怎样解二元一次方程组
二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本方法是消元，而我们熟知的方法就是代入消元法和加减消元法，但这两种方法都比较繁琐．下面通过加减消元法的解答过程探讨更简单直接的方法．例．解方程组的解．加减消元法解答过程：······························①两式作差，得···························②··························③将③代入，得··························④所以，原方程组的解为：【解析】由方程组的解可知，，的分母均为，我们可先求二者的分母，而该值亦是②式中的系数，再由①式形式，我们可以通过把原方程组中的两个方程的，的系数写成如下形式：·····························⑤交叉相乘相减，得到二者的分母．再求的分子，即②式右边的数值，可由得到．事实上，用替换⑤中计算可得．即求的值时，用常数列相应替换的系数列．同样地，求的分子，可由得到．即求的值时，则在⑤中用常数列相应替换的系数列计算可得．通过上述推导，我们得到解二元一次方程组的简单方法：，．其中，，，．【注】作为，的分母，因此要求方程组才有解．事实上，二元一次方程组的解可看成两直线和的交点的横纵坐标，而条件“”告诉我们两直线相交，因此方程组有唯一解．而当时，则两直线平行或重合，相应地，方程组要么有无穷多解要么无解．。
解二元一次方程组常用的“消元”方法
数学篇解题指南将含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的两个方程联立起来，就构成了二元一次方程组.二元一次方程组的解就是组成这个方程组的两个方程的公共解.解二元一次方程组的基本思路是消元.下面就常用的“消元”方法进行分析说明.一、代入消元法代入消元法就是在解二元一次方程组时，把其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入到另一个方程中，进而达到消元的目的.基本步骤是：第一步，变形.即从二元一次方程组中选取一个系数较简单的方程，然后把它变为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式；第二步，代入.即将变形后的方程代入到另一方程中消去某个未知数，使方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，解出此方程，进而得到该未知数的值；第三步，回代.把所求得的未知数的值代回到变形后的方程中，得出另一未知数的值，再用大括号把两个未知数的值联立起来；第四步，检验.把所得的两个未知数的值代入另一方程中进行检验，若成立，则是原方程组的解.例1解下列方程组：（1）ìíîx -2y =4①，2x +3y =1②；（2）ìíîïï3(x +y )-2(2x -y )=3，2(x -y )3-x +y4=-112.分析：观察两个方程组的特点，可以看出在方程组（1）中，方程①中x 的系数为1，故可以直接利用代入消元法求解；方程组（2）并非一般形式，先要把它整理成一般形式，再利用代入消元法求解.解：（1）由方程①移项可得x =2y +4，把x =2y +4代入方程②中，可得2(2y +4)+3y =1，解得y =-1，把y =-1代入①中可得x =2，所以有{x =2,y =-1.经检验可知，原方程组的解为{x =2,y =-1.解二元一次方程组常用的“消元”方法19数学篇解题指南（2）通过整理，原方程组可以转化为ìíî5x -11y =-1③,-x +5y =3④,由方程④可知x =5y -3.把x =5y -3代入方程③中，可得5（5y -3）-11y =-1，即14y =14，解得y =1.把y =1代入x =5y -3中，可得x =2，所以有{x =2,y =1.经检验可知，原方程组的解为{x =2,y =1.评注：在解二元一次方程组时，若方程组中某一个未知数的系数是1或-1，或者是可以将某一项作为一个整体，便于代入另一个方程中时，常常借助代入消元法进行求解.二、加减消元法加减消元法即通过将方程组中的两个方程相加或相减消去某个未知数，从而将两个方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，进行求解.在运用加减消元法解二元一次方程组时，要注意仔细观察两个方程中的同一个未知数的系数，若发现系数互为相反数，则利用相加消元法求解；若发现系数相同，则利用相减消元法求解；若两个系数既不相等，也不互为相反数，则需要运用等式性质，把方程两边同乘以适当的数，使未知数的系数相同或互为相反数，再借助加减消元法求解.例2（1）ìíî3x -2y =9①,5x -2y =11②;（2）ìí4x +3y =3①,程中未知数y 的系数相同，这样只需要把两个方程相减，消去未知数y ，得到关于x 的一元一次方程即可解题.（2）观察方程组，很容易看出，两个方程中的未知数x 、y 的系数既不相同，也没有互为相反数，此时需要运用等式性质把同一未知数的系数转化为相同，因此需要将方程①两边同时乘以2，方程②两边同时乘以3，再两式相加，消去未知数y ，得到关于x 的一元一次方程即可解题.解：（1）由方程②-①可得2x =2，解得x =1.把x =1代入①中可得y =-3，所以有{x =1，y =-3.经检验可知，原方程组的解为{x =1，y =-3.（2）方程①×2可得8x +6y =6③；方程②×3可得9x -6y =45④，③+④可得17x =51，解得x =3.把x =3代入方程①中，可得y =-3，所以有{x =3，y =-3.经检验可知，原方程组的解为{x =3，y =-3.评注：在解二元一次方程组时，若两个方程的同一个未知数的系数相同，或系数互为相反数，或者成倍数关系，此时可利用加减消元法去破解.总之，代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组最基本、最常见的消元方法，两者既存在相通点，又具有不同点.同学们在解二元一次方程组时，一定要对方程中的各。
解方程组二元一次的方法
解方程组二元一次的方法
宝子们，今天咱们来唠唠二元一次方程组的解法呀。
二元一次方程组呢，就是有两个方程，每个方程里都有两个未知数，像这样的形式：ax + by = c dx+ey = f。
那咋解它呢？
咱先说代入消元法。
这就像是玩一个替换的小游戏。
比如说我们有方程组y = 2x - 1 3x + 2y = 16。
你看第一个方程里y已经用x表示出来了，那我们就可以把这个y的表达式代入到第二个方程里呀。
把y = 2x - 1代入3x + 2y = 16，就变成了3x+2(2x - 1)=16。
然后就像平常解一元一次方程那样，先把括号打开，3x + 4x - 2 = 16，7x = 18，x就求出来啦。
再把x的值代回到y = 2x - 1里，y的值也就出来喽。
还有一种方法叫加减消元法呢。
这个方法就像是天平称重的时候，两边同时加或者减东西来保持平衡。
比如说2x + 3y = 8 3x - 3y = 3。
这里两个方程里y的系数一个是3一个是 - 3，那我们把这两个方程相加，y就被消掉啦。
得到5x = 11，x就轻松算出来了。
要是系数不一样呢，我们可以通过乘一个数把系数变得一样哦。
就像3x + 2y = 11 2x - y = 5，第二个方程乘2就变成4x - 2y = 10，然后和第一个方程相加，7x = 21，x = 3，再求y就很简单啦。
宝子们，解二元一次方程组其实没有那么难的，就像是走迷宫，这两种方法就是你走出迷宫的两条路。
多做几道题，熟练了之后，你就会觉得二元一次方程组就像小绵羊一样听话啦。
加油哦，数学小天才们！。
5.2-加减消元法解二元一次方程组
6 7y 9 7y 96 7y 3 3 y 7
联系上面的解法，想一想怎样解方程组
3x 5 y 21 2 x 5 y 11
① + ②
① ②
异加
4x 5 y 3 2 x 5 y 1
① － ②
①
② 同减
3x 5 y 21 2 x 5 y -11
6x-5y=17②
1. 用加减法解方程组
应用（B ）
A.①-②消去y B.①-②消去x C. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对
3x+2y=13
2.方程组
3x-2y=5
消去y后所得的方程是（B ）
A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18
三、指出下列方程组求解过程中有错误步骤， 并给予订正： 7x－4y＝4 ①
加减法
(4)
9x-5y=1 6x-7y=2
加减法
⑴ 如果方程组的两个方程中某一未知数的系数相等或者 互为相反数时，把两个方程的两边分别 相减或相加 ， 消去一个未知数，得到一元一次方程，解这个方程得一 个未知数的值。将求得的未知数代入其中一个方程得另 一个未知数的值，从而解得方程组的解。同减异加 ⑵如果方程组中某一未知数系数绝对值均不相等时，把 一个或两个方程两边 乘以一个适当的数 ， 使两个方程 中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为上述类型方 程组求解。 特别的，当一个方程中某未知数的系数是另一个方程同 一未知数的系数 的倍数时 ，加减消元法比较合适。
(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入 每一个方程看是否成立.
1、根据等式性质填空: <1>若a=b,那么a±c= b±c ( .等式性质1) 思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? <2>若a=b,那么ac= bc . (等式性质2)
解二元一次方程组口诀
解二元一次方程组口诀
方程组中有分母，大家都来去分母；遇到括号去括号，注意前面的负号; 能代加减就加减，除非系数最简单；能加能减多相加，要减就要大减小；加减都是项加减，注意项前有负号。
解二元一次方程组口诀
方程组中有分母,大家都来去分母；遇到括号去括号，注意前面的负号; 能代加减就加减，除非系数最简单; 能加能减多相加，要减就要大减小; 加减都是项加减,注意项前有负号。
解二元一次方程组口诀
方程组中有分母，大家都来去分母；遇到括号去括号，注意前面的负号；能代加减就加减，除非系数最简单; 能加能减多相加,要减就要大减小；加减都是项加减,注意项前有负号.。
二元一次方程组的解法-微课-课件全篇
四、小结Βιβλιοθήκη 总结归纳消元解二元一次方回程代组的二元步一骤次：方程(求出另一个未知数的值
二元一次写方出程方组程组的解
一元一次方程
(求出方程的解)
五、巩固反馈
解下列方程组：
1
2x+3y=11 4x-y=-27
2、 x-2y=1 5x-3y=19
3、 2x-y-3=0 3x+2y-8=0
5、 2x-y-3=0 4x-3y-8=0
6.2.二元一次方程组的解法 ————代入消元法
教学目标： 1、会用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数； 2、熟练掌握解二元一次方程组的方法。
交流预习
一、复习： 鸡兔同笼，知“上有三十四头，下有九十六足”，
问鸡兔各几只？ 解：设鸡有x只，兔有y只，根据题意，得
x+y=34 2x+4y= 96
（4）写：写出方程组的解 • ⑤检验：把解代入原方程组看方程两边是否相等
三、巩固提高
1、将下列方程变形，用含一个未知数的代数式表 示另一未知数。
2 x+y=17 2 (x+y)=17-x x y =2x y
2
3
2、解下列方程组
y=2 x-3 3x+2 y=8
x-2 y=5 6x-5y=1
5x=2 y 8x+3y=23
4. 2x=-3y 6x+4y-8=0
2x+3y=11 3x+2y=15
布置作业：
1、学师完成10页练习、习题1、2 学友完成练习、习题1.
2、预习10---13页
解方程组 x+y=34 ① 2x+4y=96 ②
解：由①,得 y=34-x ③ 将③代入 ②，得
二元一次方程组的解法全面版
把②变形得：x
5y 11 2
代入①，不就消去 x了！
把②变形得 5y2x11
可以直接代入①呀！
小
明
小丽
5 y和 5y
互为相反数…… 小彬
按照小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
思路
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
§4.3 二元一次方程组的解 法(二)
复习:
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤：
1. 变
2. 代3. 解 4.写解
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数
消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
问 题 怎样解下面的二元一次方程组呢？
试一试
用加减消元法解下列方程组.(你
可以选择你喜欢的一题解答)
7x-2y=3 9x+2y=-19
6x-5y=3 6x+y=-15
例4. 解方程组:
分析：
2x 3y 12 ① 当方程组中两方程未知数系数不
3x 4y 17 ②
具备相同或互为相反数的特点时 要建立一个未知数系数的绝对值
5x-6y=9 7x-4y=-5
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 变形 加减
同一个未知数的系
数相同或互为相反数 消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有: 代入法、加减法
消元法解二元一次方程组
消元法解二元一次方程组消元法解二元一次方程组一、概念步骤与：1.由二元一次方程组中一个方程,将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法,简称代入法.2.用代入消元法解二元一次方程组的步骤：〔1〕从方程组中选取一个系数比较简单的方程,把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.〔2〕把〔1〕中所得的方程代入另一个方程,消去一个未知数.〔3〕解所得到的一元一次方程,求得一个未知数的值.〔4〕把所求得的一个未知数的值代入〔1〕中求得的方程,求出另一个未知数的值,从而确定方程组的解.注意：⑴运用代入法时,将一个方程变形后,必须代入另一个方程,否那么就会得出“0＝0〞的形式,求不出未知数的值.⑵当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时,用代入法较简便.3.两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法。
用加减消元法解二元一次方程组的根本思路仍然是“消元〞.4.用加减法解二元一次方程组的一般步骤:第一步:在所解的方程组中的两个方程,如果某个未知数的系数互为相反数,•可以把这两个方程的两边分别相加,消去这个未知数初中历史;如果未知数的系数相等,•可以直接把两个方程的两边相减,消去这个未知数.第二步:如果方程组中不存在某个未知数的系数绝对值相等,那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数),求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍,该系数即为最小公倍数),然后将原方程组变形,使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数),再加减消元.第三步:对于较复杂的二元一次方程组,应先化简(去分母,去括号,•合并同类项等),通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边,•常数项在方程的右边的形式,再作如上加减消元的考虑.注意：⑴当两个方程中同一未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时,用加减法较简便.⑵如果所给〔列〕方程组较复杂,不易观察,就先变形〔去分母、去括号、移项、合并等〕,再判断用哪种方法消元好.5.列方程组解简单的实际问题．解实际问题的关键在于理解题意,找出数量之间的相等关系,这里的相等关系应是两个或三个,正确的列出一个(或几个)方程,再组成方程组．。
二元一次组方程的解法
二元一次组方程的解法解二元一次方程组，听起来可能有点吓人，其实没那么复杂哦。
二元一次方程组就是有两个变量，像x和y这样的，都是一次的方程，比如y = 2x + 3，听起来是不是有点熟悉？我们要解决的是这两个方程如何一起工作，找到它们的交点。
就像在生活中，我们有时候要找到一个平衡点，让两个不同的观点和谐共处。
你看，数学和生活其实是紧密相连的，对吧？好了，咱们可以先从图形的角度来看。
这就像是在绘制两条线，线条相交的地方就是我们要找的解。
这就像两个人在路口偶然相遇，彼此交流，找到共同的目标。
举个简单的例子，假设有两个方程：y = x + 1和y = x + 3。
如果你把它们画出来，咦，线条交汇的地方，正是这两个方程的解。
瞧，这不就是解方程的一种方式嘛，简单又直观，真是让人豁然开朗。
还有一种方法，那就是代入法。
你可以把一个方程中的某个变量用另一个方程表示出来，类似于在做替换游戏。
想象一下，你在厨房里，正准备做一顿大餐，却发现缺少了一样材料。
没关系，你可以用其他材料替代，做出一盘美味的菜肴。
比如，我们用y = x + 1去替代第二个方程，得到x + (x + 1) = 3，简化一下，咱们就能找到x的值。
这时候，感觉是不是像发现了宝藏一样兴奋？还有一种方法叫消元法。
听上去有点威武，但其实就像在打扫房间，把不需要的东西清理掉。
我们可以通过加减两个方程，让某个变量消失。
这就像两个人在争论，最后决定放下争执，找到一个共同的解决方案。
用刚才的两个方程，我们可以把它们相加，得出2y = 4，哇，y的值就这么轻松找到了，简直像打开了新世界的大门。
不过，解方程的时候要注意，一定要检查结果。
想象一下，你点了一个外卖，结果收到的却是完全不对的菜，心里那个郁闷啊！所以，拿到结果后，记得把它代回去，看看是否符合原来的方程。
只有这样，才能确保你的解是正确的，真是细节决定成败，不能马虎。
再跟大家说说，解二元一次方程组其实就是在寻找一种平衡。
解二元一次方程组有哪几种方法
探究新知
x y z 12 ①
观察方程组
x
2
y
5z
22
②
x 4 y
③
仿照前面学过的代入法，可以把③分别代 入①②，得到两个只含y，z的方程
5 y z 12 6 y 5z 22 二元一次方程组用代入消元法和加减消元法求解。
探究新知
三元一次方程组如何解？
解三元一次方程组的基本思路与解二元一次 方程组的基本思路一样，即：
分析： 这个问题中包含有 三 个相等关系：
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元
1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
探究新知
设1元、2元、5元纸币分别为x张、y张、z张,
根据题意，可得
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张
x+y+z=12 ①
y 2x7 (1)5x 3 y 2z 2
3x 4z 4
4x 9 y 12
(2) 3 y 2z 1
7
x
5z
19
4
4x 9z 17 (3) 3x y 15z 18
x 2 y 3z 2
2x 4y 3z 9 (4) 3x 2 y 5z 11
5x 6 y 7z 13
课堂练习
解下列三元一次方程组
解：把①代入②，得 11x＋2z=23 ④
④×2+③得 x=2
把x=2代入①得 y=-3
把x=2代入④得 z= 1
2
x 2
方程组的解为
y
-3
z
1
2
y 2x7
①
(1)5x 3 y 2z 2 ②
消元法解二元一次方程组
消元法解方程组的应用实例
x + y = 30
使用加减消元法解得：x = 16, y = 14
x - y = (3 - 2) times (x/3 + y/2)
因此，甲比乙多走了16 14 = 2公里。
05 消元法的优缺点
优点
简单易行
消元法是一种基础的解二元一次方程组的方 法，其步骤简单明了，易于理解和操作。
结合其他方法
对于一些特殊形式的二元一次方程组，可以考虑结合其他方法如代 入法、参数法等来求解，以提高求解效率和准确性。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
代入消元法
通过将一个方程中的一个未知数 用另一个未知数表示，代入另一 个方程中，将二元一次方程组转 化为一元一次方程。
二元一次方程组的解的性质
解的唯一性
对于给定的二元一次方程组，其解是唯一的。
解的稳定性
当方程组的系数发生变化时，解不会发生改变。
03 消元法的步骤
代入消元法
1
代入消元法是通过将一个方程中的一个未知数用 另一个方程表示，然后将其代入另一个方程中求 解的方法。
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y = 2x - 1
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将第二个方程代入第一个方程中，得到
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2x + 3(2x - 1) = 7
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解得：x = 2, y = 1
加减消元法实例
加减消元法是通过两个方程相加或相 减来消除一个未知数的方法。例如，
对于方程组
在解二元一次方程组时，可以先尝试代入消元法，如果不行再考虑加减消 元法。
04 消元法解二元一次方程组 实例
二元一次方程组及其解法
例1. 某单位外出参观.若每辆汽车坐45人，那么15人没 有座位；若每辆汽车坐 60人，则恰好空出一辆汽车， 问共需几辆汽车，该单位有多少人？ 分析： 15人没有座位→多出15个人 空出1辆汽车→多出1辆汽车 解：设该单位共有x辆车，y个人.依题意，得 y - 45x = 15 ① 60 × (x - 1) = y ② ①式移项得y = 15 + 45x，代入②式 60x - 60 = 15 + 45x，可得x = 5 把x = 5代入①中，可得y = 240
合并①②可得：6x + 18 = 8x - 24，解得x = 21 把x = 21代入①得y = 144 答：船在静水中的速度为21千米/小时，两码头之间的距 离为144千米。
各位同学。 再见~！
例2、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无 D 数多个解的方程是（ ） A．10x+2y=4 B．4x-y=7 C．20x-4y=3 D．15x-3y=6 解析： 在5x - y = 2的两边乘以3，即得15x - 3y = 6，与D 选项相等。 ∴由以上两个方程组成的方程组有无数多个解
例2. 汽车从甲地到乙地，若每小时行驶45千米，就要 延误0.5小时到达；若每小时行驶50千米，就可以提前 0.5小时到达。求甲、乙两地间的距离及原计划行驶的 时间。
比原计划多 开0.5小时
比原计划少 解：设甲、乙两地的距离为 x千米，原计划行驶时间为y 开0.5小时
小时.依题意，根据速度×时间=路程得 45 × (y +0.5) = x ① 50 × (y - 0.5) = x ② 合并①②，得45 × (y +0.5) = 50 × (y - 0.5) 解得y = 9.5，代入①得x = 450 答：甲、乙两地间的距离是450千米，原计划行使时间 为9.5小时。
解二元一次方程组的四种方法
解二元一次方程组的四种方法
解二元一次方程组有四种方法：
一、消元法
消元法是一种利用矩阵求解方程的常用方法，它将问题转化为矩阵的形式，利用矩阵的法则进行消元，从而求解出方程的解。
二、乘法法
乘法法是将两边的非零因子都乘以一个比较大的数，从而把一个未知数变成另一个未知数的倍数，从而将方程化简为两个未知数的积等于某常数的形式，从而求出方程的解。
三、图解法
图解法是将二元一次方程组表示为两个一次函数的图象，可以观察两曲线的位置与交点的位置，通过观察分析，从而求出方程的解。
四、换元法
换元法是将一方的未知数用另一方的未知数替换，再将方程解出来，
可以通过代入替换后的结果求出原方程的解。
这种解法适用于只有两个未知数的二元一次方程组。
《二元一次方程组的解法》数学教学PPT课件(3篇)
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数 消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
学习目标
1、理解解二元一次方程组的另一种常用方法——“加减 消元法” ； 2、熟练以及灵活应用加减消元法解二元一次方程组.
新知探究
想一想
为了解方程组
3x+2y=13 3x-2y=5
不用代入法能否消去其中的未知数y ？
旧校舍面积的4倍,那么应该拆除多少旧校舍,建造多少新校
舍?(单位:m2 )
拆 (x m2)
设应拆除旧校舍x m2 ,建 造新校舍y m2 .
根据题意列方程组
20000 m2
y=4x
y-x=20000× 30﹪.
y=4x 即
y-x=6000
新建 (y m2)
1.解方程组: x=3y+2, ① x+3y=8. ②
随堂练习
1、用代入消元法解下列方程组
y=2x ⑴
x=4
x=—y2-5
y=8 ⑵
x=5 y=15
x+y=12
4x+3y=65
x+y=11 x=9
3x-2y=9
x=3
⑶ x-y=7
y=2 ⑷ x+2y=3
y=0
2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的二元 一次方程，求m 、n 的值.
把y=0.8代入①可得x=2
{ x=2
故原方程的解为 y=0.8
{7x+4y-10=0
例3 解方程组 4x+2y-5=0
{7x+4y=10 ①
解：原方程组可化为 4x+2y=5 ②
由方程②得y=（5-4x）/2 将上式带入①整理，得10- x =10
整体换元法解二元一次方程组
整体换元法解二元一次方程组在数学学科中，方程组的求解是一个极为重要且基础的问题。
对于二元一次方程组，我们通常采用的方法是消元法，即利用代数运算将其中一元消去，从而求得另一元的解。
然而，在一些特殊情况下，消元法往往效率不高，这时我们可以采用其他方法求解方程组。
其中一种被广泛运用的方法是整体换元法，今天我们就来详细地讲解一下整体换元法在解二元一次方程组中的应用。
1. 方程组的基本形式二元一次方程组的一般形式为：$\begin{cases} a_{1}x+b_{1}y=c_{1} \\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}$其中 $a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2}$ 都是已知的数， $x,y$ 是未知数。
我们需要求出 $x, y$ 的值。
2. 整体换元法的基本思路整体换元法作为解方程组的一种方法，其基本思路是将某一方程式中的一元或两元用另一方程中的一元或两元表示出来，然后代入另一方程中，从而得到一个仅含一元 (或常数) 的一次方程，从而解出该一元(或常数)，再代入定义式求出另一元。
3. 完整的解法过程下面以一个具体的例子来说明整体换元法的解法过程。
假设我们有以下方程组：$\begin{cases} 3x+4y=20 \\ 5x-2y=4 \end{cases}$首先，我们将第一条式子中的 $y$ 用第二条式子中的 $x$ 和 $y$ 表示出来，得到：$4y=20-3x$$y=\frac{20-3x}{4}$将 $y$ 代入第二条式子中，得到：$5x-2\cdot \frac{20-3x}{4}=4$$5x-10+\frac{3}{2}x=4$$\frac{13}{2}x=14$$x=\frac{28}{13}$将 $x$ 的值代入第一条式子中，得到：$3\cdot \frac{28}{13}+4y=20$$4y=\frac{200}{13}-\frac{84}{13}$$y=\frac{29}{13}$于是，我们得到了 $x=\frac{28}{13}, y=\frac{29}{13}$，这就是原方程组的解。
初一二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法考点名称：二元一次方程组的解法二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。
二元一次方程组解的情况：一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解方程组。
一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：1、有一组解。
如方程组:x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2、有无数组解。
如方程组：x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
3、无解。
如方程组：x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。
二元一次方程组的解法：解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc (c>0)一、消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或x = ay + b的形式；②将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；④将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
例：解方程组：x+y=5①｛6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即 y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即 x=-24/7∴ x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
二元一次方程组的概念及解法
二元一次方程组的概念及解法二元一次方程组是含有两个未知数，且未知数的指数都是1的方程。
当把两个二元一次方程合在一起时，就组成了一个二元一次方程组。
方程组的解是使得两个方程的未知数相等的值。
公共解是指两个方程的解都相同的值。
例如，在方程组中，是一个二元一次方程组的例子。
另外，已知二元一次方程2x－y＝1，当x＝2时，y＝3；当y＝1时，x＝3.消元解法是解二元一次方程组的一种方法。
代入消元法是将一个方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程中进行消元。
加减消元法是将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后解出另一个未知数。
例如，方程2x－y－5＝0可以表示为x＝(y+5)/2，y＝2x-5.另外，方程组可以用消元解法来解，例如，方程组(2x+3y=40.x-y=-5)可以用加减消元法解出x=11，y=6.举例来说，如果有一个两位数，其个位和十位数字之和为11，将其个位数字和十位数字对调后得到的数比原数大63，那么可以用代数式表示原数为(10y+x)，对调后的数为(10x+y)，则可以列出方程组(10y+x+63=10x+y。
x+y=11)。
解方程组可以得到x=8，y=3，因此原数为83.鸡兔同笼”问题是另一个例子，可以用二元一次方程组表示。
题目中给出了总共30个头和94只脚，因此可以列出方程组(2x+4y=30.2x+2y=94)，其中x表示鸡的数量，y表示兔的数量。
解方程组可以得到x=12，y=9，因此鸡的数量为12，兔的数量为9.综上所述，二元一次方程组是含有两个未知数和未知数的指数都是1的方程组。
解二元一次方程组可以使用消元解法，包括代入消元法和加减消元法。
实际问题可以用二元一次方程组来表示，然后解方程组得出答案。
1.在方程y=-3x-2中，若x=2，则y=-8.若y=2，则x=-4.2.若方程2x-y=3写成用含x的式子表示y的形式：y=2x-3；写成用含y的式子表示x的形式：x=(y+3)/2.3.已知43=2x-3y+1，4x-15y-17=0，6x-25y-23=0，则x=3，y=-2.4.二元一次方程3x-my=4和mx+ny=3有一个公共解，则m=-4，n=3.5.已知|a-b+2|+(b-3)^2=1，那么ab=-1.6.对于方程组(1){xy= -10.x+y=-2}，是二次方程组；(2){x-y=1.x/y=3/4}，是一次方程组；(3){x+y=5.xy=3}，是二次方程组；(4){x+y=3.x=2y}，是一次方程组。
去分母解二元一次方程组
在工程设计中，需要解决许多复杂的数学问题，去分母解二元一次方程组是其中的重要技能之一。
感谢您的观看
THANKS
01
02
03
04
解出方程组后，需要验证解的 合理性，确保解符合实际情况
和题目的要求。
检查解是否符合方程的定义域 和值域，避免出现不符合逻辑
的解。
通过代入原方程或与其他已知 条件进行比较，验证解的正确
性。
验证解的合理性是确保解题过 程正确的重要步骤，可以避免 出现不符合实际情况的解。
05 去分母解二元一次方程组 的应用
将所有项乘以最小公倍数
将原方程组中的每一项都乘以最小公 倍数，以消除分母。
这一步的目的是将分式方程转化为整 式方程，方便后续求解。
约简
在消除分母后，对方程组中的同类项进行合并和约简，以简 化方程组。
约简的目的是使方程组更易于求解，提高计算效率和准确性 。
03 去分母解二元一次方程组 的实例
实例一：两个方程具有相同的分母
去分母解二元一次方 程组
目录
CONTENTS
• 去分母解二元一次方程组的原理 • 去分母解二元一次方程组的步骤 • 去分母解二元一次方程组的实例 • 去分母解二元一次方程组的注意事项 • 去分母解二元一次方程组的应用
01 去分母解二元一次方程组 的原理
原理概述
原理
通过消除二元一次方程组中的分 母，将方程组转化为整式方程组 ，从而简化求解过程。
详细描述
首先找到两个方程中分母的最小公倍数，然后将每个方程都乘以这个最小公倍数 ，从而消除分母。接下来，将消除分母后的方程组化为整式方程组，并使用消元 法或代入法求解。
实例三：具有复杂分母的二元一次方程组
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【点评】第一种解法是代入消元法，第二种解法是加减 请比较以上两种解法。 消元法，其目的都是“消元”，化二元一次方程组为一 元一次方程．
பைடு நூலகம்
① x y 9 问题：解方程组： 3( x y ) 2 x 33 ②
解法比较
解法一： 由①得y=9-x ③ 把③代入②得 3(x +9-x)+2x=33 ，∴x=3， 把x=3代入③得 y=6， x3 ∴原方程组的解是 .
y 6
解法二： 把x+y=9代入②得 3×9+2x=33 ，∴x=3， 把x=3代入①得y=6. x3 ∴原方程组的解是 .
，
y 6
请比较以上两种解法。
解法比较 ▲ 解二元一次方程组的基本思想是“消元” 消元 二元 一元
▲ 解二元一次方程组的方法： ①代人消元法; ②加减消元法.
怎样解二元一次方程组
回顾与思 考 问题1：什么是二元一次方程？
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数 都是1的方程叫做二元一次方程。 问题2：什么是二元一次方程组？
由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程 组。 问题3：什么是二元一次方程组的解? 使二元一次方程组中的两个方程左右两边的值都相 等的两个未知数的值（即两个方程的公解）。
所以5a+20=15.解得a=-1.
x 5 y 15 解方程组 ，得 4 x 10 y 2
x 14, y 5.8.
练习
解二元一次方程组
2 x 3 y 7 (1) 4 x y 1;
看看你掌 握了吗？
x y 3 (3) 3x 2 y 5;
x 3 解：由题意得， 是4x-by=-2的一个解，所 y 1 x 5 是ax+5y=15的一个解， 以12+b=-2.解得b=10. y 4
x 5 x 3 a，而得解为 ,乙看错了方程中的b，而得解为 . y 1 y 4
x 2 (2) 3x 2 y 4
6 x 3 y 7 ( 4) 3 x 3 y 5;
知识拓展
1.
x 1 bx+ay = 5 已知 是二元一次方程组 y 2 ax+by = 7
的解，则 a=
，b=
。
2.已知 (a+2b-5)2+|4a+b-6|=0，
1，把下列方程写成用含x的式子表示y的形式 （1）2 x （2）3 x
y3
y 2x 3
y 1 0 y 3x 1
2.已知二元一次方程
4x 5 y 4
4 5y x 4 用含ｙ的式子表示ｘ为_______________.
4 4x y 4 用含ｘ的式子表示ｙ为_______________.
x 5， y 1.
x 1 2 y， 问题1．解方程组： 3 2( x 1) y 11.
典型问题
解法二：由
x 1 2y 3
得x+1=6y ①
把①代入2(x+1)-y=11得12y-y=11，即y=1. 把y=1代入①得x=5. x 5， ∴原方程组的解为
y 1.
．
典型问题
3x y 1 3a 问题2．若方程组 的解满足x+y=0， x 3 y 1 a
则a的取值是（ A ） A．a=-1 B.a=1 C.a=0 D.a不能确定
ax 5 y 15 问题3．在解方程组 时，由于粗心， 4 x by 2
求a和b的值.
3.若方程组
2x-y=3
的解与方程组
3x+2y=8
ax+by=1
bx+3y=a
的解相同,求a,b的值.
x 1 所以原方程组的解为 y 2．
．
解法一： 由①得y=4-2x．③ 将③代入②得x+2(4-2x)=4， 解这个方程得x=1． 将x=1代入③得y=2．
2 x y 4, ① 问题：解方程组 x 2 y 5. ②
解法比较
解法二： ②×2，得2x+4y=10．③ ③-①，得3y=6． 解这个方程得y=2． 将y=2代入①，得x=1． x 1 所以原方程组的解为 ．
x 3 ,乙看错 甲看错了方程组中的a，而得解为 y 1
x 5 了方程中的b，而得解为 ， y 4
典型问题
.
你能求出原方程组的解吗？
典型问题
ax 5 y 15 问题3．在解方程组 时，由于粗心，甲看错了方程组中的 4 x by 2
.
▲ 解二元一次方程组时,观察方程的结构特征,符 合特定条件时,可采用整体代人或整体加减消元.
x 1 2 y， 问题1．解方程组： 3 2( x 1) y 11.
典型问题
x 6 y 1，① 解法一：由原方程组得 2 x y 9.②
把①代入②，得2(6y-1)-y=9，即得y=1. 把y=1代入①，得x=5. ∴原方程的解为