数值分析(样条插值)总结
数值分析实验报告-插值、三次样条
实验报告：牛顿差值多项式&三次样条问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数21()25f x x作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。
实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。
应用所编程序解决实际算例。
实验要求：1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用；2． 编写相关程序并进行实验；3． 调试程序，得到最终结果；4． 分析解释实验结果；5． 按照要求完成实验报告。
实验原理：详见《数值分析 第5版》第二章相关内容。
实验内容：（1）牛顿插值多项式1.1 当n=10时：在Matlab 下编写代码完成计算和画图。
结果如下：代码：clear allclcx1=-1:0.2:1;y1=1./(1+25.*x1.^2);n=length(x1);f=y1(:);for j=2:nfor i=n:-1:jf(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms F x p ;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2:nF(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));p(i)=f(i)*F(i);endsyms PP=sum(p);P10=vpa(expand(P),5);x0=-1:0.001:1;y0=subs(P,x,x0);y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)grid onxlabel('x')ylabel('y')P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36*x^4+2.0202e-1 4*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。
数值分析(15)样条插值
数值分析
于是,在[xi , xi 1 ]上
( x xi 1 )2 (hi 2( x xi )) ( x xi )2 (hi 2( xi 1 x )) Si ( x ) yi yi 1 3 3 hi hi ( x xi 1 ) 2 ( x x i ) ( x xi ) 2 ( x xi 1 ) mi mi 1 2 2 hi hi
故构造S ( x )需要4n个条件 由（1）已知节点上函数值 yi , i 0,1, 2, ..., n。 这是n+1个条件
由（2）S ( x ) C 2 [a , b], 隐含着在内节点上应有 Si 1 ( xi ) Si ( xi ), Si'1 ( xi ) Si' ( xi ), Si''1 ( xi ) Si'' ( xi ), i 1, 2, ..., n 1
数值分析
数值分析
(3)如何求mi？ 利用在节点上二阶导数连续的条件 由 Si''1 ( xi ) Si'' ( xi ), i 1, 2, ..., n 1 导出三转角方程（n 1个方程要解n 1个未知数）
（4）再由三转角方程 边界条件（补充两个方程） 封闭的方程组，可求出mi ,( i 0,1, 2, ..., n)
（2）构造三弯矩方程
利用S ( x )在内节点上一阶导数连续的条件， 在区间[ x i , x i 1 ]上 ' ( x ) 3a ( x- x ) 2 2b ( x- x ) c Si i i i i i
数值分析
数值分析
三、三弯矩方程求解法
三弯矩法的基本思想 （1）yi'' f '' ( xi )未知，但可设S '' ( xi ) M i , ( M i yi'' , 只是M i yi'' ) （2）如能求出M i，则可由M i 和yi 构造S ( x ).
数值分析插值知识点总结
数值分析插值知识点总结一、插值的基本概念插值是指在已知数据点的基础上，通过某种数学方法求得两个已知数据点之间的未知数值。
插值方法的基本思想是在已知数据点之间找出一个合适的函数形式，使得该函数穿过已知数据点，并预测未知点的数值。
插值问题通常出现在实际工程、科学计算中，比如天气预报、经济数据的预测、地震勘探等领域。
插值可以帮助人们预测未知点的数值，从而更好地了解数据之间的关系。
二、插值的分类根据插值的基本原理，插值方法可以分为多种类型，常见的插值方法包括：拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、立方插值、样条插值等。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
2. 牛顿插值牛顿插值是利用牛顿插值多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
3. 分段插值分段插值是将插值区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内采用简单的插值方法进行插值。
常见的分段插值方法包括线性插值和抛物线插值。
4. 立方插值立方插值是一种通过构造三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
5. 样条插值样条插值是一种通过构造分段三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个分段三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
三、插值的应用插值方法在实际工程中有着广泛的应用，常见的应用包括图像处理、声音处理、地图绘制、气象预测、经济预测等领域。
1. 图像处理在图像处理中，插值方法主要用于图像的放大、缩小以及图像的重构等操作。
数值分析三次样条插值
0
2
1
n1
1
n2
2 n1
M d 0
MM dd n2 M d 2
1 1 2 2
n1 n1 n n
di f xi2, xi1, xi
华长生制作
7
2、 三弯矩构造法
三次样条插值函数 S( x) 可以有多种表达式，有时用二阶导数
值S( xi) Mi (i 0,1,, n)
Mi
xi
表示时，使用更方便。 在力学上解释
为细M梁i 在 S处( x的) 弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故
称用由于表S(示x)在区间的算[x法i , x为i三1](弯i 矩0,算1,法,。n 1) 上是三次多项式，
hn
n1 3
Mn
f
x0 , x1 f
xn1, xn
其中
0
h1 h1h n
1
0 ,
hn , 0 hnh0
d1
6(
f
[
x
,
0
x1]
f
x[ , n1
x
n])(h1
h
n)
1
.
可解出 M i (i 0,1,, n) ，方程组的矩阵形式为
2
hi
min hi
,M4
max x[a,b]
f (4) (x)
1in
华长生制作
16
精品课件！
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可见S(x), S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x), f (x)和f (x)
研究生数值分析 样条插值
x
-0.46 -0.40 -0.36 -0.30 -0.26 -0.20 -0.16 -0.10 -0.06 -0.00
1 1 25x2
L10 (x)
0.15898 0.24145 0.20000 0.19999 0.23585 0.18878 0.30769 0.23535
0.37175 0.31650
f (x)
L1(x)
yi 1
x xi xi1 xi
yi
x xi1 xi xi1
这种分段低次插值称为分段线性插值。
在几何上就是用折线代替曲线，故分段线 性插值又称为折线插值。
类似地，为求f(x)的近似值，也可选取距点x
最近的3个节点 xi1, xi , xi1 进行二次插值，即取
f
(x)
L2 (x)
i 1
[ yk
k i1
i 1
(
j i 1
x xj xk x j
)]
jk
这种分段低次插值叫分段二次插值。
在几何上就是用分段抛物线代替曲线，故分 段二次插值又称为抛物线插值。
3、三次样条插值 对于给定的n+1个节点，求函数的近似值，可以
作 n次插值多项式，当n较大时，高次插值不仅计算 复杂，而且还可能出现高阶导数不一致收敛的现象;
若采用分段插值，虽计算简单，也具有一致收 敛性，但光滑性比较差.
有些实际问题，比如：船体放样，飞机的机翼 设计等要求二阶光滑度(有二阶的连续导数)。过去， 工程师制图时，往往用一根富有弹性的木条（称为 样条），把它用压铁固定在样点上，其他地方让它 自由弯曲，然后画一条曲线，称为样条曲线。
它实际上是由分段三次曲线连接而成，在连接 点处有二阶连续导数。我们对工程师描绘的样条曲 线，抽象成数学模型，得出的函数称为样条函数， 它实质上是分段多项式的光滑连接。
数值计算_样条插值方法
多项式插值方法—样条插值-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52f (x)P 5(x)P 10(x)当插值节点过多→龙格现象插值多项式虽然满足插值条件，但是在节点之外，靠近插值区间端点处与实际函数偏离较大，出现了震荡现象如何解决龙格现象？☐根据数据特点选用三角函数或有理函数☐由于多项式的优良性能，更偏爱多项式☐使用分段函数数学模型，在较小的区间段上使用低次多项式插值要点与学习目标☐掌握样条插值的概念和数学模型☐了解样条插值函数系数的确定方法样条插值☐改善分段线性插值和二次插值的精度☐保持曲线的光滑性☐样条的概念三次样条插值函数对于给定的函数表 x)(x f yxx 1xny 1yn思考：根据该定义，关于四个节点的三次样条插值函数的数学模型是什么？需要多少个约束方程才能确定该样条？分段样条插值的数学模型231101112130123220212223122333031323323()=,[,]()()=,[,]()=,[,]S x a a x a x a x x x x S x S x a a x a x a x x x x S x a a x a x a x x x x ⎧+++∈⎪=+++∈⎨⎪+++∈⎩以四个节点为例，四个节点的样条插值函数思考：该函数能否由节点数据完全确定？231101112130123220212223122333031323323()=,[,]()()=,[,]()=,[,]S x a a x a x a x x x x S x S x a a x a x a x x x x S x a a x a x a x x x x ⎧+++∈⎪=+++∈⎨⎪+++∈⎩(0)(0)(1,2,...,1)'(0)'(0)(1,2, (1)''(0)''(0)(1,2, (1)()(0,1,...,)i i i i i ii i S x S x i n S x S x i n S x S x i n S x y i n -=+=-⎧⎪-=+=-⎪⎨-=+=-⎪⎪==⎩样条插值问题的边界条件归根到底，样条插值问题是线性方程组求解的问题。
数值分析实验报告-插值、三次样条
实验报告：牛顿差值多项式&三次样条问题：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数21()25f x x作多项式插值及三次样条插值，对每个n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。
实验目的：通过编程实现牛顿插值方法和三次样条方法，加深对多项式插值的理解。
应用所编程序解决实际算例。
实验要求：1． 认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用； 2． 编写相关程序并进行实验； 3． 调试程序，得到最终结果； 4． 分析解释实验结果； 5． 按照要求完成实验报告。
实验原理：详见《数值分析 第5版》第二章相关内容。
实验内容：（1）牛顿插值多项式1.1 当n=10时：在Matlab 下编写代码完成计算和画图。
结果如下：代码：clear allclcx1=-1:0.2:1;y1=1./(1+25.*x1.^2);n=length(x1);f=y1(:);for j=2:nfor i=n:-1:jf(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms F x p;F(1)=1;p(1)=y1(1);for i=2:nF(i)=F(i-1)*(x-x1(i-1));p(i)=f(i)*F(i);endsyms PP=sum(p);P10=vpa(expand(P),5);x0=-1:0.001:1;y0=subs(P,x,x0);y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)grid onxlabel('x')ylabel('y')P10即我们所求的牛顿插值多项式，其结果为：P10（x）=-220.94*x^10+494.91*x^8-9.5065e-14*x^7-381.43*x^6-8.504e-14*x^5+123.36* x^4+2.0202e-14*x^3-16.855*x^2-6.6594e-16*x+1.0并且这里也能得到该牛顿插值多项式的在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比（见Fig.1）。
数值分析(样条插值)总结
3/35
三次样条插值函数满足的连续条件:
(1) S(xj–)= S(xj+) ( j = 1,· · · ,n-1) 连续
(2) S' (xj–)= S'(xj+) ( j = 1,· · · ,n-1)导数连续
(3) S'' (xj–)= S'' (xj+) ( j = 1,· · · ,n-1)二阶导数连续
xn yn
设 f(x) 在各插值节点 xj 处的一阶导数为 mj
取 xj+1 – xj = h，( j = 0,1,2,· · · ,n-1)。当 x∈[xj, xj+ 1]时,
分段三次Hermite插值
x xj h h h h x j 1 x 2 x xj 2 ( x x j )( ) m j ( x x j 1 )( ) m j 1 h h )( x j 1 x ) y j (1 2
S ( x j 0) j ( x j ) y j j 1 ( x j ) y j 1 j ( x j )m j j 1 ( x j )m j 1
18:23
6 6 4 2 S ( x j 0) 2 y j 2 y j 1 m j m j 1 h h h h
18:23
16/35
程序片段2:
Matlab Code : 三次样条插值 % Evaluate spline s = u - x(k); v = y(k) + s.*(d(k) + s.*(c(k) + s.*b(k))); % ------------------------------------------------------function d = splineslopes(h,delta) % SPLINESLOPES Slopes for cubic spline interpolation. % splineslopes(h,delta) computes d(k) = S'(x(k)). % Uses not-a-knot end conditions. % Diagonals of tridiagonal system n = length(h)+1; a = zeros(size(h)); b = a; c = a; r = a; a(1:n-2) = h(2:n-1); a(n-1) = h(n-2)+h(n-1); b(1) = h(2); b(2:n-1) = 2*(h(2:n-1)+h(1:n-2));b(n) = h(n-2); c(1) = h(1)+h(2);c(2:n-1) = h(1:n-2);
数值分析期末总结与体会
数值分析期末总结与体会数值分析是一门应用数学课程，主要研究数值计算方法和数值计算误差，并为实际问题提供数值计算解决方案。
在本学期的学习中，我深入学习了数值计算的基本概念与原理，并通过编程实践掌握了常见的数值计算方法。
在期末考试前夕，我对这门课的学习经历进行了总结与体会，下面是我对数值分析的期末总结与体会。
一、总结1. 知识掌握：在学习过程中，我通过系统的学习，掌握了课程中介绍的求根问题、插值问题、数值积分和数值微分等数值计算方法。
我了解了牛顿迭代法、二分法、割线法等求解非线性方程根的方法，熟悉了拉格朗日插值、牛顿插值等插值方法，学会了辛卜生插值多项式、三次样条插值等高级插值方法。
同时，我还学习了梯形法则、辛普森法则等数值积分算法，掌握了欧拉法、龙格-库塔法等数值微分算法。
2. 编程实践：在理论学习的基础上，我通过编写程序加深了对数值计算方法的理解与掌握。
我使用Python语言编写了求解非线性方程根、插值计算、数值积分和数值微分的代码，并通过实际运行验证了这些数值计算方法的正确性与有效性。
编程实践过程中，我深刻体会到了算法的重要性，不同的算法对于同一个数值计算问题，可能会有不同的效果。
3. 数值计算误差：在学习数值计算的过程中，我逐渐认识到数值计算误差的存在与产生机理。
由于计算机内部采用的是二进制表示法，而浮点数的二进制表示无法准确表示所有的实数，从而引入了舍入误差；另外，数值计算方法本身也存在精度误差，例如插值多项式的截断误差、数值积分的数值误差等。
掌握数值计算误差的产生原因和估计方法，对于正确评估数值计算结果的精度至关重要。
4. 应用实例：在学习过程中，我们还分析了各种实际问题，并通过数值计算方法得到了解决方案。
例如，在求根问题中，我们可以利用牛顿迭代法估计气体状态方程的参数；在插值问题中，我们可以使用拉格朗日插值方法恢复图像；在数值积分中，我们可以利用梯形法则或辛普森法则计算定积分；在数值微分中，我们可以应用欧拉法或者龙格-库塔法求解微分方程等。
数值分析第二章 插值总结
j=0
n
Ln ( x) = li ( x) yi i=0
与节点有关，而与 f无关
Lagrange Polynomial
§2 Lagrange Polynomial
定理 (唯一性) 满足 P( xi ) = yi , i = 0, ... , n 的 n 阶插值多
项式是唯一存在的。
证明： ( 前面已利用Vandermonde 行列式论证) 反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn( x) = Pn( x) - Ln( x) , 则 Qn 的阶数 n 而 Qn 有 n + 1个不同的根 x0 … xn
插值
Interpolation_introduction
插值节点 插值条件
---插值问题
多项式插值是数值分析的基本工具，常用来计算被插函数 的近似函数值，零、极点，导数、积分（第四章 数值积分 和数值微分），解微分方程（第五章）、积分方程
Interpolation polynomial
多项式插值----polynomial interpolation
高就越好，嘿 嘿……
Oh yWReahigheh?nt.yWoTuhaestntiafarIltlfwinrditing the program,
wyottihhlunleeWomhwcLtaeoiuvaaltrwlehcrgefricerietlniaTluonnLdnchrttabageoehigetremneoprtrabweyoeeenaorln-Etaepgcsouotxaaoieiusdcmnsllc,pgaeiygsiultohlgiilci(plole?thaxyuonnittn)sseit,wnosdtptmoa.stohniciiaintnasltt.tloocp! urtaoalcabkcteleeomunt.
数值分析中的插值方法
数值分析中的插值方法在数值分析中，插值是一种通过在已知数据点之间估计未知数据点的方法。
它是一种常见的数据处理技术，用于填补数据间的空白，揭示数据间的关联性，或者建立数据模型。
在本文中，我们将讨论数值分析中的几种常见的插值方法。
一、拉格朗日插值拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
假设有n个离散数据点，我们想要在这些点之间插值得到未知数据点的值。
拉格朗日插值可以通过构建一个n次多项式来实现。
例如，给定三个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，我们可以假定插值多项式为：P(x) = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + y2 * L2(x)其中，L0(x)，L1(x)，L2(x)是拉格朗日插值多项式的基函数，由以下公式得到：L0(x) = (x - x1) * (x - x2) / ((x0 - x1) * (x0 - x2))L1(x) = (x - x0) * (x - x2) / ((x1 - x0) * (x1 - x2))L2(x) = (x - x0) * (x - x1) / ((x2 - x0) * (x2 - x1))利用这些基函数，我们可以得到插值多项式P(x)，从而计算出未知点的值。
二、牛顿插值牛顿插值是另一种常见的插值方法，也是基于多项式的。
与拉格朗日插值不同的是，牛顿插值使用了差商的概念来构建插值多项式。
差商是一种表示数据间差异的指标，它可以用于计算插值多项式的系数。
对于n个数据点，差商可以由以下递归公式计算得到：f[x0] = f(x0)f[x0, x1] = (f[x1] - f[x0]) / (x1 - x0)f[x0, x1, ..., xn] = (f[x1, x2, ..., xn] - f[x0, x1, ..., xn-1]) / (xn - x0)基于差商，我们可以得到牛顿插值多项式的表达式：P(x) = f[x0] + f[x0, x1] * (x - x0) + f[x0, x1, x2] * (x - x0) * (x - x1) + ...利用牛顿插值，我们可以通过已知数据点构建插值多项式，进而估计未知点的值。
数值分析常用的插值方法
数值分析常用的插值方法数值分析中常用的插值方法有线性插值、拉格朗日插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值、样条插值等。
下面将对这些插值方法进行详细介绍。
一、线性插值（linear interpolation）线性插值是最简单的插值方法之一、假设已知函数在两个点上的函数值，通过这两个点之间的直线来估计中间点的函数值。
线性插值公式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)和f(x1)是已知的两个点上的函数值，x0和x1是已知的两个点的横坐标。
二、拉格朗日插值（Lagrange interpolation）拉格朗日插值是一种基于多项式的插值方法。
它通过多个已知点的函数值构造一个多项式，并利用这个多项式来估计其他点的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：f(x) = Σ[f(xi) * Li(x)] (i=0,1,2,...,n)其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(xi)是已知的多个点的函数值，Li(x)是拉格朗日基函数。
拉格朗日基函数的表达式为：Li(x) = Π[(x-xj)/(xi-xj)] (i≠j，i,j=0,1,2,...,n)三、分段线性插值（piecewise linear interpolation）分段线性插值是一种逐段线性近似函数的方法。
通过将整个插值区间分成多个小段，在每个小段上使用线性插值来估计函数的值。
分段线性插值的过程分为两步：首先确定要插值的点所在的小段，在小段上进行线性插值来估计函数值。
四、Newton插值（Newton interpolation）Newton插值也是一种基于多项式的插值方法。
利用差商的概念来构造插值多项式。
Newton插值多项式的一般形式为：f(x)=f(x0)+(x-x0)*f[x0,x1]+(x-x0)*(x-x1)*f[x0,x1,x2]+...其中，f(x)表示要求的插值点的函数值，f(x0)是已知的一个点的函数值，f[xi,xi+1,...,xi+k]是k阶差商。
数值分析总结
数值分析总结数值分析是数学的分支学科，是解决数值计算问题的一种方法论。
在实际问题中,往往需要根据给定的离散数据点，通过插值方法推算出其他未知点的近似数值。
插值方法是解决这类问题的重要手段之一、本文将对插值方法进行总结。
插值是指利用已知数值来推算出其他位置的数值，一般假设给定的离散数值是连续函数在一些点上的取值。
插值方法通过对函数进行逼近来估计其他位置的函数值。
插值方法的最常见形式是多项式插值。
多项式插值是在给定的数据点上通过一个多项式函数来逼近原函数。
其中，拉格朗日插值法和牛顿插值法是两种常用的方法。
拉格朗日插值法是通过构造一个满足给定数据点的多项式来实现插值。
具体做法是构造一个Lagrange基函数，每个基函数在一些数据点上的取值为1，在其他数据点上的取值为0。
然后将这些基函数乘以相应的系数，并加在一起，从而得到满足给定数据点的多项式。
这个多项式就是用拉格朗日插值法得到的插值函数。
牛顿插值法是通过构造一个差商的多项式来实现插值。
差商是一个递归定义的函数，它的值的计算依赖于更低阶的差商。
通过计算差商，我们可以得到多项式的系数，从而得到插值函数。
牛顿插值法比拉格朗日插值法更容易计算，尤其是在使用更高阶多项式进行插值时。
除了多项式插值，还有其他类型的插值方法。
其中，样条插值是一种广泛使用的插值方法。
样条插值是利用多个低阶多项式来逼近原函数。
具体做法是将原函数分成若干段，每段使用一个低阶多项式进行逼近。
这样可以在保持插值精度的同时，减小多项式的次数，提高计算效率。
另外还有最小二乘插值、分段线性插值等方法。
最小二乘插值是通过找到一个函数，使得它在给定数据点上的误差平方和最小，从而得到插值函数。
分段线性插值是将数据点分成若干段，每段用一条直线来逼近。
这种方法比多项式插值更简单，但精度较低。
总的来说，插值方法是数值分析中重要的技术之一，能够通过已知数据点推算出其他位置的数值。
多项式插值、样条插值等是常用的插值方法。
样条插值
样条插值在数值分析这个数学分支中，样条插值是使用一种名为样条的特殊分段多项式进行插值的形式。
由于样条插值可以使用低阶多项式样条实现较小的插值误差，这样就避免了使用高阶多项式所出现的龙格现象，所以样条插值得到了流行。
目录• 1 定义• 2 样条插值• 3 线性样条插值• 4 二次样条插值• 5 三次样条插值o 5.1 三次样条的最小性o 5.2 使用自然三次样条的插值• 6 示例o 6.1 线性样条插值o 6.2 二次样条插值•7 参见定义假设有n+1 个不同的节点x i以及n+1 个节点值y i，我们要找到一个n阶样条函数其中每个S i(x) 都是一个k阶的多项式。
样条插值使用多项式插值，对给定数据集进行插值的n阶多项式就被给定数据点所唯一地定义出来。
但是，对同样的数据进行插值的n阶样条并不是唯一的，为了构建一个唯一的样条插值式它还必须满足另外n-1 个自由度。
线性样条插值线性样条插值是最简单的样条插值。
数据点使用直线进行连接，结果样条是一个多边形。
从代数的角度来看，每个S i都是一个如下的线性函数。
样条在每个数据点都必须连续，即我们很容易得到所以以上论述成立。
二次样条插值二次样条插值可以构建为通过选择z0，然后用递推关系就可以得到系数：三次样条插值对于n+1 个给定点的数据集 {x i} ，我们可以用n段三次多项式在数据点之间构建一个三次样条。
如果表示对函数f进行插值的样条函数，那么需要：•插值特性，S(x i)=f(x i)•样条相互连接，S i-1(x i) = S i(x i), i=1,...,n-1•两次连续可导，S'i-1(x i) = S'i(x i) 以及S''i-1(x i) = S''i(x i), i=1,...,n-1.由于每个三次多项式需要四个条件才能确定曲线形状，所以对于组成S的n个三次多项式来说，这就意味着需要 4n个条件才能确定这些多项式。
数值分析 -lec16--样条插值
hi ( x ), hi + 1 ( x ), h i ( x ), h i + 1 ( x )为 Herm ite 插 值 基 函 数
x − x i x − x i +1 ( x − xi +1 )2 [hi + 2( x − xi )] hi ( x ) = 1 + 2 = x i +1 − x i x i − x i +1 hi 3
北京航空航天大学 数学与系统科学学院
Email: numerical_analysis@ Password:beihang 答疑时间：星期四下午2:30－5:30 答疑地点：主216
朱立永
数值分析
第五章插值与逼近
第十六讲
样条插值
数值分析
代数插值
• • • • 一元函数插值（一元Lagrange插值 插值） 一元函数插值（一元Lagrange插值） 二元函数插值（二元Lagrange插值 插值） 二元函数插值（二元Lagrange插值） Hermite插值 Hermite插值 样条插值
3. 对于第三种边值条件有： 对于第三种边值条件有：
γ 1 M 1 β1 2 α1 γ M β 2 α2 2 2 2 M M O O O = O O O M M γ n−1 2 α n−1 M n−1 β n−1 γ n 2 M n βn α n
这样，共有3n-3个方程，还缺少n+3个条件，我们称满足上面条件的s(x) 为f(x)的三次样条函数
数值分析
余下的n+3个条件的确定： 个条件的确定： 余下的 个条件的确定
插值方法总结范文
插值方法总结范文插值方法是一种用于预测未知数据点的方法，基于已知数据点之间的关系进行推断。
在统计学、计算机图形学、数据分析和地理信息系统等领域广泛应用。
插值方法可以大致分为确定性插值和随机插值两类。
1.确定性插值方法：a)线性插值：线性插值是一种最简单的插值方法，基于线性关系对两个已知数据点之间的未知点进行估计。
假设有两个已知数据点(x1,y1)和(x2,y2)，要估计点(x,y)的值。
可以通过以下公式计算：y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)b)多项式插值：多项式插值利用多项式函数逼近已知数据点之间的未知点。
最常用的多项式插值方法是拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值基于拉格朗日多项式，牛顿插值基于牛顿插值多项式，两者都可以计算未知点的值。
c)样条插值：样条插值方法通过逼近已知数据点之间的未知点来构建平滑的曲线。
常用的样条插值方法有线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值。
2.随机插值方法：a)克里金插值：克里金插值是一种常用的随机插值方法，基于空间自相关性对未知点进行估计。
克里金插值假设未知点的值是空间上的一个随机变量，并通过不同的变差函数和半方差函数来进行预测。
b)泛克里金插值：泛克里金插值是克里金插值的扩展，可以处理非正定半方差函数和离散样本点，对于大规模数据有较好的适用性。
c)径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于径向基函数构建稀疏矩阵的插值方法。
径向基函数是一个以数据点为中心的函数，通过计算未知点与已知数据点之间的距离来进行估计。
插值方法的选择取决于数据的特点、插值的目的和要求。
线性插值简单且计算效率高，适用于均匀分布的数据。
多项式插值可以实现较高的精度，但在数据点密集的情况下容易产生振荡。
样条插值可以实现光滑曲线，在光滑性要求较高的应用中较为常用。
克里金插值适用于具有空间自相关性的数据，并且可以通过参数调整来达到不同的预测效果。
总之，插值方法是一种对未知数据点进行预测的有力工具。
数值分析(插值方法)总结
20/50
二次插值问题
已知函数表 x
x0
f(x) y0
x1
x2
y1
y2
求函数 L(x)=a0 + a1x + a2 x2 满足:
L(x0)=y0 , L(x1)=y1, L(x2)=y2
x x0 x1 x2
l0(x) 1 0 0
l1(x) 0 1 0 L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2
x x2 ) x1 x2 )
L(x) y0 y1 y2
l2 ( x)
(x ( x2
x0 )( x x1 ) x0 )( x2 x1 )
二次插值函数: L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，
05:55
22/50
二次插值基函数图形
取 x0 =0, x1 = 0.5, x2 = 1
l2(x) 0 0 1
L0(5:x55) y0
y1
y2
21/50
x x0 x1 x2
l0 (
x)
(x ( x0
x1 x1
)( )(
x x2 ) x0 x2 )
l0(x) 1 0 0 l1(x) 0 1 0 l2(x) 0 0 1
l1 (
x)
(x ( x1
x0 x0
)( )(
/
05:55
5/50
趣例3: 数据可视化
/talks/david_mccandless_the_beauty_of_data_vis ualization?language=zh-cn
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数值分析2 6三次样条插值
4m h j 1
j
6 h2j1
(
yj
y j1 )
由条件
S( x j 0) S( x j 0) ( j 1,...,n 1)
可得
1 h j 1
m
j
1
2(
1 h j 1
1 hj
)m
j
1 hj
m
j1
3(
y
j
1 h2j
yj
y
j
y h2j1
j1
)
( j 1,...,n 1)
进一步简化为
jm j1 2m j jm j1 g j ( j 1,...n 1)
yk k (x) yk 1 k1(x)
其中
kk1((xx))(1(122xxkxxk1xxxkkxkk11)()(xxxkkx1xxkxkkx11k))22
k(
k 1
(
x) x)
(x (x
xk
)(
x xk
xk1 xk1
)2
xk
1
)(
x x xk1
k
x
k
)2
一、 三次样条的产生和背景
2.三次样条插值函数的定义
三次样条函数 +
S(xi) = yi
3.求解三次样条插值函数的已知条件数和 未知条件数
未知参数个数
4n
已知条件个数
插值条件：
n+1
S(x)∈C2[a,b] ：3(n-1)
共 计：
4n-2
缺少条件，通常在插值区间的端点给出，称 为边界条件。
4.常用的三种边界条件
1°已知两端的一阶导数值，即：
周期样条
S( x0 0) S( xn 0)
插值方法总结范文
插值方法总结范文插值方法是一种通过已知的离散数据点来估计未知数据点的方法。
在科学计算和数据分析领域中，插值方法被广泛应用。
本文将对插值方法进行总结。
首先，最简单直接的插值方法是线性插值。
线性插值假设在两个已知数据点之间的未知数据点是在这两个已知数据点之间的直线上。
线性插值的计算很简单，只需要根据两个已知数据点的坐标和未知数据点的位置来计算直线上的点的数值。
然而，线性插值的精度有限，特别是当数据点之间的变化非常剧烈时。
在这种情况下，更好的插值方法是多项式插值。
多项式插值假设在已知数据点之间有一个多项式函数，可以通过已知数据点的坐标来确定多项式的系数。
然后，使用这个多项式来估计未知数据点的数值。
多项式插值的精度可以通过增加多项式的次数来提高。
然而，随着多项式的次数增加，插值结果可能会出现振荡或者不稳定的情况。
为了避免多项式插值的问题，其他插值方法被提出。
其中一种常用的方法是样条插值。
样条插值将插值区域分成多个小区间，在每个小区间内使用低次多项式进行插值。
这样，样条插值可以保持插值结果光滑，并减少插值误差。
样条插值的计算相对复杂，需要解线性方程组来确定每个小区间的多项式系数。
然而，样条插值可以提供比多项式插值更好的精度和稳定性。
除了多项式插值和样条插值，还有其他一些插值方法被应用。
例如，径向基函数插值使用径向基函数来估计未知数据点的数值。
这种方法对于高维数据和非结构化数据具有很好的效果。
另外，Kriging插值是一种基于统计学原理的插值方法，可以利用已知数据的空间相关性来估计未知数据点的值。
总之，插值方法是一种通过已知数据来估计未知数据的方法。
线性插值和多项式插值是简单直接的方法，但精度有限。
样条插值可以提供更好的精度和稳定性。
其他插值方法，如径向基函数插值和Kriging插值，可以适用于特定的数据结构和类型。
在实际应用中，需要根据问题的特点选择合适的插值方法。
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4 2 4 j ( x j ) [ 2 ( x x j 1 ) ( x x j ) 2 ] x x j h h h 2 ( x ) [ 4 ( x x ) ( x x ) 2 ] j 1 j j j 1 2 2 x x j h h h
m j 1 4m j m j 1
3 ( y j 1 y j 1 ) h
3 m n 1 2 m n [ yn yn 1 ] h
18:23
( j=1, 2, · · · · · · , n-1 )
13/35
自然样条的导数值满足:
3 2m0 m1 [ y1 y0 ] h
3/35
三次样条插值函数满足的连续条件:
(1) S(xj–)= S(xj+) ( j = 1,· · · ,n-1) 连续
(2) S' (xj–)= S'(xj+) ( j = 1,· · · ,n-1)导数连续
(3) S'' (xj–)= S'' (xj+) ( j = 1,· · · ,n-1)二阶导数连续
S(x) 为在 [xj,xj+1]的三次多项式满足:
(1) Sj (xj-1) = yj-1 , Sj (xj) = yj , ( j = 1,· · · ,n) (2) S'j (xj) = S'j+1 (xj) ( j = 1,· · · ,n-1)
(3) · · ,n-1) 18:23 S'' (x ) = S'' j j j+1 (xj) ( j = 1,· 则称 S(x)为三次样条插值函数。
回顾1: 若 lim f ( x ) f ( x0 ), 则称函数在x0左连续;
18:23
x x0
若 lim f ( x ) f ( x0 ), 则称函数在x0 右连续。
x x0 +
4/35
n个三次多项式, 待定系数共4n个！
当x∈[xj , xj+ 1] ( j= 0,1,…n-1 )时 Sj(x)= aj + bj x + cj x2 + dj x3 插值条件: S(xj) = yj ( j = 0,1,· · · ,n ) 连续性条件: S(xj+0) =S(xj–0) ( j = 1,· · · ,n-1) S'(xj+0) =S' (xj–0) ( j = 1,· · · ,n-1) S'' (xj+0) =S' ' (xj–0) ( j = 1,· · · ,n-1) 由样条定义,可建立方程(4n-2)个！
m j 1 4m j m j 1
3 m n 1 2 m n [ yn yn 1 ] h
3 ( y j 1 y j 1 ) h
( j=1, 2, · · · · · · , n-1 )
2 1 m0 3[ y1 y0 ] / h 1 4 1 m 3( y y ) / h 3 1 1 严格对角占优矩阵 1 4 1 mn 1 3( yn yn 2 ) / h 1 2 mn 3( yn yn 1 ) / h
6 6 4 2 S ( x0 0) 2 y0 2 y1 m0 m1 0 h h h h
6 6 2 4 S ( xn 0) 2 yn1 2 yn mn1 mn 0 h h h h
自然样条的导数值满足:
3 2m0 m1 [ y1 y0 ] h
)2 y j 1
18:23
未知数个数 (n+1)！！
9/35
由S ''(x)连续,有等式 S''(xj + 0)=S''(xj – 0)
当 x∈[xj , xj+1]时, S(x) 由基函数组合而成
j ( x ) (1 2
x xj h h x j 1 x x x j 2 j 1 ( x ) (1 2 )( ) h h )( x j 1 x )2
11/35
6 6 4 2 S ( x j 0) 2 y j 2 y j 1 m j m j 1 h h h h
同理有 联立得
6 6 2 4 S ( x j 0) 2 y j 1 2 y j m j 1 m j h h h h
6 6 4 2 2 y j 2 y j 1 m j m j 1 h h h S( x j 0) S( x j 0) h
h x xj 2 j 1 ( x ) ( x x j 1 )( ) h
18:23
j ( x ) ( x x j )(
x j 1 x
)2
10/35
x xj 2 8 j( x j ) [ 3 ( x j 1 x ) (1 2 ) 2 ]x x j 2 h h h h 6 ( x ) [ 8 ( x x ) (1 2 x j 1 x ) 2 ] 2 j 1 j j 3 2 x x j h h h h
是否可以在光滑性和局部单调性之间折衷呢 ? 2/35
定义 5.4 给定区间[a , b]上的一个分划:
a = x0 < x 1 < … < x n = b · · ,n), 如果 已知 f(xj) = yj (j = 0,1,·
S1 ( x ), x [ x0 , x1 ] S ( x ), x [ x , x ] 2 1 2 S( x) S n ( x ), x [ x n1 , xn ]
S j ( x ) (1 2 x xj h h h h x j 1 x 2 x xj 2 ( x x j )( ) m j ( x x j 1 )( ) m j 1 h h )( x j 1 x ) y j (1 2
2
x j 1 x
)(
x xj
18:23
6 6 2 4 2 y j 1 2 y j m j 1 m j h h h h 3 m j 1 4m j m j 1 ( y j 1 y j 1 ) h
( j=1, 2, · · · · · · , n-1 )
12/35
设自然边界条件成立即
S ( 1)
18:23
S (1) 0
2 2 S (1) 0 S (0 ) S (0 ) 3
S (1)
S (0 ) S (0 ) 0
7/35
分段Hermite插值公式导出的样条方法
已知函数表
x f(x)
x0 y0
x1 y1
· · · · · ·
18:23
方程数少于未知数个数 ？？
5/35
(1)自然边界条件: S'' (x0)=0, S'' (xn)=0
(2)周期边界条件: S'(x0)=S'(xn), S''(x0)=S'' (xn) (3)反射边界条件: S''(x0)=S''(x1), S''(xn-1)=S'' (xn) (4) 固定边界条件: S'(x0)=f '(x0), S'(xn)=f'( (1) 1 S (0 ) S (0 ) 0
显然
3 2 x 3 x , x [1, 0] 3 x 3, x [1, 0] 2 S ( x ) S ( x ) 3 x 3, x [0, 1] 3 x 2 3 x , x [0, 1] 2 3 3
18:23
6/35
例 5.7 已知f(–1) = 1, f(0) = 0, f(1) = 1。构造分 段三次多项式是满足自然边界的样条函数。
1 3 3 2 x x , x [1, 0] 2 2 S ( x) 1 x 3 3 x 2 , x [0, 1] 2 2
ji
1。
故amm vm amj v j
jm
18:23 |a 进而 mm |=|amm v m | | amj v j | | amj |矛盾。
jm
jm
15/35
程序片段1:
Matlab Code : 三次样条插值 function v = splinetx(x,y,u) % First derivatives h = diff(x); delta = diff(y)./h; d = splineslopes(h,delta); % Piecewise polynomial coefficients n = length(x); c = (3*delta - 2*d(1:n-1) - d(2:n))./h; b = (d(1:n-1) - 2*delta + d(2:n))./h.^2; % Find subinterval indices k so that x(k) <= u < x(k+1) k = ones(size(u)); for j = 2:n-1 k(x(j) <= u) = j; end
S ( x j 0) j ( x j ) y j j 1 ( x j ) y j 1 j ( x j )m j j 1 ( x j )m j 1
18:23
6 6 4 2 S ( x j 0) 2 y j 2 y j 1 m j m j 1 h h h h