最优控制理论习题课

u)
1 2
u2
(1
2
) x2
2u
S
(x(2))
1 2
[ x1 (2)
5]2
1 2
[ x2
(2)
2]2
G(x(2)) x1(2) 5x2 (2) 15 0
规范方程：
x H
x1 x2 , x2 x2
u
H
1 2
u2
1x2
2 (x2
u)
H x
1
H x1
,
1
0, 1 (t )
c1
2
H x2
1 2
c2
e
t
c1t
c4
x2 (t)
c3 e t
1 2
c2
e
t
c1
S ( x(2))
1 2
[ x1 (2)
5]2
1 2 [x2
(2)
2]2
G(x(2)) x1(2) 5x2 (2) 15 0
1 (2) x1 (2) 5 v c1
2 (t f
)
S x2 (t f
)
( G x2 (t f
2c1 1.5e2c2 e2c3 5v 2
解得 c1 0.73 c2 0.13
u* (t) c2et c1 0.13et 0.73
例4
解：系统的哈密尔顿函数为： 协态方程为：
即当 u 2 2
对应的
选择哈密顿函数为：
H 1 u 2 u
2
规范方程为：
x& H u，& H 0
x
控制方程是
H u 0，u
u
H
(t
f
)
S t f
t f t f
1
将 u(t) (t) 代入，可得
1 2
u2
(t
f
)
(t
f
)u(t
f
)
1
1 2
2
(t
f
)
2 (t
f
)
1
0
求得：(t f ) 2
由正则方程 0 ，所以 (t) (t f ) 2 ，于是最
2
1, 2 (t) c2et
c1
1 2
u2
(1
2
) x2
2u
S ( x(2))
1 2
[ x1 (2)
5]2
1 2
[ x2
(2)
2]2 ,
G(x(2)) x1(2) 5x2 (2) 15 0
来自百度文库
控制方程:
H u
0 u 2
0 u(t) c2et
c1
x2 (t) x2 (t) u
最优控制理论习题
--变分法、极大值原理
例1设系统状态方程为
x& u，
边界条件为
x(0)
1，x(t
f
)
0,
(t
自由)
f
性能指标为
J
tf
1 2
t f u 2 dt
0
要求确定最优控制 u *，使 J 最小。
解：这是 t f 自由问题。终端状态固定，x(t f ) 0 是满足约束集的特殊情况，即
G[ X (t f ), t f ] x(t f ) 0
)T )
v(t f
)
2 (2) x2 (2) 2 5v c2e2 c1
代入 x1 (2), x2 (2)
0.5c2 c3 c1 0.5c2
c4 c3
0 0
7c1 3e2c2 4e2c3 c4 15 x1 (2) 5x2 (2) 15
3c1 0.5e2c2 e2c3 c4 v 5
u,
x1(0)=0, x2(0)=0.
性能指标: J
1 2
[
x1
(2)
5]2
1 2
[x2
(2)
2]2
1 2
2 u 2dt
0
终端约束条件: x1(2) 5x2 (2) 15
试求使 J min 的最优控制 u.
解 本题 t f 2给定 ,为终端受约束的最优解问题
H
1 u2 2
1x2
2 (x2
优控制 u* (t) 2
再由规范方程 x u ，可得
x(t) 2 t c
由初始条件 x(0) 1 ，求得 c 1 ，故最优轨迹为
x* (t) 2 t 1 以终端条件
x*
(t
* f
)
0
代入上式，即求得最优终端时刻
t
* f
2 2
例2 设系统的状态方程为
x&1 x&2
x2 , x2
x2 (t)
c3 e t
1 2
c2
e
t
c1
x1 (t)
c3 e t
1 2
c2
e
t
c1t
c4
边界条件和横截条件
x(0) 0, 0.5c2 c3 c4 0
c1 0.5c2 c3 0
1 (t f
)
S x1 (t f
)
( G x1 (t f
)T )
v(t f
)
x1 (t )
c3 e t