工程力学课件-第10章动载荷 (1)

§10-2 动静法的应用
方法：加速度a――＞惯性力 (F= -ma)――＞静力学问题
一、等加速直线运动构件中的动应力
例:如图所示表示以匀加速度a向 上提升的杆件。若杆件横截面积
为A，单位体积的质量为ρ。求
梁的应力。
解： 单位长度的质量为Aρ ，
相应惯性力为 Aa
q
A g
A a

A g(1
a g
)
a
F
F
q
§10-2 动静法的应用
Mmax

F
(
l 2

b)

1 2
q(
l )2 2

1 2
A g(1
a g
)(
l 4

b)l
动应力
d

M W

A
2W
(1
a g
)(
l 4

b)l
a
静应力
st

A g
2W
(
l 4
b)l
d
st (1
a) g
令：
kd
1
a g
§10-2 动静法的应用
二、等角速转动构件内的动应力分析
例：如图薄圆环以匀角速度ω绕通过圆心且垂直于纸面的 轴旋转，D>>t,比重ρ，求圆环横截面A上的正应力
qd

rO
y
qd
d
O
FNd
FNd
解： 向心加速度：
an

D 2
2
qd

A an

A
2
D

2
§10-2 动静法的应用
2FNd
一、基本概念 1、静载荷：a=0
动载荷： a≠0
§10-1 概述
1.惯性力 2.冲击荷载 3.振动问题 4.交变应力
2、实验表明：
当σ≤σP时，动载荷下的弹性模量E、σP、σe、σs、σ
b、[σ]等机械性质与静载一样，静载荷下的应力应变线 性关系――胡克定律在动载荷下仍然成立
动载荷的计算与静载荷的计算方法一样
三、 水平冲击：
T V Ud
V 0
T

1 2
P g
v2
vP l
线性关系
d st

d st

Fd P
Kd
Ud

1 2
Fd
d

1 2
2d st
P
1 2
P g
v2

1 2

2 d
st
P
d
v2 g st st
Kd
v2 g st
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
4
d max
2GI x Al
Al为体积
d max

10
3
280109 0.5103
1 (50 103 )2
1057 106 Pa 1057MPa
注意比较：若刹车时使轴在10秒 内均匀减速停止转动时的动应力：
d max 2.67MPa
例：如图所示重物Q自高度H处下落，截面为矩形， 高为h,宽为b,试求梁内的最大正应力。(不计梁内轴 力)。
2、提高构件抗冲击能力的措施： 增大静变形但要避免增大静应力
总结： 解题的关键：求Kd→ △ st（冲击点） 求σd→σst ,△ d→ △ st
自由落体冲击：
Kd 1
1 2h st
水平冲击：
Kd
v2 g st
加弹簧 加垫片
例题2
重量为P的重物自高度h下落冲击于梁上的C点，设梁的E、I及 抗弯截面模量W皆为已知量。试求梁内最大正应力及梁的跨度 中点的挠度。
例：在水平平面内的AC杆，绕通过A点的垂直轴以匀角速 度ω转动，如图是它的俯视图。杆的C端有一重为Q的集中 质量。如因发生故障在B点卡住而突然停止转动，试求AC 杆内的最大冲击应力。设AC杆的质量可以不计。
当冲击问题， 没有现成公式 可求Kd时？
解： 1．能量守恒 T+V=U
1 2
Q g
(
l)2
⒉冲击物、被冲击物 研究被冲击物的应力问题
注意:Δt→0，不能精确计算被冲击物的应力和位移， 只能用近似的方法即能量法
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
3．假设: ⑴ 冲击物视为刚体
⑵ 被冲击物质量不计,可看成弹簧
l

Pl EA

P EA/ l
弹簧常数： EA
l
F
w
Pl 3 48EI

P 48EI
EI
2
(
2

cos
)(1
cos
)d
0

PR3 EI
2 8 4
0.149
PR3 EI
0.00186mm
2．计算Kd和动应力
Kd 1
1 2h st
1
1
2 20 0.00186
148
d max Kd st
148 0.657 97MPa
T

1 2
P g
v2

Ph
Kd 1
1
2T P st
1
1 2h st
注意：Δst为冲击点处的静位移
非冲击点
A
B
C
D
Bst
Cst
冲击点
Kd
d st
d st
式中的Δd、Δst不一定是冲击点处的位移，可以是任意 点处的位移。
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
Kd 1
簧的变形能Vεd ,即
其中 T 0 V P(h d )
P(h

d)

1 2
Fd
d
Vεd

1 2
Fd d
T
Δd
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形

2 d
2st d

2T P
st
0
解得：
d st 1
1
2T P st

动荷系数：
kd

解：⑴当Q以静载作用时，
由对称性： RB

Q 2
一次静不定，解除B处约
束,代之以MB，则:θB=0
在真实力作用下：
M
( x1 )

Q 2
x1

M
B
M源自文库
(x2 )


Q 2
x2

1 2
Ql

M
B
在B加单位力偶
M (x1 ) 1
M (x2 ) 1
B

1 EI
[
l 2 0
( Q2
x1

M B ) 1 dx1
实验表明:冲击系统的载荷、应力、变形之间的关系静 载相同,即在小变形及线弹性范围内时,载荷、应力、变 形之间存在线性关系。
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
d st

d st

Fd P
Kd
v h
Fd

d st
P
⒉弹簧的变形能
根据能量守恒定律可知,冲击物所减
少的动能T和势能V,应全部转换为弹
动荷系数
d kd st
F
F
q
§10-2 动静法的应用
强度条件 d max kd st max [ ]
讨论： 1．一般Kd≥1, 动载荷的工作应力比静载荷的工作 应力要大 2．a=c的动载荷问题的解法与静载荷问题的解法 一样，动应力与静应力相差Kd倍
3．变形:δd=Kdδst
注意：冲击问题与 （a=常数）问题的 区别？
解： 1．能量守恒 T+V=Ud
1 2
I x 2

T d2 l 2GI p
2．求动应力：
Td
I x GI p l
d max

Td Wt

I xGI p Wt2l
圆轴：
Ip Wt 2

d 4
32
(1d63 )2
22
d 2 A
1
243EIH 2 Pl 3
)
2Pl 9W
例题2
3．中点挠度
23Pl 3
st1/ 2 1296EI
A
wd1/ 2 Kd 1/ 2
(1
1

243EIh 2 Pl 3
)
23Pl 3 1296EI
注意：区别冲击点与非冲击点
h
2l 3
P
C
B
l 3
例：重量为Q的重物自由下落在如图所示的刚架上。设刚架 的EI及抗弯截面模量W为已知，试求冲击时刚架内的最大正 应力及C点x方向的动位移。（轴力和剪力不考虑）
30


100 30

10
3
(rad / s)


1 0
t

0

10
3
10



3
(rad
/
s2
)
α
Md
Md

Ix
0.5(3)

0.5
3
(kN m)
例题1
2．轴的扭矩
T

Md

0.5
3
(kN
m)
0.524(kN m)
3．横截面的应力
Wp


16
(100 103 )3
1 2h st
P
A
B
C
D
Bst
Cst
强度条件: d max K d st max [ ]
讨论:⑴△st的物理意义:以冲物的重量P作为静载,沿冲击 方向作用在冲击点时,被冲击物在冲击点处沿冲击方向的 静变形
⑵当h=0时,Kd=2,即突加载荷的应力和变形是静载的两倍
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
例题1
在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮,与飞轮相比,轴的质量可以 忽略不计.轴的另一端A装有刹车离合器。飞轮的转速为 n=100r/min，转动惯量为Ix=0.5kN·m·s2。轴的直径d=100mm。 刹车时使轴在10秒内均匀减速停止转动。求轴内最大动应力。
解： 1．计算惯性力矩
Mf
0

n
3EIH 2Pa3
)
Pa3 2EI
例：一钢环受重物P铅垂下落冲击如图。已知钢环的平均半 径R=11cm，其横截面为h×b=2×4cm的矩形，重物P=50N， H=2cm，E=200GPa。不考虑轴力和剪力的作用。计算钢环 在冲击过程中的最大正应力。
P
这是超 静定问 题与冲 击问题 的综合 题
解： 1．计算静位移和静应力
解： 1．计算静位移及静应力
st (cy)

4Pa3 3EI
st (cx)

Pa3 2EI
h
st

Pa W
2．动荷系数Kd
Kd 1
1

3EIH 2Pa3
3．动应力及动位移
d max K d st (1
1
3EIH 2Pa3
)
Pa W
d (cx) K d st (cx) (1
st

M W

Q(l W
l1
)
5．最大冲击应力
d


W
3EI l Q g
例：在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮，与飞轮相比,轴 的质量可以忽略不计.轴的另一端A装有刹车离合器。飞轮的 转速为n=100r/min，转动惯量Ix=0.5kN·m·s2。轴的直径 d=100mm。AB轴在A端突然刹车(即A端突然停止转动)。求 轴内最大动应力。设G=80GPa,轴长l=1m。

1 2
Pd d
2．比例关系
Pd Q
d st
d st
kd
3．联立求解
1 2
Q g
(
l)2

1 2
2d st
Q
d K d st
2l 2
g st
st
kd

d st

2l 2
g st
4．求静位移、静应力
st

Ql(l l1)2 3EI
d st
1
1
2T P st
d Kd st , Fd Kd P, d Kd st
注意：这里Fd、Δd、σd 是指受冲杆件到达最大变形位置，
冲击物速度等于零时的瞬时载荷、变形和应力，是冲击过程
中的最大值
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
3、自由落体冲击：
v2 2gh
解： 1．冲击点C静位移及Kd
查表得：
4 Pl 3 st 243EI
动荷因子:
h
P
A
C
B
2l
l
3
3
Kd 1
1 2h st
1
1

243EIh 2 Pl 3
A
2．梁内最大正应力
PC
B
Δst
st

M st max W

P 3
2l 1 3W

2Pl 9W
d max Kd st (1
1.96 10-4
max

T Wp

0.524 103 1.96 104

2.67(MPa)
Mf
α
Md
问题:A端突然刹车 （即突然停止转动） 轴内的最大动应力？
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
一、冲击问题：
重锤打桩
高速飞轮突然刹车 钉钉子
⒈特点：a→∞，Δt→0，速度变化非常大→冲击
cos )
X1


PR 2

2
2
PR
PR

st

M max W

PR / bh2
6

6 50110
40 202

0.657MPa
求冲击点的静位移
用单位载荷法
st
2
2 0
PR 2
(1

cos
)

EI
X1
R(1 cos)(Rd)
PR 3
0
qd
sin


D2 d

qd
D
qd
FNd

qd D 2

A D22
4
d

FNd A

D2 2
4

v2
FNd
y
qd

(
D 2
d
)
Fd
d

O
FNd
式中：v

D
2
强度条件：
圆环轴线上点 的线速度
d v2 [ ]
讨论：
环内应力与横截面面积A 无关。要保证强度，应限 制圆环的转速。
解超静定 静定基选择如图所示
11


2 0
1 EI
( Rd )


R
2EI
1P

2 0
PR(1 cos
2EI
)
(Rd
)

(
2)PR2 4EI

R
2 EI
X 1 (
2) PR 2 4 EI
0
X1

2 2
PR
求最大弯矩
M max


PR 2
(1
/ l3
弹簧常数： 48EI
l3
A
B


ml GI p

m GI p / l
弹簧常数： GI p
l
⑶ 冲击后二位一体。（即塑性碰撞）
⑷ 不计能量损耗
§13.3 杆件受冲击时的应力和变形
二、自由落体冲击问题
1、冲击物与弹簧开始接 触的瞬时动能为T
v
h
T
接触后，弹簧的最大变形
Δd
为Δd，
此时v=0，动能T=0， 势能变化：V=PΔd