八年级数学几何图形证明知识分享

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人教版数学八年级上几何知识要点

八年级数学上册几何知识点总结1.三角形的概念由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形三边的关系（重点）（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

三角形的任意两边之差小于第三边。

（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b3三角形的高从△ABC的顶点向它的对边BC所在的直线画垂线，垂足为D，那么线段AD 叫做△ABC的边BC上的高。

4三角形的中线连接△ABC的顶点A和它所对的对边BC的中点D，所得的线段AD叫做△ABC的边BC上的中线。

三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。

三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

5三角形的角平分线∠A的平分线与对边BC交于点D，那么线段AD叫做三角形的角平分线。

要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。

三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。

6.三角形具有稳定性7.三角形的内角和定理三角形的内角和为180°8.直角三角形两个锐角的关系直角三角形的两个锐角互余（相加为90°）。

有两个角互余的三角形是直角三角形。

9三角形外角的意义三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角10.三角形外角的性质三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

11.一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为2)3(−nn12.n边形的内角和定理n边形的内角和为(n−2)∙180°13.n边形的外角和定理多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。

14.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；15.全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

湘教版八年级数学上册《三角形全等的判定》知识全解

《三角形全等的判定》知识全解课标要求1.探索几何的基本图形——三角形，探索全等三角形的基本性质、三角形全等的判定条件和其相互关系，及角平分线性质，进一步丰富对空间图形的认识和感受.2.在探索全等三角形的性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情合理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了三角形的性质的基础上，探索全等三角形的判定条件和角平分线性质及其逆运用.知识结构内容解析在一个三角形的三条边，三个角中任取三个元素，可以有下列组合；SAS、SSA、ASA、AAS、SSS、AAA，但其中SSA和AAA不能判定三角形全等。

◆如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等。

（2）可以从已知条件出发，看已知条件确定哪两个三角形可证它们全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，可采用添加辅助线的方法，构造三角形全等。

重点难点本节的重点是：掌握三角形全等的判定定理，并灵活运用。

本节的难点是：在较复杂的图形中，找出证明两个三角形全等的条件，恰当的选择判定定理，正确地书写演绎推理过程。

教法导引1．注重培养探索归纳能力经历探究三角形全等条件的过程：由全等三角形的定义可以知道，由三条边对应相等、三个角对应相等能判定三角形全等，那么减少条件能否判定三角形全等呢？于是，依次探究：满足一个条件、两个条件、三个条件、……能否判定三角形全等．通过探究得到：满足一个条件、两个条件不能判定三角形全等；满足三个条件不一定能判定三角形全等，即“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”能判定三角形全等，“边边角”、“角角角”不能判定三角形全等．将三角形全等的判定方法运用于直角三角形，可以判定直角三角形全等；但对于满足斜边和直角边对应相等的两个直角三角形，就无法运用三角形全等的判定方法来进行判断了，因此应探究“斜边、直角边”能否判定直角三角形全等．2．注重培养推理能力本章要求学生有理有据地推理论证，精炼准确地表达推理过程，这对于学生比较困难，因此我们在教学中应采取以下措施突破难点：（1）注意减缓坡度，循序渐进．精心选择全等三角形的证明问题，开始阶段的例题，证明方向明确、过程简单，容易规范书写格式，主要让学生体会证明思路及格式．然后逐步增加题目的复杂程度，每一步都为下一步做准备，下一步又要注意复习前一步训练过的内容．（2）在不同的阶段，安排不同的内容，突出一个重点．先安排证明两个三角形全等，进而安排通过证明三角形全等证明两条线段或两个角相等，重点使学生熟悉证明的步骤和方法．最后安排的问题涉及前面学过的内容，重点培养学生分析问题，选择推理途径的证明能力．（3）注重分析思路注重分析思路，让学生学会思考问题．（4）注重规范书写格式注重规范书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程．3．注重联系实际从实际例子引入全等形的概念，易于学生理解概念，易于调动学生学习的积极性．从分析平分角仪器的原理引入角平分线的画法，通过确定集贸市场位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生感受理论来源于实际的需要．运用全等三角形可以解决实际中许多测量边、角的问题．学法建议学生在初一学习过三角形的相关知识，会作一个三角形等于已知三角形，本节是使学生在原有知识的基础上探索怎样判定三角形全等的判定条件及恰当地选择判定定理来判别两个三角形全等,并能灵活运用全等三角形的判定方法解决线段或者角相等的问题。

湘教版八年级数学几何知识汇总

八年级数学几何知识要点汇总上册：三角形知识小结与复习1、三角形有关概念（1）三角形、内角、外角、高、中线、角平分线（2）三角形三中线相交于三角形内一点——重心（3）三角形三高或其延长线相交于一点——垂心（4）三角形三内角平分线相交于三角形内一点——内心（5）三角形三边垂直平分线相交于三角形内一点——外心（6）三角形高、中线、角平分线都是线段2、三角形有关性质（1）三边关系：任意两边之和大于第三边：a+b>c；a+c>b；b+c>a（2）内角关系：三角形三内角和等于180o，即：∠A+∠B+∠C=180o（3）外角定理：一个外角等于与其不相邻两个内角之和。

（4）中线平分对边，角平分线平分一个角，有高就有直角。

3、命题（1）概念的定义：对概念的含义加以描述说明或作出明确规定（2）命题的定义：对一件事情做出判断的语句。

（由条件和结论组成）（3）命题的真假：正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题假命题举反例说明，真命题通过证明说明。

（4）互逆命题：条件和结论互换，不一定同真假。

（5）证明：从条件出发，通过讲道理，得出结论成立。

（6）定理：经过证明为真的命题叫做定理，由定理得出的真命题叫做定理的推论。

4、等腰三角形（1）等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。

（2）等腰三角形的性质：轴对称性；三线合一；等边对等角。

（3）等腰三角形的判定：等角对等边。

（4）等边三角形的特殊性质：三个角都相等，等于60o。

（5）等边三角形的判定：有一个角为60o的等腰三角形是等边三角形。

5、全等三角形的性质与判定（1）定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形（2）性质：全等三角形对应边相等，对应角相等。

全等三角形周长相等、面积相等，对应边上的中线、高相等，对应角平分线相等。

（3）判定：SAS、ASA、AAS、SSS，至少有一条边相等。

（4）综合应用：证线段相等、线平行，角相等，找它们所在三角形，寻找条件证全等，全等三角形证明不超过两次。

八年级数学几何定理定义公式汇总：中心对称图形

中心对称图形1、中心对称：如果把一个图形绕一个点旋转180°后能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这点成中心对称。

2、中心对称图形：把一个图形绕一个点旋转180°后能够与自身完全重合，那么这个图形是中心对称图形。

3、中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形是全等的。

②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

4、真命题：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点成中心对称。

5、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。

6、平行四边形性质：①平行四边形的对角相等。

②平行四边形的对边相等。

③平行四边形的对角线互相平分。

7、平行四边形判定：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

②对角线互相平分的四边形是平行四边形。

③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

④真命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

⑤真命题：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。

注意：假命题．．．：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形。

（×）8、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。

9、矩形的性质：①矩形的四个角都是直角。

②矩形的对角线相等。

10、矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形。

②对角线相等的平行四边形是矩形。

11、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。

12、菱形的性质：①菱形的四条边都相等。

②菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

13、菱形面积等于对角线乘积的一半。

推而广之：（真命题）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半。

14、菱形的判定：①四边都相等的四边形是菱形。

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

③真命题：一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。

15、正方形的定义：有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫作正方形。

16、正方形性质：正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

初中数学,十种基本几何图形分享,弄清楚了以后做证明题就有思路.doc

初中数学，十种基本几何图形分享，弄清楚了以后做证明题就有思路基本图形（1）这是最常见的直线形状，很简单了，但是有两个重要的规律要记住，若AC=BD则AB=CD，当然相反也是成立的。

基本图形（2）上面一个是线段的最基本的图形，这个是角最基础的图形，这里的规律就是若∠1=∠2，则∠EAC=∠DAB,当然它的逆命题也是成立的。

基本图形（3）——箭头模型这个图形我们在做题时候见得就比较多了，记住一个规律∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C，也就是∠BPC=∠A+∠B+∠C。

我们在做题过程中，发现这个形状就能找到这个规律，在我们求角的度数，证明三角形全等等好多情况下都能用到。

基本图形（4）——蝶形这个形状相信都不陌生，都见过它的好多变种，但无论怎么变有一个规律是不会变的，那就是∠A+∠B=∠C+∠D。

基本图形（5）如上图，A、O、B在同一直线上，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则有OD⊥OE,或∠DOE=90°。

基本图形（6）上图模型是不是有点熟悉，前面的箭头模型多穿了点衣服，但是如果这个模型还满足BP、CP是角平分线的话，咋还有∠BPC=90°+1/2∠BAC基本图形（7）如上图，①AC平分∠DAB,②AD=CD,③DC∥AB,这个模型如果满足前面三个条件中的任两个，那么就能推出第三个。

基本图形（8）这个是角平分线定理和逆定理的模型不再说了，就是AP 为角平分线，则PC=PB，反过来也成立！基本图形（9）这个图形已经复杂了，严格地说已经不能算基本图形，但在实际应用中比较常见还是单列，它是蝶形，箭头形状组合而成。

如果ab，CDE在同一直线上，那么夹在两平行线间同底的三角形面积相等，或者等底等高的三角形面积相等。

基本图形（10）这个也是复杂图形，“洋葱形”。

CH垂直平分AB，则CA=CB,DA=DB,EA=EB,FA=FB,GA=GB,HA=HB。

同样反过来也是成立的。

有些朋友可能已经看出来了，这是垂直平分线的定理与逆定理。

八年级数学几何证明题技巧

八年级数学几何证明题技巧对于八年级的学生来说，几何证明题是一个全新的挑战。

如何更好地理解和解决这些题目，掌握相应的技巧至关重要。

以下，是我为八年级学生整理的一些几何证明题技巧。

一、理解基本概念首先，你需要理解并掌握几何的基本概念，如线段、角、三角形、四边形等。

这些基本元素及其之间的关系是证明题的基础。

理解这些概念，可以帮助你更好地理解题目的要求，从而找到正确的解题方向。

二、熟悉常用证明方法在几何证明中，有许多常用的证明方法，如直证法、间接证法、辅助线法等。

辅助线法尤其重要，它是解决许多复杂问题的关键。

通过添加辅助线，可以将复杂的图形分解成更易于处理的子图形，从而找到解题的突破口。

三、培养观察力和想象力几何证明需要你具备出色的观察力，能够看到题目中的关键信息，以及想象出题目未直接给出的信息。

通过观察和分析，你可以找到解决问题所需的各种条件，并将其转化为证明语句。

四、学会找规律几何证明题有时会有一定的规律可循。

通过观察和分析不同类型的题目，你可以发现一些常见的模式和技巧。

掌握了这些规律，可以大大提高解题速度和准确性。

五、练习是关键几何证明需要大量的练习来提高你的解题能力。

只有通过不断的练习，你才能更好地掌握各种方法和技巧，提高你的解题速度和自信心。

六、学会自我反思和总结在解题过程中，要学会自我反思和总结。

哪些地方做得好？哪些地方需要改进？如何改进？只有不断地反思和总结，才能不断提高你的解题能力。

七、使用几何工具和软件现代科技为几何证明提供了许多便利。

你可以使用几何工具如直尺、圆规等，也可以使用一些数学软件来帮助你绘制图形和进行计算。

这些工具可以帮助你更好地理解题目和图形，提高解题效率。

八、培养逻辑思维能力在几何证明中，逻辑思维能力至关重要。

你需要按照一定的逻辑顺序来思考和证明问题，从已知条件出发，逐步推导出结论。

通过不断地练习和思考，你可以培养出更加严密的逻辑思维能力。

九、注意细节和规范书写在几何证明中，细节决定成败。

八年级数学秘籍-活用几何基本图形,解题事半功倍【含答案】

活用几何基本图形，解题事半功倍几何题目图形千变万化，但有一些经典图形经常在这些题目里直接或间接到的出现. 因此，灵活掌握和运用这些图形是学好几何的必备技能.一、基本图形1. “8字”形结论：∠A +∠B =∠C +∠D ；2. 双垂直BC结论：∠CAD =∠CBE ；结论：∠A =∠BCD ，∠B =∠ACD ；结论：∠CAD =∠CBE .3. 与角平分线有关的三个重要结论（1）双内角平分线CD条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠BOC=90°+12∠A；证明：∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠BOC+∠2+∠4=180°，即：∠A+2∠2+2∠4=180°，∠2+∠4=90°－12∠A，∴∠BOC=180°－（∠2+∠4）=90°+12∠A；（2）一内角平分线，一外角平分线条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠O=12∠A；证明：∠4=∠2+∠O，2∠4=2∠2+∠A，可得：∠O=12∠A；（3）双外角平分线BCC条件：∠1=∠2，∠3=∠4，结论：∠BOC =90°－12∠A ；证明：∠A +∠ABC +∠ACB =180°，∠BOC+∠2+∠4=180°，即：∠A +180°－2∠2+180°－2∠4=180°，∠2+∠4=90°+12∠A ， ∴∠BOC =180°－（∠2+∠4）=90°－12∠A ； 4. 四边形外角∠1与∠2是四边形ABCD 的外角，结论：∠1+∠2=∠A +∠B ；5. 飞镖模型∠BOC =∠A +∠B +∠CBC6. 与面积相关如上图所示，D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点结论：图中，S △AOF = S △AOE = S △BOF = S △COE =S △BOD = S △COD二、典例解析【例1-1】（安徽淮南月考）如图，BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP =50°，则∠A =( ).A ．60°B ．80°C ．70°D ．50°A 解：∵BP 是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的外角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°， ∴∠ABC =2∠ABP =40°，∠ACM =2∠ACP =100°，∴∠A =∠ACM -∠ABC =60°故答案为A .【例1-2】（平原县月考）如图，在四边形ABCD 中，∠A ＋∠D ＝α，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点P ，则∠P ＝( )CA ．90°－12α B ．90°＋12α C ．12α D ．360°－αC 解：由四边形的内角和定理知：△ABC +△BCD =360°－（△A ＋△D ）=360°－α，由角平分线的定义可得：△PBC +△PCB =()12ABC BCD ∠+∠=()136018022αα︒=︒－－， △△P =18018022αα⎛⎫︒-︒= ⎪⎝⎭－，故答案为C ．【变式1-1】（陕西西安·高新一中月考）已知，如图，△XOY =90°，点A 、B 分别在射线OX 、OY 上移动，BE 是△ABY 的平分线，BE 的反向延长线与△OAB 的平分线相交于点C ，试问△ACB 的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A 、B 移动发生变化，请求出变化范围．△ACB 的大小始终保持45°．解：作△ABO 的平分线交AC 于点D ，则△BDA＝180°-(△DAB+∠DBA)＝180°-12(△OAB+∠OBA)＝135°，因为BD，BE分别是△OBA和△YBA的平分线，所以BD△CB，所以△ACB＝△BDA-△DBC＝135°-90°＝45°．即△ACB的大小始终为45°．【变式1-2】（武城县月考）如图△，△ABC中，BD平分△ABC，且与△ABC的外角△ACE的角平分线交于点D．（1）若△ABC=75°，△ACB=45°，求△D的度数；（2）若把△A截去，得到四边形MNCB，如图△，猜想△D、△M、△N的关系，并说明理由．（1）△D=30°；（2）△D=12（△M+△N﹣180°）；解：（1）△△ACE=△A+△ABC，△△ACD+△ECD=△A+△ABD+△DBE，△DCE=△D+△DBC，又BD平分△ABC，CD平分△ACE，△△ABD=△DBE，△ACD=△ECD，△△A=2(△DCE−△DBC)，△D=△DCE−△DBC，△△A=2△D，△△ABC=75°，△ACB=45°△△A=60°△D=30°(2)1(180)2D M N∠=∠+∠-理由：延长BM、CN交于点A，则△A=△BMN+△CNM－180°△△D= 12△A=12（△M+△N-180°）.【例2-1】（广东模考）如图所示，△α的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°A.△1=30°+20°=40+△α，则△α=10°，故答案为A.【例2-2】（霍林郭勒市月考）如图1所示，称“对顶三角形”，其中，△A＋△B＝△C＋△D利用这个结论，完成下列填空.(1)如图(2)，△A＋△B＋△C＋△D＋△E＝；(2)如图（3），△A＋△B＋△C＋△D＋△E＝；(3)如图（4），△1＋△2＋△3＋△4＋△5＋△6＝；(4)如图（5），△1＋△2＋△3＋△4＋△5＋△6＋△7＝．（1）180°，（2）180°，（3）360°，（4）540°解：如图：（1）△△1，△2的和与△D，△E的和相等，△△A+△B+△C+△D+△E=△A+△B+△C+△1+△2=180°；（2）△△1，△2的和与△D，△E的和相等，△△A+△B+△C+△D+△E=△A+△B+△C+△1+△2=180°；故180°；（3）△△1，△2的和与△7，△8的和相等，△△1+△2+△3+△4+△5+△6=△7+△8+△3+△4+△5+△6=360°；故360°；（4）△△6，△7的和与△8，△9的和相等，△△1+△2+△3+△4+△5+△6+△7=△1+△2+△3+△4+△5+△8+△9=540°．故540°【变式1-1】（1）如图1我们称之为“8字形”，请直接写出△A，△B，△C，△D之间的数量关系：；（2）如图2，△1+△2+△3+△4+△5+△6+△7＝度；（3）如图3所示，已知△1＝△2，△3＝△4，猜想△B，△P，△D之间的数量关系，并证明．（1）△A+△B＝△C+△D；（2）540°；（3）2△P＝△D+△B．解：（1）△△A+△D+△AOD＝△C+△B+△BOC＝180°，△AOD＝△BOC，△△A+△B＝△C+△D，故△A+△B＝△C+△D；（2）如图，△△6，△7的和与△8，△9的和相等，△△1+△2+△3+△4+△5+△6+△7＝△1+△2+△3+△4+△5+△8+△9＝540°；（3）△DAP+△D＝△P+△DCP，△△PCB+△B＝△P AB+△P，△△△DAB和△BCD的平分线AP和CP相交于点P，△△DAP＝△P AB，△DCP＝△PCB，△+△得：△DAP+△D+△PCB+△B＝△P+△DCP+△P AB+△P，即2△P＝△D+△B．（广东广州月考）如图，已知BC与DE交于点M，则△A+△B+△C+△D+△E+△F的度数为_______．【变式1-2】360°解：连接BE．△△CDM和△BEM中，△DMC=△BME，△△C+△D=△MBE+△BEM，△△A+△B+△C+△D+△E+△F=△A+△B+△MBE+△BEM+△E+△F=△A+△F+△ABE+△BEF=360°．故360°．（安徽淮南月考）某零件如图所示，图纸要求△A=90°，△B=32°，△C=21°，当检验员量得△BDC=145°，【例3】就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？这个零件不合格．理由见解析.解：如图，连接AD并延长，△△1=△B+△BAD，△2=△C+△CAD，△△A=90°，△B=32°，△C=21°，△△BDC=△1+△2，=△B+△BAD+△DAC+△C，=△B+△BAC+△C，=32°+90°+21°，=143°，△143°≠145°，△这个零件不合格．【变式3-1】（山西盐湖期末）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究△BDC与△A、△B、△C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：△如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，△A=40°，则△ABX+△ACX等于多少度；△如图3，DC平分△ADB，EC平分△AEB，若△DAE=40°，△DBE=130°，求△DCE的度数；△如图4，△ABD，△ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若△BDC=133°，△BG1C=70°，求△A的度数．见解析．解：（1）如图，连接AD并延长至点F，可得△BDF=△BAD+△B，△CDF=△C+△CAD，△△BDC=△BDF+△CDF，△BAC=△BAD+△CAD，△△BDC=△A+△B+△C；（2）△由（1），可得：△ABX+△ACX+△A=△BXC，△△A=40°，△BXC=90°，△△ABX+△ACX=90°-40°=50°；△由（1），可得△DBE=△DAE+△ADB+△AEB，△△ADB+△AEB=△DBE-△DAE=130°-40°=90°，△12（△ADB+△AEB）=90°÷2=45°，△DC平分△ADB，EC平分△AEB，△12ADC ADB∠=∠，12AEC AEB∠=∠，△△DCE=△ADC+△AEC+△DAE，=12（△ADB+△AEB）+△DAE=85°；△由△得△BG1C=110（△ABD+△ACD）+△A，△△BG1C=70°，设△A为x°，△△ABD +△ACD =133°-x ° △110（133-x ）+x =70， △13.3-110x +x =70，解得x =63，即△A 的度数为63°.【变式3-2】（山东岱岳期末）如图1六边形的内角和123456∠+∠+∠+∠+∠+∠为m 度，如图2六边形的内角和123456∠+∠+∠+∠+∠+∠为n 度，则m n -=________．解：如图1所示，△m =△1+△2+△3+△4+△5+△6=180°×2+360°=720° 如图2所示，△n =△1+△2+△3+△4+△5+△6=180°×4=720° △m -n =0故答案为0.【例4】（唐山市月考）如图所示，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC ，AD ，CE 的中点，S △ABC =4平方厘米，则S △BEF 的值为（）A ．2平方厘米B ．1平方厘米C ．12平方厘米D ．14平方厘米B .解：△D 是BC 的中点，△S △ABD =S △ACD =12S △ABC =12×4=2cm 2， △E 是AD 的中点， △S △BDE =S △CDE =12×2=1cm 2， △S △BEF =12（S △BDE +S △CDE ）=12×（1+1）=1cm 2．故答案为B ．【变式4-1】（山东历下期中）如图，△ABC 的面积为1．第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点1A ，1B ，1C ，使1A B AB =，1B C BC =，1C A CA =，顺次连接1A ，1B ，1C ，得到△111A B C ．第二次操作：分别延长11A B ，11B C ，11C A 至点2A ，2B ，2C ，使2111A B A B =，2111B C B C =，2111C A C A =，顺次连接2A ，2B ，2C ，得到△222A B C ，…按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过多少次操作（）A ．4B ．5C ．6D ．7A .解：连接A 1C ，如图，△AB ＝A 1B ，△△ABC 与△A 1BC 的面积相等， △△ABC 面积为1， △1A BC S △＝1． △BB 1＝2BC ，△1112A B B A BC S S △△＝＝2，同理可得，11C B CS＝2，11AA C S △＝2，△111111111A B C C B C AA C A B B ABC S S S S S +++△△△△△＝＝2+2+2+1＝7；△A 2B 2C 2的面积＝7×△A 1B 1C 1的面积＝49，第三次操作后的面积为7×49＝343，第四次操作后的面积为7×343＝2401．故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少经过4次操作．故A ．【变式4-2】（台州市月考）在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，当AP = 12AD 时，PBCS 与ABCS和DBC S △ 之间的关系式为：________________；一般地，当AP =1nAD （n 表示正整数）时，PBCS 与ABCS和DBC S △ 之间关系式为：________________．PBCDBCABC 1122SS S =+；PBCDBC ABC11n SS S nn-=+解：△AP =12AD ，△ABP 和△ABD 的高相等， △ABPABD 12SS =，△PD =AD -AP =12AD ，△CDP 和△CDA 的高相等， △S △CDP =12S △CDA ， △PBCABPCDPABCD SS SS=--四边形ABDCDA ABCD 1122S SS =--四边形()()DBCABCABCD ABCD ABCD1122S S S S S=----四边形四边形四边形DBCABC 1122S S =+；当AP =1nAD （n 表示正整数）时， △AP =1nAD ，△ABP 和△ABD 的高相等， △ABPABD1SS n=，△PD =AD -AP =1n n-AD ，△CDP 和△CDA 的高相等， △CDPCDA 1n SS n-=，△PBCABPCDPABCD SS SS=--四边形ABD CDAABCD 11n S SS n n-=--四边形()()DBCABCABCD ABCD ABCD11n S S S SSnn -=----四边形四边形四边形DBC ABC11n S S nn-=+；故PBCDBCABC 1122SS S =+；PBCDBC ABC 11n SS S nn-=+．【例5】（庆云县月考）探究与发现：（探究一）我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图△，△FDC与△ECD分别为ADC的两个外角，试探究△A与△FDC+△ECD的数量关系，并证明你探究的数量关系．（探究二）三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图△，在ADC中，DP、CP分别平分△ADC和△ACD，试探究△A与△P的数量关系，并证明你探究的数量关系．（探究三）若将ADC改成任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分△ADC和△BCD，试利用上述结论直接写出△A+△B 与△P的数量关系．见解析．解：探究一：△△FDC＝△A+△ACD，△ECD＝△A+△ADC，△△FDC+△ECD＝△A+△ACD+△A+△ADC＝180°+△A；探究二：△DP、CP分别平分△ADC和△ACD，△△PDC＝12△ADC，△PCD＝12△ACD，△△P＝180°﹣△PDC﹣△PCD＝180°﹣12△ADC﹣12△ACD＝180°﹣12（△ADC+△ACD）＝180°﹣12（180°﹣△A）＝90°+12△A；探究三：△DP、CP分别平分△ADC和△BCD，△△PDC＝12△ADC，△PCD＝12△BCD，△△P ＝180°﹣△PDC ﹣△PCD＝180°﹣12△ADC ﹣12△BCD ＝180°﹣12（△ADC +△BCD ）＝180°﹣12（360°﹣△A ﹣△B ）＝12（△A +△B ）．故探究一：△FDC +△ECD ＝180°+△A ；探究二：△P ＝90°+12△A ；探究三：△P ＝12（△A +△B ）．【变式5-1】（河南宛城月考）问题情景：如图1，ABC ∆中，有一块直角三角板PMN 放置在ABC ∆上（P 点在ABC ∆内），使三角板PMN 的两条直角边PM PN 、恰好分别经过点B 和点C ．试问ABP ∠与ACP ∠是否存在某种确定的数量关系？（1）特殊探究：若50A ︒∠=，则ABC ACB ∠+∠=________度，PBC PCB ∠+∠=_________度，ABP ACP ∠+∠=_________度；（2）类比探索：请探究ABP ACP ∠+∠与A ∠的关系；（3）类比延伸：如图2，改变直角三角板PMN 的位置；使P 点在ABC ∆外，三角板PMN 的两条直角边PM PN 、仍然分别经过点B 和点C ，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．（1）130，90，40；（2）△ABP +△ACP =90°-△A ，理由见解析；（3）不成立，△ACP -△ABP =90°-△A 解：（1）△△A =50°，△△ABC +△ACB =180°-50°=130°，△△P =90°，△△PBC +△PCB =90°，△△ABP +△ACP =130°-90°=40°．故130，90，40；（2）结论：△ABP +△ACP =90°-△A ．证明：△90°+（△ABP +△ACP ）+△A =180°，△△ABP +△ACP +△A =90°，△△ABP +△ACP =90°-△A ．（3）不成立；存在△ACP -△ABP =90°-△A ．理由：△ABC 中，△ABC +△ACB =180°-△A ，△△MPN =90°，△△PBC +△PCB =90°，△（△ABC +△ACB ）-（△PBC +△PCB ）=180°-△A -90°，即△ABC +△ACP +△PCB -△ABP -△ABC -△PCB =90°-△A ，△△ACP -△ABP =90°-△A ．【变式5-2】（吉林宽城期末）将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点'A 处．（感知）如图△，若点'A 落在四边形BCDE 的边BE 上，则A ∠与1∠之间的数量关系是．（探究）如图△，若点'A 落在四边形BCDE 的内部，则A ∠与12∠+∠之间存在怎样的数量关系？请说明理由．（拓展）如图△，若点'A 落在四边形BCDE 的外部，180∠=︒，224∠=︒，则A ∠的大小为度．感知：△1=2△A ；探究：2△A =△1+△2，理由见解析；拓展：28解：【感知】根据外角定理，易得21A ∠=∠【探究】2△A =△1+△2．理由：连结AA ’，△△1=△DAA ’+△DA ’A ，△2=△EAA ’+△EA ’A ，△△1+△2=△DAE +△DA ’E ，由翻折，得△DAE =△DA ’E△2△DAE =△1+△2△2△A =△1+△2【拓展】△△1=80°△△ADE =△EDA ’ =50°设△DEB =x ，由△2=24°，则△AED =x +24°△x +x +24=180°△x =78°△△A=78°-50°=28°故为28度．三、习题专练1. （安徽淮南月考）如图，△A+△B+△C+△D+△E+△F＝_____．360°解：如图所示，△△1=△A+△B，△2=△C+△D，△3=△E+△F，△△1+△2+△3=△A+△B+△C+△D+△E+△F，又△△1、△2、△3是三角形的三个不同的外角，△△1+△2+△3=360°，△△A+△B+△C+△D+△E+△F=360°．故答案为360°．2．（惠州市光正实验学校月考）如图，在四边形ABCD中，△ABC与△BCD的平分线的交点E恰好在AD 边上，则△BEC=（）A ．△A +△D ﹣45°B ．12（△A +△D ）+45° C ．180°﹣（△A +△D ）D ．12△A +12△D D解：△四边形的内角和=360°，△△ABC +△BCD =360°﹣（△A +△D ）， △△ABC 与△BCD 的平分线的交点E 恰好在AD 边上， △1122EBC ABC ECB BCD ∠=∠∠=∠，， △()()11360,22EBC ECB ABC BCD A D ⎡⎤∠+∠=∠+∠=⨯-∠+∠⎣⎦ △△BEC =180°﹣（△EBC +△ECB ）()12A D ，=∠+∠ 故答案为D ．3.（山东潍坊期末）如图，点D 是△ABC 的边BC 的延长线上的一点，△ABC 的平分线与△ACD 的平分线交于点A 1，△A 1BC 的平分线与△A 1CD 的平分线交于点A 2，依此类推…，已知△A ＝α，则△A 2020的度数为_____．（用含α的代数式表示）．202012α解：在△ABC 中，△A ＝△ACD ﹣△ABC ＝α，△△ABC 的平分线与△ACD 的平分线交于点A 1，△△A 1＝△A 1CD ﹣△A 1BC ＝12（△ACD ﹣△ABC ）＝12△A ＝12α，同理可得△A 2＝12△A 1＝212α， △A 3＝12△A 2＝312α， … 以此类推，△A 2020＝202012α，故202012α．4．（信阳市月考）如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，△BAC =80°，BE 、CF 相交于D ，则△BDC 的度数是_______．130°.解：△BDC =90°+ 12△BAC =130°. 5．（惠州市月考）如图，△A +△B +△C +△D +△E =___________________度．180.解：△△2是△OBC的外角，△△B+△C=△2，△△1是△AEF的外角，△△A+△E=△1，△△1+△2+△D=180°，△△A+△B+△C+△D+△E=180°．故答案是：180．6.（商城县月考）如图，△ABC的两个内角平分线相交于点P，过点P向AB，AC两边作垂直线l1、l2，若△1=40°，则△BPC=_________．110°.解：如下图所示：△MPN=180°-△1=140°，四边形AMPN中，△A=360°-90°-90°-140°=40°，△PC、PB分别是△ACB和△ABC的角平分线，△△2+△3=12△ACB+12△ABC=12(△ACB+△ABC)=12(180°-△A)=12×140°=70°，△在△PBC中，△CPB=180°-(△2+△3)=110°，故110°．7.（临沭县月考）如图，△1+△2+△3+△4+△5+△6+△7＝_____．540°.解：由三角形的外角性质可知△6+△7=△8，△△1+△2+△3+△4+△5+△6+△7=△1+△2+△3+△4+△5+△8，又△△1+△2+△3+△10=360°，△4+△5+△8+△9=360°，△10+△9=180°，△△1+△2+△3+△4+△5+△8=（△1+△2+△3+△10）+（△4+△5+△8+△9）-（△10+△9）=540°.8.（霍林郭勒市月考）如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是△A 1BD 的角平分线，CA 2是△A 1CD 的角平分线，BA 3是△A 2BD 的角平分线，CA 3是△A 2CD 的角平分线，若△A 1=α，则△A 2018为_____．20172α解：△A 1B 是△ABC 的平分线，A 1C 是△ACD 的平分线，△△A 1BC =12△ABC ，△A 1CD =12△ACD ，又△△ACD =△A +△ABC ，△A 1CD =△A 1BC +△A 1， △12（△A +△ABC ）=12△ABC +△A 1， △△A 1=12△A ， △△A 1=α，同理理可得△A 2=12△A 1=12α，则△A 2018=20172α．故20172α．9．（四川师范大学附属中学期中）如图，已知△ABC中，△A＝60°，点O为△ABC内一点，且△BOC＝140°，其中O1B平分△ABO，O1C平分△ACO，O2B平分△ABO1，O2C平分△ACO1，…，O n B平分△ABO n﹣1，O n C平分△ACO n﹣1，…，以此类推，则△BO1C＝_____°，△BO2017C＝_____°．100；[60+（12）2017×80]．解：如图，△△BOC＝140°，△△1+△2＝180°﹣140°＝40°．△△ABO+△ACO＝180°﹣60°﹣40°＝80°△点O1是△ABC与△ACB的角平分线的交点，△△BO1C＝180°﹣（12×80°+40°）＝100°．△△BO2C＝180°﹣[120°﹣（△ABO2+△ACO2）＝80°．依次类推，△BO2017C＝180°﹣[120°﹣（12）2017×80°]＝60°+（12）2017×80°故100，[60+（12）2017×80]．10．（重庆月考）如图，,,,E F G H 分别为四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 的中点，并且图中四个小三角形的面积之和为1，即12341S S S S +++=，则图中阴影部分的面积为____．1解：如图，连接AC 、BD ，△E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，△S △BCE ＝S △ACE ，S △ADG ＝S △ACG ，S △ABH ＝S △DBH ，S △CDF ＝S △BDF ，△S △BCE + S △ADG ＝S △DBH + S △BDF ＝12S 四边形ABCD ， △S 1+ S 四边形BMNF + S 4+ S 2+ S 四边形HQPD + S 3＝S 四边形BMNF + S 阴影+ S 四边形HQPD ，△S 1+ S 4+ S 2+ S 3＝S 阴影，△S 1+ S 2+ S 3+ S 4＝1，△S 阴影＝1．故1．11．（江苏邗江期末）（1）如图1，AB △CD ，点E 是在AB 、CD 之间，且在BD 的左侧平面区域内一点，连结BE、DE．求证：△E=△ABE+△CDE．（2）如图2，在（1）的条件下，作出△EBD和△EDB的平分线，两线交于点F，猜想△F、△ABE、△CDE 之间的关系，并证明你的猜想．（3）如图3，在（1）的条件下，作出△EBD的平分线和△EDB的外角平分线，两线交于点G，猜想△G、△ABE、△CDE之间的关系，并证明你的猜想．（1）见解析（2）见解析（3）2△G=△ABE+△CDE解：（1）如图，过点E作EH△AB，△△BEH=△ABE，△EH△AB，CD△AB，△EH△CD，△△DEH=△CDE，△△BED=△BEH+△DEH=△ABE+△CDE；（2）2△F-（△ABE+△CDE）=180°，理由：由（1）知，△BED=△ABE+△CDE，△△EDB+△EBD+△BED=180°，△△EBD+△EDB=180°-△BED=180°-（△ABE+△CDE），△BF，DF分别是△DBE，△BDE的平分线，△△EBD=2△DBF，△EDB=2△BDF，△2△DBF+2△BDF=180°-（△ABE+△CDE），△△DBF+△BDF=90°-12（△ABE+△CDE），在△BDF中，△F=180°-（△DBF+△BDF）=180°-[90°-12（△ABE+△CDE）]=90°+12（△ABE+△CDE），即：2△F-（△ABE+△CDE）=180°；（3）2△G=△ABE+△CDE，理由：由（1）知，△BED=△ABE+△CDE，△BG是△EBD的平分线，△△DBE=2△DBG，△DG是△EDP的平分线，△△EDP=2△GDP，△△BED=△EDP-△DBE=2△GDP-2△DBG=2（△GDP-△DBG），△△GDP-△DBG=12△BED=12（△ABE+△CDE）△△G=△GDP-△DBG=12（△ABE+△CDE），△2△G=△ABE+△CDE．12．（莆田月考）如图，点D为△ABC的边BC的延长线上一点．（1）若△A△△ABC=3△4，△ACD=140°，求△A的度数；（2）若△ABC的平分线与△ACD的平分线交于点M，过点C作CP△BM于点P．试探究△PCM与△A的数量关系．见解析.解：（1）△△A△△ABC=3△4，设△A=3k，△ABC=4k．△△ACD=△A+△ABC=140°，△3k+4k=140°，解得k=20°，△△A=3k=60°．（2）△△MCD是△MBC的外角，△△M=△MCD－△MBC．同理可得：△A=△ACD－△ABC．△MC，MB分别平分△ACD，△ABC，△1111()2222M ACD ABC ACD ABC A ∠=∠-∠=∠-∠=∠．△CP△BM，△△PCM=90°－12△A．13. （全国月考）如图，四边形ABCD中，BE、DF分别平分四边形的外角△MBC和△NDC，若△BAD=α，△BCD = β．（1）如图△，若α＋β = 150°，求△MBC＋△NDC的度数；（2）如图△，若BE与DF相交于点G，△BGD = 30°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图△，若α = β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．（1）150°；（2）β﹣α=60°；（3）BE△DF，理由见解析（1）解：（1）在四边形ABCD中，△BAD+△ABC+△BCD+△ADC=360°，△△ABC+△ADC=360°-（α+β），△△MBC+△ABC=180°，△NDC+△ADC=180°△△MBC+△NDC=180°-△ABC+180°-△ADC=360°-（△ABC+△ADC）=360°-[360°-（α+β）]=α+β，△α+β=150°，△△MBC+△NDC=150°；（2）β﹣α=60°理由：连接BD，由（1）得，△MBC+△NDC=α+β，△BE、DF分别平分四边形的外角△MBC和△NDC，△△CBG=12△MBC，△CDG=12△NDC，△△CBG+△CDG=12△MBC+12△NDC=12(△MBC+△NDC)=12(α+β)，在BCD中，△BDC+△CDB=180°﹣△BCD=180°﹣β，在BDG中，△GBD+△GDB+△BGD=180°，△△CBG+△CBD+△CDG+△BDC+△BGD=180°，(△CBG+△CDG)+(△BDC+△CDB)+△BGD=180°，12(α+β)+180°﹣β+30°=180°，△β﹣α=60°；(3)平行，理由：延长BC交DF于H，由（1），△MBC +△NDC =α+β，△BE 、DF 分别平分四边形的外角△MBC 和△NDC ，△△CBE =12△MBC ，△CDH =12△NDC ， △△CBE +△CDH =12△MBC +12△NDC =12(△MBC +△NDC )=12(α+β)， △△BCD =△CDH +△DHB ，△△CDH =△BCD ﹣△DHB =β﹣△DHB ，△△CBE +β﹣△DHB =12(α+β)， △α=β，△△CBE +β﹣△DHB =12(β+β)=β， △△CBE =△DHB ，△BE △DF ．14.（贵州赫章期末）数学问题：如图，在ABC 中，20,,A ABC ACB ∠=∠∠的2020等分线分别交于点12102020,,.....,,,O O O O 根据2020等分线等分角的情况解决下列问题：（1）求1BO C ∠的度数．（2）求3BO C ∠的度数．（3）直接写出2020BO C ∠的度数．见解析．解：（1）△20A ∠=︒，△180********ABC ACB A ∠+∠=-∠-︒=︒=︒︒，△11BO CO 、分别是ABC ∠和ACB ∠的二等分线，()111608022OBC OCB ABC ACB ∴∠+∠=∠+⨯︒∠==︒， △118080100BO C =︒︒=∠-︒．（2）△33BO CO 、分别是ABC ∠和ACB ∠的四等分线，()333316012044O BC O CB ABC ACB ∴∠+∠=∠⨯︒+∠==︒， 318012060BO C ∴∠=︒=︒-︒，（3）△131n n BO CO --、分别是ABC ∠和ACB ∠的n 等分线，()1111160n n n n O BC O CB ABC ACB n n----∴∠+∠=∠+∠=⨯︒， 1120160180160n n n BO C n n --+⎛⎫∴∠=-⨯=︒ ⎝︒⎪⎭︒， 20202020211604058020212021BO C ⨯+⎛⎫⎛⎫∴∠== ⎪ ⎪⎝⎝︒⎭⎭︒． 15.（山西月考）综合与实践：阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在ABC ∆中，60A ∠=︒，图1，图2，图3中的ABC ∆的内角平分线或外角平分线都交于点O ，请直接写出下列角的度数如图1，O ∠=_________；如图2，O ∠=_________；如图3，O ∠=_________；如图4，ABC ∠，ACB ∠的三等分线交于点1O ，2O ，连接12O O ，则21BO O ∠=_________．（2）如图5，点O 是ABC ∆两条内角平分线的交点，求证：1902O A ∠=︒+∠．（3）如图6，在ABC ∆中，ABC ∠的三等分线分别与ACB ∠的平分线交于点1O ，2O ，若1115∠=︒，2135∠=︒，求A ∠的度数．见解析．解：（1）△BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠， △12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠， △OBC OCB ∠+∠1()2ABC ACB =∠+∠()11802BAC ︒=-∠()1180602=︒-︒60=︒， △180()120O OBC OCB ∠=-∠∠=︒+︒．如图2，△BO 平分ABC ∠，CO 平分ACD ∠，△12OBC ABC ∠=∠，12OCD ACD ∠=∠． △ACD ABC A ∠=∠+∠， △1()2OCD ABC A ∠=∠+∠ △OCD OBC O ∠=∠+∠， △1111302222O OCD OBC ABC A ABC A ∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=︒ 如图3，△BO 平分EBC ∠，CO 平分BCD ∠，△12OBC EBC ∠=∠，12OCB BCD ∠=∠， △()12OBC OCB EBC BCD ∠+∠=∠+∠()()1118012022A ACB BCD A =∠+∠+∠==︒∠+︒， △180()60O OBC OCB ∠=-∠+=︒∠︒．如图4，△ABC ∠，ACB ∠的三等分线交于点1O ，2O ， △223O BC ABC ∠=∠，223O CB ACB ∠=∠． △1O B 平分2O BC ∠，1O C 平分2O CB ∠，△21O O 平分2BO C ∠， △()()22222()1801806080333O BC O CB ABC ACB BAC ︒∠+∠=∠+=-∠=-︒=︒︒， △()222180100BO C O BC O CB ∠=-∠+∠=︒︒， △2121502BO O BO C ∠=∠=︒．故120°；30°；60°；50°．（2）证明：△OB 平分ABC ∠，OC 平分ACB ∠， △12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠， △1180()180()2O OBC OCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠1902A =︒+∠．（3）△212120O BO ∠=∠-∠=︒，△21360ABC O BO ∠=∠=︒，12120O BC O BO ∠=∠=︒，△21802013525BCO ∠=--︒=︒︒︒，△2250ACB BCO ∠=∠=︒，△18070A ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒．16.（福建永安期末）（1）如图1．在△ABC 中，△B =60°，△DAC 和△ACE 的角平分线交于点O ，则△O = °，（2）如图2，若△B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示△O 的大小；（3）如图3，若△B =α，11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠，则△P = （用含α的代数式表示）．（1）△O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n nα∠=-⨯- 解：（1）△△DAC 和△ACE 的角平分线交于点O ，且△B =60°，△18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=，△△O =180120οο-=60°.（2）设△BAC =β，△ACB =γ，则α+β+γ=180°△△ACE 是△ABC 的外角，△△ACE =△B +△BAC =α+β△CO 平分△ACE11()22ACO ACE αβ∴∠=∠=+ 同理可得：1()2CAO αγ∠=+ △△O +△ACO +△CAO =180°， △11180180()()22O ACO CAO αβαγ︒︒∠=-∠-∠=-+-+ 1180()2αβαγ︒=-+++111180()1809090222αβααα︒︒︒︒=-++=--=-；（3）△△B =α，11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠， △11(1)180P n nα∠=-⨯-. 17.（重庆市璧山区青杠初级中学校初二期中）如图，在△ABC 中，已知AD BC ⊥于点D ，AE 平分()BAC C B ∠∠>∠（1）试探究EAD ∠与C B ∠∠、的关系；（2）若F 是AE 上一动点，当F 移动到AE 之间的位置时，FD BD ⊥，如图2所示，此时EFD C B ∠∠∠与、的关系如何？（3）若F 是AE 上一动点，当F 继续移动到AE 的延长线上时，如图3，FD BC ⊥，△中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论.见解析.解：（1）△EAD=12（△C-△B）.理由如下：△AE平分△BAC，△△BAE=△CAE=12△BAC△△BAC=180°-（△B+△C）△△EAC=12[180°-（△B+△C）]△AD△BC，△△ADC=90°，△△DAC=180°-△ADC-△C=90°-△C，△△EAD=△EAC-△DAC△△EAD=12[180°-（△B+△C）]-（90°-△C）=12（△C-△B）．（2）△EFD=12（△C-△B）.理由如下：过A 作AG △BC 于G由（1）可知△EAG =12（△C -△B ） △FD BD ⊥，AG BC ⊥ △FD △AG△△EAG =△EFD△△EFD =12（△C -△B ）（3）△AFD =12（△C -△B ）．理由如下：过A 作AH △BC 于H由（1）可知△EAH =12（△C -△B ） △FD BD ⊥，AH BC ⊥ △FD △AH△△EAH =△AFD△△AFD =12（△C -△B ）.。

5.3什么是几何证明课件青岛版数学八年级上册

八年级上册第五单元
5.3 什么是几何证明
1.了解基本事实、定理的意义，掌握本节中提出的基本事实，了解除了基本事实外，命题的真实性必须经过证明；
2.初步了解几何证明的三个步骤，通过例题了解几何证明的书写格式，知道证明要合乎逻辑，感受证明过程中的每一步推理都要有依据.
上节课我们学习了为什么要证明，那么，怎样用推理的方法证实一个命题是真命题呢？
已知：如图，∠1与∠α互余， ∠2与∠α互余.
求证： ∠1=∠2.
证明：∵∠1与∠α互余，（已知）
2α 1
∴∠1+∠α=90°（余角的定义）
∴∠1= 90°－∠α.（等式的基本性质）
又∵∠2与∠α互余（. 已知）
∴∠2+∠α=90°（余角的定义）
∴∠2=90°－∠α（. 等式的基本性质）
∴∠1=∠2.（等量代换）
看作基本事实,称为“等量代换”.
想一想：如何证明一个命题是真命题呢？除基本事实外，命题的真实性都需要由基本事实、定义、已证
实的结论及已知条件出发，通过逻辑推理的方法加以证实。推理的过程叫做证明.
● 公理：人们从长期的生活实践中总结出来的真命题叫做公理，可以作为判断其他命题真假的原始依据。例：两点之间，线段最短；
∴∠AOC=∠BOD（等式的基本性质）
通过证明以上定理，你认为几何证明的步骤应分哪几步？在书写格式上应注意哪些问题？
①根据题意，画出图形。
步骤
②结合图形，写出已知、求证。
③写出证明过程。
注意事项：
1.图形中要标出必要的字母和符号。 2.已知、求证要用符号语言。 3.证明的每一步都要有依据。
例1.求证：同角的余角相等。
在括号内填写理由。

沪教版(五四制)八年级数学上册第十九章几何证明提高讲义【无答案】

几何证明提高学生姓名授课日期教师姓名授课时长【本讲内容】通过“倍长中线”、“截长补短”、“图形旋转”等添加辅助线的方法，构造全等三角形，实现边与角的转化及转移，最终得到证明结果。

【重点难点】添加合适的辅助线，解决证明问题知识梳理1.倍长中线法几何是初中数学的重要组成部分，在中考中占有相当的比例，在证明举例中，主要学习了以下几种题型：题型一：证明两条线段相等；（等腰三角形，三角形全等）题型二：证明两线平行；（利用两条直线平行的判定定理）题型三：证明两线垂直（证明角90度）；题型四：证明两角相等（等腰三角形，三角形全等）；题型五：证明线段或角的和差倍；有一部分题目，只要应用我们的一些定理公理即可证明，但有部分题需要做出辅助线才能完成。

有的时候，做不出恰当的辅助线，或者做不出辅助线，就没有办法完成该题的解答。

为了能够更好的让学生在做几何题时得心应手，现在将八年级数学中几何题的辅助线添加方法总结如下。

倍长中线法：1.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。

2.若点C 是线段AB 的中点，则：① 从线段来看：12AC BC AB ==；② 从点与点的相对位置来看：点C 在点A B 、之间，且点A B 、关于点C 对称。

3.三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点所得的线段叫做三角形的中线。

① 一个三角形有三条中线； ② 每条中线平分三角形的面积；③ 三角形的三条中线交于一点，每条中线被该点（重心）分成1:2的两段；④ 三角形的三条中线把三角形分成六个面积相等的小三角形。

如何延长三角形的中线 1.延长1倍的中线：如图，线段AD 是ABC ∆的中线，延长线段AD 至E ，使DE AD =（即延长1倍的中线），再连接BE CE 、。

①总的来说，就可以得到一个平行四边形ABCD 和两对（中心选转型）全等三角形ABD ECD ∆≅∆、ACD EBD ∆≅∆，且每对全等三角形都关于点D 中心对称；②详细地说，就是可以转移角：BAD CED ∠=∠，CAD BED ∠=∠，ABD ECD ∠=∠，ACD EBD ∠=∠，ADB ECD ∠=∠，ADC EDB ∠=∠；可以移边：AB EC =，AC EB =；可以构造平行线：AB ∥EC ，AC ∥EB ；可以构造边长与AB 、AC 、AD 有关的三角形：ABE ∆、ACE ∆。

(word完整版)八年级数学几何证明题技巧(含答案),推荐文档

D 几何证明题的技巧1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。

这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。

2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。

3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。

在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。

1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。

很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。

证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。

例1. 已知：如图1 所示，∆ABC 中，∠C = 90︒，AC =BC，AD =DB，AE =CF 。

求证：DE＝DF AEC F B图1分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠A =∠B = 45︒，由D 是AB 中点，可考虑连结CD，易得CD =AD ，∠DCF = 45︒。

从而不难发现∆DCF ≅∆DAE证明：连结CDAC =BC∴∠A =∠B∠ACB = 90︒，AD =DB∴CD =BD =AD，∠DCB =∠B =∠AAE =CF，∠A =∠DCB，AD =CD∴∆ADE ≅∆CDF∴DE =DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中EF2 3 1线或高是常用的辅助线。

初中数学几何知识点归纳

初中数学几何知识点归纳一、几何基础知识1. 点、线、面- 点：没有大小，只有位置。

- 线：由无数个点组成，有长度，没有宽度。

- 面：由无数条线组成，有长度和宽度。

2. 直线、射线、线段- 直线：无限延伸，没有端点。

- 射线：有一个端点，向一个方向无限延伸。

- 线段：有两个端点，长度有限。

3. 角- 邻角：有共同顶点和边的两个角。

- 对顶角：两条射线共享一个公共点，形成的两个角。

- 平行线：在同一平面内，永不相交的两条直线。

二、平面图形1. 三角形- 等边三角形：三条边长度相等。

- 等腰三角形：至少有两条边长度相等。

- 直角三角形：有一个90度的角。

- 钝角三角形：有一个大于90度的角。

- 锐角三角形：所有角都小于90度。

2. 四边形- 正方形：四条边长度相等，四个角都是直角。

- 长方形：对边平行且相等，四个角都是直角。

- 平行四边形：对边平行。

- 梯形：至少有一组对边平行。

3. 圆- 圆心：圆的中心点。

- 半径：圆心到圆上任意一点的距离。

- 直径：通过圆心的最长线段，等于半径的两倍。

三、几何图形的性质1. 三角形的性质- 内角和：三角形内角和为180度。

- 海伦公式：已知三边长度，可以计算三角形的面积。

2. 四边形的性质- 正方形的性质：对角线相等且互相平分。

- 长方形的性质：对角线相等且互相平分。

- 平行四边形的性质：对角线互相平分。

3. 圆的性质- 圆周率：圆的周长与直径的比值，用π表示。

- 圆的面积：π乘以半径的平方。

四、几何图形的计算1. 面积计算- 三角形面积：底乘高除以2。

- 四边形面积：长乘宽（正方形和长方形）；梯形的上下底之和乘高除以2。

- 圆的面积：π乘以半径的平方。

2. 周长计算- 三角形周长：三边之和。

- 四边形周长：四边之和（正方形和长方形）；梯形的上下底之和加上两腰之和。

- 圆的周长：2π乘以半径。

3. 体积计算- 圆柱体积：底面积乘以高。

- 圆锥体积：1/3乘以底面积乘以高。

八年级上下册数学几何知识点

八年级上下册数学几何知识点近年来，数学已经成为学生必修的一科，数学中有一门学科——几何，几何也是高中数学的基础。

因此，打好几何基础，对于学生未来学习和工作都有着至关重要的作用。

本文将为大家系统地介绍八年级上下册数学几何知识点。

一、角角是最基础、最重要的几何概念之一。

顾名思义，角就是两条射线在端点处所构成的图形。

常见的角有直角、钝角和锐角。

在八年级上下册中，角的知识点主要包括角的度数、角平分线和角的大小比较。

二、三角形三角形也是几何学中最基础、最重要的概念之一。

三角形由三条线段相交所构成，其中两条线段必须不共线，而第三条线段是它们之间的共同线段。

在八年级上下册中，常见的三角形有等腰三角形、直角三角形和等边三角形。

此外，三角形的周长和面积都是必备的知识点。

三、四边形四边形是另一个重要的几何图形，它是由四条边和四个顶点所组成的形状，常见的四边形有平行四边形、矩形、菱形和正方形。

在八年级上下册中，四边形面积和周长的计算都是必不可少的。

四、圆圆是几何学中的重要图形之一，它是一个平面上所有点距离一个固定点相等的点所组成的图形。

在八年级上下册中，圆的知识点包括圆的周长、面积和圆弧的长度。

五、立体几何立体几何是几何学中的另一个重要分支，它主要研究物体的体积、表面积和形状。

常见的立体几何图形有球、正方体、长方体、圆锥、圆柱和棱锥等。

在八年级上下册中，学生需要了解这些图形的表面积和体积的计算方法。

结语通过以上的介绍，我们可以看出八年级上下册数学几何的知识点种类繁多，要学习好几何，需要不断地练习和总结。

只有当我们掌握了几何图形的概念和计算方法，并且融会贯通，才能够在高中甚至是大学的数学学习中更好地应用所学知识。

中学数学几何图形的基本性质与证明

中学数学几何图形的基本性质与证明数学几何是中学阶段数学课程中的重要组成部分，其中图形的基本性质和证明是学习数学几何不可或缺的内容。

本文将通过逐步论述，介绍数学几何中常见图形的基本性质以及证明方法。

一、点、线、面的基本概念及性质在数学几何中，点、线、面是最基本的图形概念，它们的性质对于理解和推导其他图形的性质起到了重要作用。

1. 点的性质在数学几何中，点是最简单的图形，它没有长度、面积等属性，只有位置。

点的性质主要包括：- 唯一性：平面上任意两个点都是不同的，不存在两个完全相同的点。

- 位置关系：三个点可以确定一个平面，任意两点之间可以画一条直线。

2. 线的性质线是由无限多个点组成的，它是直的，没有弯曲。

线的性质主要包括：- 延伸性：一条线可以无限延伸，没有终点。

- 直线与曲线的关系：任意两点之间只有一条直线，而两点之间可以有无数条曲线。

3. 面的性质面是由无限多个点和直线组成的，它是二维的。

面的性质主要包括：- 闭合性：一块平面是连续的，没有断裂，可以无限延伸。

- 平面与曲面的关系：曲面是由无数个不在同一平面上的点、线组成的。

二、常见图形的基本性质与证明1. 直线的性质与证明直线是数学几何中最基本的图形之一，其基本性质如下：- 两点确定一条直线：给定平面上的两个不同点P和Q，可以通过这两点画出一条直线PQ。

证明：设直线上还有一点R不在直线PQ上，根据点的唯一性可知，P、Q、R三个点是不同的。

由于任意两点之间可以画一条直线，故点R必定在直线PQ上，与假设矛盾。

因此，两点确定一条直线。

- 任意一点唯一确定一条直线：给定平面上的一点P和直线l，通过点P可以作出唯一一条直线与l相交于点P。

证明：设平面上还有一条直线l'与直线l相交于点P，根据线的延伸性可知，直线l和l'可以无限延伸，因此必定与第三条直线相交于另一点，与假设矛盾。

因此，一点唯一确定一条直线。

2. 三角形的性质与证明三角形是具有三个顶点和三条边的多边形，其基本性质如下：- 三角形内角和定理：任意一个三角形的三个内角的和等于180度。

沪教版(上海)八年级数学第一学期-第十九章几何证明复习课件-

第十九章几何证明复习课件
知识梳理：定义
概念
几何证明
命题真命题假命题基本事实定理互逆命题
几何证明
证明步骤
平行线三角形内角和全等三角形等腰三角形等边三角形角平分线垂直平分线直角三角形
知识回顾
定义：用来说明一个名词含义的语句叫做定义。命题：判断一件事情的句子，叫做命题。
轴对称图形，有三条对称轴
知识梳理：等边三角形的判定：
名称
图形
判定
等
边
三条边都相等的三角形
三
角
A
三个角都等于60°的三角形
形
B
C 有一个角等于60°的等腰
三角形
知识梳理：角平分线
定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。逆定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相等
的点，在这个角的平分线上。定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这
精讲点拨
例已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边
AC上一点，延长BC到D，连接DE。
D 2
求证：∠1>∠2。 C
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知），
∴∠1>∠3（
）。
E5
3
∵∠3是△CDE的一个外角，
4
∴∠3>∠2（
）。 A
1 BF
∴∠1>∠2（
）。
把你所悟到的证明真命题的方法，步骤，书写格
）。
），
），）。
谢谢
一点到三边的距离相等（这个交点叫做三角形的内心）。三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点，这个的点到三边所在直线的距离相等。这样点有三个。

初二数学几何知识点归纳总结

初二数学几何知识点归纳总结### 初二数学几何知识点归纳总结#### 一、平面几何基础1. 点、线、面：- 点是几何图形的最小单位，没有大小。

- 线是由无数个点组成的一维图形，具有长度但无宽度。

- 面是由无数条线组成的二维图形，具有长度和宽度。

2. 角：- 角是由两条射线从共同端点引出的图形，分为锐角、直角和钝角。

3. 平行线：- 平行线是永不相交的两条直线。

4. 相交线：- 相交线在一点相交，形成角。

5. 垂直线：- 垂直线是两条直线相交成直角。

#### 二、三角形1. 三角形的分类：- 按边分类：等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。

- 按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

2. 三角形的性质：- 三角形内角和为180度。

- 外角等于不相邻两内角的和。

3. 特殊三角形：- 等边三角形：三边相等。

- 等腰三角形：两边相等。

- 直角三角形：一个角为90度。

4. 三角形的面积：- 公式：\[ \text{面积} = \frac{1}{2} \times \text{底}\times \text{高} \]#### 三、四边形1. 四边形的分类：- 平行四边形、矩形、菱形、正方形。

2. 平行四边形的性质：- 对边平行且相等，对角相等。

3. 矩形的性质：- 所有角都是直角，对角线相等。

4. 菱形的性质：- 四边相等，对角线互相垂直。

5. 正方形：- 既是矩形也是菱形，四边相等，所有角都是直角。

6. 四边形的面积：- 对于平行四边形：\[ \text{面积} = \text{底} \times\text{高} \]- 对于三角形：\[ \text{面积} = \frac{1}{2} \times \text{底}\times \text{高} \]#### 四、圆1. 圆的基本元素：- 圆心、半径、直径。

2. 圆的性质：- 所有半径相等，所有直径相等。

3. 圆周角：- 圆周角等于它所对弧所对圆心角的一半。

初中数学常考的98个几何图形及证明思路

初中数学常考的几个几何图形及证明思路
几何是中学数学中重要的一部分，可以帮助学生提高逻辑思维能力和抽象能力。

几何图形的证明是一个重要的内容，下面是几个几何图形及其证明思路。

一、三角形
1. 如果两条边相等，则中线也相等。

2. 两条边之和大于第三边。

3. 直角三角形的两条腰边相乘等于斜边的平方。

二、四边形
1. 四边形四条边之和是360度。

2. 平行四边形有两组边，每组边都相等。

3. 直角四边形一组边是直角，一组边是平行。

三、圆形
1. 圆形中心到圆周的距离等于半径。

2. 圆形的周长等于2πr ，其中r为半径。

3. 有两个相等圆，则它们的圆心距离为双方半径之差。

四、其他图形
1. 菱形中心对称，斜两边等长。

2. 正方形四边和4直角，边长相等。

3. 椭圆有两个焦点，一大一小，一长一短。

以上就是四个几何图形及证明思路，它们可以帮助学生进行几何图形的分析以及根据统一思路证明某些事务的真理。

通过这种方式来培养学生的抽象思维，对于提高学生的逻辑能力有着莫大的帮助。

沪教版八年级数学暑假同步讲义第19讲证明举例(解析版)

几何证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、定理的概念进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础．1、演绎证明的概念演绎证明：演绎推理的过程就是演绎证明．也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式，简称为证明．证明举例知识结构模块一：演绎证明知识精讲内容分析班假暑级年八2/ 22【例1】填空：（1）如图，因为1=60∠︒（已知），2=60∠︒(已知)，所以__________//__________（______________________________）．（2）如图，因为//AB CD （已知），所以A D ∠+∠=__________ (______________________________)，因为//AD BC （已知），所以A ∠+__________=__________ (______________________________)，所以∠__________=∠__________ (______________________________)．（图1）（图2）【答案】（1）a ，b ，内错角相等，两直线平行；（2）180︒，两直线平行，同旁内角互补；B ∠，两直线平行，同旁内角互补；D ，B ，同角的补角相等．【解析】略【总结】考查有关平行线的性质和判定定理的掌握．【例2】已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 是外角∠CAE 的平分线．求证：AD // BC ．【答案】略【解析】证明：AB AC =，B C ∴∠=∠ CAE ∠是的外角， CAE B C ∴∠=∠+∠12B C CAE ∴∠=∠=∠AD 是CAE ∠的角平分线，12DAE CAD CAE ∴∠=∠=∠例题解析ACDB ab 1 2ABCDEDAE B ∴∠=∠ //AD BC ∴【总结】考查平行线的性质和判定，先判定平行再应用平行线的性质．【例3】已知：如图，AD BC ⊥于D ，EF BC ⊥于F ，交EF BC ⊥AB 于G ，交CA 延长线于12E ∠∠，=．求证：AD 平分BAC ∠，填写分析和证明中的空白．分析：要证明AD 平分BAC ∠，只要证明__________＝__________，而已知12∠∠＝，所以应联想这两个角分别和12∠∠＝的关系，由已知BC 的两条垂线可推出__________//__________，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．证明：∵ AD BC EF BC ⊥⊥，（已知）∴__________//__________（______________________________）， ∴__________＝__________（两直线平行，内错角相等）， __________＝__________（两直线平行，同位角相等）， ∵__________（已知），∴__________即AD 平分BAC ∠（______________________________）．【答案】BAD ∠，CAD ∠，EF ，AD ；EF ，AD ，垂直于同一直线的两直线平行；BAD ∠，1∠，CAD ∠，2∠；12∠=∠，BAD CAD ∠=∠，角平分线的定义．【解析】略【总结】分析过程考查证明题的逆推法思想，证明过程利用相关平行线的性质和判定，先判定再应用相关性质．1、命题：能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题．数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论．知识精讲模块二：命题、公理、定理AF CE DB12 G班假暑级年八4/ 222、公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．3、定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理．【例4】判断下列语句是不是命题？（1）画AOB 的角平分线；（2）两条直线相交，有几个交点？（3）直角大于锐角；（4）直角大于钝角；（5）今天可能要下雨；（6）几何多有乐趣啊！【答案】（1）（2）（5）（6）不是命题；（3）（4）是命题【解析】命题是对某一件事情做出判断的句子，由此可知只有（3）（4）是可以判断正误的句子，即命题．【总结】考查命题的定义，能判断一个句子是否是命题．【例5】判断下列命题的真假．（1）平行于同一条直线的两直线平行；（2）垂直于同一条直线的两直线平行；（3）同角的余角相等；（4）异号的两数相加得负数；（5）乘积为1的两个数互为倒数．【答案】（1）（2）（3）（5）是真命题；（2）（4）是假命题【解析】判断为正确的命题叫做真命题，判断为错误的命题叫做假命题，正确的是（1）（3）（5），由此可知即为真命题，（2）（4）为假命题，注意（2）需直线在同一平面内方可成立．【总结】考查真假命题的判定，根据常见的公理定理以及定义性质等进行判断，正确的命题例题解析即为真命题．【例6】下列描述不属于定义的是（）．A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；B．正三角形是特殊的三角形；C．在同一平面内三条线段首尾相连得到的图形是三角形；D．含有未知数的等式叫做方程．【答案】B【解析】能界定某个对象含义的句子叫做定义，ACD都可判定，只有B不能判定正三角形是何种特殊类型的三角形．【总结】考查定义的含义，并能判定一个句子是否是定义．【例7】把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式：（1）直角三角形的两个锐角互余；如果____________________，那么______________________________；（2）角平分线上点到角两边的距离相等；如果____________________，那么______________________________；（3）线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等；如果____________________，那么______________________________．【答案】（1）一个三角形是直角三角形，这个三角形两个锐角互余；（2）一条射线是一个角的角平分线，这条射线上的点到角两边的距离相等；（3）一条直线是一条线段的垂直平分线，这条直线上的点到线段两端点的距离相等．【解析】略【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化．【例8】举出下列假命题的反例：（1）两个角是锐角的三角形是锐角三角形；（2）相等的角是对顶角；（3）一个角的补角大于这个角；（4）若22>，则a ba b>；（5）若已知直线a、b、c，若a b⊥．⊥，b c⊥，则a c【答案】答案不唯一，以下是几个例子【解析】（1）任意三角形中至少有两个角为锐角，取三角形两内角分别为30︒，40︒，则第三个内角为110︒，该三角形是钝角三角形；（2）对顶角必有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，两直线平行，此时取一对同位角，可知这对同位角相等，不为对顶角；（3）取一角大小为110︒，则这个角补角180********︒-︒=︒<︒；（4）取1a =-，2b =-，此时22a b <；（5）同一平面内，a b ⊥，b c ⊥，则有//a c ．【总结】假命题的反例，需对命题所涉知识点进行分析，找准题目考查的知识内容，结合知识点的理解，即可进行举例．【例9】下列说法中，正确的是（）．A ．命题一定是正确的；B ．不正确的判断就不是命题；C ．公理都是真命题；D ．真命题都是定理．【答案】C【解析】根据命题的定义，命题是对某一件事情做出判断的句子，判断正确的是真命题，判断错误的是假命题，由此可知AB 错误，公理是人们从长期实践中总结出来的真命题，可知C 正确，真命题且可用来推导其它命题正确与否的命题是定理，可知D 错误．【总结】考查命题、公理、定理的定义和相互关系，公理和定理一定是真命题，但真命题不一定是定理或公理．【例10】下列命题是假命题的是（）．A ．有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；B ．有两角及其中一角的对边上的高对应相等的两个三角形全等；C ．有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；D ．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等．【答案】C【解析】三角形中，两角确定，第三个角大小也可确定，即三角形形状固定，加上一条边上的高或角平分线可确定三角形，可知AB 正确；“倍长中线法”可证明D 选项图形唯一确定，对于C 选项，三角形形状有锐角三角形和钝角三角形的差别，可作出不止一种图形，可知C 错误．【总结】考查全等三角形判定的拓展延伸，只要根据三角形的边角关系对应确定即可．【例11】已知：如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，点E 在AC 上，CE BC =，过E 点作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F ．求证：AB FC =．【答案】略【解析】证明：EF AC CD AB ⊥⊥，9090F FCE A FCE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，A F ∴∠=∠90ACB CEF CE BC ∠=∠=︒=， ABC FCE ∴∆≅∆ AB FC ∴=【总结】垂直较多的图形中，根据同角（或等角）的余角相等易得到相等角，进而可证全等．【例12】如图，已知Rt ABC 中，90ACB CD AB ∠=︒⊥，于D AE ，为A ∠的角平分线，交CD 于E ，过E 作BC 的平行线，交AB 于点F ．求证：AF AC =．【答案】略【解析】证明：90ACB ∠=︒，CD AB ⊥90ACD BCD ∴∠+∠=︒，90B BCD ∠+∠=︒ ACD B ∴∠=∠ //EF BCDFE B ∴∠=∠ ACD DFE ∴∠=∠例题解析模块三：证明举例ACEBFDCABFDEAE 是A ∠的角平分线，CAE DAE ∴∠=∠ AE AE = CAE FAE ∴∆≅∆ AF AC ∴=【总结】考查等角的余角相等知识点，结合相关平行线的性质证角相等证全等即可．【例13】已知：如图，AB CD AD BC AE CF ===，，．求证：=E F ∠∠．【答案】略【解析】证明：连结AC ，AB CD AD BC AC AC ===，， ABC CDA ∴∆≅∆B D ∴∠=∠AB CD AE CF ==，AB AE CD CF ∴+=+，即BE DF = AD BC = BCE DAF ∴∆≅∆E F ∴∠=∠【总结】考查全等三角形的判定条件，在合适的知识体系条件下进行应用，不能应用平行四边形知识证明．【例14】如图，四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠，交AB 于点E ， BGC GBC ∠=∠，BG 平行ED 交AD 延长线于点P ．求证：//AD BC ．【答案】略【解析】证明：DE 平分ADC ∠，2ADC EDC ∴∠=∠ //BG ED EDC BGC ∴∠=∠BGC GBC ∠=∠，2ADC BGC BGC GBC ∴∠=∠=∠+∠ 180BGC GBC C ∠+∠+∠=︒BACEDBF180ADC C ∴∠+∠=︒ //AD BC ∴【总结】考查平行线的性质和判定，经常可以跟三角形的内角和180︒结合起来．【例15】如图，已知ABC 中，D 是边BC 的中点，E F 、分别在边AB AC ，上，且//EF BC ，ED FD =．求证：AEF AFE ∠=∠．【答案】略【解析】证明：ED FD =，FED EFD ∴∠=∠ //EF BCFED EDB EFD FDC ∴∠=∠∠=∠， AEF B AFE C ∠=∠∠=∠， EDB FDC ∴∠=∠ ED FD BD DC ==， EDB FDC ∴∆≅∆ B C ∴∠=∠∴AEF AFE ∠=∠【总结】考查平行线的性质，结合全等三角形可以进行相互关联得到相关边角关系．【例16】如图，点C 是AB 上的一点，在AB 的同旁做等边ACD 和等边BCE AE ，与CD 交于点M BD ，与CE 相交于点N ．求证：CM CN =．【答案】略【解析】证明：ACD ∆和BCE ∆是等边三角形，60AC CD BC CE ACD BCE ∴==∠=∠=︒，，60120DCE ACE DCB ∴∠=︒∠=∠=︒， ACE DCB ∴∆≅∆ CAE CDB ∴∠=∠结合60ACM DCE ∠=∠=︒，AD CD =ACM DCN ∴∆≅∆ CM CN ∴=【总结】考查等边三角形中的旋转平移，会产生全等三角形，先判定再应用相关性质．ACDBFEABCDNEM【例17】如图，已知在ABC 中，AD 平分//BAC BE AD ∠，，交CA 延长线于点E F，是BE 的中点．求证：AF BE ⊥．【答案】略【解析】证明：AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠ //BE ADBAD FBA CAD E ∴∠=∠∠=∠，FBA E ∴∠=∠ AE AB ∴=F 是BE 的中点， AF BE ∴⊥【总结】考查平行线和角平分线一起会产生等腰三角形的基本图形，注意对基本图形的分离和等腰三角形性质的应用．【例18】如图，已知BE CF 、是ABC 的高，且．.求证：AP AQ ⊥．【答案】略【解析】证明：BE CF 、是ABC 的高，90AFC AEB ∴∠==︒9090FAC ACF FAC ABE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，ACF ABE ∴∠=∠BP AC CQ AB ==， AQC PAB ∴∆≅∆ BAP Q ∴∠=∠ 90QAF Q ∠+∠=︒90QAF BAP ∴∠+∠=︒，即90QAP ∠=︒，得证AP AQ ⊥．【总结】考查同角的余角相等的知识点，即“子母三角形”基本图形．C【例19】如图所示，问1234∠∠∠∠、、、要满足什么条件可以证明?AB CD【答案】2314∠+∠=∠+∠【解析】过点E 作射线//EM AB ，过点F 作射线//FN CD则有1BEM ∠=∠，4NFC ∠=∠，2134∠-∠=∠-∠ MEF EFN ∴∠=∠ //EM FN ∴ //AB CD ∴【总结】考查平行线的基本性质，在“Z ”字型平行线间角的等量关系．【例20】已知：如图所示，90AB AC A AE CF BD DC ∠=︒==＝，，，．求证：FD ED ⊥．【答案】略【解析】证明：连结AD ，90AB AC BAC =∠=︒， 45B C ∴∠=∠=︒ BD CD =AD BC ∴⊥，即90ADC ∠=︒1452BAD CAD BAC ∴∠=∠=∠=︒CD AD ∴= AE CF = AED CFD ∴∆≅∆ ADE CDF ∴∠=∠90ADE ADF ADF CDF ∴∠+∠=∠+∠=︒ 即FD ED ⊥【总结】考查等腰直角三角形斜边上的高把三角形分成两个全等的小等腰直角三角形，结合相关条件可分割成全等的两个部分．ACE DBF【例21】如图，已知锐角ABC ，分别以BC BA 、为一直角边，皆以B 为直角顶点，向ABC 内侧作等腰BCD 和BAE ，延长DA EC 、，交于点F ．求证：DF EF ⊥．【答案】略【解析】证明：90DBC ABE ∠=∠=︒DBC ABC ABE ABC ∴∠-∠=∠-∠，即DBA CBE ∠=∠ AB BE DB BC ==， DBA CBE ∴∆≅∆ DAB CEB ∴∠=∠180CEB BAF DAB BAF ∴∠+∠=∠+∠=︒ 90ABE ∠=︒36090F CEB BAF ABE ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒即DF EF ⊥【总结】考查等腰直角三角形的旋转变形，两个等腰直角三角形叠加会产生全等三角形，先全等判定再应用性质．【例22】如图，已知D E 、两点分别在AB AC 、上，AD AE BD CE BE CD ==，，、交于点F ．求证：FB FC =．【答案】略【解析】证明：AD AE BD CE ==，，AD DB AE CE ∴+=+，即AB AC = AD AE A A =∠=∠， ABE ACD ∴∆≅∆ B C ∴∠=∠BD CE DFB EFC =∠=∠， DFB EFC ∴∆≅∆ FB FC ∴=【总结】考查全等三角形的判定和性质，结合题意，发现题目中的全等三角形往往不止一对．FACEDFB【例23】如图所示，在ABC 中，2AB AC =， D 是AB 的中点，E 是AD 的中点．求证：2BC CE =．【答案】略【解析】证明：延长EF 到F ，使EF CF =，连结DF ，AE DE AEC DEF =∠=∠， AEC DEF ∴∆≅∆ A FDE AC DF ∴∠=∠=， 2AB AC AD DB ==， BD AD AC DF ∴=== ADC ACD ∴∠=∠BDC A ACD FDE ADC FDC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠ CD CD =CFD CBD ∴∆≅∆ 2BC FC CE ∴==【总结】“倍长中线法”构造全等三角形可将线段或角转移到全等或一个图形中．【习题1】命题“互余的两个角一定是锐角”是_________命题（填“真”或“假”）．【答案】真【解析】根据互余的定义，两个角和为90︒即为互余，且角都为正值，可判断出两个角大小都在0︒到90︒之间，即为锐角．【总结】定义均为真命题，本题考查互余的定义．【习题2】下列命题中，是真命题的有（）．A ．两锐角之和是锐角B ．钝角减去锐角得锐角C ．钝角大于它的补角D ．锐角小于它的余角【答案】C【解析】根据补角的定义，可知钝角的补角是锐角，由此可知钝角大于它的补角，C 正确，为真命题，ABD 选取合适的角度均可找到反例，都为假命题．【总结】考查关于角的互余和互补的相关概念，抓住概念，即可得出相关命题真假，若有反例则为假命题．随堂检测FAE DB班假暑级年八14/ 22【习题3】将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：（1）同角的余角相等；（2）直角都相等；（3）对顶角相等；（4）在一个三角形中，等角对等边．【答案】（1）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；（2）如果有一些角是直角，那么它们都相等；（3）如果两个角互为对顶角，那么它们相等；（4）在一个三角形中，如果有两个相等的角，那么这两个角所对的边相等．【解析】略【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化．【习题4】求证“三角形内角和等于180°”，并说明其中的因果关系．【答案】略【解析】证明：如图，延长BC 到点D ，过点C 作射线//CE AB ，//CE AB （已知）B ECD ∴∠=∠（两直线平行，同位角相等） A ACE ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 180ACB ACE ECD ∠+∠+∠=︒（平角定义） 180A B ACB ∴∠+∠+∠=︒（等量代换）【总结】三角形内角和的证明过程需进行记忆，充分利用平行线的相关性质即可进行证明和理解应用．【习题5】已知：四边形ABCD 中，AD BC ，E 是线段DC 的中点，AE 是BAD ∠的平分线．求证：BE 是ABC ∠的平分线．【答案】略【解析】证明：延长AE 与BC 的延长线交于点F ，//AD BCDAE F ∴∠=∠AEDCBDE CE AED CEF =∠=∠， ADE FCE ∴∆≅∆AE EF ∴=AE 是BAD ∠的角平分线， BAE DAE F ∴∠=∠=∠ AB BF ∴= AE EF =BE ∴是ABC ∠的角平分线．【总结】考查“倍长中线法”结合平行线证等腰三角形，再结合等腰三角形的性质可以证明一系列的结论．【习题6】如图，已知：在ABC 中，AD 平分BAC BD CD ∠=，．求证： AB AC =．【答案】略【解析】证明：延长AD 到E ，使DE AD =，连结CE ，BD CD ADB CDE =∠=∠， ABD ECD ∴∆≅∆ BAD E AB CE ∴∠=∠=，AD 平分BAC ∠ CAD BAD E ∴∠=∠=∠ AC CE ∴= AB AC ∴=【总结】注意，边边角不能用来证明全等，在这个题目里面根据中点“倍长中线”构造全等三角形即可．【习题7】如图，已知，AD 是ABC 的角平分线，2C B ∠=∠，将ABC 沿直线AD 翻折，点C 落在AB 的E 处．试判断EBD 的形状，并加以证明．【答案】EBD 等腰三角形【解析】证明：AED ∆是ACD ∆翻折形成，即得ACD AED ∆≅∆FACEDBAED C ∴∠=∠2C B ∠=∠，2AED B EDB B ∴∠=∠=∠+∠ B EDB ∴∠=∠ BE DE ∴=即证EBD 是等腰三角形．【总结】翻折问题，翻折前后两个三角形始终保持全等不变．【习题8】如图，已知CA AB ⊥，E 为AB 上一点，CE 平分ACD ∠，DE 平分CDB ∠，90CED ∠=︒．求证：AB DB ⊥．【答案】略【解析】证明：90CED ∠=︒，90ECD EDC ∴∠+∠=︒CE 平分ACD ∠，DE 平分CDB ∠， 22180ACD CDB ECD EDC ∴∠+∠=∠+∠=︒ //AC BD ∴ CA AB ⊥AB DB ∴⊥【总结】反推思想证明题可知证上下底边平行即可，根据角平分线即可快速得出结论．【习题9】已知：如图，ABC ∆中， 90C AC BC AD DB AE CF ∠=︒===，，，．求证：DE DF =．【答案】略【解析】证明：连结CD ，90AC BC BCA =∠=︒， 45A B ∴∠=∠=︒AD DB = CD AB ∴⊥1452ACD BCD BCA ∴∠=∠=∠=︒CD AD ∴=ACEDBFADBEC=AE CF∴∆≅∆AED CFD∴=DE DF【总结】考查等腰直角三角形斜边上的高把三角形分成两个全等的小等腰直角三角形，结合相关条件可分割成全等的两个部分．课后作业【作业1】下列语句中，正确的是（）．A．相等的角是对顶角；B．三角形的两锐角互余；C．判定两个三角形全等，至少需要一对边相等；D．面积相等的两个三角形全等．【答案】C【解析】对顶角必须是有公共顶点且角的两边互为反向延长线的角，A错误；互余是两角相加和为90︒，只有直角三角形两锐角互余，B错误；全等判定定理中，都至少包含一条边，C正确；面积相等，底和高可能都不相等，不一定全等，D错误．【总结】考查三角形中一些基本知识和相关定理的认识．【作业2】把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出这个命题的题设和结论．（1）对顶角相等；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同角的余角相等．【答案】（1）如果两个角互为对顶角，那么它们相等；（2）一条直线截另两条直线形成一对同位角，如果这都同位角相等，那么被截的两条直线平行；（3）如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【解析】略【总结】考查命题的“如果……，那么……”形式的改写，注意在改写过程中添加适当的辅助语，使得题目表意清晰完整，注意对相关命题前提的理解和深化．【作业3】如图，已知：△ABC 中，∠B = 2∠C ，BC = 2AB ．求证：∠A = 90°．【答案】略【解析】证明：作ABC ∠的角平分线BD 交AC于点D ，作DE BC ⊥交BC 于E ，22ABC DBE C ∠=∠=∠ DBE C ∴∠=∠ BD DC ∴=12BE CE BC ∴==2BC AB =AB BE ∴=ABD EBD BD BD ∠=∠=，ABD EBD ∴∆≅∆ 90A BED ∴∠=∠=︒【总结】考查306090︒︒︒，，角的直角三角形问题，注意本题中不能通过取BC 中点证明．【作业4】已知：如图，∠1=∠2，AB ＞AC ．求证：BD ＞DC ．【答案】略【解析】证明：在AB 上截取AF AC =，连结DF ，12AD AD ∠=∠=， ADF ADC ∴∆≅∆ADC ADF DF DC ∴∠=∠=， 1ADC B ∠=∠+∠121BFD ADF B ∠=∠+∠=∠+∠ BFD B ∴∠>∠ BD DF DC ∴>=A CDACB【总结】本题应用“大角对大边”知识点，或通过延长AD 作AB 平行线也可证，但会应用到相似三角形知识点．【作业5】已知：如图，//AD BC AE BE ，、分别平分DAB ∠和CBA DC ∠，过点E ．求证：AB AD BC =+．【答案】略【解析】证明：延长AE 交BC 延长线于点F ，//AD BCDAE F ∴∠=∠ DAE EAB ∠=∠ EAB F ∴∠=∠ AB BF ∴=BE 是CBA ∠的角平分线， AE EF ∴= AED CEF ∠=∠ADE FCE ∴∆≅∆ AD CF ∴= AB BF BC CF AD BC ∴==+=+【总结】考查“倍长中线法”结合平行线证等腰三角形，再结合等腰三角形的性质可以证明一系列的结论．【作业6】已知：10812AB AC A =∠=︒∠=∠，，．求证：BC AB CD =+．【答案】略【解析】证明：在BC 上截取BE AB =，连结DE ，12BD BD ∠=∠=，ABD EBD ∴∆≅∆108AB BE BED A ∴=∠=∠=︒， 108A AB AC ∠=︒=， 36ABC C ∴∠=∠=︒由108BED ∠=︒，可得108EDC ∠=︒，故72EDC ∠=︒AC DEBFBCCE CD ∴=BC BE CE AB CD ∴=+=+【总结】考查“倍角三角形”中的角平分线分三角形为等腰三角形，由此可得线段之间的等量关系．【作业7】如图，已知：在四边形ABCD 中，//AB CD BE ，平分ABC AB CD BC ∠+=，．求证：CE 平分BCD ∠．【答案】略【解析】证明：在BC 上截取BF AB =，连结DF ，ABE CBE BE BE ∠=∠=，ABE FBE ∴∆≅∆ A BFE ∴∠=∠ //AB CD180A EDC ∴∠+∠=︒ 180BFE EFC ∠+∠=︒ EDC EFC ∴∠=∠BC AB CD BF CF AB BF =+=+=， CD CF ∴= CFD CDF ∴∠=∠EFD EDF ∴∠=∠ EF ED ∴= EFC EDC ∴∆≅∆ FCE DCE ∴∠=∠即CE 平分BCD ∠．【总结】注意，本题不能用“倍长中线法”解题，因为条件之间的相互关联性和因果关系不能得出相应的答案，只能用“截长补短法”，注意证明全等时不能通过边边角进行证明，而是进行相应转化再得出结果．CA【作业8】到三角形三条边距离相等的点，叫做此三角形的内心，由此我们引入如下定义：到三角形的两条边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．举例：如图若AD 平分CAB ∠，则AD 上的点E 为△ABC 的准内心．应用：（1）如图AD 为等边三角形ABC 的高，准内心P 在高AD 上，且12PD AB =，则 ∠BPC 的度数为_____________度．（2）如图已知直角ABC 中，斜边53AB BC ==，，准内心P 在边BC 上，求CP 的长．【答案】（1）90；（2）43【解析】（1）AD 是等边三角形ABC 的高，1302BAC BAC ∴∠=∠=︒ 12BD AB PD ∴=- 45BPD PBD ∴∠=∠=︒290BPC BPD ∴∠=∠=︒（2）作PD AB ⊥交AB 于点D ，依题意可知AP 是BAC ∠的角平分线，90AP AP C ADP =∠=∠=，ADP ACP ∴∆≅∆AC AD PC PD ∴==，5390AB BC C ==∠=︒，，2222534AC AB BC ∴=-=-=4AD AC ∴==541BD AB AD ∴=-=-=设CP x =，则3BP x =-，DP x =，在Rt BDP ∆中，根据勾股定理可得222BD DP BP +=，即()22213x x +=-，解得43x =，即43CP =． A B C E A C B P D【总结】考查对新定义题型的理解，本题中即对角平分线性质的运用和理解，最后把长度转化到直角三角形中应用勾股定理即可解题．【作业9】如图，已知：点D 为等边ABC 内一点，DA DB P =，为等边ABC 外一点，BP AB DBP DBC =∠=∠，．求证：12P C ∠=∠．【答案】略【解析】证明：连结CD ，ABC ∆是等边三角形， AB BC AC BP ∴===DBP DBC BD BD ∠=∠=，BDP BDC ∴∆≅∆P BCD ∴∠=∠DA DB CD CD ==，ACD BCD ∴∆≅∆12BCD ACD ACB ∴∠=∠=∠ 即得12P BCD ACB ∠=∠=∠ 【总结】考查等边三角形中的全等三角形，结合题目条件先猜想再验证．C A B PD。

八年级上册数学几何模型归纳

八年级上册数学几何模型归纳
八年级上册的数学几何模型主要包括以下几种：
1. 三角形：三角形是最基础的几何图形之一，它具有许多重要的性质，如中线、高线、角平分线、重心等。

三角形全等的判定方法也是重要的几何知识。

2. 全等三角形：全等三角形是两个能够完全重合的三角形。

全等三角形的性质和判定方法也是重要的几何知识。

3. 等腰三角形：等腰三角形是两边相等的三角形，它具有一些特殊的性质，如两底角相等、两腰相等等。

等腰三角形的判定和性质也是重要的几何知识。

4. 直角三角形：直角三角形是一个角为直角的三角形，它具有一些特殊的性质，如勾股定理、直角三角形的斜边中线等于斜边的一半等。

直角三角形的判定和性质也是重要的几何知识。

5. 平行四边形：平行四边形是一组对边平行的四边形，它具有一些特殊的性质，如对角线互相平分、对角相等、对边相等、对边平行等。

平行四边形的判定和性质也是重要的几何知识。

6. 矩形、菱形和正方形：矩形、菱形和正方形都是特殊的平行四边形，它们具有一些特殊的性质，如矩形的四个角都是直角、正方形的四边相等且四个角都是直角等。

这些图形的判定和性质也是重要的几何知识。

以上是八年级上册数学几何模型的主要内容，掌握这些模型的基本性质和判定方法，对于进一步学习更复杂的几何知识非常重要。