运筹学试题5论述题word精品

《运筹学》试题5

一. （40分）某工厂生产甲、乙、丙三种产品，需消耗A, B两种原料。已知每件

形法求最优生产计划。

（2）写出对偶问题，写出对偶问题的解。

（3）最优生产计划中哪一种原料每增加一个单位对利润的贡献大，为什

么？

（4）若现在原料B的市场价格为0.4，问是否值得购进原料扩大生产？按照目前最优生产计划，在A资源不变的情况下，购多少原料B？

（5）求最优计划不变，产品（甲）单件利润的变化范围。

（6）若新产品（丁）的单位消耗为8 2,单件利润为3，问产品（丁）是否值得生产？

（7）保持最优基不变，求A原料现有数量的变化范围。

8）若A原料变为90求最优生产计划。

（25分）（1）叙述（MP）问题的迭代法的一般步骤;

（2）写出可行下降方向的代数条件，并证明；

（3）可行下降方向代数条件的几何解释。

三.整数规划（15分）某一警卫部门共有12支巡逻队，负责4个要害部位A , B, C, D的警卫巡逻，对每个部位可分别派出2~4支巡逻队，并且由于派出巡逻队数

的不同，各部位预期在一段时期内可能造成的损失有差别，具体见下表，问该警卫部门应往各部位分别派出多少支巡逻队使总的预期损失为最小？

四.动态规划（20分）某厂和公司订了试制某种新产品的合同，如果三个月生产不出一个合格品，则要罚款2000元，每次试制的个数不限，试制周期为一个月，制造一个产品的成本为100元，每一个试制品合格的概率为0.4,生产一次的装配费为200元，问如何安排试制，每次生产几个，才能使期望费用最小？

《运筹学》试题解答和评分标准（若解题步骤正确仅仅数字计算错误可给此题的60——90%的分数）

一.解（1）设甲、乙、丙三种产品的产量为X\,x2, x3

Max Z=3 X i x2 4x3

6x1 3x2 5x3 - 45

s.t 3x-i 4x2 5x3 - 30

X i,X2,X3 -0

化为标准型：Max Z=3 x1 X2 4x3

6x1 3x2 5x3 x4 = 45

s.t 3x1 4x2 5x3 x5 = 30

i234 5

取二3=

3为入基变量5为出基变量化为标准型Array

为入基变量为出基变量化为标准型

取二

* T

X =(5,0,3) --------------------------------------------- 10 分

(2) Min W=45y 「30y ?

6y 1 3y 2 - 3 3y 1 4y 2 一 1

s.t

5y 1 5y 2 - 4 y i ,y 2 -0

y =(1/5,3/5)T --------------------------------------------------------------- 15 分

(3) A 种原料每增加一个单位对利润为 0.2元， B 种原料每增加一个单位对利润为

0.6元

所以 B 种原料每增加一个单位对利润大 ----------------- 18

分

(4)

因为0.4<0.6所以值得购进原料进行生产，由于将最优解代入第一个不 等式可知等式成立，所以 A 原料已用完所以，

B 原料购进数为

0 ------------- 20 分 (5)

求C 1的变化范围

4

f-1/3^ 「2 = C2 — C B B P 2 = 1 —(G ,4) 兰 0

I 1丿

a ‘1/3 、 「4 = C4 — C B B P 4 = 0 —(C 1,4) 兰 0

1—1/5.丿

得生产。

(7)求b 1的变化范围

=C 5 -C B B 和5 =0 -(C 1,4)

''-1/3、 <0

<2/5 J

12/5 乞° 空 24/5

25 分

(6) p 6 =

C 6

心二 C 6 - C B B 4

P 6 二 3 -(3,4)

5/3 -1/3'

厂1/5 2/5 ?

= 3-14/5=1/5

0 值

30

B 4b =

"一1/3你。

1—1/5 2/5 人30 丿

30 -b -60 35 分

(8)

34

最优解X* =(10,0,0)T------------------------------------------------------------ 40 分

(1 )迭代法一般步骤：

①.选取初始点x0, k : = 0

②.构造搜索方向p k

I , k

③.根据p方向确定'k

④.令X k1 =x k• 'k P k

⑤.若x k 1已满足某终止条件，停止迭代，输出近似最优解x k 1。否则令

k = k 1，转向第②步。------------------------ 10 分

(2)可行方向下降的代数条件：\g j(x)T p 0，i- I(x)

f (x)T p ：： 0。------------------ 15 分

由泰勒公式:

T

gdx p)二gdx)八、g i (x) p ：(||p||)

当x为g i(x)的积极约束时，有g/x) =0。只要，■ 0足够小，g/x-.rp)和

:° (x)T p 同号，于是当'、、g i (x)T p 0 时有g j (x ，p) _ 0 i I (x)。

当x为g i(x)的非积极约束时，有g i(x) 0。由g i(x)的连续性，当’0足够小时，由保号性知g i(x p^ 0 i - I (x)。

所以只要' g i (x)T p 0，L I (x)就可保证g/x •・p) _ 0，于是p为x点

处的一个可行方向。

称g i (x)T p 0，i I (x)为p在点x处是可行方向的代数条件。

由泰勒公式：

f(x P)二f(X)小f (x)T p：( | |p||)

当■足够小时，只要'、f (x)T p <0，有f (x • ■ p) ：：：f (x)。

称' f (x)T p :: 0为p在x点处的一个下降方向的代数条件。

------------------------- 20 分

(3)可行下降方向代数条件的几何解释：

对于\f(x)T p ：：0= ”f(x)T p 0，

由-、f(x)T p =||-1 f (x)T|||| p ||cos^ 0 = 0 ：：「：：90°，即p 与该点处目标函数负梯度向量之间夹角为锐角。

同理、g i(x)T p 0 说明p与该点处积极约束的梯度向量之间的夹角成锐角。

因此，若p，使得p和- i f (x)T及、g i (x)T均为锐角，则p为可行下降方向。

---------------------------------------------------------------------------- 25 分三•解：把12支巡逻队往4个部位派遣看成依次分四个阶段(用k表示，k=1 , 2,