课件，精选习题教学过程一、回顾交流【教学方略】∙知识网络图表∙一元二次方程解法直接开平方法配方法公式法因式分解法判别式应用列方程或方程组解应用题【师生共识】1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________；（2）________；（•3）•_________；•（•4）•求根公式法，•求根公式是______________．范例点击例1：教师巡视、指导，并选取4名学生上台书写解答过程 点拨：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法．二、 随堂巩固导学案P41 第1、题补充练习学生独立思考、独立解题．教师巡视、指导，并选取4名学生上台书写解答过程【设计意图】为学生提供实际演练的机会，加强对已学知识的复习并检查对新知识的掌握情况.三、 小结作业1.问题：谈一谈本节课自己的收获和感受？2.作业：导学案P41 第2、3、4题【活动方略】教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．解方程：（2x-3)2=x2。
新苏教版九年级数学上册《一元二次方程全章复习与小结(二)(应用问题)》导学案
《一元二次方程全章复习与小结（二）（应用问题）》导学案一、学习目标：1.进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型，2.通过对实际问题的解题过程，知道解应用题的一般步骤和关键所在二、学习重、难点重点：利用一元二次方程解决实际问题难点：如何正确找到相等关系，列出方程三、学习与交流：1.数与数字方面的应用题例：两个连续偶数的积是168，求这两个偶数。
2.增长率问题例:某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一年培训了20万人次。
设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x，根据题意列出的方程是_________________。
3. 销售利润问题例：苏宁服装商场将每件进价为30元的内衣，以每件50元售出，平均每月能售出300件，经过试销发现，每件内衣涨价10元，其销量就将减少10件，为了实现每月8700元销售利润，假如你是商场营销部负责人，你将如何安排进货？4. 几何问题例：将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.四、例题教学（循环赛制类应用题）2014年某地区的超级足球联赛，赛制采取主、客场的循环比赛，如果所有比赛场次共有240场，那么2014年共有多少个队参加这个超级联赛？6．如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O 点的正北方向10海里外的A 点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶。
在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点B 为追上时的位置）？7.如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=3cm 。
点P 沿边AB 从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动。
第2单元一元二次方程小结与复习导学案(新湘教版九年级上)
湘教版九年级上册数学导学案第二章小结与复习【学习目标】1.通过画知识网络图，完成对一元二次方程的知识点的梳理，建构知识体系.2.通过对典型例题，易错题的整理，抓住本章的特点，突破学习的难点.3.通过灵活运用解方程的方法，进一步熟练根据方程特征找出最优解法.4.通过实际问题的解决，进一平熟练运用方程解决实际问题，体会方程思想在解决问题中的运用.重点：理解并掌握一元二次方程的概念及解法，解决与一元二次方程根的判别式有关的问题，会运用方程模型解决实际问题.难点：1.根与系数关系的应用；2.对于背景较复杂，等量关系不太明显的实际问题的解决. 【预习导学】1.什么样的方程是一元二次方程？它的一般形式是什么？2.一元二次方程的解法有哪几种？3.如何根据一元二次方程根的判别式来判断方程是否有实根？4.一元二次方程的根与系数之间有什么关系？5.利用一元二次方程模型解决实际问题有哪些步骤？【探究展示】（一）合作探究学生自主学生自主交流讨论，形成知识网络图.一元二次方程的有关概念一元二次方程的解法配方法一元二次方程一元二次方程根的判别式公式法一元二次方程根与系数的关系因式分解法一元二次方程的运用(二）探究展示1.当m为何值时，关于X的方程（m-2）X2+（m+2）X+3m+2=0.2.解下列方程：（1）49X2-144=0；（2）X（7-X）=4X2；（3）2X2-6X-3=0；（4）（X+3）2+2X（X-3）=0；（5）X（X+1）+2（X-1）=0；（6）X2+8X+16=0.3.已知关于X的方程X2-（b+2）X+2K=0.（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根.（2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的根，求三角形的周长.4.将进货单件为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少元？【知识梳理】以“本节课我们学到了什么”启发学生谈谈本节课的收获.【当堂检测】 1.如果关于X 的方程（m-2）X m2-2-X+3=0是一元二次方程，则m 的值是 . 2.已知X 1，X 2是方程X 2-2X-1=0的两实数根，那么2112x x x x 的值为 . 3.若关于X 的一元二次方程X 2+6X+212=0有两个实数根，求K 的取值范围及K 的非负数整数值.4.北京奥运会的主会场“鸟巢”给世人留下了深刻的记忆，据了解，在鸟巢设计的最后阶段，经过两次优化，鸟巢的结果用钢量从最初的54000t 减少到42000t ，求年均每次用钢量降低的百分率X （精确到1%）.【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？。
九年级数学上册第二十二章一元二次方程复习教案新人教版【教案】
九年级数学上册第二十二章一元二次方程复习教课设计新人教版【教课设计】
第 22 章一元二次方程小结与复习
教课内容
本节课主假如对一元二次方程进行系统复习，稳固所学知识，提高应用能力．
教课目的
知识技术
灵巧运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，运用一元二次方程解决简单的实质问题．
数学思虑
经历运用知识、技术解决问题的过程，发展学生的独立思虑能力和创新精神．解决问题
认识数学解题中的方程思想、转变思想、分类议论思想和整体思想．
感情态度
培育学生对数学的好奇心与求知欲，养成怀疑和独立思虑的学习习惯．
重难点、要点
要点：运用知识、技术解决问题
难点：解题剖析能力的提高．
要点：指引学生参加解题的议论与沟通
教课准备
教师准备：制作课件，优选习题
学生准备：写一份本单元知识构造图．
教课过程
一、回首沟通
【教课方略】
将学生疏成四人小组，?沟通各自书写的“单元知识构造图”进行归纳总结．知识网络图表
专心爱心专心
1 / 1。
人教版数学九年级上册第二十二章一元二次方程复习小结导学教案
第二十二章一元二次方程一、教材分析本章主要介绍了一元二次方程及有关概念，一元二次方程的解法，运用一元二次方程分析和解决实际问题。
其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。
方程是科学研究中重要的数学思想方法，也是后续内容学习的基础和工具，本章是对一元一次方程知识的延续和深化，同时为二次函数的学习作好准备。
数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固。
知识清单(一)一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念1、一元二次方程概念一元二次方程是(1)都只含一个未知数x(2)它们的最高次数都是2次的(3)?都有等号，是方程.因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元) ，并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程一般式及有关概念一般地，任何一个关于x的一元二次方程，？经过整理，？都能化成如下形式ax2+bx+c=0 (a^ 0).这种形式叫做一元二次方程的一般形式。
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0(a^0)后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号(二)一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法解形如x2=p (p >0)，那么x=± J p转化为应用直接开平方法解形如(mx+n) 2=p (p>0)，那么mx+n=± J p，达到降次转化之目的.若p v0则方程无解。
2、配方法配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1; (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q》0，方程的根是x=-p±V q;如果q v 0,方程无实根。
3、公式法一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=C，当b2-4ac>0时，？将a b、c代入式子x^b b 4ac就得到方程的根.(公式所出现的运2a算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
九年级数学上册 22《一元二次方程》小结与复习教案 新人教版
6、若一元二次方程 有实数解，则m的取值 范围是【B】
A． B． C． D．
7、下列一元二次方程两实数根和为-4的是【D】
A．x2+2x-4=0B．x2-4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x-5=0
8、已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则 - 。
三、典型例题分析
【例1】用适当的方法解下列方程：
⑴x2﹣4x+2=0⑵ ⑶解：⑴x源自 ；⑵x1=1，x2=-3；⑶x= 。
【例2】关于x的一元二次方程x2＋3x＋m-1＝0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；（2）若2 (x1+x2)+x1x2+10=0，求m的值.
解：（1）∵原方程有两个实数根，∴⊿=9-4(m-1)≥0，解之得： .
（2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1+x2=-3，x1x2=m-1，
∴2×(-3)+ (m-1)+10=0解之得：m=-3.
【例3】如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：
过程方法
1、进一步培养学生快速准确的计算能力；2、进一步培养学生严密的逻辑推理与论证能力；3、进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力。
情感态度
价值观
1、进一步渗透知识之间的相互联系和相互作用；2、进一步渗透“转化”的思想方法及对学生进行辩证唯物主义思想教育；3、进一步体会配方法是解决数学问题的一种思想方法。
（1）已知关于x的方程x 2＋mx＋ n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2－15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求 ＋ 的值；
21章一元二次方程小结与复习--新人教版初中数学导学案九年级上册《一元二次方程》【一流精品】
课题： 21章一元二次方程复习导学案【学习目标】1、理解一元二次方程的有关概念。
2、能选用适当的方法求解一元二次方程。
会用配方法解决问题，掌握根的判别式与求根公式。
3、能根据意义利用一元二次方程解决实际问题。
【学习重点】一元二次方程的解法与实际应用；【学习难点】一元二次方程实际问题的解决【课前预习案】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程:__________________________________________________2、一般形式：____________，其中二次项是_____一次项是____，____是常数项注：1、一元二次方程的一般形式要特别注意a ≠0；2、化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，一般情况下首项取正。
二、一元二次方程的解法：1、配方法：一元二次方程都可化为_________________________的形式.2、公式法：若方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 满足______时，则方程的求根公式为___________3、因式分解法：一元二次方程化为________的形式，则可将原方程化为两个______方程.三、一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)根的情况由________决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号____表示①当_______时，方程有两个不等的实数根，②当_______时，方程看两个相等的实数根③当_______时，方程没有实数根三、一元二次方程根与系数的关系：关于x 的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ±0)有两个根分别为x 1、x 2则x 1+x 2 =______，x 1x 2=_____。
四、一元二次方程的应用：常见题型：增长率问题，利润问题，图形的面积问题。
【课中探究案】考点一：一元二次方程的概念（意义、一般形式、根等）例1下列是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．x 2+21x=0 B ．ax 2+bx+c=0 C ．（x-1）（x+2）=1 D ．3x 2-2xy-5y 2=0 训练1．一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0，则a=______考点二：一元二次方程的解法例2解方程：x 2-2x=2x+1．例3三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x 2-10x+21=0的解，则第三边的长为（ ）A ．7B ．3C ．7或3D ．无法确定训练2．若一元二次方程式x 2-2x-3599=0的两根为a 、b ，且a ＞b ，则2a-b 之值为何？（ ）A ．-57B ．63C ．179D ．181训练3．方程x （x-2）+x-2=0的解是（ ） A ．2 B ．-2，1 C ．-1 D ．2，-1考点三：根的判别式的运用例4如果关于x 的一元二次方程kx 2x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＜12 B ．k ＜12且k≠0 C．-12≤k＜12 D ．-12≤k＜12且k≠0例5已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．训练4．关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k＜-1 D．k＞-1训练5．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．（1）当m=3时，判断方程的根的情况；（2）当m=-3时，求方程的根．考点四：一元二次方程的应用例6某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为__________________万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）训练6．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．【课末达标案】一、选择题1．已知关于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞43且k≠2 B．k≥43且k≠2 C．k＞43且k≠2 D．k≥43且k≠22．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）A．32 B．126 C．135 D．1443．下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（）A．x2+2x﹣4=0 B． x2﹣4x+4=0 C． x2+4x+10=0 D． x2+4x﹣5=0二、填空题4．如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为 ___________________ .。
2016苏教版九年级数学上册《一元二次方程复习与小结(一)导学案
《一元二次方程复习与小结（一）导学案一、复习目标：1、 理解并掌握一元二次方程的有关概念。
2、 能根据不同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。
二、复习重、难点重点：熟练选择恰当的方法求解一元二次方程。
难点：一元二次方程根的判别式及解法。
三、复习过程：1、知识回顾：（1）一元二次方程的概念：形如___________________________________________________（2）一元二次方程的解法：① ② ③ ④求根公式：（3）一元二次方程的根的判别式：①当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； ②当 时，方程有两个相等．．．．的实数根； ③当 时，方程没有实数根．．．．．。
（4）根与系数的关系：如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有1212,b c x x x x a a+=-=. 2、基础训练：一元二次方程的概念1.下列关于x 的方程： 其中是一元二次方程的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个2、关于x 的方程（m+3)x |m|-1-2x+4=0是一元二次方程，则m=3.解下列方程（１） 5x 2-45=0 (2) x 2+2x-1=0 (配方法） （3）（x-2)(3x-5)=1( 4 ) (x+3)(x-1)=x+3 （5） x 2 -10x +24=0 （6） 2x 2-7x-4=04.下面是小明同学在测验中解答的填空题，其中答对的是（ ）1)4(,02)3(,53)2(,032)1(223222=+=+-=+=--y x x x x x x xA．若x2=4，则x=2B．方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1C．方程x2+2x+2=0实数根的个数为0个D．方程x2-2x-1=0有两个相等的实数根5.根的判别式（1）关于x的一元二次方程x2-4x+2m=0无实数根，求m的取值范围（2）关于x的一元二次方程mx2-4x+2=0有实数根，求m的取值范围.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九年级数学 《一元二次方程》小结与复习学案一元二次方程的概念教学目标：1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式02=++c bx ax （a ≠0） 2、能把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）。
3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。
重点难点：1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
教学过程： 一、做一做：问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.思考、讨论这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？二、一元二次方程的概念上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程 通常可写成如下的一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a 、b 、c 是已知数，a ≠0)。
其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b叫做一次项系数，c 叫做常数项。
. 三、 例题讲解与练习巩固例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1）3523-=+x x （2）42=x （3）2112x x x =-+- （4）22)2(4+=-x x例2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）y y =26 （2）（x-2）(x+3)=8 （3）2)2()43)(3(+=-+x x x说明：一元二次方程的一般形式02=++c bx ax （a ≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0； 二是左边的二次项系数不能为0。
例3、方程（2a —4）x 2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？例4 、已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+3x-5m+4=0有一根为2，求m 。
练习一、 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项x x 3222-= 2x(x-1)=3(x-5)-4 ()()()()2311222-+=+--y y y y练习二 、关于x 的方程0)3(2=++-m nx x m ，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？基础训练：一、判断题（下列方程中，是一无二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）1、5x 2+1=0 （ ）2、3x 2+x1+1=0 （ ） 3、4x 2=ax (其中a 为常数) （ ） 4、2x 2+3x =0 （ ）5、5132+x =2x （ ） 6、22)(x x + =2x （ ）7、｜x 2+2x ｜=4 （ ） 二、填空题1、一元二次方程的一般形式是__________.2、将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为__________.3、将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为__________.4、方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________.5、方程5(x 2－2x +1)=－32x +2的一般形式是__________，其二次项是__________， 一次项是__________，常数项是__________.6、若ab ≠0，则a 1x 2+b1x =0的常数项是__________. 7、如果方程ax 2+5=(x +2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a __________.8、关于x 的方程(m －4)x 2+(m +4)x +2m +3=0，当m __________时，是一元二次方程，当m ______时，三、选择题1、下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A.2x 2+7=0B.2x 2+23x +1=0C.5x 2+x1+4=0 D.3x 2+(1+x ) 2+1=02、方程x 2－2(3x －2)+(x +1)=0的一般形式是（ ） A.x 2－5x +5=0 B.x 2+5x +5=0 C.x 2+5x －5=0 D.x 2+5=03、一元二次方程7x 2－2x =0的二次项、一次项、常数项依次是（ ） A.7x 2,2x ,0 B.7x 2,－2x ，无常数项 C.7x 2,0,2x D.7x 2,－2x ,04、方程x 2－3=(3－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（ ） A.2B.－2C.32-D.3221-+5、若关于x 的方程（ax +b ）(d －cx )=m (ac ≠0)的二次项系数是ac ，则常数项为（ ） A.m B.－bd C.bd －m D.－(bd －m )6、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（ ） A.2 B.－2 C.0 D.不等于27、若x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，则（ ） A.a +b +c =1 B.a －b +c =0 C.a +b +c =0 D.a －b －c =08、关于x 2=－2的说法，正确的是（ ）A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解四、解答题现有长40米，宽30米场地，欲在中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池与周围部分面积之比为3∶2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来。
提高训练： 一、填空题1、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率为x ，根据题意列方程_________.2、某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为x ，则方程为_____________.3、小明将500元压岁钱存入银行，参加教育储蓄，两年后本息共计615元，若设年利率为x ，则方程为_____________.4、已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x ，可得方程为_____________.5、某高新技术产生生产总值，两年内由50万元增加到75万元，若每年产值的增长率设为x ，则方程为___________.6、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，且不考虑利息税，到期后本息共计1320元，7、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为_____________.8、方程(4－x)2=6x－5的一般形式为_____________，其中二次项系数为_________，一次项系数为_________，常数项为_________.9、如果(a+2)x2+4x+3=0是一元二次方程，那么a所满足的条件为___________.10、如图1，将边长为4的正方形，沿两边剪去两个边长为x的矩形，剩余部分的面积为9，可列出方程为_____________，解得x=_________.图1二、选择题11、某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x，可以列方程得（）A.5(1+x)=9B.5(1+x)2=9C.5(1+x)+5(1+x)2=9D.5+5(1+x)+5(1+x)2=912、下列叙述正确的是（）A.形如ax2+bx+c=0的方程叫一元二次方程B.方程4x2+3x=6不含有常数项C.(2－x)2=0是一元二次方程D.一元二次方程中，二次项系数一次项系数及常数项均不能为013、两数的和比m少5，这两数的积比m多3，这两数若为相等的实数，则m等于（）A.13或1B.－13C.1D.不能确定14、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月的增长率为x，则根据题意列出的方程应为（）A.200(1+x)2=1000B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200［1+(1+x)+(1+x)2］=1000三、解答题15、某商场销售商品收入款：3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？16、如图2，所示，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m2，求道路的宽度.？图217、直角三角形的周长为2+6，斜边上的中线为1，求此直角三角形的面积.一元二次方程的解法（1）教学目标：1、会用直接开平方法解形如b k x a =-2)(（a ≠0,ab ≥0）的方程； 2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。
重点难点：合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。
教学过程：一、怎样解方程()21256x +=的？二、例题讲解与练习巩固 例、解下列方程（1）（x ＋1）2－4＝0； （2）12（2－x ）2－9＝0.练习一 、解下列方程：（1）（x ＋2）2－16＝0； （2）(x －1)2－18＝0； （3）(1－3x)2＝1； （4）(2x ＋3)2－25＝0.三、讨论、探索：解下列方程（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2— x+2 =0（4）(2x+1)2=(x-1)2（5）49122=+-x x基础训练： 一、填空题1、如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________.2、方程x 2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程____________或____________，分别解得：x 1=__________,x 2=__________.3、填写解方程3x (x +5)=5(x +5)的过程解：3x (x +5)__________=0 (x +5)(__________)=0 x +5=__________或__________=0∴x 1=__________,x 2=__________4、用因式分解法解一元二次方程的关键是 （1）通过移项，将方程右边化为零（2）将方程左边分解成两个__________次因式之积 （3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程 （4）分别解这两个__________，求得方程的解 5、x 2－(p +q )x +qp =0因式分解为____________. 二、选择题1、方程x 2－x =0的根为（ ）A.x =0B.x =1C.x 1=0,x 2=1D.x 1=0,x 2=－1 2、方程x (x －1)=2的两根为（ ）A.x 1=0,x 2=1B.x 1=0,x 2=－1C.x 1=1,x 2=－2D.x 1=－1,x 2=2 3、用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（ ）A.(2x －2)(3x －4)=0 ∴2－2x =0或3x －4=0B.(x +3)(x －1)=1 ∴x +3=0或x －1=1C.(x －2)(x －3)=2×3 ∴x －2=2或x －3=3D.x (x +2)=0 ∴x +2=0 4、方程ax (x －b )+(b －x )=0的根是（ ）A.x 1=b ,x 2=aB.x 1=b ,x 2=a 1 C.x 1=a ,x 2=b1 D.x 1=a 2,x 2=b 25、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于（ ） 21331D.2 31321C.2 31B.3 21A.2或或三、解方程1、x 2－25=02、(x +1)2=(2x －1)23、x 2－2x +1=44、x 2=4x提高训练一、填空题1、关于x 的方程(m －3)x72-m －x =5是一元二次方程，则m =_________.2、当x =______时，代数式x 2－3x 的值是－2.3、方程x 2－5x +6=0与x 2－4x +4=0的公共根是_________.4、已知y =x 2+x －6，当x =_________时，y 的值等于0；当x =_________时，y 的值等于24.5、2－3是方程x 2+bx －1=0的一个根，则b =_________，另一个根是_________.6、已知方程ax 2+bx +c =0的一个根是－1，则a －b +c =___________.7、已知x 2－7xy +12y 2=0，那么x 与y 的关系是_________.8、方程2x (5x －3)+2 (3－5x )=0的解是x 1=_________，x 2=_________. 9、方程x 2=x 的根为___________.二、选择题1、下列方程中不含一次项的是（ ）A.3x 2－8=4xB.1+7x =49x 2C.x (x －1)=0D.(x +3)(x －3)=02、2x (5x －4)=0的解是（ ）A.x 1=2，x 2=54 B.x 1=0，x 2=45 C.x 1=0，x 2=54 D.x 1=21，x 2=543、若一元二次方程(m －2)x 2+3(m 2+15)x +m 2－4=0的常数项是0，则m 为（ ）A.2B.±2C.－2D.－10 4、方程2x 2－3=0的一次项系数是（ ）A.－3B.2C.0D.3 5、方程3x 2=1的解为（ ）A.±31B.±3C.31 D.±33 6、下列方程中适合用因式分解法解的是（ ）A.x 2+x +1=0B.2x 2－3x +5=0C.x 2+(1+2)x +2=0D.x 2+6x +7=07、若代数式x 2+5x +6与－x +1的值相等，则x 的值为（ ）A.x 1=－1，x 2=－5B.x 1=－6，x 2=1C.x 1=－2，x 2=－3D.x =－18、已知y =6x 2－5x +1，若y ≠0，则x 的取值情况是（ ）A.x ≠61且x ≠1 B.x ≠21 C.x ≠31 D.x ≠21且x ≠319、方程2x (x +3)=5(x +3)的根是（ ） A.x =25 B.x =－3或x =25C.x =－3D.x =－25或x =3 三、解下列关于x 的方程1、x 2+2x －2=02、3x 2+4x －7=03、(x +3)(x －1)=54、(3－x )2+x 2=95、x 2+(2+3)x +6=06、(x －2)2+42x =0四、解答题随着城市人口的不断增加，美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容，某城市计划到2004年末要将该城市的绿地面积在2002年的基础上增加44%，同时要求该城市到2004年末人均绿地的占有量在2002年的基础上增加21%，当保证实现这个目标，这两年该城市人口的年增长率应控制在多少以内.（精确到1%）一元二次方程的解法（2）教学目标：1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。