张量分析-第3讲

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的切线方向。矢量 r 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）：
xi
gi

r xi

zj xi
ij
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基矢量。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交；
基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
基矢量不是常矢量，它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。
利用克罗内克符号，上式可写成：
ds2 ijdxidxj
克罗内克符号的一些常用性质：
ijxi xj
x j xi

j i
ijki kj
D) 置换符号
置换符号eijk=eijk定义为:
1
e ijk
e ijk

1
0
当i,j,k是1，2，3的偶置换(123,231,312) 当i,j,k是1，2，3的奇置换(213,132,321) 当i,j,k的任意二个指标相同
i,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
D) 置换符号（续）
置换符号主要可用来展开三阶行列式：
a11 a1 2 a3 1 aa12 a22 a32 a11a22a33a12a23a3 1a13a1 2a32
a13 a23 a33 a11a23a32 a12a1 2a33 a13a1 2a32
量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，它们由以下的变换法则相联系；
AˆiyAjxxyij
逆变矢量用上标表示；因此上标也称为逆变指标。
(3) 协变矢量(一阶协变张量)
一个量被称为协变矢量或一阶协变张量，若它在坐标系 xi 中有三个分量 Ai ，在坐标系yi中有三个分量 Âi ，其变换法则相为；

张量分析第三章

s′ r′
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ

【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章张量代数

按§2.5节三中（g）式面积矢量记法有：
dH 0 r u(r ) (r )dV
试证明物体 Ω 对o点的动量矩为：
H0 J ω
Ω
式中称为物体 Ω 对o点的二阶惯性矩张量（注：J 不是四阶单位张量。但 J表达式中的 I是二阶单位张量）。 u (r ) ω r 证： H (r u) dV r (ω r ) dV (r r )ω (r ω)r ) dV
I u (ii ii ) (u j i j ) u j iiij ui ii u
设存在另一二阶张量 I ，且满足 u I I u 。则： u I u I o ; uo ∵ I I O ; I I （唯一性） ∴ 3．
A : J ( Amn imin ) : (ii i j ii i j ) Amnmi jn ii i j Amn imin A
二阶张量与二阶张量的（一）点乘：
A B （Aij ii i j）（ Bmn imin）（Aij Bmn )ii (i j im )in Aij Bjn ii in
二阶张量与二阶张量的（双）点乘：
A : B ( Aij ii i j ) : ( Bmn imin ) ( Aij Bmn )(ii im )(i j in ) Aij Bij
A P2 A P2
A0 P2 Φ0 P4
Φ0 P4
（3.1-11）
A : Φ0 A
0 0
的 n ; A ; A ; ; 分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四阶单位张量。上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质： u u V n 1． u A0 A0 ii ii ij ii i j （3.1-12） 2． I 为单位二阶张量。 ii i j 且记 A ; A 为 I 。即 I ii ii ij。并称

【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向

设V中标准正交坐标系为 {i1, i2, i3} 。则二阶张量 A和矢量 u可表示为：
A Aij ii i j ; u ui ii A u u ; ( A I ) u o
可分别写成：或
u A u
;
u ( A I ) o
( Aij ii i j ij ii i j ) (umim ) o ; (umim ) ( Aij ii i j ij ii i j ) o A12 A13 u1 0 A11 A u 0 A A 22 23 2 21 （3.4-3） A32 A33 A31 u 3 0
det(A I ) 0 ( a) det(A* I ) 0 ( b)
∵ ∴ (a)、(b)两式是关于λ的三次相同的代数方程。也就是说 A的右特征值和左特征值相同。由 (a)式或 (b)式得： ∵
[( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] 0 a (b c ) [( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] det( A I )
; ∴
u ai 2
u1 0 u 2 a u 0 3
（a是任意实数）
是方程组（1）的非零解。
A u (i1i3 i2i1 i2i2 i3i1 ) (ai2 ) ai2 1u
因此 u = a i2是 A的λ1 = 1特征值对应的右特征矢量。左特征矢量： ∵
(detet Q) det(Q I ) det(Q I )
2 det(Q I ) 0 ∴ 因此得出结论：正交二阶张量 Q，当det Q =1时存在右特征矢量 r。其对应的特征值λ = 1。且：

数学张量分析PPT课件

x y z
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右散度表示为： diva a
diva a
ei i a je j
ij
a j xi
ai xi
iai
a1 a2 a3 x1 x2 x3
显然 diva diva
今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别
第7页/共92页
张量的散度
关于二阶张量场 T T的P左散度定义为：
间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：
xi xi xi' i, i ' 1,2,3
第23页/共92页
若 xi'是的线性函数，则 x i' 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：
xi
Ai i'
x i'
x i
x i'
xi'
这里
Ai i'
为变换系数，它是常数。
若 x i不是 xi' 的线性函数，则 xi' 称为曲线坐标。
标量的梯度：
标量函数：
f f (r)
则梯度为：
f gradf eii f
展开后有：
原式 1 f e1 2 f e2 3 f e3
f i f j f k x y z
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矢量的梯度：左梯度
grad a a (i ei )(a j ej ) (eii )(a j e j )
a ai gi ai gi
由 eijk 的定义可知，下列混合积等式成立：
gig jgk gi g j gk gig jgk eijk gig jgk gi g j gk gig jgk eijk
这两个量定义为爱丁顿(Eddington)张量并分别记为和ijk 。ijk 由此定义可知

张量分析——初学者必看精选全文

§ A-1 指标符号三、Kronecker-符号和置换符号(Ricci符号)
Ricci符号定义
偶次置换
1 若i, j, k 1,2,3, 2,3,1, 3,1,2 eijk 1 若i, j, k 3,2,1, 2,1,3, 1,3,2
0 若有两个或三个指标相等
e123 e231 e312 1 e213 e132 e321 1 e111 e112 e113 0
§A-4 张量的代数运算三、矢量与张量的叉积
A 张量分析
右叉乘
T a (Tijeie j ) (akek ) Tij akeie jkrer e T jkr ij akeier B
§A-4 张量的代数运算
A 张量分析
四、两个张量的点积
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是原两个张量的阶数之和减 2
坐标变换式 xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi, xi ) ii cos(xi , xi )
§A-3 坐标变换与张量的定义 A 张量分析
[ii ], [ii ]
互逆、正交矩阵
ii ii
ij
1 0
0 1
基矢量变换式
ei iiei ei iiei
坐标变换系数
v 任意向量变换式 i vii i vii i
ip iq ir eijk epqr jp jq jr
kp kq kr
pk
eijk ekqr
iq jq
ir jr
iq jr ir jq
a11 a12 a13 A a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31
a31 a32 a33 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 eijk a1ia2 j a3k eijk ai1a j2ak3

张量分析3

2.9克里斯托弗尔符号 ij   i g j  gkk  ig j  gkrgr  gkr ig j g r  gkr ijr(2.9.08) (2.9.09)同样地， ijk  g kr  ijr在基矢量组 g 1 ， g 2 ， g 3 中把  i g j 按下式分解 igj(4)在直线坐标系中， ijk  0 ，  ij  0k(2.9.10)k ij  ijp gp ij g pp(2.9.01) (2.9.02)p ij事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量 i i 和 e i 均为常量，故  ijk  0 和  (5)克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。

事实上，由于g ij , k   gk 0。

 ig j  这里分解系数  ijp 和 分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel)符号。

在某些文献中， p 第一类和第二类克里斯托弗尔符号分别用 ij , p  和   表示。

 ij gigj kgi gj g i  k gj  kij   kji(2.9.11) (2.9.12) (2.9.13)对指标进行轮换，则有jk , i  ijk   ikj用 g k 和 g 分别点乘式(2.9.01)和式(2.9.02)两边，则得 ijp gpkg ki , j   jki   jik把式(2.9.12)和式(2.9.13)相加，再减去式(2.9.11)，则得 (2.9.03) (2.9.04) 另外， ijk  1 2 g k   ijp kp k  ijk   i g j  g kk ij  ig j  ggkrjk , i g ki , j  gji , k(2.9.14)现述克里斯托弗尔符号的性质如下。

张量分析课件

P = ∑αij Ej （i=1,2,3） i
j =1
3
Pi′ = ∑ α i′j′ E j′ （i'=1,2,3）
j ′ =1
3
代入
将一阶张量Ej和Pi的变换规律
Pi′ = ∑ Ai′i Pi
3
代入
E j′ = ∑ Aj ′j E j
j =1
i =1 3
∑A
i =1
3
i ′i i
P = ∑∑ α i′j′ Aj′j E j
证：刚体定轴转动:
ω
(Z轴)转轴
刚体
(
)
v τi A ni O′ ri
v
刚体定轴转动
r2 r r I 质点：ij = m(rij δ ij − ( r )i ( r ) j ) O
v Ri
= m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3)
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩. 证：质点：I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j, k=1, 2, 3) 九个分量:
δij在坐标变换后，其各个分量的值不变. 即在任意坐标系中按上式定义的二价对称δ符号是一个二阶张量.
例3. 设质量为m的质点位于点（x1, x2, x3）, 证明在正交变换下，由九个分量构成的一个物理量Iij是一个二阶张量, 其中： I ij = m(δ ij xk xk − xi x j ) (i, j=1, 2, 3) —称Iij为质点的惯性积，有Iij定义的物理量叫惯性矩.

张量分析3

第三章张量分析将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变导数是另一个张量，这是张量分析发展中最重要的里程碑碑。

张量的协变导数是本章讨论的重点。

§3.1 基矢量的偏导数与克里斯托费尔符号求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乗积之和求导：j ,i i i i j ,j ,i i j ,jg V g V )g V (V xV +===∂∂ (3.1-1a) i j ,i i j ,i j ,i i g V g V )g V (+== (3.1-1b) 上式中的“，”号表示偏导数，本书以后均采用此记法。

（3.1-1a ）、（3.1-1b ）式中有基矢量i g 和对偶基矢量i g 对于曲线坐标j x 的偏导数j ,i g 和i j ,g 。

下面分别进行讨论。

一、基矢量i g 的偏导数j ,i g由基矢量的定义[（1.4-4）式]可以写出s j i s2s i s j j ,i i xx z )i x z (x g ∂∂∂=∂∂∂∂=这表示基矢量i g 对于坐标j x 的偏导数也是矢量，它也可以分解成沿对偶基矢量i g 或基矢量i g 方向的分量：kkijkijkj,i g g g Γ=Γ= （3.1-2）式中ijk Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量；k ij Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量。

从它们的意义可以理解，为什么ijk Γ和k ij Γ中包含I,j,k 三个指标。

若用另一基矢量点乘（3.1-2）式，就得到i j klk i j l k l i j l k j ,i g g g g Γ=δΓ=⋅Γ=⋅ (3.1-3a) k ij k l l ij k l l ij k j ,i g g g g Γ=δΓ=⋅Γ=⋅ (3.1-3b)ijk Γ称为第一类克里斯托费尔（Christoffel ）符号；k ij Γ称为第二克里斯托费尔符号。

（3.1-2）式或（3.1-3）式都可以作为克里斯托费尓符号的定义。

张量分析第3次课3

r r i i r r ∂x ∂x ∂X ∂X = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
(2) 柱坐标系正交曲线坐标系：正交曲线坐标系： x1 =
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ ρ , x2 = ϕ , x3 = z
2
2
g11 = 1
2
g33 = r sin θ
2
2
β = 2 或3时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号.
1 1 1 ∂g 22 1 ∂g 22 1 ∂ 2 1λ 11 = g [22, λ ] = g [22,1] = − = − = − (r ) = −r 1 1 2 ∂x 2 ∂r g11 2 ∂x 22
∂g λγ ∂g βλ ∂g γβ ∂x β + ∂x
得
1 αλ = ∑g 2 λ
Γα βγ
2 2 2 ∂ ∂ ∂ H H H 1 1 γ β γ = δ γα + γ δ αβ − α δ γβ 2 β ∂x ∂x 2 Hα ∂x
2 2 1 1 ∂g 22 1 1 ∂ 2 1 2λ 22 = 2 (r ) = = = g [21, λ ] = g [21, 2] = 1 g 22 2 ∂x r 2 ∂r r 21 12
ik k g g = δ ∑ ij j i
∂g ij ik jm ∂g ∂g jm g ij g = =− l g g l l ∂x ∂x ∂g βλ ∂x = [ βγ , λ ] + [λγ , β ] 代入 γ mk ∂x ∂g
ik mk
ik jm ik jm

《张量分析本科》课件

2
流体力学
流体力学中的张量可描述液体和气体的流动性质，从而帮助工程师设计和优化流体系统。
3
材料科学
张量在材料的力学行为、热膨胀和磁性等方面的研究中起着重要作用，有助于材料性能的改进。
经济学中的张量应用
金融风险评估市场分析关联性，对风险评估和投资决策具有重要意义。
《张量分析本科》PPT课件
这个课程将介绍张量的定义、基本概念、运算和性质，以及它在物理学、工程学和经济学等领域的应用。
张量的定义和基本概念
张量是一个多维数组，具有特定的变换规律。它在数学和物理学中扮演着重要角色，能够描述物体在各个方向上的变化。
张量的运算和性质
张量可以进行加法、乘法等运算，还具有一些特殊的性质，如对称性、反对称性和行列式等。这些运算和性质是研究和应用张量的基础。
学科交叉
张量分析作为一门综合性学科，促进了不同学科之间的交流与合作，推动了学科发展的跨越性进展。
学习资源推荐
1 书籍和教材推荐
2 网上教程和视频
《张量分析导论》、《张量分析教程》等是学习和研究张量分析的重要参考资源。
有许多免费的网上教程和视频，可以帮助初学者快速入门和掌握张量分析的基本概念和应用。
张量在市场需求、价格和产量之间的关系分析中，能够提供深入洞察和科学决策支持。
张量分析可以用于挖掘大规模数据集中的模式和趋势，为经济预测和决策提供准确和可靠的依据。
张量分析的重要性
科学研究
张量分析在各个学科的科学研究中发挥着重要作用，帮助解决复杂问题和揭示自然规律。
技术发展
随着科技的发展和应用领域的拓展，张量分析为新技术的发展提供了关键理论基础。
张量的坐标表示和变换规律

张量分析课件-3.1 张量函数各向同性张量函数的定义和例

在坐标系R′中，
fR u fR u1,u2 u1 cos sin u2 sin cos
一般来说，同一个函数在不同的坐标系中， fR u1,u2,u3
与fR u1,u2,u3 的形式是不同的。
X~ ~
（2）若X=u 为矢量，则
X~ u~ Q u uQT
（3）若X=T 为二阶张量，则 X~ T~ Q T QT
为T 的正交相似张量。上面各式中Q 为任一正交张量。
定···，义Xn一改函为数其旋=转f (X量1，X~1X, 2X~，2,···，, X~Xnn）时，，当函将数自值变必量相X1，应X地2，变
fR u1,u1,u1 fR u1,u2,u3
若标量函数的表示形式不因坐标系（因而基矢量）的刚性旋转而改变，则称这样的标量函数为各向同性标量函数。即定义满足下式：
f u1,u2,u3 f u1,u2,u3
x2
x2′
u2′
F λJ1G 2μ 为Lamé参数，为剪切模量
例3.11 二阶张量T 的二阶张量函数 H
H FT T 2
例3.12 二阶张量T 的二阶张量函数 H
H F T
a0
J1T
,
J
T 2
,
J
T 3
G a1
J1T
,
J
T 2
fR u~1,u~2 fR u1,u1
定义矢量的标量函数=f (u)，如将自变量u 改为 u~ Q u
(Q 为任意正交张量），函数值保持不变，则称此标量为各向同性标量函数。
推广至各种张量函数，定义张量X 的旋转量 X~ ：

连续介质力学第二章new

一般地为高一阶的张量。
T T
3、散度
矢量场的散度，为标量矢量场的左散度定义为：
r r diva a
u r ur 原式 ( i ei )( a j e j )
i a jij i ai
1a1 2 a2 3a3
ax ay az x y z
ekjp j Tik
一般
T T
小
结：哈密顿算子
u r i ei
梯
度
u r gradf f ei i f
散
度
r r diva a i ai
curla a
旋
度
2.2
定义：
克里斯托弗尔符号
在基矢量组 g 1，g 2 ，g 3中把 i g j 按下式分解
r ir g

r ir
i g
g
i log g

k k 由于 l g j g ，故有
i g j g k i g j g k i g k g j 0
于是
i g k g j ijk
i g j ipj g p
T pk e p e k
其中：

T pk
e jip j Tik
右旋度定义为：
c url T T
Tik e i e k e j
e kjp j Tik e i e k
T ip e i e p
其中：

j

T ip
i g j ijp g p
ig j pij g p
这里分解系数 ijp和 ij分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel ijk关于指标i和j对称。

张量分析各章要点

各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章：二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。

(完整版)《张量分析》报告

一爱因斯坦求和约定1.1指标变量的集合：n n y y y x x x ,...,,,...,,2121表示为：n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,==写在字符右下角的指标，例如xi 中的i 称为下标。

写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。

用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。

1.2求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。

这是一个约定，称为求和约定。

例如：333323213123232221211313212111bx A x A x A b x A x A x A bx A x A x A =++=++=++筒写为：ijijbx A =ｊ——哑指标ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。

不求和的指标称为自由指标。

1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号Kronecker-δ符号定义j i ji ij ji ≠=⎩⎨⎧==当当01δδ置换符号ijkijk e e =定义为:⎪⎩⎪⎨⎧-==的任意二个指标任意k j,i,当021)(213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2，1是k j,i,当1ijk ijke ei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。

置换符号主要可用来展开三阶行列式：231231331221233211231231133221332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==因此有：ijmjimii i i jijAA aa a a a ==++=δδδδδ332211kijjkiijkkjiikjjikijkee e e e e e ==-=-=-=同时有：ijjijij iiiijijijkj ikilkljkijjjiiijijijkjikiie e aa aa a a a aa δδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⋅=++=========++=332211332211331001010100131211232221333231321333222111321321321-=====δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδe e k j i k j i k j i k k k j j j i i i ijk333222111321321321r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijke e δδδδδδδδδδδδδδδδδδ⋅=ipp i p i p i p i δδδδδδδδδ==++11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijke e δδδδδδδδδ=jqirjriqjrjqiriqkqrijke e kp δδδδδδδδ-===321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211k j i ijkkjiijkaa a e a a a e aa a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa a aaa a A ==---++==Kronecker-δ和置换符号符号的关系为：itjsjtiskstkije e δδδδ-=二张量代数2.1张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。

第3章张量分析(清华大学张量分析你值得拥有)精品PPT课件

※矢量的矢量函数 F (v) 的有限微分
F(v; u) lim F (v hu) F (v)
h0
h
F (v hu) F (v) hF (v; u) O(h2 )
dF hF(v; u) hF(v) u F (v) dv F(v) dF
dv
※张量的张量函数的有限微分（协变微分意义下）
张量函数 T ( A)，其中， A Aij gi g j，C Cij gi gj
T(A;C) lim T (A hC) T (A)
h0
h
T(A;C) T(A;Cij gi gj ) T(A; gi gj )Cij
T (A hC) T (A) T(A;C)h O(h2)
T( A) : Ch O(h2)
T(A) : C
dT T ( A) : dA T ( A) dT dA
注意：至此，都只是给出定义！
➢ 张量函数导数的链规则
★类似于经典的复合函数求导
经典复合函数 (g(x)) 的导数
d d dg d dg dx d d dg
dg
dห้องสมุดไป่ตู้ dx
dx dg dx
张量的张量复合函数 H H(F (T)) 的导数（二阶张量）
H f (N ) H k0G k1N k2 N 2
ki
ki
(
J1N
,
J
N 2
,
J
N 3
)
例：应力应变关系
1、各向同性材料
σ k0G k1ε k2ε2 ,
ki
ki (J1
,
J
2
,
J
3
)
2、线性各向同性材料
k2 0 k1 2 k0 J1

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张量分析 ( Tensor analysis)
华中科技大学力学系罗俊
版权所有 2011 华中科技大学力学系
1.8 张量代数
1.零张量如果阶张量的每个分量均为零，则称此张量为零张量。 2.张量的相等设两个张量A和B在同一坐标系的同种类（协变，逆变，混变）分量均相等，则称此两张量相等
AB
Aij B ij
A A gig jg A gig g
ij k k i jk j k
A A gig j g A gig g A g g g
k j k i j

ij k
i jk
ijk
k
A g i g j g A g i g g A kji g g g
k j k i j
A( i ', j ') ri ' sj ' A(r , s )
前几节主要内容回顾
1.9 置换符号及置换张量解决矢量及基矢在任意坐标系中的叉乘运算问题. 1. 奇排列,偶排列,置换符号奇排列: 132，213，312 偶排列: 123，231，312
置换符号:
1, ijk e eijk 1 0,
根据:
g 2 g3 g 3 g1 g1 g 2 2 3 , g , g g g 2 ( g 3 g1 ) g 3 ( g1 g 2 ) g1 (g 2 g 3 )
1
有:
g j g k ijk g
或根据:
i
g j g k g i (g j g k ) g i ijk g i
n
A g mg j g A gig j g
n
ij k k i jk
jm n
ji k
k
A A gig jg A gig g
j k
方法一:
ij k j k i j k i A A g g g A g g g A g k i j jk i ijk g g i A kji g i g j g k A kj g i g j g k A kji g i g j g k
4.张量积设有一个m阶张量A和一个n阶张量B，如果有一个 m+ n阶张量C,其分量分别为A和B相应分量的乘积，则C为张量A和B的张量积，这种运算称为张量的并乘。
C AB
以2个阶张量A和3阶张量B为例，协变分量
C Aij g g Blmn g g g Aij Blmn g g g g g
ijk为偶排列 ijk为奇排列 ijk有相同
eijk 或eijk 虽然有上下指标，但它们不是张量，
因为它们不满足坐标变换关系
2. 置换符号的应用
e1 a b a1 b1 e3 a2 b2 e3 a3 ( a 2 b3 a3b2 )e 1 ( a 3b1 a1b3 )e 2 ( a1b2 a 2 b1 )e 3 b3
9.对称张量与反对称张量取张量对某一对指标转置张量，如果:
A A
则称该张量为对称张量. 如果:

A A
则称该张量为反对称张量.

张量的对称部分:
S (A A )
1 2

张量的反对称部分:
U (A - A )
1 2

任意张量可分解为对称张量与反对称张量之和
A (S U )
C A B A gi g g B g mg ng A B g g g ng
i jk j k mn l l i jk mn j l m i k l k
l
A B gig g ng C
i jk jn l k l
i n k l
gig g ng
1 3 2 2 1 3 3 2 1
所以有:
1 ijk g i (g j g k ) g eijk , g (g g ) e g
i j k
令:
ijk g i (g j g k ),
ijk
g (g 可以证明，
ijk
为三阶张量的协变和逆变分量
r i' s j' t k' r i' s j' t k ' rst
i ' j 'k ' g i ' ( g j ' g k ' ) g r ( g s g t )
i ' j 'k ' g i ' (g j ' g k ' ) ri ' g r ( sj ' g s tk ' g t ) ri ' sj ' tk ' rst
A( i',j' ) B k ' C i' j 'k ' ri ' sj ' tk 'C rst ri ' sj ' tk ' A(r , s ) B t
t k' ri ' sj ' tk ' A(r , s ) m' B m ' ri ' sj ' m A(r , s ) B k '
B g g jg
t
m t ij mn t Aij mn Brn g g g A B g g g t r mn t i j i j
8.张量的转置方法一:张量基矢的排列顺序不变，调换张量分量的某一对指标顺序（但指标的上、下位置保持不变），这样得到的张量称为原张量关于这对指标的转置，用*号表示。例：A为三阶张量，求它关于1、3指标的转置张量
a
1 3 2 3 3 3
a a a a a a a a a
1 2 3 1 3 2 1 2 3 2 1 3 ijk i j k a1i a2j a3 e a k 1a2 a3eijk
1 2 3 3 2 1
3. 置换张量
g1 , g 2 , g 3 构成右手螺旋系时:
g1 (g 2 g 3 ) g
1 g (g g ) g
1 2 3
g11 g g 21 g 31 g 11 1 21 g g g 31
g12 g 22 g 32 g 12 22 g g 32
g13 g 23 g1i g 2 j g 3k e ijk g 33 g 13 23 1i 2 j 3 k g g g g eijk g 33
B B
张量缩并一次降两阶!
B
k j
A
km mj
不同的基矢点积将得到不同的缩并张量。偶数阶的张量可缩并为标量，奇数阶的张量可缩并为矢量
其它例子
6.张量的点积 1. 两个张量先并乘后缩并的运算称为点积。应指明对哪对指标（基矢）点积。如果A为m阶张量， B为n阶张量，它们的点积C 是一个m+ n-2阶张量。
A B
ij
ij
Ai j Bi j
Ai j Bi j
3.张量的和设两个同阶的张量A和B，将它们同一坐标系的同种类（协变，逆变，混变）分量相加，得到的新张量称为两张量之和。
C AB
C A B
ij ij ij
C AB
C A B
ij ij ij
不同种分量相加得到的是不是张量?
由于: g g (g g ) g (g g ) g (g g ) 1 2 3 2 3 1 3 1 2
g 1 (g 3 g 2 ) g 2 (g 1 g 3 ) g 3 (g 2 g 1 ) 1 1 2 3 2 3 1 3 1 2 g (g g ) g (g g ) g (g g ) g g (g g ) g (g g ) g (g g )
10.商定律数的代数运算有加、减、乘、除等四种，张量的代数运算也有加、减、乘等三种，但没有除法运算。与数的除法运算相对应，有张量的商定律。设 Ai,j 有9个分量，B为任意矢量，C为一阶张量，在任意坐标中，恒有 A(i , j ) B k C ijk，则A必为二阶张量，且
A(i,j) 为逆变分量。
a1b2 e 3 a 2 b3e 1 a3b1e 2 a1b3e 2 a 2 b1e 3 a3b2 e 1 e ijk ai b j e k
a a a a
1 1 2 1 3 1
a
a
a
1 2 2 2 3 2
a
2 3 1 2 3 1 2 3 a a1 a a a a a a 1 2 3 2 3 1 3 a1 a2

i r j r k r

2.前一个张量A的最后一个基矢与后一个张量B的第一个基矢相点积得到的张量记为
C AB
7.张量的双点积定义两个张量先并乘之后再进行两次缩并的运算称为双点积串连式(内内外外)
t ij rs n m t A B Aijmngig j gmgn Brs g g g A B g g g t r s mn t r s i j
i j
m l n
AB BA
(A B)C AC BC
A(B C) AB AC
证明: 用张量的实体记法!
ABC A(BC)
5.张量的缩并如果将某一张量的某一对基矢（一般选一个逆变基和一个协变基）进行点积，则所得到的低两阶的张量，称为原张量缩并。
AA
km ij
ijk g g g g i g j g k 称为置换张量

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