二次函数根的分布总结练习

二次函数根的分布

一、简单的三种类型

利用Δ与韦达定理研究)0(02

≠=++a c bx ax 的根的分布

（1）方程有两个正根⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪

⎪⎨⎧

>=>-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b

（2）方程有两个负根⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

>=<-=+≥-=∆⇔000421212a c x x a b x x ac b

（3）方程有一正一负根0<⇔

a

c

例1.若一元二次方程0)1(2)1(2

=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

例2.k 在何范围内取值，一元二次方程0332

=-++k kx kx 有一个正根和一个负根

二、其它几种类型

借助函数图像研究)0(02

≠=++a c bx ax 的根的分布

设一元二次方程)0(02

≠=++a c bx ax 的两实根为1x ，2x ，且12x x ≤。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布

（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干类型：

（1）⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

>->≥-=∆⇔≤

b k af a

c b x x k 20)(04221【图例】

b

a

k f

a b x 2

)( k

解析：发现无论开口向上或向下，)(k f 与a 的值都是同号的.

例3.若方程42x +(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则求m 的取值范围.

（2）⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧

<->≥-=∆⇔<≤k a

b k af a

c b k x x 20)(04221【图例】

解析：发现无论开口向上或向下，)(k f 与a 的值都是同号的.

（3）21x k x <<⇔0)(

解析：要保证两根分布于k 的两边，观察发现两种情况都是)(k f 与a 异号.

例4.方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围.

(4) 11x k <2k <⇔0)()(21

a

(f

(5) 112122,k x k p x p <<<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧<>><<0

)(0

)(0)(0

)(021

21p f p f k f k f a

例5.若关于x 的方程x 2+(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围.

(6)2211k x x k <≤<，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪

⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆212

1220

)(0)(004k a b k k f k f a ac b

例4.已知关于x 的方程223230x x m -+-=的两根都在［－1，1］上.求实数m 的取值范围.

针对练习

1.关于x 的方程m 2x +(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m 的取值范围是（ ）

A.(-41, +∞)

B.(-∞,-41)

C.[-41，+∞]

D.(-4

1

,0)∪(0,+∞)

2.若方程2x -(k+2)x+4=0有两负根，求k 的取值范围.

3.若方程01222=-+-t tx x 的两个实根都在2-和4之间，求实数t 的取值范围.

4.若关于x 的方程kx 2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k 的取值范围.

5.已知集合26

{|

1,},{|220,}1

A x x R

B x x x m x R x =≥∈=-+<∈+. （1）当{|14}A B x x =-<