高二数学同步讲义(复数的运算)

复数的运算

1、加法：()()()()a bi c d i a c b d i +++=+++（,,,a b c d R ∈）．

〖几何意义〗 设1z a bi =+对应向量1(,)OZ a b = ，2z c d i =+对应向量2(,)OZ c d = ，则12

z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++ ．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．

2、减法：()()()()a bi c d i a c b d i +-+=-+-（,,,a b c d R ∈）

〖几何意义〗设1z a bi =+对应向量1(,)OZ a b = ，2z c d i =+对应向量2(,)OZ c d = ，则12

z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==-- ．

3

、复平面上两点之间的距离：12()()z z a c b d i -=-+-1Z 、2Z 两

点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．

4、乘法：()()()()a bi c di ac bd ad bc i +⋅+=-++.

运算律：1221z z z z ⋅=⋅；123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅；1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅

5、除法：()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d +-++-++÷+=

==++-+. 6、乘方：n n

z z z z =⋅⋅⋅ 性质：m n m n z z z +⋅=；()

m n mn z z =；1212()n n n z z z z ⋅=⋅（m 、n 为正整数） 7、复数的积与商的模：1212z z z z ⋅=⋅；1122

z z z z =（20z ≠） 8、复数运算的常用结论：

（1）222()

2a bi a b abi +=-+， 22()()a bi a bi a b +-=+ （2）2(1)2i i +=，2(1)2i i -=-（3）

11i i i +=-， 11i i i -=-+ （4）1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅， 1122

z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭，z =． （5）22z z z z ⋅=

=，z z =，121212z z z z z z -≤+≤+， n

n z z =

【例题讲解】

1、已知复数z 满足22z -=，4

z R z +∈，求z .

2、设z 为虚数，求证：1

z z +为实数的充要条件是1z =

3、复数z 满足2(1)(1)z z z ++=，且1

1z z -+为纯虚数，求z

4、复数z 满足(12)(310)434i z i z i ++-=-，求z .

5、已知复数)(,4)

1)(31(R a ai z i i i z ∈+=--+-=ω，若2≤z ω

，求a 的取值范围.

6、设复数z 满足5=z ,且z i )43(+在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， )(252R m m z ∈=-,求z 和m 的值.