第3章 回转薄壳应力分析

σm
pR2 2δ
19
1.微元体的取法
❖ 三对曲面截取微元体： ▪ 一是壳体的内外表面； ▪ 二是两个相邻的、通过壳体轴线的经线平面； ▪ 三是两个相邻的、与壳体正交的圆锥面。
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2.微元体的受力分析
▪ 微单元体的上下面：经向应力σm ； ▪ 内表面：内压p作用； ▪ 外表面不受力； ▪ 两个与纵截面相应的面：环向应力σθ。
和环向应力的前提是：
◦ 应力沿壁厚方向均匀分布，即壳体壁厚截面上只有拉压正应力，没有
弯曲正应力的一种两向应力状态。
◦ 这种情况只有当容器的器壁较薄以及边缘区域稍远才是正确的。而应
力与承受内压的薄膜非常相似，称之为薄膜理论，又称为无力矩理论。
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薄膜理论除满足薄壁壳体外，还应满足： ①回转壳体曲面在几何上是轴对称的，壳壁厚度无突变；曲率半径是连续
❖
若
2
-
a
2
0
，即
b
a b
2 ， > 0；
❖
若
2
-
a
2
0
b
，即 a 2 b
， = 0；
❖
若
2
-
a
2
0
b
，即
a b
2 ， < 0；
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一、受气体内压的圆筒形壳体 二、受气体内压的球形壳体 三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头） 四、受气体内压的锥形壳体 五、受气体内压的碟形封头
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❖ 区域平衡方程式 ❖ 微体平衡方程
σm
pR2 2δ
σm σθ p R1 R2 δ
圆筒形壳体有：
R1
，R2
D 2
❖ 圆筒形壳体薄膜应力公式
σm
第三章 内压薄壁容器的应力分析
第一节 内压薄壁圆筒的应力分析 第二节 回转壳体的应力分析－薄膜应力理论 第三节 薄膜理论的应用 第四节 内压圆筒边缘应力的概念
1
1.应力分析的意义
压力容器所受载荷
◦ 压力载荷：均布于容器壳体； ◦ 机械载荷：重力、支座反力、管道推力等； ◦ 热载荷。
研究容器在外载荷作用下有效抵抗变形和破坏的能力，分析强度、刚 度和稳定性问题，保证容器的安全性和经济性。
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❖ 关键问题是要确定椭球壳上任意一点的第一和第二曲率半径
29
❖
❖
1. 第一曲率半径R1
一般曲线y =f(x)上任意一点的曲率半径： R1
1
y'
2
3
2
y ''
❖
由椭圆曲线方程：
x2 a2
y2 b2
1
y'
-
b2 a2
x y
a
bx a 2-x 2
y''
-
b4 a2 y3
a
ab a2-x 2 3
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3.微元体的静力平衡方程
左视
俯视
❖ 微元体在其法线方向的平衡，故所有的外载和内力的合力都取沿微元体
法线方向的分量。
❖ 内压p在微元体abcd面积沿法线n的合力pn为： pn pdl1 dl2
❖
经向应力的合力在法线方向上的分量Nmn为：
Nmn
2σmδdl2
sin
dθ1 2
❖ 环向应力的合力在法线方向的分量Nθn为：
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❖ 典型回转壳体的第一、第二曲率半径举例
D
R
DM M
※※※【注意】组合壳体的交界点的第一、第二曲率半径采用分别讨论 的方法确定！
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2.基本假设 除假定壳体是完全弹性的，即材料具有连续性、均匀性和各向同性； 薄壁壳体通常还做以下假设使问题简化： ◦(1) 小位移假设 壳体受力以后，各点的位移都远小于壁厚。壳体变形 后可以用变形前的尺寸来代替。 ◦(2) 直法线假设 在变形前垂直于中间面的直线段(法线)，在变形后仍 保持直线，并垂直于变形后的中间面。变形前后的法向线段长度不变， 沿厚度各点的法向位移均相同，变形前后壳体壁厚不变。 ◦(3) 不挤压假设 壳体各层纤维变形前后相互不挤压。壳壁法向（半径 方向）的应力与壳壁其他应力分量比较是可以忽略的微小量，其结果 就变为平面问题。
a4 - x2 a2 - b2
2-
a4
a4 - x2 a2 - b2
❖ 4.椭圆形封头上的应力分布
❖
椭圆壳体的中心位置x=0处：
σm
σθ
pa 2δ
a b
❖
椭圆壳体的赤道位置x=a处：
σm
pa 2δ
σθ
pa 2δ
2
a2 b2
32
❖ 4.椭圆形封头上的应力分布
❖
椭圆壳体的中心位置x=0处：
◦ 若δ/Di≤0.1或k=Do/Di≤1.2，则为薄壁容器； ◦ 若δ/Di>0.1或k=Do/Di>1.2，则为厚壁容器。
注：δ为容器壁厚，Do、Di分别容器的外直径与内直径。
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2.薄壁容器的应力特点
薄膜应力：容器的圆筒中段①处，可以忽略 薄壁圆筒变形前后圆周方向曲率半径变大所 引起的弯曲应力，用无力矩理论来计算。
Nθn
2σθ δdl1
sin
dθ2 2
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3.微元体的静力平衡方程
❖ 由法线n方向力的平衡条件 Fn 0，即：pn-Nmn-Nθn=0
pdl1
dl2
-
2σmδdl2
sin
(
dθ1 2
)-2σθ δdl1
sin
(
dθ2 2
)
0
❖ 【注意简化】：因dθ1及dθ2都很小，所以有：
sin
dθ1 2
pz
π 4
Di2
p
π 4
D2 p
PZ
圆筒形截面上内力为应力的合力Nz：
Nz πDδσm
D
m
P NZ
m
由平衡条件 Fz 0 得：Pz－Nz＝0
→ π
4
D2
p
πDδσm
m
pD
4
[提示]在计算作用于封头上的总压力Pz时，严格地讲，应采用筒体内径， 但为了使公式简化，此处近似地采用平均直径D。
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2.环向应力σθ的计算公式
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1.取分离体 ◦ 求经向应力时，采用的假想截面不是垂直于轴线的横截面，而是与壳 体正交的圆锥面。为了求得任一纬线上的经向应力，必须以该纬线为 锥底作一圆锥面，其顶点在壳体轴线上，圆锥面的母线长度即是回转 壳体曲面在该纬线上的第二曲率半径R2，如图所示。圆锥面将壳体分 成两部分，现取其下部分作分离体。
dθ1 2
1 2
dl1 R1
sin
dθ2 2
dθ2 2
1 2
dl2 R2
❖ 代入平衡方程式，并对各项都除以δdl1dl2整理得：
❖ 微体平衡方程
σm σθ p R1 R2 δ
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薄膜理论
❖ 区域平衡方程式 ❖ 微体平衡方程
σm
pR2 2δ
σm σθ p R1 R2 δ
◦ 利用区域平衡方程和微体平衡方程推导和分析薄壁回转壳体经向应力
2
2.应力分析的方法
➢ 解析法(解析解) 即以弹性与塑性力学为基础的数学解法，包括板壳力学。然而并非
所有问题都可以求得解析解，因而所得的解具有很大的局限性。
无力矩理论的两个基本方程
区域平衡方程式 微体平衡方程
σm
pR2 2δ
σm σθ p R1 R2 δ
3
2.应力分析的方法
➢ 数值法(数值解) 目前，最常用的是有限元法，可以解决许多复杂的实际问题，但所
pD 4δ
pD σθ 2δ
27
m
❖ 球壳的几何特点是中心对称，应力分布特点：一是各处的应力均相等；
二是经向应力与环向应力相等。 R1＝R2=D/2
❖ 球壳薄膜应力公式
σm
σθ
pD 4δ
σm
pR2 2δ
σm σθ p R1 R2 δ
❖ 相同内压p作用下，球壳的环向应力要比同直径、同壁厚的圆筒壳小一半。
A
弯曲应力：在凸形封头、平底盖与筒体联接 处②和③，则因封头与平底的变形小于筒体 部分的变形，边缘连接处由于变形协调形成 一种机械约束，从而导致在边缘附近产生附 加的弯曲应力。必须用复杂的有力矩理论及 变形协调条件才能计算。
2
p
m
a
d
b c
m Di
1
A
3
7
环向（周向）应力：当其承受内压力p作用以后，其直径要稍微增大，故 筒壁内的“环向纤维”要伸长，因此在筒体的纵向截面上必定有应力产
y z
B l
B z
l
p d
R
i
x Rid
分离体的取法：用一通过圆筒轴线的纵截面B-B将圆筒剖开，移走上半
部，再从下半个圆筒上截取长度为l的筒体作为分离体。
py Dilp Dlp
Ny 2δl σθ
→ → 由 Fy 0 得：Py－Ny＝0
Dlp 2δl σθ
σθ
pD 2δ
薄壁圆筒承受内压时，其环向应力是轴向应力的两倍。
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3.内压薄壁圆筒的应力特点在工程中的应用
(1)圆筒壳上开长圆孔，那种方式合理？ (2) 筒壳发生爆炸在哪个方向撕裂？
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一、基本概念与基本假设 二、经向应力计算公式－区域平衡方程式 三、环向应力计算公式－微体平衡方程式 四、轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围
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1.基本概念 ◦ (1)回转壳体：壳体的中间面是直线或平面曲线绕其同平面内的固定轴 线旋转3600而成的壳体。 ◦ (2)轴对称：壳体的几何形状、约束条件和所受外力都是对称于回转轴。
σm
σθ
pa a 2δ b
pa ❖ 椭圆壳体的赤道位置x=a处： σm 2δ
σθ
pa 2δ
2
a2 b2
❖ (1)椭圆封头的中心位置x=0处，经向应力和环向应力相等即：σm=σθ；
❖ (2) 经向应力σm恒为正值，且最大值在x=0处，最小值在x=a处。
❖ (3) 环向应力σθ，在x=0处，σθ>0；在x=a处有三种情况：
❖ 椭圆上某点的第一曲率半径为：
R1
1 a4b
a4
-
x2
a2 - b2
32
30
❖ 2. 第二曲率半径R2
R2
x2 l2
x2
x tanθ
2
❖ 为圆锥面的半顶角，它在数值上等于椭圆在同一点的切线与x轴的夹角。
tanθ dy y' dx
❖
椭圆上某R点2 的第x2二曲 y率x' 半2 径 b1为：a4 - x2
生，此应力称为环向应力，以σθ表示。由于筒壁很薄，可以认为环向应
力沿壁厚均匀分布。 经向（轴向）应力：鉴于容器两端是封闭的，在承受内压后，筒体的
“纵向纤维”也要伸长，则筒体横向截面内也必定有应力产生，此应力
称为经向（轴向）应力，以σm表示。
8
1.经向应力σm的计算公式
介质压力在轴向的合力Pz为：
得结果并非数学表达式，而是一组离散的数值，因而无通用性，只能具 体问题具体分析。
4
2.应力分析的方法
➢ 实验应力分析 包括电测法和光弹法。对于结构或受载复杂的容器，是一种有效的
分析方法，也是验证解析解或数值解的重要途径。
光弹法
电测法
5
一、薄壁容器及其应力特点 二、内压圆筒的应力计算公式
1.薄壁容器与厚壁容器
a2 - b2
12
31
❖ 3. 两向薄膜应力计算公式
R1
1 a4b
a4
-
x2
a2 - b2
32
R2
σm
pR2 2δ
σm σθ p
R1 R2 δ
x2
x y'
2
1 b
a4
-
x2
a2 - b2
1 2
❖ 经向应力
σm
p 2δb
a4 - x2 a2 - b2
❖ 环向应力
p
σθ 2δb
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1.基本概念 ◦ (7)纬线：如果作圆锥面与壳体中间面正交， 得到的交线叫做“纬线”；过N点作垂直于 回转铀的平面与中间面相割形成的圆称为 “平行圆”，平行圆即是纬线。 ◦ (8)第一曲率半径：中间面上任一点M处经线 的曲率半径，Rl=MK1。 ◦ ※※(9) 第二曲率半径：过经线上一点M的法线作垂直于经线的平面 与中间面相割形成的曲线EM，此曲线在M点处的曲率半径称为该点 的第二曲率半径R2。第二曲率半径的中心K2落在回转轴上，R2=MK2。
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1.基本概念 ◦ (3)中间面：中间面是与壳体内外表面等距离的中曲面，内外表面间的 法向距离即为壳体壁厚。 ◦ (4) 母线：回转壳体的中间面是由平面曲线绕回转轴旋转一周而成的， 形成中间面的平面曲线称为母线。 (5) 经线：过回转轴作一纵截面与壳体 曲面相交所得的交线。经线与母线的 形状完全相同。 (6) 法线：过经线上任意一点M垂直于 中间面的直线，称为中间面在该点的 法线。法线的延长线必与回转轴相交。
变化的，材料是各向同性，且物理性能(主要是E和µ)应当是相同的。 ②载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的，没有突变情况。因此，壳
体上任何有集中力作用处或壳体边缘处存在着边缘力和边缘力矩时，都将 不可避免地有弯曲变形发生，薄膜理论在这些地方就不能应用。 ③壳体边界的固定形式应该是自由支承的。否则壳体边界上的变形将受到 约束，在载荷作用下势必引起弯曲变形和弯曲应力，不再保持无力矩状态。 ④壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界上无横剪力和弯 矩。 总之，必须满足壳体是轴对称的，即几何形状、材料、载荷的对称性和连 续性，同时需保证壳体应具有自由边缘。
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❖
2.静力分析
作用在分离体上外力在轴向的合力Pz为：
pz
π 4
D2 p
❖ 截面上应力的合力在Z轴上的投影Nz为： Nz σm πDδ sinθ
❖
平衡条件 Fz 0 得：Pz－Nz＝0，即：
π 4
D2
p-σmπDδsinθ
0
❖ 由几何关系知
→ R2
D 2sinθ
D 2R2sinθ
❖ 区域平衡方程式