主应力法

接触面上正应力σz的分布规律
1．滑动区
d z 2f z 0 dr h
k f z
2fr C1 exp h
上式积分得： σ
z
当r=R时， r 0 ，将屈服准则 代入上式，得积分常数C1
2f z 2K exp (R r ) 因此： h
2 z yz zx xy ( ) z x y z xy
1 x ( 2 ) 2 2 y xy x 2 y 2 z 2 yz 1 ( 2 2 ) 2 z yz y
2
变形连续方程
2 y
2 xy

ij 0 z
0
z
0 z

0
对于轴对称问题，圆柱坐标系下的平衡微分方程：
r zr r 0 r z r rz z rz 0 r z r
同时由于其变形式均匀的， r
z 2K
2f R C1 2K exp h
2．粘着区 d z 2K 0 将 k K 代入平衡方Βιβλιοθήκη Baidu得：
dr h
2K 上式积分得： z h r C2 设滑动区与粘着区分界点为rb。
由 k f Zb K ，得此处 zb K / f 利用这一边界条件，得积分常数 1 2r C K ( ) f h 因此得： 1 2 z K[ (rb r)] f h
因此接触面上正应力分布规律
2 f (0.5W x ) y 2k exp h
9.3 圆柱坐标轴对称问题
求平锤均匀镦粗圆柱体时变形力计
算。
圆柱体镦粗时，如果锻件性能和接 触表面状态没有方向性，则内部的应力 应变状态对称于圆柱体轴线（z轴），即 在同一水平截面上，各点的应力应变状 态与坐标无关，仅与r坐标有关。因此 是一个典型的圆柱体坐标轴对称问题。
3. 采用近似的屈服准则。工程法把接触面上的正应力 假定为主应力。 于是对于平面应变问题，塑性条件
2 ( x y ) 2 4 xy 4k 2
简化为 x
y
x y 2 2 对于轴对称问题，塑性条件 ( r z ) 2 3 zr T
2k 或 0

1）不产生变形的方向为主方向，与该方向垂直的平面 上没有切应力； 2）在该方向有阻止变形的正应力； 3）有应力分量沿该轴均匀分布，即与该轴无关。
x xy ij yx y 0 0
0 0 z
轴对称状态
当旋转体承受的外力对称于旋转轴分布时，则物体 内质点所处的应力状态称为轴对称应力状态。 轴对称应力状态的特点是： 1）由于通过旋转体轴线的平面，即φ面在变形过程中 始终不会扭曲，所以在φ面上没有剪应力，即τρυ= τzυ= 0，只有σρ、συ、σz、τρz等应力分量，而且συ是 主应力； 2）各应力分量与φ坐标无关。
F xe
单位流动压力为： p P 1

xe
0
y dx
k . xe
h
ye
在摩擦系数较大时（热镦粗平板（长度远远大于宽 度）），整个接触面上作用着最大摩擦 力
k K
2
s

2
S
，则单位流动压力公式为：
2 1w p S (1 ) 4h 3
当考虑滑动摩擦时，将滑动摩擦时的库仑摩擦定律
例：工件的受力情
况如右图所示。
分析它的一个
分离单元体的静力 平衡条件，得
r h rd ( r d r )h (r dr)d d 2 k rddr 2 h dr sin 0
2
由于d 很小， sin d d 2 2 忽略高阶微分，整理得：
x x y z y y x z z z y x
2G 2G 2G
yz yz xz xz xy xy
平面状态与轴对称状态

平面状态


平面应力状态 平面应变状态

轴对称状态
平面应力状态
1）变形体内所有质点在与某一方向垂直的平面上没有 应力作用，所有质点都是两向应力状态，设该方向 为z轴。 则σz＝τxz＝τyz＝0， 只有σx、σy、τxy三个应力分量。 2）各应力分量与z轴无关，整个物体的应力分布可以在 xy坐标平面上表示出来。
9.2 直角坐标平面应变问题解析
例：薄板平锤压缩变形（直角坐标平面应变 问题 ）
高为h，宽为W，长为L 的薄板，置于平锤下压缩。 如果L比w大得多，则板坯 长度方向几乎没 有延伸， 仅在x方向和y 方向有塑 性流动，即为平面应变问 题，适用于直角坐标分析。
矩形工件的平锤压缩
（1）取单元体，单元体x方向的力平衡方程为：
第9章 主应力法
9.1 主应力法解题基本原理
9.2 直角坐标平面应变问题
9.3 圆柱坐标轴对称问题
9.4 极坐标平面应变问题
9.1主应力法解题基本原理
建立以主应力表示的简化平衡微分方程和塑性条件。
假设： 1．平板压缩、宽板轧制、圆柱体镦粗、棒材挤压和 拉拔等看作是平面应变问题和轴对称问题。 2．假设变形体内应力分布均匀，仅为某个坐标的函 数。以获得近似的应力平衡微分方程，或将变形区内截 取单元体切面上的正应力假定为主应力且均匀分布，由 此把该单元体的应力平衡微分方程改变为常微分方程。
代入上式得：
于是
C3 zc K
式中
K 2 2 z ZC 2 (h r ) h
平衡微分方程 数学解析法 塑性条件（物理方程、几何方程和边界条件） 应力及分布 变形力
1. 平衡微分方程
直角坐标下的应力平衡微分方程
xy x xz 0 y z x yx y yz 0 y z x zy z zx 0 y z x
d x d y
可简化为
d r d z 0
4．简化接触面上的摩擦。采用以下三种
库仑摩擦定律： k f n
1 2
（滑动摩擦）
最大摩擦定律： k k S （粘着摩擦）
摩擦力不变条件:
k m k （混合摩擦条件）
5．如不考虑工模具弹性变形的影响，材料变形为 均质和各向同性等。
b 2
3．停滞区
一般粘着区与停滞区的分界面可近似取 于是得： k c r / h K r / h d z 2
积分得： 2K r 2 / h 2 C z 3 当 r r c h 时， z zc ，
dr 2K r / h 0
， rc h
2 2 2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
'
3J 2
1 3 s
zx xy yz 2 x ( ) x y z x yz
xy yz zx 2 y ( ) y z x y zx
x h ( x d x )h 2 k dx 0
d x 2 k 整理后得： dx h 0
（2）由近似塑性条件 y x s 2 K
（ x、 y分别为数值，即绝对值）
→
d y d x 0
（3）将上式带入平衡方程，得： d y 2 k

圆柱坐标下的应力平衡微分方程
r 1 r zr 1 ( r ) 0 r r z r r 1 zr 2 r 0 r r z r rz 1 z z rz 0 r r z r
2 zx 1 2 z 2 x ( 2 2 ) 2 x zx z
4. 塑性变形全量广义胡克公式（应力、应变 关系）
1 1 ( ); E 2 1 1 ( ); E 2 1 1 ( ); E 2
1 3 s
建立塑性条件
再将近似塑性条件代入应力平衡微分方程中。
4、积分求解该常微分方程。
5、根据外力边值条件，确定上述积分常数。
由于经过简化的平衡方程和塑性条件实质上都是以
主应力表示的，故此得名。主应力法的数学演算比较简
单，计算结果的准确性和所作假设与实际情况的接近程
度密切相关。
金属塑性变形力学解析方法

解析对象
主要是求解变形力，此外可以求解变形量和变形速度等

解析方法
金属塑性加工时，加工设备可动工具使金属产 生塑性变形所需加的外力称为变形力。变形力是确 定设备能力、正确设计工模具、合理拟订加工工艺 规程和确定毛坯形状尺寸的必要的基本力学参数。
工程法（Slab法，主应力法） 滑移线法（Slip line） 上限法（Upper bound）（下限法）、上限单元法（UBET) 有限单元法（FEM,Finite Element Method）
d r 2 k r 0 dr h r
对于均匀变形，
上式即为：
r
d r 2 k 0 dr h
由近似屈服准则 2K，d d z r s r z 代入上式得： d z 2 k 2
dr h 0
→ z h re r ze
主应力法解题的过程
1、沿着模具的作用力的方向选取一个基元块或选取一 个单元体。在每一个面元上画出相应的应力，并假设 在每个面元上应力均匀分布。 2、沿某一方向写出静力平衡方程，展开并忽略高阶微 量，得一应力平衡微分方程。 3、将正应力视为主应力，通常认为沿模具作用方向的 正应力的绝对值为最大，且根据正应力的指向来确定 它是拉应力还是压应力，由此确定近似的σ 1与σ 3， 然后代入 Mises屈服准则：
平面应力状态

应力张量为
0 0 0
x xy ij yx y 0 0

应力平衡微分方程
x yx 0 x y yx y 0 x y
平面应变状态

变形物体在某一方向不产生变形，称为平面变形， 其应力状态称为平面应变状态下的应力状态。 平面应变的应力状态特点
k f y
代入
d y
2 k dx h
得：
d y dx

2f y h
上式积分得：
y
2f C1 exp x h
在接触边缘处，即 x W / 2 时， x 0 ，
由近似塑性条件得 y 2k
于是
fW C 2k exp h
dx h
2 k d y dx h 2 k y xC h
（4）边界条件，利用边界条件确定积分常数C： 当 x xe w / 2, y ye 2k s 时，
2 k C ye xe h
最后得：
2 k y ( xe x ) ye h
2. 塑性条件（屈服准则） Tresca屈服准则（最大剪应力准则）
ma x K
1 3 2k
Mises屈服准则
( 1 2 3 )
s

1 2 1 2 ( x y ) 2 ( y z ) 2 ( z x ) 2 6( xy yz zx )