数学椭圆双曲线抛物线

题型二 有关圆锥曲线的性质问题 例 2 已知双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是 y
＝ 3x，它的一个焦点在抛物线 y2＝24x 的准线上，则双曲 线的方程为__x9_2－__2_y72_＝__1_____.
解析 抛物线 y2＝24x 的准线方程为 x＝－6，
故双曲线中 c＝6.
变式训练 2 设抛物线 y2＝2px (p>0)的焦点为 F，经过点 F 的 直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且
BC∥x 轴.证明：直线 AC 经过原点 O. 证明 方法一 如图所示，抛物线 y2＝2px (p>0)的焦点为 Fp2，0， ∴经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x＝my＋p2； 代入抛物线方程⇒y2－2pmy－p2＝0. 若记 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2 是该方程的两个根. ∴y1y2＝－p2.
∵BC∥x 轴，且点 C 在准线 x＝－p2上，∴点 C 的坐标为－p2，y2， ∴直线 CO 的斜率为 k＝－y2p＝2yp1 ＝yx11.
2 即 k 也是直线 OA 的斜率，所以直线 AC 经过原点 O. 方法二 如图，记 x 轴与抛物线准线 l 的交 点为 E，过 A 作 AD⊥l，D 是垂足， 则 AD∥FE∥BC. 连结 AC，与 EF 相交于点 N， 则AEDN＝CANC＝BAFB， AAFB＝NBCF， 由抛物线的几何性质知 AF＝AD，BF＝BC， ∴EN＝ADA·BBF＝AFA·BBC＝NF， 即点 N 是 EF 的中点，与抛物线顶点 O 重合， 所以直线 AC 经过原点 O.
解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a、c，由已知得
a－c＝1， a＋c＝7，
x＝－p2
渐近线
y＝±bax
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题型一 有关圆锥曲线的定义问题 例 1 已知 P 为椭圆x42＋y2＝1 和双曲线 x2－y22＝1 的一个交点，
F1，F2 为椭圆的两个焦点，那么∠F1PF2 的余弦值为_－__13_.
思维启迪 双曲线的焦点与椭圆焦点相同→用椭圆、双曲线
的定义→标出 PF1、PF2→用余弦定理.
第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线
【高考真题感悟】 (2011·江西)若椭圆ax22＋yb22＝1 的焦点在 x 轴上，过点(1，12) 作圆 x2＋y2＝1 的切线，切点分别为 A，B，直线 AB 恰好
经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________.
解析 由题意可得切点 A(1,0).
切点 B(m，n)满足mn－－121＝－mn ， m2＋n2＝1，
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解得 B(35，45).
∴过切点 A，B 的直线方程为 2x＋y－2＝0.
令 y＝0 得 x＝1，即 c＝1； 令 x＝0 得 y＝2，即 b＝2. ∴a2＝b2＋c2＝5，∴椭圆方程为x52＋y42＝1. 答案 x52＋y42＝1 考题分析 本题考查了椭圆的标准方程及简单性质、圆的
切线问题.题目综合考查了椭圆和圆这两个热点问题，具有
(±a,0)，(0，±b) (±a,0) 关于 x 轴，y 轴和原点对称
(±c,0)
(0,0) 关于 x 轴对称
(p2，0)
几
轴
长轴长 2a， 实轴长 2a，
何
短轴长 2b
虚轴长 2b
性
e＝ac
e＝ac
质 离心率
＝
1－ab22 ＝
1＋ab22
e＝1
(0<e<1)
(e>1)
准线
x＝±ac2(不作要求)
解析 由椭圆和双曲线的方程可知，F1，F2 为它们的公共 焦点，不妨设 PF1>PF2，则PPFF11＋ －PPFF22＝ ＝42 ， 所以PPFF12＝ ＝31 .又 F1F2＝2 3， 由余弦定理可知 cos∠F1PF2＝－13.
探究提高 圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义 是掌握其性质的基础.因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记， 还 要 深 入 理 解 细 节 部 分 ： 比 如 椭 圆 的 定 义 中 要 求 PF1 ＋ PF2>F1F2，双曲线的定义中要求|PF1－PF2|<F1F2.
PF1＋PF2 ＝2a(2a>
F1F2) xa22＋by22＝1
(a>b>0)
|PF1－PF2| ＝2a(2a<
F1F2) xa22－by22＝1 (a>0，b>0)
PF＝PM 点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M
y2＝2px (p>0)
图形
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≥a
x≥0
顶点 对称性 焦点
一定的综合性.题目难度中档，代表了高考对这部分内容的 考查方向. 易错提醒 (1)不能正确地将问题转化.如：求椭圆方程，关 键是转化为求直线 AB 的方程.(2)切点 A、B 的坐标易求错.
(3)不会借用图形进行分析.
主干知识梳理
圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
名称
椭圆
双曲线
抛物线
定义 标准方程
变式训练 1 已知 F1，F2 为椭圆1x22＋y32＝1 的两个焦点，点 P
在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在 y 轴上，且 PF1＝tPF2， 则 t 的值为___7_____.
解析 设 N 为 PF1 的中点，则 NO∥PF2，故 PF2⊥x 轴， 故 PF2＝ba2＝ 23，而 PF1＋PF2＝2a＝4 3， ∴PF1＝7 2 3，t＝7.
①
由双曲线xa22－by22＝1 的一条渐近线方程为 y＝ 3x，
知ba＝ 3，
②
且 c2＝a2＋b2.
③
由①②③解得 a2＝9，b2＝27. 故双曲线的方程为x92－2y72 ＝1.
探究提高 椭圆的方程、双曲线的方程、渐近线方程以及抛物 线的方程、准线都是高考的热点.在解题时，要充分利用条件， 构造方程，运用待定系数法求解.
题型三 求曲线方程问题 例 3 已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系 xOy 的原点，焦点
在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线 上的一点，OOMP ＝λ，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什 么曲线. 思维启迪 (1)椭圆方程中的基本参数 a、c 的关系 a＋c＝7， a－c＝1.(2)坐标转移法.