应用高斯公式计算下列曲面积分
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1. 应用高斯公式计算下列曲面积分： （1）⎰⎰++S xydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 是单位球面1222
=++z y x
的外侧；
（2）⎰⎰
++S
dxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是立方体a z y x ≤≤,,0表面的外侧； （3）
⎰⎰++S
dxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面222z y x =+与平面z=h 所围空间区域)0(h z ≤≤的表面，方向取外侧； （4）
⎰⎰++S dxdy z dzdx y
dydz x 33
3，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧；
（5）
⎰⎰++S
zdxdy ydzdx xdydz ，其中S 是单位球面222y x a z +-=
的外侧。
分析：记住高斯公式
d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ d d d d d d S P y z Q z x R x y =++⎰⎰， 其中S 取外侧．
解： （1）因为(,,)P x y z yz =，(,,)Q x y z zx =，(,,)R x y z xy =，
所以
d d d d d d S
yz y z zx z x xy x y
++⎰⎰
d d d V P Q R x y z x y z ⎛⎫
∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰0d d d 0
V x y z ==⎰⎰⎰
（2）
4
3202
00
2
223)(2]2
)[(2)(2)(2a dx
a x a dy
a a y x dx dz
z y x dy dx dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x a
a
a
a
a a V
S
=+=++=++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
（3）
⎰⎰⎰⎰⎰++=++V
S
dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x
)(222
，由柱面坐标变换
)
,0,20(,sin ,cos h z r h r z
z r y r x ≤≤≤≤≤≤===πθθθ
知 原式40
20
2
)sin cos (2h rdz z r r dr d h
r
h π
θθθπ
=
++=⎰⎰⎰
（4）
πϕθϕππ5
12
sin 3)(1
420
222333=
=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰dr r d d dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x V
S
（5）：增补平面
22210,S z x y a =-≤:
使之成为一封闭体，并取下侧为 正侧， 原式323)111(a dxdydz dxdydz
V
V
π==++=
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
2．应用高斯公式计算三重积分
⎰⎰⎰++V
dxdydz zx yz xy )(，
其中V 由10,0,0≤≤≥≥z y x 与122≤+y x 所确定的空间区域。 分析：空间区域V 如图：12345S S S S S S =++++
解： 原式2
22
1(2
S
x
ydydz y zdzdx z xdxdy =
++⎰⎰
24
11]
1)1(21)1([21]
)1()1([21])1()1([21
10210
2
1021010102
1010210222=-+-+-=+-+-=+-+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x dx x ydy y dy xdx zdz x dx ydz y dy xdxdy zdzdx x ydydz y x D D D zx xy
yz
3．应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
（1）dz y x dy z x dx z y L
)()()(2
22222+++++⎰
，其中L 为1=++z y x 与三坐标面的交
线，它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧； （2）zdz dy dx y x L
++⎰
32，其中L 为y x y z ==+,122所交的椭圆的正向.
(3)
dz x y dy z x dx y z L
)()()(-+-+-⎰,其中L 为以),0,0(),0,,0(),0,0,(a C a B a A 为顶点
的三角形沿ABCA 的方向.
分析：斯托克斯公式给出了双侧曲面积分与曲面边界的曲线积分的关系，即
d d d d d d S R Q P R Q P y z z x x y y z z x x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫
-+-+- ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰d d d L P x Q y R z =++⎰
其中S 的侧与 L 的方向按右手定则
解 (1)记L 为曲面S:)1,0,0(1≤+≥≥--=y x y x y x z 的边界,如图
2