高斯Gauss求积公式

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Gauss型求积公式

Gauss型求积公式一、Gauss型求积公式定义：个节点的具有2 定义：把具有 n＋1 个节点的具有 2 n+1 次代数精确度的插值型求积公式
∫
b
a
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ) k
k=0
n
称为Gauss型求积公式，称为Gauss型求积公式，其求积节点 xk k=0， Gauss型求积公式（ =0，称为高斯点高斯点，高斯系数。 1，……n）称为高斯点，系数 A 称为高斯系数 k称为高斯系数 Remark：构造Gauss Gauss型求积公式的关键在于确定高斯 Remark：构造Gauss型求积公式的关键在于确定高斯个高斯点构造基函数，点，再由n＋1个高斯点构造基函数，从而得到高斯系数。系数。
f (x) = P x) n+1(x) ( ω 的次数不超过2n+1。
故有
∫ω
a
b
n+1
( x )P( x )dx = ∑A ωn+1( xk )P( xk ) = 0 k
k=0
n
充分性：设 ∫ ωn+1(x)P(x)dx = 0 对于任意次数不超过 a ω 2n+1的多项式 f (x),设 n+1(x)除f(x)的商为p(x),余项为q(x)。
Ak 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837 0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834
6
7 4 0.3478548451 0.6521451549

7-5Gauss型求积公式

参阅表 7-4.
其截断误差为
2 2n 1 (n! ) 4 ( 2n ) R( f ) f ( ) 3 (2n 1)(2n)!
(1,1)
任意区间上的Gauss-Legendre 公式
对积分

b
a
f ( x )dx
ba ba x t 做变换利用 Gauss－Legendre 求积公式的求积节 2 2 ，
（7-51）
2．可以证明：若 f ( x) C a, b，Gauss 型求积公式当 n 时收敛于定积分值。
3.Gauss型求积公式是数值稳定的。
3.Gauss 型求积公式是数值稳定的。
记 f * ( xk ) 为 f ( xk ) 的近似值，
∵
Ak ( x)lk ( x)dx 0 且 a
b
Gauss型求积公式的误差设求积公式 ( x ) f ( x )dx A
b n a k 1
k
f ( x k ) 是 Gauss 型求
积公式，H ( x ) 为以
b n
n x Gauss 点 k k 1 为节点的 f ( x ) 的 2n 1 次
Hermite 插值多项式，则有
例
试确定求积公式： 1 f ( x)dx af 0.6 bf (0) cf 0.6 中待定参数 a , b 和 c ，使其代数精确度尽量高，并指出公式具有几次代数精确度,判断是否为 Gauss 型求积公式。
1

解：记 I ( f ) 1 f ( x )dx
1
f af 0.6 bf (0) cf I
n n ( x) Al l k ( xl ) Ak a ( x)lk ( x)dx a ( x) ( x xk ) n ( xk ) dx l 1 b b

高斯-勒让德积分公式

高斯-勒让德积分公式
作为代数学的一部分内容，高斯-勒让德积分公式具有重要价值。

高斯-勒让德积分公式又称椭圆积分，是一种特殊的积分形式，由德国数学家高斯（Gauss）和法国数学家勒让德（Legendre）两人独立发现并推导得出。

高斯-勒让德积分公式的一般形式为∫(dx/√(a^2x^2-b^2c^2))，其中a、b、c都是常数，x是变量。

在现实中，我们会看到许多这样的公式出现在物理，工程和其他科学领域的计算中，比如椭圆轨道的面积计算，以及电学和磁学中的一些问题。

此外，高斯-勒让德积分公式还有一种等价的形式，即通常所说的椭圆积分，形式为∫(dx/√(1-k^2sin^2φ))，其中φ是角度，k是偏度参数，也是一个常数。

根据高斯-勒让德积分公式，我们可以推导出其他一些重要的积分公式和恒等式，这在数学研究和实际应用中具有重要的作用。

例如，可以通过积分变换将其转化为某些特殊函数的积分，进一步计算出所需的结果。

需要指出的是，不同的场合，高斯-勒让德积分公式需要配合相应的推导方式来求解。

在使用的过程中，需要具备一定的数学技巧和知识。

总的来说，高斯-勒让德积分公式以其独特的形式，为解决复杂问题提供了有效的工具，具有广泛的应用价值。

gauss-legendre求积公式

gauss-legendre求积公式Gauss-Legendre求积公式是数值积分中一种高精度的求积方法，由德国数学家高斯和法国数学家勒让德独立提出，并且是迄今为止被广泛使用的一种求积公式。

它的优点在于其高精度和易于实施。

求积问题是数值计算领域中的重要问题之一，因为很多实际问题都可以化为求定积分的问题。

定积分在数学和物理等领域具有非常重要的意义，但是对于很多函数，特别是无法用解析式表示的函数，求积公式是一种有效的数值计算方法。

Gauss-Legendre求积公式的基本思想是通过构造插值多项式来逼近被积函数，从而近似计算积分的值。

具体来说，该公式将被积函数变换为[-1,1]上的函数，并使用Legendre多项式进行插值。

Legendre多项式是与Legendre方程相关联的正交多项式，通过求解Legendre方程的特征函数得到。

这些多项式具有很多良好的性质，例如正交性和递归性，这使得它们在求积公式中非常有用。

Gauss-Legendre求积公式的一般形式可以表示为：∫[a,b] f(x)dx ≈ (b-a)/2 ∑[i=1,n] wi f(xi)其中，wi是权重，xi是Legendre多项式的根，n是根的数量。

这个公式的精度取决于根和权重的选择，即选择合适的xi和wi可以使得求积公式的精度更高。

根的选择是一个关键问题。

通过观察可以发现，Legendre多项式的根是对称分布的，具有以下特点：xi与-xi关于原点对称，并且都落在[-1,1]的范围内。

由于多项式根的选择取决于问题的范围，因此根的计算需要使用数值方法，例如使用牛顿法或二分法。

权重的计算也是一个重要的问题。

根的选择确定后，通过求解Legendre多项式的系数，即可得到相应的权重。

一种常用的计算权重的方法是使用正交性质，即利用Legendre多项式的正交性将积分转化为求和。

这种方法可以计算出精确的权重。

需要注意的是，Gauss-Legendre求积公式需要选择合适的根和权重，以达到较高的精度。

数值分析(高斯求积公式)

2
推论 Gauss求积公式是稳定的. 定理3. 6.4
设f x C a , b , 则Gauss求积公式是收敛的,即
lim Ak f xk f x dx
b n k 0 a
n
常用的Gauss求积公式
1. Gauss－Legendre求积公式取权函数 ( x ) 1,? 积分区间[a , b] [1,1], Gauss点为Legendre多项式的零点, 则得到 Gauss Legendre求积公式 :
例3.6.1
1
取 ( x ) 1, 积分区间为[1,1], 求x0 , x1和A0 , A1，使
1
求积公式 f x dx A0 f x0 A1 f x1 为Gauss求积公式. 解法二：
注意到f xk q xk 2 xk r xk r xk , k 0,1.
两端ai i 0,1,2,, m 的系数相等。即
A0 A1 A2 An 0 ,
其中，i x i ( x )dx .
a
b
A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 1 ,
2 2 2 2 A0 x0 A1 x1 A2 x2 An xn 2 ,
则有 f x dx q x 2 x dx r x dx， 3.6.8
1 1 1 1 1 1
注意到r x 是一次式，故对求积公式准确成立，即
r x dx A r x A r x .
1 1 0 0 1 1
b a k 0
n
k
f ( xk )
的余项为
R

数值分析课件_高斯求积公式

b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
k 0
b b
n

2

a
f ( x ) ( x )dx p( x ) ( x )dx
a

b
a
p( x ) ( x )dx Ak p( xk )
k 0
n
n
0
2
m 2n 1
Ak p( xk ) Ak f ( xk )
证明：由Weierstrass定理知
f p max f p
a xb
则Gauss型求积公式（*）是收敛的。对
0
b
存在m次多项式
下证
p( x ) 满足
fp
n

N ,
当n
N时
k 0
2 ( x )dx
a

b
a
f ( x ) ( x )dx Ak f ( xk )
的插值型求积公式的代数精度最高不超过2n+1次。只需证明：对于上述插值型求积公式，存在一个 2n+2次多项式，使得求积公式不能精确成立。
2 n1
令 f ( x)
因为
b
( x)
b a
其中 n 1 ( x ) ( x xk )
k 0
n
f ( x)dx 而 A f (x ) 0
k 0
n
与任何不超过n次的多项式 p( x ) 带权正交:

b a
p( x )n1 ( x ) ( x )dx 0
证明：必要性设
p( x ) H n

高斯求积公式

(k = 0,1 ⋯ n), 使（5.1）具有 2n +1次代数精度. , ,
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度，
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点高斯点，相应公式(5.1)称高斯点 , 为高斯求积公式高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度，只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) ，，记商为 P(x)，余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得
∫
b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立，有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1
∫
1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中，若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n
∫
1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式，因此， , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为

高斯-勒让德(gauss-legendre)求积公式的证明

高斯-勒让德(gauss-legendre)求积公式的证明高斯-勒让德（Gauss-Legendre）求积公式是一种用于数值积分的方法，通过对积分区间上的权重和节点进行适当选择，可以实现高精度的数值积分。

下面是高斯-勒让德求积公式的概要证明：1.首先，我们需要选择积分区间和节点数。

高斯-勒让德求积公式要求积分区间为[-1, 1]，且节点数与权重数相同。

2.接下来，我们需要在[-1, 1]之间确定节点和相应的权重。

节点是使得关联的勒让德多项式在该点上取得零值的点。

权重则反映了在积分计算中节点的重要性。

3.对于高斯-勒让德求积公式的n阶，我们需要找到n个根（即节点）x1, x2, ..., xn，并确定相应的权重w1, w2, ..., wn。

4.使用勒让德多项式进行重写。

勒让德多项式Pn(x)可以表示为（n阶勒让德多项式的归一化形式）：Pn(x) = (1 / (2^n * n!)) * d^n/dx^n [(x^2 - 1)^n]5.根据正交性质，勒让德多项式在区间[-1, 1]上相互正交。

即对于i ≠ j，有：∫[-1, 1] P_i(x) * P_j(x) dx = 0根据这一性质，我们可以确定节点和权重。

6.使用节点和权重构建高斯-勒让德求积公式。

积分的近似值可以表示为：∫[a, b] f(x) dx ≈ (b - a) / 2 * ∑[i=1 to n] wi * f((b - a) * xi / 2 + (b + a) /2)其中wi是权重，xi是节点。

7.在实际计算中，节点和权重需要通过数值方法来求解，如Jacobi矩阵或递推关系式等。

一种常用的数值求解方法是利用Jacobi矩阵的特征值与特征向量，通过迭代过程求解。

需要注意的是，上述证明提供了高斯-勒让德求积公式的概要，具体的证明过程可能会涉及更多数学推导和定理。

高斯求积公式

总结
1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦，但精度高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法所不能比的。
n
证明：时代入公式，证明：分别取 f(x)=1, x，x2，...xn 时代入公式，并让其成为等式得，
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a +xn An =∫abxdx.= （b2-a 2)/2 ...... x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1) 等式，个待定系数变元),要想如上方程组有唯一解个待定系数(变元要想如上方程组有唯一解，上式共有 r 个等式，2n个待定系数变元要想如上方程组有唯一解，应有方程组中方程的个数等于变元的个数,即程组中方程的个数等于变元的个数即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代这样求出的解答应的求积公式的代数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1. 下面证明代数精度只能是数精度至少是下面证明代数精度只能是 [ 如果事先已选定，b]中求积节点 k如下a≤x1 ≤…x n≤b,上式成为个未知如果事先已选定[a 中求积节点x 上式成为n个未知中求积节点如下 ≤ 上式成为元线性方程组，时方程组有唯一解有唯一解] 数 A1、...An的n元线性方程组，此时要元线性方程组此时要r=n 时方程组有唯一解、 x1 A1 + x2 A2+ ……

高斯(Gauss)求积公式

数值分析
（2）利用正交多项式构造高斯求积公式）
为正交多项式序列，设Pn(x)，n=0,1,2,…,为正交多项式序列， Pn(x) 为正交多项式序列具有如下性质：具有如下性质： 1）对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… ）对每一个n 是次多项式。 2）正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ）正交性) (正交性
∫
1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2
∫
1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1
∫
1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3）由性质）及(4)式，有式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a

gauss积分

I =
∫
1 −1
sin( t + 1 ) / 2 dt t + 1
1 1 sin ( − 0 .5773503 + 1) sin ( 0 .5773503 + 1) 2 2 I ≈ + = 0 .9460411 − 0 . 5773503 + 1 0 .5773503 + 1
个节点的Gauss公式用3个节点的个节点的公式
总结
1：梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。 2：Romberg求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。 3。Gauss型求积，它的节点是不规则的，所以当节点增加时，前面的计算的函数值不能被后面利用。计算过程比较麻烦，但精度高，特别是对计算无穷区间上的积分和旁义积分，则是其他方法所不能比的。
∫
令I=
1
0
sin x dx x
∫
1
0
sin x dx x
各种做法比较如下：一、Newton-Cotes公式公式当n=1时，即用梯形公式，I=0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式,I=0.9461359 当n=3时,I=0.9461090 当n=4时,I=0.9460830 当n=5时,I=0.9460831
e f (x)dx ≈ ∑A f (xk ) k
−x k=1
n
(3)
4 .Gauss - Hermite 求积公式
∫
+∞ −

数值分析-高斯求积分

p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公式的代数精度
去掉求积节点为等分节点的限制条件，会有什么结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
a
证明：必要性：若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为

高斯求积公式

第三章数值积分与数值微分
3.4.3 Gauss求积公式的余项与稳定性
定理 3.6 设 f x C 2n2 [a, b] ,则Guass公式(3.4.1)的余项是
RG

b
a
x f x dx Ak f xk
项式。以Legendre多项式的零点为Gauss点的求积公式为

1
1
f x dx
A f x
k 0 k k
n
（3.4.3）
称之为Gauss-Legendre求积公式。
第三章数值积分与数值微分
当n=1时，二次Legendre多项式零点为 x0
P x 2
1 (3 x 2 1), 2
第三章数值积分与数值微分
3.4 Gauss求积公式
3.4.1 Gauss求积公式的基本理论
3.4.2 常用Gauss求积公式
3.4.3 Gauss求积公式的余项与稳定性
第三章数值积分与数值微分
3.4
Gauss求积公式
学习目标：
掌握高斯求积公式的用法。会用高斯勒让德求积公式。
第三章数值积分与数值微分
a
Ak x lk x dx, k 0,1,n
b
例 3.6 确定
x0 , x1 , A0 , A1 使下列公式为Gauss公式：
1 x f x dx A0 f x0 A1 f x1

1
0
解我们可以像例3.5一样,直接由代数精度的概念构造Gauss公式。这里,我们用正交多项式的零点作为Gauss点的办法构造该Gauss公式。
I 1 1 1 f ( ) f 0.71194774 8 3 3

gauss型求积公式系数和

高斯（Gauss）求积公式的系数和确定方法如下：确定节点：首先确定求积公式所使用的节点，这些节点通常选择为高斯点。

构造高斯型求积公式：根据所选的节点，构造高斯型求积公式。

高斯型求积公式的一般形式为：∫f(x)dx≈∑(A*f(x_i))，其中A是求积系数，x_i是高斯点。

确定求积系数：通过求解线性方程组来确定求积系数。

具体地，根据高斯型求积公式的构造原理，可以建立一个线性方程组，该方程组由节点处的函数值和高斯型求积公式中的求积系数组成。

解这个线性方程组可以得到求积系数。

验证求积公式的精度：通过数值试验来验证求积公式的精度。

例如，可以选择一些已知的函数进行测试，比较使用高斯型求积公式计算的结果与真实值之间的误差。

高斯求积公式

高斯求积公式
高斯求积公式，也称为高斯积分公式，是十九世纪德国数学家卡尔·高斯发现的一个重要的积分公式。

它是一种重要的数学计算方法，用于计算在定义域上的不定积分的值。

高斯求积公式的具体表达式如下：
$$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\sum_{i=1}^{n}w_if(x_i)$$
其中，$w_i$和$x_i$分别为积分点的权重和积分点，$a$和$b$分别为定义域的下限和上限，$n$为积分点的数量。

高斯积分公式可以应用于多维空间，多维积分的表达式如下：
$$\int_{D}\mathrm{d}^{m}x f(x)\approx\sum_{i=1}^{n}w_if(x_i)$$其中，$D$为定义域，$m$为空间的维数，$w_i$和$x_i$分别为积分点的权重和积分点。

高斯积分公式的优点是计算精度高，适用于各种积分问题，并且可以通过调整积分点的数量提高计算精度。

此外，高斯积分公式可以把复杂的积分拆分为一系列容易计算的积分，从而减少计算时间。

但是，高斯积分公式也有其局限性，它只适用于一些特定的函数，如多项式函数和可导函数，不能用于一般的函数。

另外，计算精度
受到积分点的数量的限制，受积分点的分布影响。

总之，高斯积分公式是一种重要的数学计算方法，它可以提高计算精度，减少计算时间，但也有一定的局限性。

高斯(Gauss)型求积公式

代数精度 m 1 。事实上，若要使求积公式
(6.13)对函数 f (x) 1, x, x2 , x3 都准确成立，只要 x0 , x1 和 A0 , A1 满足方程组
A0 A1 2
A0 x0
A1 x1
0
A0
x02
A0
x03
A 0
解之得
A0 A1 1
定义6.4 一个仅以区间-1,1上的高斯点
xk , (k 0,1,, n) 为零点的n+1次多项式称为Legendre多项式。
定理6.6 若 xk , (k 0,1,, n) 是高斯点，则以这些点为根的多项式 (x) 是最高次幂系数为1的勒让得多项
式 L~(n1) (x) ，即
(x) = L~(n1) (x)
其中
(x)
n k 0
(x
xk ), L~n1 (x)
(n 1)! d n1
(2n 2)!
(x 2 1) n1 dx n1
从定理可以看出,当n给定,xk就确定了。P144表6-3给出当积分区间是-1,1时，2个点至5个点的高斯求积
公式的节点、系数和余项,其中 -1,1，需要时
可以查用。
三点的…）高斯型求积公式算出积分的近似
值，将它们相加即得积分值。
b
a
f
(x)dx
的近似
数值计算方法
数值计算方法
高斯（Gauss）型求积公式*
1.1 高斯积分问题的提出在前面建立牛顿-柯特斯公式时，为了简化计
算，对插值公式中的节点限定为等分的节点，然后再定求积系数，这种方法虽然简便，但求积公式的精度受到限制。我们已经知道，过n+1个节点的插值形求积公式至少具有n次代数精度，我们不仅要问，是否存在具有最高代数精度的求积公式呢？若有，最高代数精度能达到多少呢？让我们先看一个例子：

4高斯求积公式

1

截断误差为 R
2 (2 n ) f ( ), (1,1). 2n 2 (2n)!

高斯积分的优点：少节点，高精度。
高斯型求积公式, 使用较少的节点, 可得到高精度的结果. 1 例如，计算积分 I dx . 1 x 0
它的精确值(八位有效数字)为 I = 0.693 147 18。使用节点数为129的复化辛普生公式计算，得 I 0.693 146 70。
适当的选取n+1个节点和插值系数，插值型求积公式的代数精度可以达到2n+1.
定义如果求积结点x0, x1,· · · · · · ,xn,使插值型求积公式

1
1
f ( x )dx Ak f ( xk ), 其中Ak lk ( x )dx 1
1
n
k 0
的代数精度为2n+1,则称该求积公式为Gauss型求积公式. 称这些求积结点为Gauss点.
a
b
是Gauss型求积公式，则它的求积系数 Ai 满足
(1) (2) Ai 0,
n i 0 i
i 0， 1, 2,
b a
,n ;
A
( x)dx .
证明略。
例2 试构造形如

1
1
x f ( x)dx Ai f ( xi )
2 i 1
n
的Gauss型求积公式。解利用正交化方法已求出在区间[-1，1]上带权
求插值型求积公式

1
1
f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
使其代数精度为3,取 f(x)=1, x, x2, x3
A0 A1 2 A x A x 0 0 0 1 1 2 2 2 A0 x 0 A1 x1 3 3 3 A x A x 1 1 0 0 0

6.5Gauss求积公式

n1 ( x) ( x xk ) 与任意次数不超过 n 的多
n k 0
项式P ( x ) 均正交, 即满足

b
a
p( x)n1 ( x)dx 0 .
推论 6.5.1 在区间 [a , b] 上 n + 1次正交多项式 gn+1( x ) 的零点即为 Gauss 点。
2. Gauss-Legendre 求积公式
若有解，则得到的插值型的数值积分公式（1）至少有 2n+1次代数精度。
1. Gauss 求积公式
但是，考虑2n+2次多项式：
f ( x)
2 n 1 n
( x ) ( x xi ) 0,1,…,n）处为零，在其它点处均大于零，所以而
6.5 Gauss 求积公式
1. Gauss 求积公式
设插值型的数值积分公式：
n

b a
f ( x ) d x Ak f ( xk ),
k 0
b
(1)
Ak lk ( x) d x 。其中现在取消对积分节点的限制，让它与 Ak 一样， a 作为一个待定常数，这样在数值积分公式 (1)中前面讲述的方法（lagrange插值型数值积需要确定的系数为xk和Ak（x kk= 0, 1, …, n），共分法）是事先给定积分节点。例如 Newton2n+2公式把区间个系数。根据代数精度的概念，要确定这 Cotes [a , b] 的等分点作为求积节点， 2n+2个系数（xk和Ak），需要解如下n+1 2n+2 个方这样所求积分公式的代数精度至多为。程构成的非线性方程组
再计算A0和A1时，它们已成为线性关系，取 f(x) = 1 和 x可得到 3 3 A0 A1 2， A0 A1 0 . 3 3 解得A0= A1=1。

6c高斯型求积公式

b
定理
若节点 xk , k 0,1, , n 是高斯点，则以这些点为根
n
的多项式 ( x) ( x xk ) 是最高次幂系数为 1 的的勒让德多项
k 0
式，即
(n 1)! d n 1 ( x 2 1) n 1 L n 1 (2n 2)! dx n 1
计算方法
第六章数值积分与数值微分
—— Gauss 求积公式
1
本讲内容
Gauss 求积公式
一般理论: 公式, 余项, 收敛性, 稳定性
Gauss-Legendre 求积公式
Gauss-Chebyshev 求积公式
无限区间的 Gauss 求积公式
2
Gauss 型求积公式
考虑求积公式
0.4674
20

1 1
f ( x ) dx Ai f ( xi )
i 0
9
n
简单 G-L 公式
n =0 时, Pn1 ( x) x G-L 求积公式:
1 1
Gauss 点: x0 0
将 f (x)＝1 代入求出 A0

f ( x ) dx 2 f (0)
1 2
n =1 时, Pn1 ( x ) (3 x 2 1) Gauss 点: x0 3 , x1 3
i 0
n
要证 xi 为 Gauss 点，即公式对 p(x) H2n+1精确成立 “ p( x) ( x)q( x) r( x) ” p(x), r(x)Hn 设
n1

b a
( x ) p( x )dx ( x)n1 ( x)q( x)dx ( x)r( x)dx