量子力学教程-周世勋-第三章算符

C 为常数
ˆ, B ˆ, B ˆ ] = C[ A ˆ ] C 为常数 [CA
ˆ +A ˆ ,B ˆ ,B ˆ ,B ˆ] ˆ] = [A ˆ]+[A [A 1 2 1 2 ˆA ˆ ˆ ˆ ,B ˆ +A ˆ [A ˆ ,B ˆ] ˆ ]A [A 1 2 , B] = [ A 1 2 1 2
∂ ˆ ˆ ∂ ˆ ˆ ˆ, ∂ B ˆ] [ A, B ] = [ A , B] + [ A ∂t ∂t ∂t
中，因
+ * % d d ˆ + = ⎛ h ∂ ⎞ = ⎛− h ∂ ⎞ = P ˆ 。也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来 = − ，所以 P x x ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dx dx ⎝ i ∂x ⎠ ⎝ i ∂x ⎠
ˆ 是厄密算符。 证明 P x
∫
∞
−∞
ˆ φ dx = ϕ *φ |∞ − ϕ *P −∞ x
3．其他对易关系 （1）角动量算符与位置算符之间的对易关系
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ˆ , x] = [ yP ˆ , zP ˆ , x] = 0 [L x z y ˆ , y ] = [ yP ˆ − zP ˆ , y ] = − z[ P ˆ , y ] = z[ y, P ˆ ] = ihz [L x z y y y
ˆ −1 , FF ˆ =G ˆ ˆ −1 = F ˆ −1 F ˆ = 1。 F
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
ˆ为 ˆ ( x ) = af ( x ) ，其中 F 对于非齐次线性微分方程： Fu
d 与函数构成的线性算符，a 为常数。 dx
ˆ = 0， 其解 u 可表示为对应齐次方程的通解 u。与非齐次方程的特解 υ 之和，即 u = u0 + v 。因 Fu 0
（4）转置算符
ˆ 与F ˆ 是一个向左作用的算符。 ˆ =uF ˆ， ˆ 的转置算符，F ˆ 表示一般函数 令 Fu 则称 F 若算符 F （或
常数） ，由于函数的左乘等于右乘，所以函数的转置就等于它本身。 定义波函数 ϕ 与 φ 的标积为：
~
~
~
< ϕ | φ >= ∫ ϕ *φ dτ
∞
（3.1-2）
~
ˆ 与 φ 的标积为： ˆ φ 的标积以及 ϕ G ϕ 与F
ˆ | φ >= ϕ * F <ϕ | F ∫ ˆφ dτ
∞
ˆ | φ >= ϕ * G <ϕ |G ∫ ˆ φ dτ
∞
~
!
ˆ 为任意标积中的算符。下面考虑在任 ˆ 与G 若上两式中的 ϕ 与 φ 都是任意波函数，则称上两式中的 F
意标积中
64
ˆ 所以不存在 F
−1
ˆ Fu ˆ = u 。一般说来，在特解 υ 中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如 使F 0 0
−1
−1
ˆ 果当 a=0 时， υ =0，则 υ 中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在 F
ˆ Fv ˆ = FF ˆ ˆ v = v， 使F
−1 −1
ˆ = af 得： υ = F ˆ −1af 。从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。 从而由 Fv
~*
ˆ+ =F ˆ ，则称 F ˆ 为厄密算符。即厄密算符的定义为： 若在任意标积中， F
+
ˆ φ dτ = ∫ϕF ∫
* ∞
∞
ˆ ϕ )*φ dτ (F
+
ˆ | ϕ >=< ϕ | F ˆ |ϕ > 或写为 < ϕ | F
（3.1-3）
% = x ，所以 x + = x 。在任意标积 可以证明，位置算符与动量算符都是厄密算符。因 x 是实数，而 x
~
% d 的性质。 dx
* % ∞ dϕ d φ ( x)dx = ∫ φ dx = ϕ *φ −∞ dx dx ∞ −∞
∫
∞
−∞
ϕ * ( x)
−∫ ϕ *
−∞
∞
dφ dx 波函数 ϕ ( x ) 与 φ ( x) 在无限远点也应满 dx
足连续性条件：
ϕ (∞ ) = ϕ (−∞ ) [可都等于零]， φ (∞ ) = φ ( −∞ ) ，所以得：
i − px x h
dx = C ( px , t ) ，则
d ，x， dx
，
1 2π h
∫
∞
−∞
dx ， e
i − px ⋅ x h
都是算符。
1．算符的一般运算
ˆ ，则 G ˆ =F ˆ = Gu ˆ。 （1）算符的相等：对于任意函数 u，若 Fu ˆ = Mu ˆ 。算符的相加满足交换 ˆ + Gu ˆ ，则 M ˆ =F ˆ +G （2）算符的相加：对于任意函数 u，若 Fu
2
ˆ 所含的变量是 θ , φ ，所以 [U (r ), L ˆ ] = 0 。此外，相同的算符一定对易。 量是 r，而 L
ˆ 表示 P ˆ ,P ˆ ,P ˆ ，则应有： 以 xi (i = 1, 2,3) 表示 x，y，z，以 P i x y z
ˆi , x ˆj] = 0 ⎧ ⎪[ x ⎨ ˆ ˆ ⎪ ⎩[ Pi , Pj ] = 0 ˆ ] = ihδ ˆi , P [x j ij
ˆ −P ˆ x)ϕ = ihϕ ，此式对任意的 ϕ 都成立，所以得： [ x, P ˆ ] = ih ( xP x x x
66
在动量表象中
ˆ xϕ ( Px , Py , Pz ) = ih xP
∂ ∂φ ˆ x − Px x ˆ )φ = ihφ ，此式对 ˆφ ，即 ( xP ( Pxφ ) = ihφ + ihPx = ihφ + Px x ∂Px ∂Px
ˆ , z ] = −ihy ，……，各对易关系可合写为： 同理可得： [ L x
ˆ ,x ˆ j ] = ih ∑ ε ijk xk [L i
k
采用爱因斯坦记号，则上式可写为：
ˆ ,x ˆ j ] = ihε ijk xk [L i
（3.2-11）
其中 ε ijk 称为勒维——奇维塔（Levi-Civita）符号。 ε123 =1， ε ijk 对所有角标都是反对称的，即 交换任意两个角标，其值反号，例如， ε 213 = −1 ， ε 321 = −1 。若 ε ijk 中有两个角标相同，则其值为 零。 ε ijk 具有以下数学性质：
ˆ ˆ = BA ˆ 与B ˆ ˆ ，称 A ˆ 是对易的。 式中的特例，这时 AB
1．量子力学中基本对易关系 在 位 置 表 象 中 ，
ˆ xϕ ( x, y, z ) = h ∂ ( xϕ ) = h ϕ + h x ∂ϕ = h ϕ + xP ˆϕ P x x i ∂x i i ∂x i
， 即
正算符。 （7）算符的函数
ˆ 的函数 F（ A ˆ ）为： 设函数 F（A）的各阶导数都存在，则定义算符 A
F ˆ) = F(A ∑
∞ n=0
(n) (o)
ni
ˆn A
ˆ ∑ ni F
n=0 ∞
（3.1-4）
ˆ ˆ n 表示 n 个 A ˆ 的乘幂，即 A ˆn = A ˆ⋅A ˆ LL A ˆ 。例如 e F 其中 A =
上式中三个不为零的对易关系式还可以写成下面的关系式：
∧ ∧ v ∧ v v L, L = ih L
（3.2-15）
（3.2-16）
ˆ =L ˆ + iL ˆ ,L ˆ =L ˆ − iL ˆ ，则可得： 若令 L + x y − x y ˆ ,L ˆ ] = 2hL ˆ ⎧ ⎪[ L + − z ⎨ ˆ ˆ ˆ ⎪ ⎩[ Lz L± ] = ± hL±
第三章
算符和力学量算符
3.1 算符概述
设某种运算把函数 u 变为函数 v，用算符表示为：
ˆ =v Fu
（3.1-1）
ˆ 称为算符。u 与 v 中的变量可能相同，也可能不同。例如， du1 = v ， xu = v ， u = v ， F 2 2 3 3 1 dx
1 2π h
∫
∞
−∞
ϕ ( x, t ) ， e
任意的 φ 都成立，所以得：
ˆ , Px ] = ih [x
可见在位置表象中与动量表象中都得：
ˆ ] = ih ˆ, P [x x
（3.2-2）
ˆ= y所 如果两个算符所含的独立变量不同，则这两个算符是对易的。例如，在位置表象中， y
ˆ = 含的变量是 y，而 P x
2
h ∂ ˆ ] =0。又如，在有心力场中，U(x)所含的变 所含的变量是 x，所以 [ y, P x i ∂x
律。
ˆ ˆ 。算符的相乘一般不满足交换 ˆ ˆ = Mu ˆ ，则 M ˆ = GF （3）算符的相乘：对于任意函数 u，若 FFu ˆ ˆ ，则称 F ˆ 对易。 ˆ ˆ = GF ˆ 与G 律。如果 FG
2．几种特殊算符 （1）单位算符
ˆ u=u，则称 I ˆ 为单位算符。 I ˆ 与 1 是等价的。 对于任意涵数 u，若 I
（6）幺正算符
h i
∞ h ∞ dϕ * ˆ 是厄密算符。 ˆ ϕ )*φ dx ，所以 P φ dx = ∫ ( P x x ∫ −∞ i −∞ dx
ˆ ˆ 为厄密算符，则 T ˆ = e ± iA ˆ+ = F ˆ −1 ，则称 F ˆ 为幺正算符。设 T ˆ 必为幺 若在任意标积中， F ，若 A
(3.2-13)
Ai B j − Aj Bi 2
称为将 Ai B j 反对称化， 之所以能将 Ai B j 反对称化是由于 ε ijk 对角
ˆ ,P ˆ ] = ihε P ˆ [L i j ijk k