弹性力学习题22

习 题

2-1 如果某一问题中，0z zx xy σττ===，只存在平面应力分量x σ ，y σ，xy τ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应力 问题？(是)

2-2 如果某一问题中，0z zx zy εγγ===，只存在平面应变分量x ε ，y ε，xy γ，且它们不沿z 方向变化，仅为x ，y 的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？(是)

2-3 试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，图2-11，其应力状态接近于平面应力的情况。(自由表面薄层中：000z yz xz x y xy σττσστ=≠B B 近于平面应力问题)

2-4 试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，图2-12，当板边上只受x ，y 向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态近于平面应变的情况。(000z yz yz xz yz εττγγ===∴==Q 只有0x y xy εεγ≠接近平面应变问题)

2-5 在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件0C M =∑，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？(xy yx ττ=)

3-1 试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所求的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。

3-2 取满足相容方程的应力函数为：（1）2ax y Φ=，（2）2bxy Φ=，（3）2

cxy Φ=，试求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。 3-3 试考察应力函数223(34)2F

xy h y h

Φ=

-能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数所能解决的问题。

3-4 试证2323

334312410qx y y qy y y h h h h ⎛⎫⎛⎫

Φ=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

能满足相容方程，并考察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l ，深度为h ，体力不计）。

3-5 设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q ，图3-10，试求应力分量。

4-1 试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似

的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。 4-2 试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。

4-3 在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并证明,0B

u A u ρϕρρ

=+=可以满

足此基本方程。

4-4 试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。

4-5 试由一阶导数的坐标变换式，导出二阶导数的坐标变换式［§4-3中的式(a)，(b)，(c)］。 5-1 长l 悬臂梁，B 端作用集中力P 分别用

1)最小势能原理 2) (拉格郎日)位移变分方程

求B 端挠度(设2312v b x b x =+)

6-6 试求图6-25所示结构的结点位移和应力，取1,0t m μ==。

7-1 试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个应力的平均值。 7-2 设某一物体发生如下的位移：

012301230123u a a x a y a z v b b x b y b z w c c x c y c z

=+++=+++=+++ 试证明：各个形变分量在物体内为常量（即所谓均匀形变）；在变形以后，物体内的平面保持为平面，直线保持为直线，平行面保持平行，平行线保持平行，正平行六面体变成斜平行六面体，圆球面变成椭球面。

8-5 半空间体在边界平面的一个圆面积上受有均布压力q 。设圆面积的半径为a ，试求圆心下方距边界为h 处的位移。

l

A

B

P

3-1 考察应力函数3ay Φ=在图示矩形板和坐标系能解决什么问题。

解①4444224

000x x y y ∂Φ∂Φ∂Φ===∂∂∂∂满足双调和方程（相容方程）可作应力函数

②应力分量(2-24)：22222600x y xy ay

y

x x y

σστ∂Φ

∂Φ∂Φ=====-=∂∂∂∂

③力边界条件(2-25)：x yx x

y

xy y l m f m l f στστ⎧+=⎪⎨

+=⎪⎩ 上下边界01:00x y l m f f ==±==

左边界1060x x y l m f ay f σ=-==-=-= 右边界1060x x y l m f ay f σ=-====

④0a >解决偏心拉伸问题

0a <解决偏心压缩问题

3.2 解：①2222022x y xy ay ax y x

σστ∂Φ∂Φ

=====-∂∂

力边界：x yx x

y xy y l m f m l f στστ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩

上边界 0122x y y l m f ax f ay σ==-==-=- 下边界 0122x y y l m f ax

f ay σ===-==

左边界 1002x x y xy l m f f ax στ=-==-==-= 右边界 10

2x y xy l m f x f ax στ======-

②222220

2x y xy bx by y x

σστ∂Φ∂Φ

=====∂∂

力边界：x yx x

y xy y l m f m l f στστ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩

上边界 0120x yx y y l m f by f τσ==-=-=-=-= 下边界 0120x yx y l m f by

f τ=====

左边界 1022x x y xy l m f bx f by στ=-==-=-=-=-

右边界 1022x y xy l m f x bx

f by στ======