模糊数学方法及其应用

1 m rij = M / ∑ | xik − x jk | i =1
i=j i≠j i , j=1,2,…,n
适当选取M，使得0≤rij≤1。 (2)欧氏距离 欧氏距离 见相似性度量聚类中的相似系数。 见相似性度量聚类中的相似系数。
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(3)切比雪夫距离 切比雪夫距离
d ij = ∨ xik − x jk
k =1
m
(i, j = 1,2, L , n)
建立模糊相似矩阵的其他方法,就不再介绍了。 建立模糊相似矩阵的其他方法 就不再介绍了。 就不再介绍了 三、聚类 1.模糊等价矩阵 模糊等价矩阵 给定U上的一个模糊关系Rij=[rij]n×n, 若它满足: × 若它满足 (1)自反性 rij=1 )； 自反性( 自反性 ； (2)对称性 rij=rji )； 对称性( 对称性 ； (3)传递性 R o R ⊆ R )； 传递性( 传递性 ； 上的一个模糊等价矩阵 模糊等价矩阵。 则称R是U上的一个模糊等价矩阵。
第j类中第 个变量的平均值 x 类中第k个变量的平均值 类中第 个变量的平均值:
x
( j) k
( j) k
1 = nj
( xikj ) ∑ i =1
nj
( (k = 1,2,L, m); x ( j ) = ( x1( j ) , x 2( j ) , L, x mj ) )
1 n x k = ∑ xik (k = 1,2, L , m); x = ( x1 , x 2 , L , x m ) n i =1
第十一章 模糊数学方法及其应用
§1 模糊聚类分析(参考内容) §2 模糊模型识别(参考内容)
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前言 模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性” 模糊数学是用数学方法研究和处理具有“模糊性” 现象的数学。 现象的数学。所谓的模糊性主要是指客观事物差异 的中间过渡界线的“不分明性” 的中间过渡界线的“不分明性”。如储层的含油气 油田规模的大小，成油地质条件的优劣， 性、油田规模的大小，成油地质条件的优劣，圈闭 的形态，岩石的颜色等。 的形态，岩石的颜色等。这些模糊变量的描述或定 义是模糊的，各变量的内部分级没有明显的界线。 义是模糊的，各变量的内部分级没有明显的界线。 地质作用是复杂的， 地质作用是复杂的，对其产生的地质现象有些可 以采用定量的方法来度量， 以采用定量的方法来度量，有些则不能用定量的数 值来表达， 值来表达，而只能用客观模糊或主观模糊的准则进 行推断或识别。 行推断或识别。
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(6)几何平均最小法 几何平均最小法
rij = ∑ ( xik ∧ x jk ) / ∑ xik ⋅ x jk
k =1 k =1 m m
(i, j = 1,2, L , n)
x1 = (0.1 0.2 0.3) x2 = (0.1 0.2 0.3)
∑(x
k =1 m
m
ik
∧ xjk ) = 0.1+ 0.2 + 0.3 = 0.6
i≠ j k =1
显然|rij|∈[0,1] ,若rij<0, 令rij’=(rij+1)/2,则rij’∈[0,1]。 ∈ 若 则 ∈
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(2)夹角余弦法 夹角余弦法 见相似性度量聚类中的相似系数。 见相似性度量聚类中的相似系数。 (3)相关系数法 相关系数法 见相似性度量聚类中的相关系数。 见相似性度量聚类中的相关系数。 (4)最大最小法 最大最小法
k =1 k =1 m m
(i, j = 1,2,L, n)
x1 = (0.1 0.2 0.3) x2 = (0.1 0.2 0.3)
2∑(xik ∧ xjk ) = 2(0.1+ 0.2 + 0.3) =1.2
m
∑(x
3; xjk ) = 0.2 + 0.4 + 0.6 =1.2 r =1.2 /1.2 =1.0 12
1≤i≤n
由上可知，对原始数据正规化处理以后，变量最 由上可知，对原始数据正规化处理以后， 大值为1，最小值为0，即新数据在区间[0,1]内。 大值为 ，最小值为 ，即新数据在区间 内 二、模糊相似矩阵 模糊相似矩阵是进行模糊聚类的基础。 模糊相似矩阵是进行模糊聚类的基础。下面介 绍建立模糊相似矩阵的常用方法。 绍建立模糊相似矩阵的常用方法。
矩阵RR叫做R矩阵的截矩阵(λ≥0.6)
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3.分类 分类 截矩阵可知,当 由模糊等价矩阵的λ截矩阵可知 当rij=1时,i与j应 时 与应 为同类,否则为异类 否则为异类。 为同类 否则为异类。 由大到小变化， 让λ由大到小变化，可形成动态聚类图。 由大到小变化 可形成动态聚类图。
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二、最佳阀值λ的确定 最佳阀值 的确定 可得不同的分类方案， 对于不同的λ∈[0,1]，可得不同的分类方案，从而 ∈ 形成一种动态聚类图。 形成一种动态聚类图。这对全面了解对象的分类情 况是比较形象和直观的。 况是比较形象和直观的。但有的实际问题需要选择 确定一个具体的分类，这就是确定阀 某个阀值λ，确定一个具体的分类，这就是确定阀 值λ的问题。 的问题。 1.按实际需要确定 按实际需要确定 在动态聚类过程中， 在动态聚类过程中，调整λ的值以得到适当的分 另外， 类。另外，也可由熟悉专业的专家确定阀值λ，得 水平上的分类。 到阀值λ水平上的分类。
rij = ∑ ( xik ∧ x jk ) / ∑ ( xik ∨ x jk )
k =1 k =1 m m
(i, j = 1,2,L, n)
分别表示两个元素取小和取大。 符号 ∧和∨分别表示两个元素取小和取大。 例如: 例如
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x1 = (0.1 0.2 0.3) x2 = (0.4 0.5 0.6)
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矢量或点: 矢量或点 Xj=(xj1 xj2 … xjm) Xi=(xi1 xi2 … xim) 1.相似系数法 相似系数法 (1)数量积法 数量积法
1 rij = 1 M
i=j
∑x
i =1
m
ik
m
⋅ x jk
i≠j
i , j=1,2,…,n
其中 M = max ( ∑ x ik ⋅ x jk )
m
ik
∧ xjk ) = 0.1+ 0.2 + 0.3 = 0.6 ∨ xjk ) = 0.1+ 0.2 + 0.3 = 0.6 r = 0.6 / 0.6 =1.0 12
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ik
(5)算术平均最小法 算术平均最小法
rij = 2∑ ( xik ∧ x jk ) / ∑ ( xik + x jk )
x11 x12 L x1m x x22 L x2 m 21 X = L L L L xn1 xn 2 L xnm 2.极差正规化 极差正规化 求模糊矩阵时要求将数据压缩到区间[0,1]上，为 求模糊矩阵时要求将数据压缩到区间 上 此对原始数据进行极差正规化处理。 此对原始数据进行极差正规化处理。
极差是变量观测值的最大值与最小值之差， 极差是变量观测值的最大值与最小值之差，即
∆x j = max xij − min xij
1≤i ≤ n 1≤i ≤ n
( j = 1,2,L, m)
极差正规化是变量的每个观测值减去观测值的最 小值再除以极差。变换公式为： 小值再除以极差。变换公式为： 5
xi′ j = (xi j − minxi j ) / ∆x j (i = 1 , 2 , L, n ; j = 1 , 2 , L, m)
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2.用F-统计量确定λ的最佳值 用 统计量确定 的分类数为r， 类的样品数为 类的样品数为n 设对应于λ的分类数为 ，第j类的样品数为 j , j类 类 ( ( 的样本记为: 的样本记为 x1( j ) , x2 j ) , L , xn j )
j
( 类的聚类中心为向量: 第j类的聚类中心为向量 x ( j ) = ( x1( j ) , x2( j ) , L , x m j ) ) 类的聚类中心为向量
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1965年美国控制论专家 L.A.Zadeh 提出这一概 年美国控制论专家 念后，模糊数学得到迅速发展并应用到各个领域， 念后，模糊数学得到迅速发展并应用到各个领域， 地学种主要用于矿产资源评价， 地学种主要用于矿产资源评价，各种地质现象的分 识别、决策和模拟。 类、识别、决策和模拟。 在此介绍油气勘探中常用的模糊聚类分析和模糊 在此介绍油气勘探中常用的模糊聚类分析和模糊 识别。 识别。
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§1 模糊聚类分析
模糊聚类分析是在模糊相似矩阵的基础上， 模糊聚类分析是在模糊相似矩阵的基础上，对 分类对象进行定量分类的方法。 分类对象进行定量分类的方法。 主要内容 数据标准化 建立模糊相似矩阵 动态聚类
一、数据标准化 1.原始数据 原始数据 设论域U是 个被分类对象构成的集合 个被分类对象构成的集合,每个对象 设论域 是n个被分类对象构成的集合 每个对象 又有m个描述对象特征的变量 个描述对象特征的变量,它们的观测值构成原 又有 个描述对象特征的变量 它们的观测值构成原 始数据矩阵: 始数据矩阵 4
∑(x
k =1 m
m
ik
∧ xjk ) = 0.1+ 0.2 + 0.3 = 0.6
∑(x
k =1
ik
∨ xjk ) = 0.4 + 0.5 + 0.6 =1.5 r = 0.6 /1.5 = 0.4 12
x1 = (0.1 0.2 0.3) x2 = (0.1 0.2 0.3)
∑(x ∑(x
k =1 k =1 m
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定义F-统计量为 定义 统计量为: 统计量为
∑
k =1
xik ⋅ xjk = 0.1+ 0.2 + 0.3 = 0.6 r = 0.6 / 0.6 =1.0 12
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上述(4)、 、 三种方法要求 否则,要进行 上述 、(5)、(6)三种方法要求xij≥0,否则 要进行 否则 适当变换。 适当变换。 2.距离法 距离法 (1)绝对值倒数法 绝对值倒数法