量子力学变量可分离型的三维定态问题

r 0
2 k 。 E klm 2m
对于自由粒子，亦可选 ( p x , p y , p z ) 力学量完全集，其共同本征函数为 作为
2
1 ipr / e u px p y pz (2 1 )3 ikr 2 e ukx k ykz 3 2 (2)
ˆ ,L ˆ2 , L ˆ z 作为力学量完全集，有 而前述，H 共同本征函数组

1 [ljl 1 (kr) (l 1)jl 1 (kr)]Pl (cos )l 1) j jlPl 1 (cos )] [cl1 l 1Pl (cos ) c l 2l 3 2l 1 l0
即
2 E T V (1 )T m
在这类位势下，束缚态E<0。所以存在束缚 态的条件为 0<m<2
即仅当
r 2 V(r)
0 时，才有束缚态。
r0
B．在
r 0 时，径向波函数应满足 rR(r) 0
由径向方程
d2 dr2 (rR(r)) l(l 1) r2 (rR(r)) 2m(E V(r)) h2 (rR(r)) 0
量子力学变量可分离型的三维定态问题
ˆ 不显含 t 时 当 H ， ˆ ih H t 有特解
φ n (r, t) u n (r)e iE n t /
ˆ(r, pˆ)un (r) E n u n (r) H
所以通解为 ψ(r, t) c n φ n (r, t)
n
现处理变量可分离型的位势问题。 §5.1 有心势
2 u klm (r, , ) k jl (kr)Ylm (, )
eikr 可按它展开
e
ik r
a lm u klm (r, , )
l 0 m l

l
almjl (kr)Ylm(, )
l 0 m l

l
如取 k 方向在 z 方向（即为 z 轴），则
e ikr e ikrcos al0 jl(kr)Yl0 (, )
l0

c l jl (kr)Pl (cos )
l0


A. 对 kr 求导，得
i cl jl (kr) cos Pl (cos ) cl jl (kr)P(cos l )
l 0 l 0
径向方程在
d2 dr2
r 0
r2
的渐近式为
(rR(r)) 0
(rR(r))
l(l 1)
其渐近解为
~ rl1
，所以有
rR(r) 0
（2）三维自由粒子运动 因 V(r) 0 ，所以可选力学量完全集
r 0
ˆ, Lˆ2, L ˆ H z
d2 l(l 1) 2E (rR(r)) (rR(r)) 2 (rR(r)) 0 2 2 r h dr
r0
，波函数行为？
（1）不显含时间的薛定谔方程解在 r 0 的渐近行为 A A．若 V(r) m 时 ( A 0 ) ，仅 r 当 0<m<2 时才有束缚态。
根据位力定理：如 V(r) 是 x,y,z的 n 次齐 次函数，则有
2T nV
对于上述势
（在定态上）。
2T mV
[Hˆ, Lˆ2] 0 ˆ [Hˆ, L z] 0
ˆ ,L ˆ2, L ˆ z 是两两对易。当共同本征 因此，H 函数组不简并时，它们构成一组力学量完全集
（球对称势的体系都有这一特点）。
ˆ,Lˆ2, L ˆ 以H z 的本征值（即量子数）对能 量本征方程的特解进行标识。
unlm(r) Rnl(r)Ylm(, )

l sin( ) 2 R() cjl() ~ c l cos( ) 2 R() cnl () ~ c
由于 rR(r) 0 的条件， 所以自由粒子的本征函数为 2 u klm (r, , ) k jl (kr)Ylm (, )

1 cos Pl (cos ) [lPl1(cos ) (l 1)Pl1(cos )] 2l 1
1 (kr) j [ljl 1 (kr) (l 1)jl 1 (kr)] l 2l 1
于是有
i [lPl 1 (cos ) (l 1)Pl 1 (cos )] c l jl 2l 1 l 0
于是有
ˆ2 h2 1 2 L ( r 2 2 )unlm(r) V(r)unlm(r) Eunlm (r) 2 2m r r h r
d2 dr2
(rR(r)) l(l 1) r2 (rR(r)) 2m(E V(r)) h2 (rR(r)) 0
先讨论边条件的性质。 对于束缚态，r , unlm 0 对于
令
2E k 2 h
2
kr
d 2 d l(l 1) ]R( ) 0 2 R( ) d R( ) [1 d 2
2
这即为球贝塞尔函数满足的方程。 在 0 处为有限的解是
1 d l sin l R() cjl() c( ) ( )
d

而在
0 处为无穷的解是
l
1 d l cos R() cnl () c(1)() ( ) d
0
l 2 jl() : [1 L ] (2l 1)!! 2(2l 3)
2 (2l 1)!! 1 l 1 nl() ~ ( ) [1 L ] 2(2l 3) 2l 1
V(r) V(r)
能量本征方程可写为
h2 2 ˆ p)u ˆ n (r) H(r, V(r) u n (r) 2m Enu n(r)
2 ˆ L ) 1 2 ( r 2m 2m r r2 h2r2
h2
h2
2
2 ˆ ˆz ] 0 [L , L