第6章+亚音速翼型和机翼的气动特性(2)

亚音速流中薄翼型的气动特性
比较亚音速流的控制方程
2 2 2 0 2 x y
2
2 1 Ma
和不可压流的控制方程，即拉普拉斯方程
2 2 2 0 2 x y
2 发现两者仅相差一个常数因子
亚音速流中薄翼型的气动特性
因此，数学上可通过适当的坐标变换，将线性方程
代入亚音速翼面边界条件关系式
f v x, 0 V x y y 0
得
k dy V 2 dx y y0
边界条件的变换
k dy 2 V dx y y0
翼型上对应点压强系数之间的关系
将图
的不可压流翼型的厚度、弯度和迎角，分别放大 也将放大 1 倍，其所引起的扰动速度 u
1
x

倍，随之，相应的压强系数也必将放大 倍。
1
翼型上对应点压强系数之间的关系
即 代入 得到
翼型上对应点压强系数之间的关系
式 表明，流过具有相同厚
及边界条件
f v x, 0 V x y y 0
亚音速流中薄翼型的气动特性
当解得扰动速度位后，代入式
2u 2 φ Cp V V x
就可以算得翼型表面上任一点的压强系 数。通过积分，就可以求得其气动特性， 如升力，俯仰力矩等。
若令
k 2
dy V dx y y0
则
边界条件的变换
这说明，采用变换
x x, y y, k , v v
及
k 2
可得到与不可压流相同形式的边界条件。 因此，薄翼型亚音速绕流问题的求解就变成相同形式边 界条件下拉普拉斯方程的求解，而后者正是前面所研究 过的低速翼型的气动特性问题。
2 2 2 0 2 x y
2
2 1 Ma
化为拉普拉斯方程。 并将边界条件和压强系数进行相应的变换，从而 建立起亚音速流场和不可压流场之间的联系，把 亚音速流问题的求解化为不可压流问题的求解。
6.4.1 线性方程的变换
线性方程的变换
2 2 为将线性方程 2 2 2 0 x y 变换为拉普拉斯方程。
引入以下变换
2 1 Ma
x x, y y, k , v v
式中，带“ ’ ”的量对应不可压流场中的坐标、扰动 速度位和来流速度。K为待定常数。
线性方程的变换
因为
代入 得
2 2 2 2 2 0 x y
2 2 2 0 2 x y
即为不可压流的控制方程：拉普拉斯方程。
线性方程的变换
由此可见，
x x, y y, k , v v
是建立两个相关流场（亚音速流场和不可压流场） 之间联系的变换式。
线性方程的变换
x x, y y, k , v v
由于x，y用的是不同的缩尺，因此，置于两个流场（亚 音速流场和不可压流场）的翼型，其几何形状并不是简 单几何相似的。这样的变换称仿射变换；经这种变换所 得的相应翼型之间是仿射相似的。
6.4.3 相应薄翼型之间的变换
相应薄翼型之间的变换
以下讨论相应的不可压低速薄翼型与亚音速薄翼型两者 在几何参数之间的关系。 根据变换式
x x, y y, k , v v
相应薄翼型之间的变换
相应薄翼型之间的变换
亚音速流动中，由于<1，对应的不可压流翼型比亚音 速翼型薄，弯度和迎角也较小，如上图所示。
确定。
翼型上对应点压强系数之间的关系
按上式的计算方法，由下图可知，
问题归结为计算对应不可压流中形状不同的翼型在不同 迎角下的压强系数。这给计算带来不便。
翼型上对应点压强系数之间的关系
实用中，常对同一形状的翼型在相同迎角下，建立亚音 速流中的翼型和低速不可压流中的翼型上压强系数之间 的关系。这是另一种换算法。
第6章 亚音速翼型和机翼的气动 特性(2)
6.4 亚音速流中薄翼型的气 动特性
亚音速流中薄翼型的气动特性
前面已经指出，对绕过薄翼型的亚音 速流动，在小扰动条件下，其扰动速 度位满足线性的二阶偏微分方程
2 2 2 2 2 2 2 0 x y z
2 1 Ma
6.4.4 翼型上对应点压强系数 之间的关系
翼型上对应点压强系数之间的关系
将式
x x, y y, k , v v
k 2
及
2 代入 C p V x
得
1 2 Cp 2 V x
翼型上对应点压强系数之间的关系
6.4.2 边界条件的变换
边界条件的变换
远方扰动速度为零的条件，经仿射变换后
x x, y y, k , v v
仍然满足。 以下考虑翼面边界条件的变换。
边界条件的变换
将仿射变换关系式
x x, y y, k , v v
1

翼型的亚音速气动特性
升力是由压强分布的积分得到的，而俯仰力矩和升力只 差一个x向的力臂；所以亚音速流中翼型的升力系数Cy 和俯仰力矩系数Mz，等于不可压流的相应值乘以
1

翼型的亚音速气动特性
翼型的亚音速气动特性
由于流过翼型的迎角相同，式
还可写成
1 2 Cp 2 V x
上式可写成
式中，下标“M ”表示流动是亚音速流，“0”表示流 动是不可压缩流。
翼型上对应点压强系数之间的关系
上式表明，亚音速流动中翼型表面某点的压强系数，等 于相应不可压流中翼型表面对应点的压强系数乘以 12 倍。对应点的位置由关系式

x x, y y, k , v v
翼型上对应点压强系数之间的关系
由于压强系数和扰动速度位的x向偏导数
成正比，不 x
可压流中，翼型对气流的扰动，可认为是由翼型的厚度、 弯度和迎角三者所引起扰动的叠加。而扰动的大小，显然 和翼型的厚度、弯度和迎角的大小成正比（参见低速薄翼 型理论）。 根据这样的原理，式
所对应的关系，还可进一步简化。
度和弯度的翼型，在相同的迎角下，亚音速流的压强系 数只要将不可压流中对应点的压强系数简单得乘以 就行了（ 1 ）。
1

翼型上对应点压强系数之间的关系
换算关系
称为普朗特-葛劳渥法则。
1

称为亚音速压缩性修正因子。
6.4.5 翼型的亚音速气动特性
翼型的亚音速气动特性
升力是由压强分布的积分得到的，而俯仰力矩和升力只 差一个x向的力臂；所以亚音速流中翼型的升力系数Cy 和俯仰力矩系数Mz，等于不可压流的相应值乘以