苏教版数学高一数学苏教版必修4阶段质量检测(一)三角函数
高一数学苏教版必修4三角函数单元检测题
因 a·b m ，又 a·b cos ·tan
1
2 ．故 cos ·tan
1
m 2．
4
4
由于 0
π，所以 4
2cos2 sin 2( cos sin
) 2cos2 sin(2 2π) cos sin
2cos2 cos
sin 2 sin
2cos (cos sin ) cos sin
1 tan 2cos
点 ( ,1) 和最低点 (7 , 3) ，求此函数的解析式
12
12
2 ) 在同一周期内有最高
20. 已知函数 f ( x) 2 cos x(sin x cos x) 1, x R.
莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
(I) 求函数 f (x) 的最小正周期； 3
(II) 求函数 f ( x) 在区间 , 上的最小值和最大值 . 84
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也
8． 已知函数 f ( x) sin x
( 0) 的最小正周期为 ，则该函数的图象
莫愁前路无知己，天下谁人不识君。
A．关于直线 x 对称
B．关于点 ，0 对称 C．关于点 ，0 对称
D．关于直线 x 对称
9．将 y
x 2cos
π 的图象按向量 a
21.已知 0＜ ＜ , 为f (x) cos(2x
) 的最小正周期，
r a
=（
tan（
1 +
），- 1），
4
8
4
r
uuru
2cos2 sin 2(
)
b =（ cos ，2），且 agb =m，求
.
cos sin
高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.2.3.1 含解析
高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.2.3.1 含解析学业分层测评(五) 三角函数的诱导公式(一～四)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．cos ⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝________.【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝cos π3＝12.【答案】 122．若sin (π＋α)＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α＝________.【解析】 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴α＝－π6，tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－33.【答案】 －333．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan(π－α)＝－34，则sin α＝________.【解析】 由于tan(π－α)＝－tan α＝－34，则tan α＝34，解方程组⎩⎨⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35.【答案】354．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为________．【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32. 【答案】325．设ta n(5π＋α)＝m (α≠k π＋π2，k ∈Z )，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为________．【解析】 ∵tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m ，原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1.【答案】 m ＋1m －16．已知f (x )＝sin x ，下列式子中成立的是________(填序号)． ①f (x ＋π)＝sin x ；②f (2π－x )＝sin x ； ③f (－x )＝－sin x ；④f (π－x )＝f (x )．【解析】 正确的是③④，f (－x )＝sin(－x )＝－sin x ， f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )． 【答案】 ③④7．tan 300°＋sin 450°＝________.【解析】 tan 300°＋sin 450°＝tan(360°－60°)＋sin(360°＋90°) ＝tan(－60°)＋sin 90°＝－tan 60°＋sin 90°＝1－ 3. 【答案】 1－ 38．若cos 100°＝k，则tan 80°的值为________.【导学号：06460014】【解析】cos 80°＝－cos 100°＝－k，且k＜0.于是sin 80°＝1－cos280°＝1－k2，从而tan 80°＝－1－k2 k.【答案】－1－k2 k二、解答题9．若cos(α－π)＝－2 3，求sin(α－2π)＋sin(－α－3π)cos(α－3π)cos(π－α)－cos(－π－α)cos(α－4π)的值．【解】原式＝－sin(2π－α)－sin(3π＋α)cos(3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－2 3，∴cos α＝23，∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos2α＝5 3，∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52. 综上，原式＝±52.10．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【解】 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ， 平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32＜0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去． ∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.能力提升]1．已知sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，则sin αcos α的值为________． 【解析】 ∵sin(π－α)＋3cos(π＋α)＝0，即 sin α－3cos α＝0，∴tan α＝3， ∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝310.【答案】 3102．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为________． 【解析】 由于tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，又tan 600°＝－3 a，∴3＝－3a，即a＝－ 3.【答案】－ 33．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－15，则tan α＝________.【解析】cos(－α)－sin(－α)＝cos α＋sin α＝－15，①∴(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1 25，∴2sin αcos α＝－2425<0，又∵sin α>0，∴cos α<0，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝49 25，∴sin α－cos α＝75，②由①②得sin α＝35，cos α＝－45，∴tan α＝－3 4.【答案】－3 44．已知tan α，1tan α是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，且3π＜α＜7π2，求cos(2π－α)＋sin(2π＋α)的值．【解】因为tan α，1tan α是关于x的方程3x2－3kx＋3k2－13＝0的两实根，所以tan α·1tan α＝13×(3k2－13)＝1，可得k2＝16 3.因为3π＜α＜7π2，所以tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，又tan α＋1tan α＝－－3k3＝k，所以k＞0，故k＝43 3，所以tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝433，所以sin αcos α＝3 4，所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×34＝2＋32.因为cos α＋sin α＜0，所以cos α＋sin α＝－3＋1 2，所以cos(2π－α)＋sin(2π＋α)＝cos α＋sin α＝－3＋1 2.。
高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.2.3.2
学业分层测评(六)三角函数的诱导公式(五～六)(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos α＋π2＝________.【解析】 由已知得，sin α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－265＝265. 【答案】 2652．(2016·天水高一检测)已知角α的终边经过点P 0(－3，－4)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值为________． 【解析】 易知|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝－45，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝－45. 【答案】 －453．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 【解析】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－13.【答案】 －134．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________. 【导学号：06460017】【解析】 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π2＋α·(－sin α)·cos(－α) ＝sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·(－sin α)·cos α＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α. 【答案】 －sin 2α5．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)的化简结果是________．【解析】 ∵(A ＋45°)＋(45°－A )＝90°，∴sin(45°－A )＝cos(45°＋A )， ∴sin 2(A －45°)＝sin 2(45°－A )＝cos 2(45°＋A )，∴sin 2(A ＋45°)＋sin 2(A －45°)＝1.【答案】 16．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋sin(π＋θ)＝－m ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋2sin(6π－θ)的值是________． 【解析】 由已知条件知(－sin θ)＋(－sin θ)＝－m ，∴sin θ＝m 2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ＋2sin(6π－θ)＝(－sin θ)＋2·(－sin θ)＝－3sin θ＝－3m 2. 【答案】 －3m 27．已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝________. 【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin (π－θ)＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2. 【答案】 －28．在△ABC 中，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝3sin(π－A )，且cos A ＝－3cos(π－B )，则C ＝________. 【解析】 由已知3cos A ＝3sin A ，∴tan A ＝33，又∵A ∈(0，π)∴A ＝π6.又cos A ＝－3·(－cos B )＝3cos B ，由cos A ＝32知cos B ＝12，∴B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π2.【答案】 π2二、解答题9．已知sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ＝72，求sin 4π2－θ＋cos 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ的值． 【解】 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ＝sin(π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＋cos θ＝72，∴sin θcos θ＝12(sin θ＋cos θ)2－1] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫722－1＝38，∴sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos 4⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫382＝2332.10．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α的值．【解】 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2，∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2，∴sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－(sin 3α＋cos α)5sin α－3cos α＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335. 能力提升]1．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos 30°)＝________.【解析】 f (cos 30°)＝f (sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝72或f (cos 30°)＝f (sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝72.【答案】 722．计算sin 2 1°＋sin 2 2°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________.【解析】 ∵1°＋89°＝90°，2°＋88°＝90°，…，44°＋46°＝90°， ∴sin 21°＋sin 289°＝sin 21°＋cos 21°＝1，sin 22°＋sin 288°＝sin 22°＋cos 22°＝1，…sin 244°＋sin 246°＝sin 244°＋cos 244°＝1，∴sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44＋sin 245°＝44＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222 ＝892.【答案】 8923．(2016·盐城高一检测)已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是________．【解析】 ∵(75°＋α)＝(α－15°)＋90°，∴sin(α－15°)＝sin(75°＋α)－90°]＝－cos(75°＋α)＝－13.又(75°＋α)＋(105°－α)＝180°，∴cos(105°－α)＝cos180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，∴原式＝－13－13＝－23.【答案】 －234．(2016·南京高一检测)已知f (α)＝sin (π－α)cos (－α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos (π＋α)sin (－α). (1)化简f (α)；(2)若角A 是△ABC 的内角，且f (A )＝35，求tan A －sin A 的值．【解】 (1)f (α)＝sin α·cos α·cos α(－cos α)·(－sin α) ＝cos α.(2)由(1)可知f (A )＝cos A ＝35，又A 是△ABC 的内角，∴0°＜A ＜90°，∴sin A ＝45，tan A ＝43，∴tan A －sin A ＝43－45＝815.。
高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.3.3.2 含解析
高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.3.3.2 含解析学业分层测评(十二)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知f (x )＝sin(3x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫－7π12，0，则φ＝________.【解析】 把x ＝－712π代入sin(3x ＋φ)＝0， 得sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×⎝⎛⎭⎪⎫－712π＋φ＝0，∴φ－74π＝k π，又|φ|＜π2，所以令k ＝－2，得φ＝－2π＋74π＝－π4.【答案】 －π42．三角函数式：①y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6；②y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6；③y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π12；④y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.其中在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的图象如图1-3-11所示的函数是________．图1-3-11【解析】 代入⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，3检验．【答案】 ①②④3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图1-3-12所示，则ω＝________；φ＝________.图1-3-12【解析】 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝3π4，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2. 当x ＝5π12时，2×5π12＋φ＝π2，∴φ＝－π3. 【答案】 2 －π34．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋m (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为π2，则正确的序号有________.【导学号：06460035】①f (x )的最小正周期是π；②f (x )的值域为0,4]；③f (x )的初相φ＝π3；④f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π3，2π上单调递增．【解析】由题意，⎩⎨⎧－π6ω＋φ＝k π(k ∈Z )①，m ＝2，且函数的最小正周期为T ＝4×π2＝2π，故ω＝2πT ＝1.代入①式得φ＝k π＋π6(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2.故函数f (x )的值域为1,3]，初相为π6，排除①②③项，选④项．【答案】 ④5.已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象如图1-3-13所示，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－23，则f (0)＝________.图1-3-13【解析】 由图象可得最小正周期为23π，于是f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，注意到23π与π2关于7π12对称，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝23.【答案】236．设函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π5.若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．【解析】 f (x )的周期T ＝4，|x 1－x 2|的最小值为2. 【答案】 27．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.【解析】 由于函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6是函数f (x )的最大值或最小值，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－3或3.【答案】 ±38．设函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上是增函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0上是增函数，所有正确结论的编号为________． 【解析】 ∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2， ∴φ＝k π＋π3.∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝π3，∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由图象及性质可知②④正确．【答案】 ②④ 二、解答题9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求f (x )的最值． 【解】 (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2是图象的一个最低点，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.能力提升]1．方程2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2a －1＝0在0，π]上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵x ∈0，π]，x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，2sin x ＋π3∈－3，2]．画出函数图象可知，当3≤1－2a ＜2时，原方程有两个不相等的实数根，故－12＜a ≤1－32. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1－32 2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图1-3-14所示．图1-3-14(1)求f (x )的解析式；(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？【解】 (1)A ＝3，2πω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π，故ω＝25. 由f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫25x ＋φ的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝⎛⎭⎪⎫π10＋φ＝0，又|φ|＜π2，故φ＝－π10，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.(2)设把f (x )的图象向左至少平移m (m ＞0)个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25(x ＋m )－π10＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数，知2m 5－π10＝k π＋π2，即m ＝52k π＋3π2.∵m ＞0，∴m 取最小值3π2. 故至少把f (x )的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数.。
苏教版2018-2019学年高一数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.2.1
学业分层测评(三)任意角的三角函数(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．已知sin α＝35，cos α＝－45，则角α终边在第________象限．【解析】由sin α＝35＞0得，角α的终边在第一或第二象限；由cos α＝－45＜0得，角α的终边在第二或第三象限，故角α的终边在第二象限．【答案】二2．若角α的终边落在y＝－x上，则tan α的值为________．【解析】设P(a，－a)是角α上任意一点，若a>0，P点在第四象限，tan α＝－aa＝－1，若a<0，P点在第二象限，tan α＝－aa＝－1.【答案】－13．有三个结论：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等；③π4与5π4的余弦线相等．其中正确的是________．【解析】在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线，余弦线，分析可知①正确，②正确，③错误．【答案】①②4．在△ABC中，若sin A·cos B·tan C＜0，则△ABC是________三角形．【解析】∵A，B，C是△ABC的内角，∴sin A＞0.∵sin A·cos B·tan C＜0，∴cos B·tan C＜0，∴cos B和tan C中必有一个小于0，即B ，C 中必有一个钝角，故△ABC 是钝角三角形．【答案】 钝角5．(2016·扬州高一检测)如果α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于________．【解析】 ∵P (1，－3)，∴r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 【答案】 －326．(2016·南通高一检测)在(0,2π)内，使sin α＞cos α成立的α的取值范围是________．【解析】 如图所示，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4时，恒有MP ＞OM ，而当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，2π时，则是MP ＜OM . 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 7．若α为第二象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝________.【解析】 由已知sin α>0，cos α<0，∴|sin α|sin α－cos α|cos α|＝sin αsin α－cos α(－cos α)＝1＋1＝2. 【答案】 28．(2016·无锡高一检测)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α＞0，cos α≤0，则α的取值范围是________．【解析】 因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上．因为α的终边过点(3a －9，a ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3. 【答案】 (－2,3]二、解答题9．判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin (cos θ)cos (sin θ)(θ为第二象限角). 【导学号：06460008】 【解】 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°＜0，cos 265°＜0，∴sin 340°cos 265°＞0.(2)∵θ为第二象限角，∴0＜sin θ＜1＜π2，－π2＜－1＜cos θ＜0，∴sin(cos θ)＜0，cos(sin θ)＞0，∴sin (cos θ)cos (sin θ)＜0. 10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．【解】 (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α＜0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的负半轴上的角．由lg cos α有意义可知cos α＞0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的正半轴上的角．综上可知角α是第四象限的角．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1， 解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m ＜0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.能力提升]1．(2016·南京高一检测)若α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．(填序号)①sin α2；②cos α2；③tan α2；④cos 2α.【解析】 由α为第四象限角，得2k π＋3π2＜α＜2k π＋2π(k ∈Z )，故k π＋3π4＜α2＜k π＋π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋3π4，2n π＋π， 此时，α2是第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋7π4，2n π＋2π，此时，α2是第四象限角． 故无论α2落在第二还是第四象限，tan α2＜0恒成立．又4k π＋3π＜2α＜4k π＋4π，(k ∈Z )．故cos 2α有可能为正也有可能为负．【答案】 ③2．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝3m ＜0，m 2＋n 2＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 【答案】 23．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动23π弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．【解析】 设Q (cos α，sin α)，由2π3＝α·1可知α＝2π3，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 4．已知：cos α＜0，tan α＜0.(1)求角α的集合； (2)试判断角α2是第几象限角；(3)试判断sin α2，cos α2，tan α2的符号．【解】 (1)因为cos α＜0，所以角α的终边位于第二或第三象限或x 轴负半轴上．因为tan α＜0，所以角α的终边位于第二或第四象限，所以角α的终边只能位于第二象限．故角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z . (2)因为π2＋2k π＜α＜π＋2k π(k ∈Z )，所以π4＋k π＜α2＜π2＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时， π4＋2n π＜α2＜π2＋2n π(n ∈Z )．所以α2是第一象限角； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )， 5π4＋2n π＜α2＜3π2＋2n π(n ∈Z )，所以α2是第三象限角． (3)当α2为第一象限角时， sin α2＞0，cos α2＞0，tan α2＞0. 当α2为第三象限角时，sin α2＜0，cos α2＜0，tan α2＞0.。
高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.3.2.3 含解析
高中数学苏教版高一必修4学业分层测评：第一章_三角函数1.3.2.3 含解析学业分层测评(十) 正切函数的图象与性质(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列正确命题的序号为________．①y ＝tan x 为增函数；②y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω； ③在x ∈－π，π]上y ＝tan x 是奇函数；④在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上y ＝tan x 的最大值是1，最小值为－1. 【解析】 函数y ＝tan x 在定义域内不具有单调性，故①错误；函数y ＝tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω，故②错误；当x ＝－π2，π2时，y ＝tan x 无意义，故③错误；由正切函数的图象可知④正确．【答案】 ④2．比较大小：tan π5________tan 13π10. 【解析】 tan 13π10＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋3π10＝tan 3π10. ∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是增函数且0＜π5＜3π10＜π2， ∴tan π5＜tan 3π10，即tan π5＜tan 13π10. 【答案】 ＜3．函数f (x )＝tan 2x tan x的定义域为________． 【解析】 函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠π2＋k π，x ≠k π，2x ≠k π＋π2(k ∈Z )，∴x ≠k π2且x ≠k π2＋π4，∴x ≠k π4，k ∈Z . 【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈Z 4．函数y ＝6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－6x 的对称中心为________． 【解析】 y ＝6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－6x ＝－6tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －π8， 由6x －π8＝k π2，k ∈Z 得x ＝k π12＋π48，k ∈Z ， 故对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12＋π48，0，k ∈Z . 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12＋π48，0(k ∈Z ) 5．函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4≤x ≤π4且x ≠0的值域为________． 【解析】 ∵－π4≤x ≤π4且x ≠0， ∴－1≤tan x ≤1且tan x ≠0，∴1tan x ≥1或1tan x≤－1， 故所求函数的值域为(－∞，－1]∪1，＋∞)．【答案】 (－∞，－1]∪1，＋∞)6．函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期是π2，则ω＝________. 【解析】 由π|ω|＝π2，可知ω＝±2. 【答案】 ±27．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是________． 【解析】 ∵y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数， ∴T ＝π|ω|≥π，∴|ω|≤1.∵y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内为增函数， ∴ω<0，∴－1≤ω<0.【答案】 －1≤ω<08．若f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，试比较f (－1)，f (0)，f (1)，并按从小到大的顺序排列：________. 【解析】 ∵f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，π4上单调递增， 且T ＝π，∴f (1)＝f (1－π)，又－3π4＜1－π＜－1＜0＜π4， ∴f (1－π)＜f (－1)＜f (0)，即f (1)＜f (－1)＜f (0)．【答案】 f (1)＜f (－1)＜f (0)二、解答题9．设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. (1)求函数f (x )的定义域、周期和单调区间；(2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．【导学号：06460029】【解】 (1)由x 2－π3≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠5π3＋2k π， ∴f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠5π3＋2k π，k ∈Z . ∵ω＝12，∴周期T ＝πω＝2π. 由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π，k ∈Z 得 －π3＋2k π<x <5π3＋2k π，k ∈Z ， ∴函数f (x )的单调递增区间是－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )． (2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π，k ∈Z ，解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z ，∴不等式－1≤f (x )≤3的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z . 10．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称，求f (x )的解析式． 【解】 由题意可知，函数f (x )的最小正周期T ＝π2，即πω＝π2，∴ω＝2， 从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．∵函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称， ∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝k π2π，k ∈Z ， 即φ＝k π2＋π4(k ∈Z )． ∵0＜φ＜π2，∴φ只能取π4. 故f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 能力提升]1．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan x 2，则下列说法中：①周期是π且有一条对称轴x ＝0；②周期是2π且有一条对称轴x ＝0；③周期是2π且有一条对称轴x ＝π；④非周期函数但有无数条对称轴．上述结论正确的有________(填以上所有正确的结论的序号)．【解析】 如图是函数的图象，由图象可知函数周期为2π，对称轴为x ＝k π(k ∈Z )．【答案】 ②③2．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．【解析】 T ＝π4，∴πω＝π4，∴ω＝4，∴f (x )＝tan 4x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0. 【答案】 03．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2内的图象是________．(只填相应序号)图1-3-6【解析】 当π2＜x ＜π时，tan x ＜sin x ，y ＝2tan x ＜0； 当x ＝π时，y ＝0；当π＜x ＜32π时， tan x ＞sin x ，y ＝2sin x .故填④.【答案】 ④4．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间－1，3]上是单调函数．【解】 函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为直线x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.因此，θ角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π21.3.3 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象。
高中数学苏教版必修四 阶段质量检测(一) 三角函数-含答案
阶段质量检测(一) 三角函数 [考试时间：90分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上) 1．若sin α<0且tan α>0，则α是第________象限角． 2．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan α的值为________．3．已知圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________． 4．tan 300°＋cos 405°sin 405°的值是________．5．设α是第二象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1等于________． 6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值等于________． 7．若(sin θ＋cos θ)2＝2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则θ＝________.8．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的递增区间是______________________．9．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝________.10．函数y ＝cos 2x －sin x 的最大值是________．11．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝__________.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx x ＞0，f x ＋＋1 x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为________．13．在函数①y ＝sin |x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，④y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3中，最小正周期为π的函数为________．14．将函数y ＝cos(x －π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的对称轴为____________________．二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知单位圆上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，y ，设以OP 为终边的角为θ(0＜θ＜2π)，求θ的正弦值、余弦值．16．(本小题满分14分)已知f (x )＝a sin(3π－x )＋b tan(π＋x )＋1(a 、b 为非零常数)． (1)若f (4)＝10，求f (－4)的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＝7，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫995π的值．17.(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)． (1)求π－α＋π－α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值；(2)求sin 2α＋2sin αcos α－cos 2α＋2的值．18．(本小题满分16分)设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0且最小正周期为π2. (1)求f (0)；(2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α4＝95，求sin α的值．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期及最大值； (2)求函数f (x )的零点的集合．20．(本小题满分16分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间．答 案1．三2．解析：tan α＝－21＝－2. 答案：－23．解析：15°化为弧度为π12，设扇形的弧长为l ，则l ＝6×π12＝π2，其面积S ＝12lR ＝12×π2×6＝3π2.答案：3π24．解析：tan 300°＋cos 405°sin 405°＝tan(360°－60°)＋＋＋＝tan(－60°)＋cos 45°sin 45°＝－tan 60°＋1＝1－ 3. 答案：1－ 35．解析：因为α是第二象限角， 所以sin αcos α·1sin 2α－1 ＝sin αcos α·1－sin 2αsin 2α＝sin αcos α·|cos α||sin α| ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 答案：－16．解析：由已知得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13.答案：－137．解析：由(sin θ＋cos θ)2＝2，∴sin θ cos θ＝12∴sin θ cos θsin 2θ＋cos 2θ＝12即tan θ1＋tan 2θ＝12，又tan θ＞0， ∴tan θ＝1，又θ∈(0，π2)．∴θ＝π4. 答案：π48．解析：令k π－π2<x 2＋π3<k π＋π2(k ∈Z)，得2k π－5π3<x <2k π＋π3(k ∈Z)，故所求函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎪⎫2k π－5π3，2k π＋π3(k ∈Z) 9．解析：由题意得周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝±1. ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<54π， ∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.410．解析：∵y ＝cos 2x －sin x ＝1－sin 2x －sin x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋54， 又∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y max ＝54.答案：5411．解析：由题图可知，T ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2＝πω，∴ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ＝0，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋3π4＝0，∴φ＋3π4＝k π，k ∈Z. 又|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 又图象过点(0,1)，∴A tan π4＝1，∴A ＝1， 即f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan π3＝ 3. 答案： 312．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－43＋1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＋1＋1 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋2 ＝－cos2π3＋23＝12＋2＝52， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝12＋52＝3.答案：313．解析：y ＝sin |x |不是周期函数，其余三个函数的最小正周期均为π. 答案：②③④14．解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y 1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，再向左平移π6个单位，得函数y 2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象．由x 2－π4＝k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋π2(k ∈Z)即为所求的全部对称轴．答案：x ＝2k π＋π2(k ∈Z)15．解：∵P 在单位圆上，∴y 2＋34＝1.∴y ＝±12.当y ＝12时，sin α＝12，cos α＝－32.当y ＝－12时，sin α＝－12，cos α＝－32.16．解：∵f (x )＝a sin(2π＋π－x )＋b tan(x ＋π)＋1 ＝a sin x ＋b tan x ＋1，∴f (－x )＝a sin(－x )＋b tan(－x )＋1 ＝－a sin x －b tan x ＋1， ∴f (x )＋f (－x )＝2.(1)∵f (4)＝10，f (4)＋f (－4)＝2， ∴f (－4)＝2－f (4)＝2－10＝－8. (2)∵f (π5)＝7，f (π5)＋f (－π5)＝2，∴f (－π5)＝2－f (π5)＝2－7＝－5. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫99π5＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π5＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫20π－π5＋b tan ⎝⎛⎭⎪⎫20π－π5＋1＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＋b tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＋1 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π5＝－5. 17．解：由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)． ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)．∴sin α＝－2cos α. ∵cos α≠0，∴tan α＝－2.(1)原式＝sin α＋5cos α－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋sin α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝tan α＋5－2＋tan α＝－2＋5－2－2＝－34.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝tan 2α＋2tan α－1tan 2α＋1＋2 ＝4＋－－14＋1＋2＝95.18．解：(1)f (0)＝3sinπ6＝32. (2)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6且最小正周期为π2，所以2πω＝π2，即ω＝4，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (3)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35，∴sin α＝±45.19．解：(1)最小正周期T ＝π，当2x ＋π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π6(k ∈Z)时，函数f (x )的最大值为1.(2)由f (x )＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝12， 所以2x ＋π6＝2k π＋π6或2x ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即x ＝k π或x ＝k π＋π3(k ∈Z)， 故函数f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z}． 20．解：(1)由图象可知A ＝2，T ＝π， ∴ω＝2πT ＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)．又点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，2在图象上， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2， 即－π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π， ∴φ＝2π3， ∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. (2)由(1)可得函数的解析式为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2， 解得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ， 故函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－7π12，k π－π12， k ∈Z.。
高中数学(苏教版,必修四)课时作业与单元检测第一章三角函数(17份)第1章 章末检测(B)
第1章 三角函数(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则α＝________. 2．若sin x ·cos x <0，则角x 的终边位于第________象限．3．已知tan(－α－43π)＝－5，则tan(π3＋α)的值为________． 4．如果cos α＝15，且α是第四象限的角，那么cos(α＋π2)＝________. 5．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ＝________.6．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是________．7．已知函数y ＝2sin (ωx ＋φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω＝________.8．设θ是第二象限角，则点P (sin θ，cos θ)落在第________象限．9．将函数y ＝sin(x －θ)的图象F 向右平移π3个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线x ＝π4，则θ的所有可能取值的集合是________． 10．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点个数是______．11．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 按从小到大的顺序是________． 12.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.13．设定义在区间(0，π2)上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．14．给出下列命题：(1)函数y ＝sin |x |不是周期函数；(2)函数y ＝tan x 在定义域内为增函数；(3)函数y ＝|cos 2x ＋12|的最小正周期为π2； (4)函数y ＝4sin(2x ＋π3)，x ∈R 的一个对称中心为(－π6，0)． 其中正确命题的序号是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知α是第三象限角，f (α)＝sin (α－π2)cos (3π2＋α)tan (π－α)tan (－α－π)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若cos(α－32π)＝15，求f (α)的值．16．(14分)已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值． (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.17．(14分)已知sin α＋cos α＝15， 求：(1)sin α－cos α；(2)sin 3α＋cos 3α.18．(16分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图象，写出变换过程．19．(16分)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0≤φ≤π2)在x ∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x ＝π时，y max ＝3；当x ＝6π，y min ＝－3.(1)求出此函数的解析式；(2)求该函数的单调递增区间；(3)是否存在实数m ，满足不等式A sin(ω－m 2＋2m ＋3＋φ)>A sin(ω－m 2＋4＋φ)？若存在，求出m 的范围(或值)，若不存在，请说明理由．20．(16分)已知某海滨浴场海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t )(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？第1章 三角函数(B)1．420° 2.二或四 3.54.265解析 ∵α是第四象限的角且cos α＝15. ∴sin α＝ －1－cos 2α＝－265， ∴cos(α＋π2)＝－sin α＝265. 5．k π＋π2(k ∈Z ) 解析 若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f (0)＝cos φ＝0，∴φ＝k π＋π2，(k ∈Z )．6.310解析 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝2， ∴tan θ＝3.∴sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310. 7．2解析 由图象知2T ＝2π，T ＝π，∴2πω＝π，ω＝2. 8．四解析 由已知θ是第二象限角，∴sin θ>0，cos θ<0，则点P (sin θ，cos θ)落在第四象限．9．{θ|θ＝k π－7π12，k ∈Z } 解析 将y ＝sin(x －θ)向右平移π3个单位长度得到的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π3－θ＝sin(x －π3－θ)．其对称轴是x ＝π4，则π4－π3－θ＝k π＋π2(k ∈Z )． ∴θ＝－k π－7π12(k ∈Z )．即θ＝k π－712π，k ∈Z . 10．2解析 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋3π2＝sin x 2，x ∈[0,2π]，图象如图所示，直线y ＝12与该图象有两个交点．11．b <a <c解析 ∵a ＝sin 5π7＝sin(π－5π7)＝sin 2π7. 2π7－π4＝8π28－7π28>0. ∴π4<2π7<π2. 又α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，sin α>cos α.∴a ＝sin 2π7>cos 2π7＝b . 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α<tan α. ∴c ＝tan 2π7>sin 2π7＝a . ∴c >a .∴c >a >b .12．3解析 由函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象可知：T 2＝(－π3)－(－23π)＝π3，∴T ＝23π. ∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3. 13.23解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6cos x ，y ＝5tan x消去y 得6cos x ＝5tan x . 整理得6cos 2 x ＝5sin x,6sin 2x ＋5sin x －6＝0，(3sin x －2)(2sin x ＋3)＝0，所以sin x ＝23或sin x ＝－32(舍去)． 点P 2的纵坐标y 2＝23， 所以P 1P 2＝23. 14．(1)(4)解析 本题考查三角函数的图象与性质．(1)由于函数y ＝sin |x |是偶函数，作出y 轴右侧的图象，再关于y 轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；(2)错，正切函数在定义域内不单调，整个图象具有周期性，因此不单调；(3)由周期函数的定义f (x ＋π2)＝|－cos 2x ＋12|≠f (x )，∴π2不是函数的周期；(4)由于f (－π6)＝0，故根据对称中心的意义可知(－π6，0)是函数的一个对称中心，故只有(1)(4)是正确的．15．解 (1)f (α)＝sin (α－π2)cos (3π2＋α)tan (π－α)tan (－α－π)sin (－π－α)＝－sin (π2－α)sin α(－tan α)(－tan α)sin α＝cos αsin αtan α－tan αsin α＝－cos α.(2)∵cos(α－3π2)＝cos(3π2－α)＝－sin α＝15.∴sin α＝－15. ∵α是第三象限角，∴cos α＝－265. ∴f (α)＝－cos α＝265. 16．解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611， ∴4tan θ－23tan θ＋5＝611. 解得：tan θ＝2.(1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1. (2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15. 17．解 (1)由sin α＋cos α＝15，得2sin αcos α＝－2425， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925， ∴sin α－cos α＝±75. (2)sin 3α＋cos 3α＝(sin α＋cos α)(sin 2α－sin αcos α＋cos 2α)＝(sin α＋cos α)(1－sin αcos α)，由(1)知sin αcos α＝－1225且sin α＋cos α＝15， ∴sin 3α＋cos 3α＝15×⎝⎛⎭⎫1＋1225＝37125. 18．解 (1)由图象知A ＝2.f (x )的最小正周期T ＝4×(5π12－π6)＝π，故ω＝2πT ＝2. 将点(π6，2)代入f (x )的解析式得 sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π6， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)变换过程如下：19．解 (1)由题意得A ＝3，12T ＝5π⇒T ＝10π， ∴ω＝2πT ＝15.∴y ＝3sin(15x ＋φ)，由于点(π，3)在此函数图象上，则有3sin(π5＋φ)＝3，∵0≤φ≤π2，∴φ＝π2－π5＝3π10. ∴y ＝3sin(15x ＋3π10)． (2)当2k π－π2≤15x ＋3π10≤2k π＋π2时，即10k π－4π≤x ≤10k π＋π时，原函数单调递增． ∴原函数的单调递增区间为[10k π－4π，10k π＋π](k ∈Z )．(3)m 满足⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋2m ＋3≥0，－m 2＋4≥0， 解得－1≤m ≤2.∵－m 2＋2m ＋3＝－(m －1)2＋4≤4，∴0≤－m 2＋2m ＋3≤2，同理0≤－m 2＋4≤2.由(2)知函数在[－4π，π]上递增，若有： A sin(ω－m 2＋2m ＋3＋φ)>A sin(ω－m 2＋4＋φ)，只需要：－m 2＋2m ＋3>－m 2＋4，即m >12成立即可，所以存在m ∈(12，2]，使A sin(ω－m 2＋2m ＋3＋φ)>A sin(ω－m 2＋4＋φ)成立．20．解 (1)由表中数据知周期T ＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6， 由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5.由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0.∴A ＝0.5，b ＝1，∴y ＝12cos π6t ＋1. (2)由题知，当y >1时才可对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0，∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2， 即12k －3<t <12k ＋3.①∵0≤t ≤24，故可令①中k 分别为0,1,2，即0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24，∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9∶00至下午3∶00.。
苏教版2018-2019学年高一数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.1.2
学业分层测评(二) 弧度制(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．下列命题中，是假命题的序号为________．①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②1°的角是周角的，1 rad 的角是周角的；136012π③1 rad 的角比1°的角要大；④用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．【解析】 ①②③正确，④错误，角的大小与圆的半径无关．【答案】 ④2．下列各式正确的是________．①－270°＝－；②405°＝；3π29π4③335°＝；④705°＝.23π1247π12【解析】 －270°＝－270×＝－；π1803π2405°＝405×＝；π1809π4335°＝335×＝；π18067π36705°＝705×＝.故①②④正确．π18047π12【答案】 ①②④3．下列表示中不正确的是________．①终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }；②终边在y 轴上的角的集合是Error!；③终边在坐标轴上的角的集合是Error!；④终边在直线y ＝x 上的角的集合是αError!＋2k π，k ∈Z .【解析】 ④错误，终边在直线y ＝x 上的角的集合是Error!.【答案】 ④4．(2016·南通高一检测)如图1110所示，图中公路弯道处的弧长AB l ＝________(精确到1 m)．图1110【解析】 根据弧长公式，l ＝αr ＝×45≈47(m)．π3【答案】 47 m5．(2016·泰州高一检测)已知扇形的周长是6 cm ，面积为2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________．【解析】 设圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则Error!解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2，∴α＝＝1或4.lr 【答案】 1或46．已知角α的终边与的终边相同，在0,2π)内终边与角的终边相同的角π3α3为________. 【导学号：06460005】【解析】 由题意得α＝2k π＋(k ∈Z )，π3故＝＋(k ∈Z )，α32k π3π9又∵0≤<2π，所以当k ＝0,1,2时，α3有＝，π，π满足题意．α3π979139【答案】 ，π，ππ9791397．(2016·扬州高一检测)如图1111，已知圆的半径为5，圆内阴影部分的面积是________．图1111【解析】 ∵40°＝40×＝，30°＝30×＝，π1802π9π180π6∴S ＝r 2·＋r 2·＝.122π912π6175π36【答案】 175π368．(2016·镇江高一检测)圆弧长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长，则圆弧所对圆心角的弧度数为________．【解析】 设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为R ，弧长等3于R 的圆心角的弧度数为α＝＝.33RR 3【答案】3二、解答题9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β(k ∈Z ，β∈0,2π))的形式．(2)θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．求θ.【解】 (1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋π.109(2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋π，k ∈Z ，109又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋π＝π.10946910．如图1112所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合．图1112【解】 (1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成．故满足条件的角的集合为Error!.(2)若将终边为OA 的一个角改写为－，此时阴影部分可以看成是OA 逆时π6针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为αError!＋2k π，k ∈Z .(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，所以满足条件的角的集合为Error!.(4)与第(3)小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分，所以满足条件的角的集合为Error!.能力提升]1．(2016·泰州高一检测)已知某上午第一节课的上课时间是8点，那么，当第一节课铃声响起时，时钟的时针、分针把整个时钟圆弧分成的劣弧所对的圆心角是________．【解析】 8点时，时钟的时针正好指向8，分针正好指向12，由于时钟的每两个数字之间的圆心角是30°，即，故此时时针、分针把整个时钟圆弧分π6成的劣弧所对的圆心角是×4＝.π62π3【答案】 2π32．若角α的终边与的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则π6α＝________.【解析】 与α终边相同的角的集合为αError!.∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2k π＋＜4π，π3化简得：－＜k ＜，∵k ∈Z ，∴k ＝－2，－1,0,1，136116∴α＝－π，－π，，π.11353π373【答案】 －π，－π，，π11353π3733．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________.【解析】 如图所示，∴A ∩B ＝－4，－π]∪0，π]．【答案】 －4，－π]∪0，π]4．用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？【解】 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝·l ·r ＝(30－2r )·r1212＝－r 2＋15r ＝－2＋.(r －152)2254又∵r ＞0，且l ＝30－2r ＞0，∴0＜r ＜15，∴当半径r ＝cm 时，l ＝30－2×＝15(cm)，扇形面积的最大值是1521522254cm 2，这时α＝＝2 rad ，l r ∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为 cm 时，面积最大，最大面积为 1522254cm 2.。
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.1.1 Word版含解析
学业分层测评(一) 任意角(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．与405°终边相同的角的集合为________．【解析】与405°角终边相同的角，可表示为k·360°＋45°，k∈Z.【答案】{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}2．(2016·如东高一检测)下面各组角中，终边相同的有________．(填序号)①390°，690°；②－330°，750°；③480°，－420°；④3 000°，－840°.【解析】－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，均与30°角终边相同．【答案】②3．在－390°，－885°，1 351°，2 016°这四个角中，其中第四象限内的角有________. 【导学号：06460002】【解析】－390°＝－360°－30°，显然终边落在第四象限；－885°＝－720°－165°，其角的终边落在第三象限；1 351°＝1 080°＋271°，其角的终边落在第四象限；2 016°＝2 160°－144°，其角的终边落在第三象限，故满足题意的角有－390°，1 351°.【答案】－390°，1 351°4．(2016·泰州高一检测)下列命题正确的是________(填序号)．①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③第四象限角一定是负角；④钝角比第三象限角小．【解析】 只有②正确．对于①，如A ＝90°不在任何象限；对于③，如330°在第四象限但不是负角；对于④，钝角不一定比第三象限角小．【答案】 ②5．(2016·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．【解析】 与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝k ·360°－3 000°，k ∈Z }，与θ终边相同的最小正角是当k ＝9时，θ＝9×360°－3 000°＝240°，所以与α终边相同的最小正角为240°.【答案】 240°6．(2016·宿迁高一检测)若角α的终边与240°角的终边相同，则α2的终边在第________象限．【解析】 角α满足的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，故有⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2⎪⎪⎪ α2＝k ·180°＋120°，k ∈Z ， ∴α2终边落在第二象限或第四象限．【答案】 二或四7．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角．【解析】如图所示，α是第四象限角，则－α是第一象限角，∴180°－α是第三象限角．【答案】三8．已知α是第二象限角，且7α与2α的终边相同，则α＝________.【解析】7α＝k·360°＋2α(k∈Z)，∴α＝k·72°，又α为第二象限角，∴在0°～360°内符合条件的角为144°，故α＝k·360°＋144°(k∈Z)．【答案】α＝k·360°＋144°(k∈Z)二、解答题9．(2016·无锡高一检测)将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.【解】(1)420°＝360°＋60°，而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．(2)－510°＝－2×360°＋210°，而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．(3)1 020°＝2×360°＋300°，而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．10．写出终边在如图115所示阴影部分(包括边界)的角的集合．图115【解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．(2){α|k·360°－210°≤α≤k·360°＋30°，k∈Z}．能力提升]1．下列说法中正确的是________．(填序号)①120°角与420°角的终边相同；②若α是锐角，则2α是第二象限的角；③－240°角与480°角都是第三象限的角；④60°角与－420°角的终边关于x轴对称．【解析】对于①，420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角终边相同，所以①不正确；对于②，α＝30°角是锐角，而2α＝60°角也是锐角，所以②不正确；对于③，480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以③不正确；对于④，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角终边关于x 轴对称，故④正确．【答案】④2．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是________．图116【解析】令k＝0得，45°≤α≤90°，排除②④，令k＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除①.故填③.【答案】③3．已知集合M＝{第一象限角}，N＝{锐角}，P＝{小于90°的角}，则以下关系式你认为正确的是________(填序号)．①M P；②M∩P＝N；③N∪P⊆P.【解析】对于①：390°是第一象限角，但390°>90°.对于②：－330°是第一象限角且－330°<90°，但－330°不是锐角．对于③：锐角一定小于90°，所以N P，故N∪P⊆P.【答案】③4．若α是第一象限角，问－α，2α，α3是第几象限角？【解】∵α是第一象限角，∴k·360°＜α＜k·360°＋90°(k∈Z)．(1)－k·360°－90°＜－α＜－k·360°(k∈Z)，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．(2)2k ·360°＜2α＜2k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二 象限角或终边在y 轴的非负半轴上．(3)k ·120°＜α3＜k ·120°＋30°(k ∈Z )．法一：(分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，n ·360°＜α3＜n ·360°＋30°(n ∈Z )， ∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°＜α3＜n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3是第二象限角； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°＜α3＜n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3是第三象限角． 综上可知：α3是第一、二或第三象限角．法二：(几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的非负半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3终边所落在的区域，故α3为第一、二或第三象限角.。
苏教版高中数学必修四学同步训练三角函数一Word含答案
1.2.2 同角三角函数关系(一)一、填空题1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α＝______. 2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝________. 3．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 4．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝____. 5．已知tan α＝－12，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是______． 6．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ＝________. 7．已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则tan α＝______. 8．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝________.二、解答题9．已知sin α＝m (|m |<1且m ≠0)，求tan α的值．10．已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值． (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.11．已知sin α－cos α＝－55，π<α<3π2，求tan α的值． 三、探究与拓展12．已知sin θ、cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根(a ∈R )．(1)求sin 3θ＋cos 3θ的值；(2)求tan θ＋1tan θ的值．答案1．－43 2.－35 3.－255 4.－32 5.－13 6.23 7．－43 8.459．解 ∵sin α＝m (m ≠0，m ≠±1)， ∴cos α＝±1－sin 2α＝±1－m 2(当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号)．∴当α为第一、四象限角时，tan α＝m 1－m 2； 当α为第二、三象限角时，tan α＝－m 1－m 2. 10．解 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611， ∴4tan θ－23tan θ＋5＝611. 解得：tan θ＝2.(1)原式＝5tan 2θ＋2tan θ－3＝55＝1. (2)原式＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θ＝sin 2θ－4sin θcos θ＋3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ－4tan θ＋31＋tan 2θ＝－15. 11．解 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos α＝－55sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得 5cos 2α－5cos α－2＝0.∴cos α＝255或cos α＝－55. ∵π<α<3π2，∴cos α<0. ∴cos α＝－55，∴sin α＝－25 5. ∴tan α＝sin αcos α＝－255－55＝2. 12．解 (1)由根与系数的关系知：sin θ＋cos θ＝a ，sin θ·cos θ＝a .∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴a 2＝1＋2a .解得：a ＝1－2，a ＝1＋2(舍)．∴sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(sin θ＋cos θ)(1－sin θcos θ)＝a(1－a)＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin2θ＋cos2θsin θcos θ＝1sin θcos θ＝1a＝11－2＝－1－ 2.。
苏教版高中数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.2.2 Word版含解析
学业分层测评(四) 同角三角函数关系(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．(2016·南通高一检测)若sin θ＝－35，tan θ＜0，则cos θ＝________. 【解析】 ∵sin θ＝－35＜0，tan θ＜0，∴θ为第四象限角，∴cos θ＝1－sin 2θ ＝45. 【答案】 452．化简：(1＋tan 2α)·cos 2α＝________.【解析】 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋sin 2αcos 2α·cos 2α＝cos 2α＋sin 2α＝1. 【答案】 13．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α＝________. 【解析】 ∵sin α＝55， ∴sin 4α－cos 4α＝(sin 2α－cos 2α)(sin 2α＋cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1 ＝－35. 【答案】 －354．已知α是第二象限角，tan α＝－12，则cos α＝________. 【导学号：06460011】【解析】 ∵tan α＝sin αcos α＝－12，∴cos α＝－2sin α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴54cos 2α＝1， 又α为第二象限角，∴cos α＜0， ∴cos α＝－255. 【答案】 －255 5．(2016·扬州高一检测)化简：1－cos 2 4＝________.【解析】 1－cos 2 4＝sin 2 4＝|sin 4|，∵π<4<3π2，∴sin 4<0，∴|sin 4|＝－sin 4. 【答案】 －sin 46．(2016·泰州高一检测)已知cos x sin x －1＝12，则1＋sin x cos x等于________． 【解析】 由1－sin 2x ＝cos 2x ，可得1＋sin xcos x＝－cos xsin x－1＝－12.【答案】－1 27．若sin α＋cos α＝2，则tan α＋1tan α的值为________．【解析】tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α.又sin α＋cos α＝2，∴sin αcos α＝1 2，∴tan α＋1tan α＝2.【答案】 28．已知0<α<π，sin α·cos α＝－60169，则sin α－cos α的值等于________．【解析】∵sin α·cos α<0,0<α<π，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0，∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝289 169，∴sin α－cos α＝17 13 .【答案】17 13二、解答题9．已知tan x＝2，求：(1)cos x＋sin xcos x－sin x的值；(2)23sin2x＋14cos2x的值．【解】(1)cos x＋sin xcos x－sin x＝1＋tan x1－tan x＝1＋21－2＝－3.(2)23sin2x＋14cos2x＝23sin2x＋14cos2xsin2x＋cos2x＝23tan2x＋14tan2x＋1＝23×4＋144＋1＝712.10．已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 【证明】因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2，所以sin2αcos2α＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin2βcos2β＋1，所以1cos2α＝2cos2β，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1.能力提升]1．(2016·无锡高一检测)若角α的终边在直线x＋y＝0上，则sin α1－cos2α＋1－sin2αcos α＝________.【解析】∵sin α1－cos2α＋1－sin2αcos α＝sin α|sin α|＋|cos α|cos α. 又角α的终边落在x＋y＝0上，故角α的终边在第二、四象限．当α在第二象限时，原式＝sin αsin α＋－cos αcos α＝0， 当α在第四象限时，原式＝sin α－sin α＋cos αcos α＝0. 【答案】 02．(2016·常州高一检测)化简：1－2sin 20°cos 20°sin 20°－1－sin 2 20°＝________. 【解析】 原式＝－2sin 20°－cos 2 20°＝|sin 20°－cos 20°|sin 20°－|cos 20°|＝cos 20°－sin 20°sin 20°－cos 20°＝－1. 【答案】 －13．若A ∈(0，π)，且sin A ＋cos A ＝713，则5sin A ＋4cos A 15sin A －7cos A＝________. 【解析】 (sin A ＋cos A )2＝49169，∴1＋2sin A cos A ＝49169，∴2sin A cos A ＝－120169<0， ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，cos A <0，∴(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝289169，∴sin A －cos A ＝1713， ∴sin A ＝1213，cos A ＝－513，故5sin A ＋4cos A 15sin A －7cos A ＝843. 【答案】 8434．已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋2m＝0的两根为sin θ和cos θ(θ∈(0，π))，求：(1)m的值．(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ的值⎝⎛⎭⎪⎫其中cot θ＝1tan θ.(3)方程的两根及此时θ的值．【解】(1)由根与系数的关系可知，sin θ＋cos θ＝3＋12，①sin θ·cos θ＝m.②将①式平方得1＋2sin θ·cos θ＝2＋32，所以sin θ·cos θ＝3 4，代入②得m＝3 4.(2)sin θ1－cot θ＋cos θ1－tan θ＝sin2θsin θ－cos θ＋cos2θcos θ－sin θ＝sin2θ－cos2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12.(3)因为已求得m＝34，所以原方程化为2x2－(3＋1)x＋32＝0，解得x1＝32，x2＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32. 又因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3或π6.。
高中数学 第一章 三角函数章末检测(A)(含解析)苏教版必修4(2021年整理)
高中数学第一章三角函数章末检测（A）（含解析）苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数章末检测（A）（含解析）苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第1章三角函数（A）(时间：120分钟满分：160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分,共70分)1．sin 600°＋tan 240°的值是________．2．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________cm。
3．已知点P错误!落在角θ的终边上，且θ∈［0,2π），则θ的值为________．4．已知tan α＝错误!,α∈错误!,则cos α的值是________．5．已知sin（2π－α）＝错误!，α∈(错误!，2π)，则错误!＝________。
6．已知a是实数，则函数f（x)＝1＋a sin ax的图象可能是________．（填图象对应的序号)7．为了得到函数y＝sin错误!的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象向________平移______个单位长度得到．（答案不唯一)8．若点P（sin α－cos α，tan α）在第一象限，则在［0，2π)内α的取值范围是________．9．方程sin πx＝错误!x的解的个数是________．10．已知函数f(x）＝2sin（ωx＋φ)的图象如图所示，则f(错误!）＝________。
11．已知函数y＝sin错误!在区间［0,t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．12．已知函数y＝2sin(ωx＋θ）（0〈θ<π)为偶函数,其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2，若｜x2－x1｜的最小值为π，则ω＝________，θ＝________。
苏教版2018-2019学年高一数学必修4学业分层测评：第一章 三角函数1.3.3.1
学业分层测评(十一) 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为________．【解析】 y ＝cos x ―――――――――→横坐标变为原来的2倍y ＝cos 12x .【答案】 122．将y ＝cos 2x 的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为________．【解析】 y ＝cos 2x →y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3.【答案】 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π33．将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3向右平移________个单位长度得到y ＝sin x 的图象．【解析】 y ＝sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象变换为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2的图象应向右平移π6个单位．【答案】 π64．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________．【解析】 y ＝sin 2xy ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ―――→向上平移1个单位y ＝cos 2x ＋1.【答案】 y ＝cos 2x ＋1 5．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象； ③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象； ④函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是________(将所有正确结论的序号都填上)． 【解析】 由图象平移变换可知①③正确． 【答案】 ①③6．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)在一个周期内的简图时，五个关键点是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫712π，－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0，则ω＝________.【解析】 周期T ＝5π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π，∴2πω＝π，ω＝2.【答案】 27．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6的相位和初相分别是________．【解析】 y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π6化为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6，相位x ＋5π6，初相5π6. 【答案】 x ＋5π6，5π68．(2016·南京高一检测)设ω>0，函数y ＝sin ωx ＋π3＋2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值为________．【解析】 由题意知4π3是函数周期的整数倍，又ω>0， ∴2πω·k ＝43π，∴ω＝32k (k ∈Z )，∴ω的最小值为32. 【答案】 32 二、解答题9．用“五点法”画函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的图象.【导学号：06460032】【解】 ①列表：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0. ③连线：用光滑曲线将所描五个点顺次连接起来，得函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6的简图，如图所示．10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x (x ∈R )．(1)求f (x )的单调减区间．(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可) 【解】 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 解得k π－π12≤x ≤k π＋512π(k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )．(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12.∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称， ∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度即可．[能力提升]1．将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，再向上平移1个单位长度得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象，则f (x )＝________.【解析】 将y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4的图象向左平移π3个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π4＝2sin4x ＋13π12的图象，再向下平移一个单位长度，得函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1的图象，即f (x )＝2sin4x ＋13π12－1.【答案】 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋13π12－1 2．某同学用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)在一个周期内简图时，列表如下：则A ＝【解析】 由表格得A ＝2，34π－π12＝2πω， ∴ω＝3，∴ωx ＋φ＝3x ＋φ.当x ＝π12时，3x ＋φ＝π4＋φ＝0，∴φ＝－π4. 【答案】 2 3 －π43．要得到函数y ＝2cos x 的图象，只需将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4图象上的所有点的________．①横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度； ②横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度； ③横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度； ④横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度． 【解析】 y ＝2cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2.法一：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin 2(x ＋π8)y ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2――――→横坐标缩短为原来的12y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2. 法二：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4―――――→横坐标缩短为原来的12y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2.【答案】 ②4．已知f (x )＝2sin 2x ，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．【解】 f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.g (x )＝0⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝－12⇒ x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。
第1章三角函数练习测试(苏教版必修4)
三角函数练习（一）一、选择题 学号 姓名1、α=6，则α的终边在 （ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2、把角187π-化成2k απ+的形式，其中02,k Z απ≤<∈，正确的是 （ ） A 117ππ-- B 427ππ-- C 337ππ-+ D 1047ππ-+ 3、角α的终边过P （4a ，—3a ）（a<0），则下列结论正确的是 （ ） A 3sin 5α= B 4cos 5α= C 4tan 3α=- D 3tan 4α= 4、若5sin 13θ=，12tan 5θ=-，则θ的终边在 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限5、f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x+5）=f （x ），f （17）=5，则f （—2）= （ ）A 5B —5C 0D 1/56、函数sin y x =（233x ππ≤≤）的值域为 （ ）A [—1，1]B 1[,1]2C 13[,]22D 3[,1]27、要得到函数3sin(2)4y x π=+的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象 （ ） A 向左平移4π个单位 B 向右平移4π个单位C 向左平移8π个单位D 向右平移8π个单位 8、已知α为锐角，则 （ ）A sin tan ααα<<B sin tan ααα<<C tan sin ααα<<D tan sin ααα<<9、若βα,的终边关于y 轴对称，则必有 （ ）A Z k k ∈+=+,)12(πβαB 2πβα=+ C Z k k ∈=+,2πβα DZ k k ∈+=+,22ππβα 10、化简cos()sin()cos()sin()22απππααπα--+-得 （ ） A 1 B —1 C 2cos α D 2cos α- 二、填空题 11、与1680°角终边相同的最大负角是12、已知扇形的周长为10cm ，圆心角为3rad ，则该扇形的面积为13、用集合表示终边在第三象限的角β14、若函数(sin()5f x kx π=+）的最小正周期为23π，则正数k= 15、计算 sin 34π cos 625πtan(43π-) 三、解答题16、（1）已知1sin()45x π-=，求3sin()4x π-的值（2）已知12cos 13α=，且α为第四象限角，求sin α和tan α的值 （3）已知tan α=2，求sin cos sin cos αααα+-、sin cos αα⋅的值17、已知函数3sin(2)4y x π=+（1）用“五点法”画该函数在一个周期的图象（2）求该函数的递增区间（3）求该函数的最小值，并给出此时x 的取值集合（4）该函数的图象可通过怎样的变换得到sin y x =的图象？高一数学练习（答案）一、选择题1、α=6，则α的终边在 （ D ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2、把角187π-化成2k απ+的形式，其中02,k Z απ≤<∈，正确的是 （ D ） A 117ππ-- B 427ππ-- C 337ππ-+ D 1047ππ-+ 3、角α的终边过P （4a ，—3a ）（a<0），则下列结论正确的是 （ A ） A 3sin 5α= B 4cos 5α= C 4tan 3α=- D 3tan 4α= 4、若5sin 13θ=，12tan 5θ=-，则θ的终边在 （ B ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限5、f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x+5）=f （x ），f （17）=5，则f （—2）= （ B ）A 5B —5C 0D 1/56、函数sin y x =（233x ππ≤≤）的值域为 （ D ）A [—1，1]B 1[,1]2C 13[,]22D 3[,1]27、要得到函数3sin(2)4y x π=+的图象，只需将函数3sin 2y x =的图象 （ C ） A 向左平移4π个单位 B 向右平移4π个单位C 向左平移8π个单位D 向右平移8π个单位 8、已知α为锐角，则 （ B ）A sin tan ααα<<B sin tan ααα<<C tan sin ααα<<D tan sin ααα<<9、若βα,的终边关于y 轴对称，则必有 （ A ）A Z k k ∈+=+,)12(πβαB 2πβα=+ C Z k k ∈=+,2πβα DZ k k ∈+=+,22ππβα 10、化简cos()sin()cos()sin()22απππααπα--+-得 （ D ） A 1 B —1 C 2cos α D 2cos α- 二、填空题11、与1680°角终边相同的最大负角是 —120° 12、已知扇形的周长为10cm ，圆心角为3rad ，则该扇形的面积为 6cm 213、用集合表示终边在第三象限的角β 3{|22,}2k k k Z πβππβπ+<<+∈ 14、若函数(sin()5f x kx π=+）的频率为3π，则正数k= 6 15、计算 sin 34π cos 625πtan(43π-) —3/4 三、解答题16、（1）已知1cos()45x π-=，求3cos()4x π+的值 （2）已知1cos 3α=，且α为第四象限角，求sin α和tan α的值（3）已知tan α=2，求sin cos sin cos αααα+-、sin cos αα⋅的值 （1）—1/5 （2）22\223-- （3）3、2/517、已知函数3sin(2)4y x π=+（1）用“五点法”画该函数在一个周期的图象（2）求该函数的最小值，并给出此时x 的取值集合（3）求该函数的递增区间（4）该函数的图象可通过怎样的变换得到sin y x =的图象？(1) 略(2) min 3y =-，此时3{|,}8x x k k Z ππ=-+∈ (3) 3[,]88k k k Z ππππ-++∈ （4）把y=sinx 的图象横坐标变到原来的1/2倍（纵坐标不变），得到sin 2y x =的图象。
江苏省大丰市高中数学 第一章 三角函数综合检测 苏教版必修4
三角函数综合检测1．C 已知函数()=cos sin 2f x x x ，下列结论中错误的是（ ）.A. ()y f x =的图象关于()π,0中心对称B. ()y f x =的图象关于直线π2x =对称 C. ()f x 的最大值为1D. ()f x 既是奇函数，又是周期函数2．C 已知函数π()sin()2k f x x =+，()1ππ,,22Z k k x k +⎡⎫∈∈⎪⎢⎣⎭，①函数()f x 周期为2π；②函数()f x 值域为[]1,1-；③函数()f x 为奇函数；④函数()f x 与10x y =有7个交点. 其中正确命题的个数有（ ）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个3．A 使sin cos x x >成立的x 的一个变化区间是（ ）. A. (,)44ππ- B. (,0)43π- C. ()43π-π,- D. (,)22π3π 4．A 函数cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）.5．B 已知α=3π-，β=3π4，角θ为第三象限角.(1)写出与角β终边相同的角γ的集合： ；(2)sin γ= ；(3)若角θ的终边经过点(1)P -，则cos θ= ；(4)若sin θ=45-，则tan θ= ； (5)若tan θ= 4，则2sin 3cos 4cos 5sin θθθθ-=- ； (6)若cos cos 22θθ=-，则角2θ是第______象限角； (7)若1sin cos 8θθ⋅=，且5ππ4θ<<，则cos sin θθ-= . 6．B 已知角α= 4，请在下图中画出角α的正弦线、余弦线和正切线，并标注相应字母. 如图，则：(1)cos α=_________；(用正确的数学符号填空)(2)tan α=__________. (用正确的数学符号填空)7．B 计算 (1)7πsin()3-=_________; (2)19cos6π= _________; (3)11π8π7πsin cos tan 634++= _________; (4)22ππsin ()sin ()36αα-++= _________. 8．B 已知函数π()2sin(2)3f x x =-. (1)该函数的周期为__________;(2)在坐标系中作出(五点法)()f x 一个周期上的简图;(3)写出()f x 在区间[0,2π]内的单调减区间_________;(4)将函数y =2sin2x 的图象向______移动_______个单位可以得到函数()f x 的图象；(5)若3π[,2π]2x ∈，函数()f x 的最大值为M ，最小值为N ，则M -N = . 9．B 利用公式sin (α+β) =sin αcos β+cos αsin β，求(1)函数sin y x x =+的值域；(2)函数2sin 3cos y x x =+的值域.10．C 不等式2cos 2sin 220m m θθ+--<对一切[0,]2πθ∈成立，求实数m 的取值范围.11．C 若(0,)2ϕπ∈，则下列叙述一定正确的是( )A. sin(sin )cos cos(cos )ϕϕϕ<<B. sin(sin )cos cos(cos )ϕϕϕ>>C. sin(cos )cos cos(sin )ϕϕϕ>>D.sin(cos )cos cos(sin )ϕϕϕ<<12．C 已知函数π()s i n 2f x x =，任取R t ∈，定义集合：{|()t A y y f x ==，点(,()),(,()P t f t Q x f x满足||PQ ≤. 设, t t M m 分别表示集合t A 中元素的最大值和最小值，记()t t h t M m =-. 则①函数()h t 的最大值是_____；②函数()h t 的单调递增区间为________.13．C 求函数y =的值域.。
苏教版数学高一必修四练习第一章《三角函数》质量评估
章末质量评估(一)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知角α的终边在射线y ＝－34x (x >0)上，则2sin α＋cos α的值是________． 解析 由题知，角α在第四象限，且tan α＝－34 ∴sin αsin α＝－34，又sin 2α＋cos 2α＝1， 解得sin α＝－35，cos α＝45， ∴2sin α＋cos α＝－25. 答案 －252．如果点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是__________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ·cos θ<02cos θ<0知sin θ>0，且cos θ<0，∴θ是第二象限角． 答案 第二象限3．函数y ＝12sin 2x 的最小正周期T ＝________. 解析 由周期公式得T ＝2πω＝2π2＝π. 答案 π4．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α＝________.解析 由sin(2π－α)＝－sin α＝45 ∴sin α＝－45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，∴cos α＝35，∴sin α＋cos αsin α－cos α＝－45＋35－45－35＝17. 答案 175．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象向右平移π3个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的13，所得函数的解析式为________．解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4向右平移π3个单位得y ＝sin3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4－π即y ＝－sin3x －π4，再将横坐标缩短为原来的13，得y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x －π4.答案 y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x －π46．函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的最小值为________． 解析 y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322－14，又cos x ∈，∴当cos x ＝1时，y min ＝0. 答案 07．函数y ＝lg(cos x －sin x )的定义域是________．解析 由cos x >sin x ，结合图象知2k π－34π<x <2k π＋π4，k ∈Z . 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π4，2k π＋π4k ∈Z 8．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.解析 由图象知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的周期为T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－3π4＝5π2，所以2πω＝5π2，得到ω＝45.所以y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫45x ＋φ，从图中可知，点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，－1是“五点法”中的第四点，所以45×3π4＋φ＝3π2，解得φ＝9π10.答案 9π109．关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下说法： (1)对任意的φ，f (x )既不是奇函数也不是偶函数； (2)不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数； (3)存在φ，使f (x )是奇函数； (4)对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中不正确的说法的序号是________．因为当φ＝________时，该说法的结论不成立．答案 ① k π10．若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)为奇函数，则φ的取值集合是________．解析 由f (0)＝0，得sin φ＝0，φ＝k π，k ∈Z . 答案 {φ|φ＝k π，k ∈Z }11．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π3 (n ∈Z ) .其中与sin π3数值相同的是________．解析①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π3(n 为奇数)，－sin π3(n 为偶数)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π6＝cos 5π6＝－sin π3；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－π3＝sin π3，故②③⑤正确．答案 ②③⑤12．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π的最小值是________．解析 x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，则 x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2当x －π6＝π2时，即当x ＝23π时，y min ＝0. 答案 013．已知函数f (x )＝πsin x4，如果存在实数x 1、x 2，使得对任意的实数x ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是________．解析 f (x )＝πsin x4，则当x 2＝8k π＋2π时，f (x )max ＝π； 当x 1＝8k π－2π时，f (x )min ＝－π； ∴|x 1－x 2|min ＝4π. 答案 4π14．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象的最大值为3，对称轴是直线x ＝π6.要使图象的解析式为y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，下列给出的条件中________都适合．①周期T ＝π；②图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32；③图象与x 轴的两个相邻交点的距离为π2；④图象的对称中心到最近的对称轴的距离为π2.解析 将所给的四个条件进行检验，①②③符合条件；④不符合条件． 答案 ①②③二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(本小题满分14分)已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α；(2)sin2α＋sin αcos α＋2.解由已知得tan α＝1 2，(1)sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝12－312＋1＝－53.(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sin αcos α＋2(cos2α＋sin2α)＝3sin2α＋sin αcosα＋2cos2αsin2α＋cos2α＝3tan2α＋tan α＋2tan2α＋1＝3×⎝⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝⎛⎭⎪⎫122＋1＝135.16．(本小题满分14分)化简：sin(kπ－α)·cos[(k－1)π－α]cos [(k＋1)π＋α]·cos(kπ＋α)(k∈Z)．解对参数k分为奇数、偶数讨论．当k＝2n＋1(n∈Z)时，原式＝sin(2nπ＋π－α)·cos(2nπ－α) sin(2nπ＋2π＋α)·cos(2nπ＋π＋α)＝sin(π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α·(－cos α)＝－1；当k＝2n(n∈Z)时，原式＝sin(2nπ－α)·cos(2nπ－π－α) sin(2nπ＋π＋α)·cos(2nπ＋α)＝－sin α·(－cos α)－sin α·cos α＝－1；所以sin(kπ－α)·cos[(k－1)π－α]sin[(k＋1)π＋α]·cos(kπ＋α)＝－1.17．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，求f (x )的最值．解 (1)由函数f (x )图象上的一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，得A ＝2.由周期T ＝π，得ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上，得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，所以4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以φ＝π6.所以函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，函数f (x )取得最小值1；当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，函数f (x )取得最大值 3.18．(本小题满分16分)已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两实根，且3π<α<72π，求cos(3π－α)－sin(π＋α)的值．解 由已知得tan α·1tan α＝k 2－3＝1，所以k ＝±2.又3π<α<72π， 所以tan α>0，1tan α>0，于是tan α＋1tan α＝k >0， 从而k ＝2(k ＝－2应舍去)．进而由tan α·1tan α＝1及tan α＋1tan α＝2 可得tan α＝1tan α＝1. 所以sin α＝cos α＝－22.故cos(3π－α)－sin(π＋α)＝－cos α＋sin α＝0.19．(本小题满分16分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的一段图象如右图所示．(1)求函数f 1(x )的解析式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图象向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图象，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合．解 (1)由图象知A ＝2，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π，∴ω＝2，∴f 1(x )＝2sin(2x ＋φ)．又当x ＝－π6时，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝0，即φ＝π3，∴f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(2)由题意f 2(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.当2x －π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )时，f 2(x )取得最大值2，此时x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z20．(本小题满分16分)如右图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)x ∈R ，ω>0，0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点()0，3，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解 (1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋θ)中， 得cos θ＝32，因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6.由已知T ＝π，且ω>0，得ω＝2πT ＝2ππ＝2. (2)因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 的中点，y 0＝32，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3.又因为点P 在y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6，从而得4x 0－5π6＝11π6，或4x 0－5π6＝13π6，即x 0＝2π3， 或x 0＝3π4.。
高中数学 1.2.1任意角的三角函数的定义及应用练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题
1．2 任意角的三角函数1．2.1 任意角的三角函数的定义及应用在初中我们已经学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量、边的比值为函数值的三角函数．你能用平面直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？改变终边上的点的位置，这个比值会改变吗？把角扩充为任意角，结论成立吗？一、任意角的三角函数1．单位圆：在平面直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为________．2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合．在平面直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一点P (x ，y )，则r ＝|OP |＝1.那么：(1)y 叫做________，记作sin α，即y ＝sin α； (2)x 叫做________，记作cos α，即x ＝cos α； (3)y x 叫做________，记作tan α，即y x＝tan α(x ≠0)．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为________．答案：1.单位圆2．(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切 三角函数二、三角函数值在各个象限内的符号1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符号，可以确定三角函数在各象限的符号．sin α＝y r，其中r >0，于是sin α的符号与y 的符号相同，即：当α是第________象限角时，sin α>0；当α是第________象限角时，sin α<0.cos α＝x r，其中r >0，于是cos α的符号与x 的符号相同，即：当α是第__________象限角时，cos α>0；当α是第________象限角时，cos α<0.tan α＝y x，当x 与y 同号时，它们的比值为正，当x 与y 异号时，它们的比值为负，即：当α是第________象限角时，tan α>0；当α是第 ________象限角时，tan α<0.2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：“sin α＝yr ：上正下负横为0；cos α＝x r ：左负右正纵为0；tan α＝y x：交叉正负．” 形象的识记口诀2：“一全正、二正弦、三正切、四余弦．” 答案：1.一、二 三、四 一、四 二、三 一、三 二、四三、诱导公式一由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________，这样就有下面的一组公式(诱导公式一)：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α，k ∈Z. 答案：相等四、三角函数线1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点)的线段，它是________、 ________的．在平面直角坐标系中，和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负．2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三角函数值的________，有向线段的________表示三角函数值的绝对值的________．三角函数线的作法如下：设角α的终边与单位圆的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有向线段MP ，OM 就分别是角α的正弦线与余弦线，即MP ＝y ＝sin α，OM ＝x ＝cos α.过点A (1，0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T ，则有向线段AT 就是角α的正切线，即AT ＝tan α.3．填写下表中三角函数的定义域、值域：函数定义域值域 y ＝sin α y ＝cos α y ＝tan α答案：1.有长度 有正负 2.方向 正负 长度 大小 3.函 数定 义 域值 域 y ＝sin α R [－1，1] y ＝cos α R[－1，1]y ＝tan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α≠π2＋k π，k ∈ZR任意角的三角函数的定义1．正弦、余弦、正切可分别看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．2．三角函数值是比值，是一个实数．这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，而是由角α的终边位置所决定．对于确定的角α，其终边的位置也是唯一确定的．因此，三角函数是角的函数．(1)三角函数值只与角α的终边所在的位置有关，与点P 在终边上的位置无关． (2)三角函数值是一个比值，没有单位．三角函数值的符号三角函数值在各象限的符号取决于终边所在的位置，具体说取决于x，y的符号，记忆时结合三角函数定义式记，也可用口诀只记正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三角函数线对于三角函数线，须明确以下几点：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点．(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆．(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点．(5)三种有向线段的正负与坐标轴正负方向一致，三种有向线段的长度与三种三角函数值相同．三角函数的定义域1．由三角函数的定义式可以知道，无论角α终边落在哪里，sin α，cos α都有唯一的值与之对应，但对正切则要求α终边不能落在y轴上，否则正切将无意义．2．角和实数建立了一一对应关系，三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数，所以就可以借助单位圆，利用终边相同的角的概念求出任意角的三角函数．基础巩固1．sin 810°＋tan 765°＋tan 1125°＋cos 360°＝________．答案：42．若α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为________．答案：－3 23．若角α的终边过点P (3cos θ，－4cos θ)(θ为第二象限角)，则sin α＝________．答案：454．cos θ·tan θ＜0，则角θ是________象限角． 答案：第三或第四5．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 答案：二6．角α的正弦线与余弦线长度相等，且符号相同，那么α(0＜α＜2π)的值为________．答案：π4或54π7．sin 1，sin 1.2，sin 1.5三者的大小关系是________． 答案：sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1能力升级8．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤0，即角x 的终边落在第二象限内和两个半轴上．∴2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z)9．已知角α的终边在直线y ＝kx 上，若sin α＝－255，cos α<0，则k ＝________．解析：∵sin α＝－255，cos α<0，∴α的终边在第三象限．令角α的终边上一点的坐标为(a ，ka )，a <0，则r ＝－1＋k 2·a ，sin α＝－ka 1＋k 2a＝－255，∴k ＝2. 答案：210．在(0，2π)内，满足tan 2α＝－tan α的α的取值X 围是________． 解析：由tan 2α＝－tan α，知tan α≤0，在单位圆中作出角α的正切线，知π2＜α≤π或3π2＜α＜2π. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π11．解不等式2＋2cos x ≥0. 解析：2＋2cos x ≥0⇔cos x ≥－22，利用单位圆，借助三角函数线(如图)可得出解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－34π，2k π＋34π(k ∈Z)．12．若π4＜θ＜π2，则下列不等式中成立的是( )A ．sin θ＞cos θ＞tan θB ．cos θ＞tan θ＞sin θC ．sin θ＞tan θ＞cos θD ．tan θ＞sin θ＞cos θ解析：作出角θ的三角函数线(如图)，数形结合得AT ＞MP ＞OM ，即tan θ>sin θ>cosθ.答案：D13．函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域是( C )A ．{－1，0，1，3}B ．{－1，0，3}C ．{－1，3}D ．{－1，1}14．若0＜α＜π2，证明：(1)sin α＋cos α＞1； (2)sin α＜α＜tan α.证明：(1)在如图所示单位圆中， ∵0＜α＜π2，|OP |＝1，∴sin α＝MP ，cos α＝OM . 又在△OPM 中，有 |MP |＋|OM |＞|OP |＝1. ∴sin α＋cos α＞1.(2)如图所示，连接AP ，设△OAP 的面积为S △OAP ，扇形OAP 的面积为S 扇形OAP ，△OAT 的面积为S △OAT .∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， ∴12OA ·MP ＜12AP ︵·OA ＜12OA ·AT .∴MP <AP ︵<AT ，即sin α＜α＜tan α.15．已知f (n )＝cosn π5(n ∈Z)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 014)的值．解析：角n5π(n ＝1，2，…，10)表示10个不同终边的角，这10条终边分成五组，每组互为反向延长线．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (10)＝0，f (11)＋f (12)＋…＋f (20)＝0，…f (2 001)＋f (2 002)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝0.∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＝cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5.由定义知cos π5与cos 4π5，cos 2π5与cos 3π5互为相反数，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)＝0.。
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阶段质量检测(一) 三角函数 [考试时间：90分钟 试卷总分：160分]一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．若sin α<0且tan α>0，则α是第________象限角．2．若角α的终边经过点P (1，－2)，则tan α的值为________．3．已知圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是________．4．tan 300°＋cos 405°sin 405°的值是________． 5．设α是第二象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1等于________． 6．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12的值等于________． 7．若(sin θ＋cos θ)2＝2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则θ＝________. 8．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的递增区间是______________________．9．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则 φ＝________.10．函数y ＝cos 2x －sin x 的最大值是________．11．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝__________.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx x ＞0，f (x ＋1)＋1 x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值为________．13．在函数①y ＝sin |x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，④y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3中，最小正周期为π的函数为________．14．将函数y ＝cos(x －π3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π6个单位，所得函数图象的对称轴为____________________． 二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知单位圆上一点P ⎝⎛⎭⎫－32，y ，设以OP 为终边的角为θ(0＜θ＜2π)，求θ的正弦值、余弦值．16．(本小题满分14分)已知f (x )＝a sin(3π－x )＋b tan(π＋x )＋1(a 、b 为非零常数)．(1)若f (4)＝10，求f (－4)的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫π5＝7，求f ⎝⎛⎭⎫995π的值．17.(本小题满分14分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)．(1)求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值； (2)求sin 2α＋2sin αcos α－cos 2α＋2的值．18．(本小题满分16分)设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，ω＞0且最小正周期为π2. (1)求f (0)；(2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫π12＋α4＝95，求sin α的值．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)求函数f (x )的零点的集合．20．(本小题满分16分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调递增区间．答 案1．三2．解析：tan α＝－21＝－2. 答案：－23．解析：15°化为弧度为π12，设扇形的弧长为l ， 则l ＝6×π12＝π2， 其面积S ＝12lR ＝12×π2×6＝3π2. 答案：3π24．解析：tan 300°＋cos 405°sin 405°＝tan(360°－60°)＋cos (360°＋45°)sin (360°＋45°)＝tan(－60°)＋cos 45°sin 45°＝－tan 60°＋1＝1－ 3.答案：1－ 35．解析：因为α是第二象限角，所以sin αcos α·1sin 2α－1 ＝sin αcos α·1－sin 2αsin 2α ＝sin αcos α·|cos α||sin α| ＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1. 答案：－16．解析：由已知得cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π12＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝－13. 答案：－137．解析：由(sin θ＋cos θ)2＝2，∴sin θ cos θ＝12∴sin θ cos θsin 2θ＋cos 2θ＝12即tan θ1＋tan 2 θ＝12，又tan θ＞0， ∴tan θ＝1，又θ∈(0，π2)．∴θ＝π4. 答案：π48．解析：令k π－π2<x 2＋π3<k π＋π2(k ∈Z )， 得2k π－5π3<x <2k π＋π3(k ∈Z )，故所求函数的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－5π3，2k π＋π3(k ∈Z )． 答案：⎝⎛⎭⎫2k π－5π3，2k π＋π3(k ∈Z ) 9．解析：由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1，f ⎝⎛⎭⎫5π4＝sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋φ＝±1.∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<54π， ∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4. 答案：π410．解析：∵y ＝cos 2x －sin x ＝1－sin 2x －sin x＝－⎝⎛⎭⎫sin x ＋122＋54， 又∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－12时，y max ＝54. 答案：5411．解析：由题图可知，T ＝2×⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2＝πω，∴ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫3π8，0，所以A tan ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ＝0， ∴tan ⎝⎛⎭⎫φ＋3π4＝0，∴φ＋3π4＝k π，k ∈Z .又|φ|＜π2，∴φ＝π4， ∴f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 又图象过点(0,1)，∴A tan π4＝1， ∴A ＝1，即f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，∴f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan π3＝ 3. 答案： 312．解析：f ⎝⎛⎭⎫43＝－cos 4π3＝cos π3＝12， f ⎝⎛⎭⎫－43＝f ⎝⎛⎭⎫－43＋1＋1 ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1 ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋1＋1＋1 ＝f ⎝⎛⎭⎫23＋2＝－cos 2π3＋2 ＝cos π3＋2 ＝12＋2＝52， 则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43＝12＋52＝3.答案：313．解析：y ＝sin |x |不是周期函数，其余三个函数的最小正周期均为π. 答案：②③④14．解析：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π3图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y 1＝cos ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象，再向左平移π6个单位，得函数y 2＝cos ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象．由x 2－π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π＋π2(k ∈Z )即为所求的全部对称轴． 答案：x ＝2k π＋π2(k ∈Z ) 15．解：∵P 在单位圆上，∴y 2＋34＝1.∴y ＝±12. 当y ＝12时，sin α＝12，cos α＝－32. 当y ＝－12时，sin α＝－12，cos α＝－32. 16．解：∵f (x )＝a sin(2π＋π－x )＋b tan(x ＋π)＋1＝a sin x ＋b tan x ＋1，∴f (－x )＝a sin(－x )＋b tan(－x )＋1＝－a sin x －b tan x ＋1，∴f (x )＋f (－x )＝2.(1)∵f (4)＝10，f (4)＋f (－4)＝2，∴f (－4)＝2－f (4)＝2－10＝－8.(2)∵f (π5)＝7，f (π5)＋f (－π5)＝2， ∴f (－π5)＝2－f (π5)＝2－7＝－5. ∴f ⎝⎛⎭⎫99π5＝f ⎝⎛⎭⎫20π－π5 ＝a sin ⎝⎛⎭⎫20π－π5＋b tan ⎝⎛⎭⎫20π－π5＋1 ＝a sin ⎝⎛⎭⎫－π5＋b tan ⎝⎛⎭⎫－π5＋1 ＝f ⎝⎛⎭⎫－π5＝－5. 17．解：由已知，得－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)．∴－sin(π－α)＝2cos(－α)．∴sin α＝－2cos α.∵cos α≠0，∴tan α＝－2.(1)原式＝sin α＋5cos α－2sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＋sin α＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝tan α＋5－2＋tan α＝－2＋5－2－2＝－34. (2)原式＝sin 2 α＋2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝tan 2α＋2tan α－1tan 2α＋1＋2 ＝4＋2×(－2)－14＋1＋2＝95. 18．解：(1)f (0)＝3sin π6＝32.(2)因为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6且最小正周期为π2，所以2πω＝π2，即ω＝4，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (3)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫π12＋α4＝3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35，∴sin α＝±45. 19．解：(1)最小正周期T ＝π，当2x ＋π6＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π6(k ∈Z )时， 函数f (x )的最大值为1.(2)由f (x )＝0，得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝12， 所以2x ＋π6＝2k π＋π6或2x ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )， 即x ＝k π或x ＝k π＋π3(k ∈Z )， 故函数f (x )的零点的集合为{x |x ＝k π或x ＝k π＋π3，k ∈Z }． 20．解：(1)由图象可知A ＝2，T ＝π，∴ω＝2πT＝2，∴y ＝2sin(2x ＋φ)． 又点⎝⎛⎭⎫－π12，2在图象上， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝2， 即－π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π， ∴φ＝2π3， ∴函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. (2)由(1)可得函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3， 令2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2， 解得k π－7π12≤x ≤k π－π12，k ∈Z ，故函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12， k ∈Z .。