《高中物理奥赛经典》之极限法
奥赛例题及答案—极限法
练习题六：极限法A1、物体A 在倾斜角为θ的斜面上运动，如图所示。
若初速度为0v ，它与斜面间的摩擦系数为μ，在相同的情况下，A 上滑与下滑的加速度大小之比为：A. θθμθμθsin cos cos sin --B. θμθθμθcos sin cos s -+inC.θμtan + D.θμθθμcos sin cos -A2、如图所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为m 0的平盘，盘中有一物体，质量为m 。
当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L 。
今向下拉盘使弹簧再伸长△L 后停止，然后松手放开。
设弹簧总处在弹性限度内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于（ A ）。
A. mg L L )1(∆+B.g m m L L ))(1(0++∆C. Lmg ∆D. g m m LL)(0+∆ A3、如图所示，两点电荷所带电量均为+Q ，A 处有一电子沿两电荷连线的中垂线运动，方向指向O 点。
设电子原来静止，A 点离O 点足够远，电子只受电场力作用，那么电子的运动状态是（ ）。
AA.先匀加速，后匀减速；B.加速度越来越小，速度越来越大；C.加速度越来越大，速度越来越小；D.加速度先变大后变小，最后变为零。
用极限法考虑问题时，在选定的区域内所研究的物理量必须是连续单调变化的。
在本题中，A 到O 变化区域内，加速度a 并不是单调变化的，为什么也可以应用极限法呢?实际上我们选用了两个特殊点A 和O 点，只研究了这两个点附近区域a 的变化。
在A 点和O 点附近区域内a 仍是单调变化的。
在A 和O 之间还存一个a 为极大值的位置B 。
从A 到B ，a 是单调增大的，从B 到O ，a 是单调减小的。
将A 到O 分成两个单调区域，极限法可以使用了。
A4、设地球的质量为M ，人造卫星的质量为m ，地球的半径为R 0，人造卫星环绕地球做圆Aθm 0mO+Q+Q周运动的半径为r 。
试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度 )2(00rR g R v -=，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。
(完整word版)高中物理八大解题方法之五：极值法
- 1 -高中物理解题方法之极值法江苏省特级教师 戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。
本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法.一、 二次函数求极值二次函数a ac b a b x a c bx ax y 44)2(222--+=++=，当a b x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a 〉0，为极小值，若a<0，为极大值。
例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起）动能损失最大.设第一个物体的质量为1m ,速度为1V .第二个物体的质量为2m ,速度为2V .碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。
假使这四个速度都在一条直线上。
根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' (2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。
碰撞中动能损失为ΔE k =（)22()22222211222211'+'-+v m vm v m v m (3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1)得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4)代入（3）得：- 2 - E k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+］ 二次函数求极值， 当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ (5) 时∆E k 有极大值.回到物理问题,将（5)代入(4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明，m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。
高中物理解题技巧：巧用极限法
高中物理解题技巧：巧用极限法极限法的概述在高中物理试题中常用的解题方法中，极限法是其中之一。
但是极限法的起源却要追溯到对于数学领域的研究过程中。
在中国古代的东汉时期，一位著名的数学方面的科学家刘徽提出了一种计算圆周率的方法，即“割圆术“。
这种方法是利用正多边形进行内接或者外切的实验来使其无限地接近于圆，刘徽利用这种方法最后求出了圆周率的近似值。
由此也可以看出，刘徽的圆周率应用的方法与极限法是极其吻合的，都是一个从有限认识到无限认识的过程。
同时值得注意的是，运用这种极限法计算出来的圆周率使其在未来以前多年间稳居世界领先位置，并且为中国教育事业的发展做出了突出的贡献，就可以看出极限法对于促进我国教育事业发展起到的重要作用，所以在将其运用到高中物理试题的解答过程中时，我们学生本身一定要掌握好极限法本质的特征，在充分理解极限法原理与应用的基础之上，不断提高我们自身的学习成绩。
巧用极限法来解答高中物理试题在高中物理教学中，我们在学习瞬时速度的一节课时，应用到解题方法就是极限法。
一般在对瞬时速度的相关习题进行分析时，我们都会从运动学的角度入手。
根据高中物理课本中的基础知识我们可以知道，物理中平均速度的公式是V=△X/△T，而当我们在求物体运行的瞬时速度的时候，就可以假设△T趋近与无限小时，我们就可以将V当做是物体运动过程中的瞬时速度。
而我们在计算公式中的瞬时速度的物理学含义则是表示某人或者某个物体在某一时间点所移动的速度。
在极限法运用的过程中，只出现一个物理量变化的情况很多，但是这并不代表表不存在两个物理量会发生变化情况的存在。
如果一旦物理量中的两个同时发生上升或者下降的变化，但是值得注意的是，这种变化之间的关系必须是函数关系。
这是只要我们对其中一个变量进行持续不断地改变时，一定会在某一个时刻使另一个变量出现极限值。
利用这种极限法来解决这类的物理试题不仅简化了试题的计算量，而且提供了极为有效的解题方法，使的我们对于物理的学习更加方便易懂，从而能达到提高我们学习效率与学习成绩的目的。
高三物理巧用极限法分析临界问题(附答案)
高三物理巧用极限法分析临界问题临界问题的分析是中学物理中较为常见，也是很多同学感到困难的问题之一，这就要求我们在教学中能不断探索这类问题的分析方法。
极限法分析临界问题，是通过分析把关键物理量同时推向极大和极小时的物理现象，从而找出解决问题的突破口的一种方法。
下面通过几种情况的分析来体会：一、关键物理量“力F ”【例1】如图1所示，物体A 的质量为2kg ，两轻绳AB 和AC(L AB =2L AC )的一端连接在竖直墙上，另一端系在物体A 上，今在物体A 上另施加一个与水平方向成α=600角的拉力F 。
要使两绳都能伸直，试求拉力F 的大小范围。
(g=10m/s 2)分析与解 如果F 很小，由竖直方向平衡知轻绳AB中必有张力，当AC 中张力恰为零时，F 最小；如果F 很大，由竖直方向平衡知轻绳AC 中必有张力，当AB 中张力恰好为零时，F 最大。
设物体的质量为m ，轻绳AB 中的张力为T AB ，AC中的张力为T AC ，F 的最小值为F 1，最大值为F 2L AB =2L AC ，有∠CAB=600由平衡条件有：F 1sin600+T AB sin600=mg , F 1cos600=T AB cos600F 2sin600=mg以上各式代入数据得：F 1=20√3/3N ，F 2=40√3/3N因此，拉力F 的大小范围：20√3/3N ＜F ＜40√3/3N此题也可由平衡条件直接列方程，结合不等式关系T AB ＞0，T AC ＞0求解。
二、关键物理量“加速度a ”【例2】质量为0.2kg 的小球用细绳吊在倾角θ=600的斜面体的顶端，斜面体静止时，小球紧靠在斜面上，线与斜面平行，如图2所示，不计摩擦，求当斜面体分别以（1）2√3m/s 2，（2）4√3m/s 2的加速度向右加速时，线对小球的拉力。
分析与解 很多同学看到题目就会不加分析的列方程求解，从而出现解出的结果不符合实际。
其实，如果我们仔细审题就会发现题目设问的着眼点是加速度。
高中物理极限法课件
x2R21 x2R22
B 、 E2k( 1 1 )x
x2R21 x2R22
C 、 E2k( R 1 R 2 )x
x2R21 x2R22
D 、 E2k( 1 1 )x
x2R21 x2R22
物理学中有些问题的结论不一定必须通过计算才能验证，有时只
需要通过一定的分析就可以判断结论是否正确。如下图为两个彼 此平行且共轴的半径分别为R1和R2的圆环，两圆环上的电荷量 均为q (q＞0)，而且电荷均匀分布。两圆环的圆心O1和O2相距为 2a，联线的中点为O，轴线上的A点在O点右侧与O点相距为 r(r<a)。A点放一电荷量为q1的点电荷，以下关于A点处的q1受力
D、 F
kq(ar) 3
kq(ar) q 31
R [1 2 (ar)2]2 R [2 2 (ar)2]2
A、 FR1 2 k( qaR1 r) 2R2 2 k( qaR2 r) 2q1
B、F
kqR1 3
kqR2 3 q1
[R12(ar)2]2 [R22(ar)2]2
C、FR12kq((aarr))2R22kq((aarr))2q1
如图1所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在相互 作用的引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，运动的周 期均为T1；如果是星球A围绕星球B做匀速圆周运动且 保持星球A与B间的距离不变，如图2所示，运动的周期 为T2，那么T1与T2之比为〔B 〕
T1
A. T 2
M m M
T
1
T2
M m m
C.
T1 T2
2f mg
和v0
)
mg f mg f
D.
v2 0
高中物理极限法解题例析
（高中物理）极限法解题例析2012-8-10历年高考物理试题都是以能力为核心的，即考查学生的分析问题和解决问题的能力，具体的能力包括，判断能力，推理能力，思维能力，这些能力的形成需要用具体的思维方法来引导。
极限思维方法就是物理教学中的的一种。
极限和极限思维，极限本是个数学概念，研究量的变化趋势和数学关系。
当一个变量趋于无限大或无限小时，另一相关量的变化趋势。
如一位空间取极限，12x x x -=∆，长度变成坐标点，时间取极限12t t t -=∆，时间变成了时刻，极限在物理学中的应用就形成了极限思维方法。
物理学中的极限思维方法，是针对物理对象的过程和状态的变化，按照物理过程的变化趋势合理外推到极端的情况。
研究物理问题时，通常是将状态参量的一般变化，推到极限值。
在物理学中的平均速度和瞬时速度的关系也是和极限有关的，当时间取极限，位移取极限，平均速度就转化为瞬时速度。
极限法解题可以化繁为简，化难为易，具有简捷迅速等优点。
【例1】如图一所示，质量为m=1Kg 的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体质量为M=2Kg ，斜面与物块间的动摩擦因数μ=0.2，地面光滑，θ=370，现对斜面体施一水平推力F ，要使物体m 相对斜面静止，力F 应为多大？（设物体与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10m/s 2）【解析】：现采用极限法把F 推向两个极端来分析：当F 较大时（足够大），物块将相对斜面上滑；当F 较小时（趋于零），物块将沿斜面加速下滑；因此F 不能太小，也不能太大，F 的取值是一个范围（1）设物块处于相对斜面向下滑的临界状态时，推力为F 1，此时物块受力如图乙，取加速度a 的方向为x 轴正方向。
对m ：x 方向： 1cos sin ma N N =-θμθy 方向： 0sin cos =-+mg N N θμθ对整体：11)(a m M F += （图一） 把已知条件代入，解得：21/78.4s m a =,N F 34.141=（2）设物块处于相对斜面向上滑的临界状态时，推力为F 2，此时物块受力如图丙，对m ：x 方向：1cos sin ma N N =+θμθy 方向：0sin cos =--mg N N θμθ对整体：22)(a m M F +=把已知条件代入，解得：21/2.11s m a =，N F 6.331=则力F 的范围：N F N 6.334.14≤≤点评：里的取值范围决定物体运动趋势与状态，物体的运动趋势与状态又是分析力的取值的一个基础，因此，分析还是要结合力与状态的关系出发，运用极限的方法，寻找解题的思路。
极限法在高中物理解题中的应用探究
极限法在高中物理解题中的应用探究笔者查阅高中阶段的各类物理考试和竞赛试题发现，目前高中物理试题考察的角度已经不是简单的物理定律和理论知识，而是学生的实际应用能力、逻辑思维能力和思变意识。
极限法和极限思维本来是一种数学思维，在物理学上近些年开始广泛地使用。
极限法在高中物理中的应用主要针对物理对象的过程和状态的变化，按照物理过程的变化趋势合理外推到极端的情况。
这种方法的应用为物理难题的解决找到了突破口和切入点，一定程度上简化了解题过程和提高了解题效率。
笔者通过大量的案例来诠释极限法在高中物理试题解答中的具体应用。
案例1如图1中所示，角度数为OP的斜面上方有一点O，在O点放一至斜面的光滑直轨道，并且满足这一质点从O点沿轨道到达斜面P点的时间最短。
试问直轨道与竖直方向的夹角β是多少？图1试题解析从题干中给出的条件知道质点沿OP做的是匀加速直线运动，其运动到P点的时间应该和待求的问题β角有一定的关系，从另外一个角度分析，只要解答t对于β角的函数的极值就可以解决问题。
对于学过的物理知识，需要运用的是牛顿运动定律。
由此可知，这一质点沿光滑轨道下滑的加速度为a=gcosβ，该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t，则112at2=OP，解得t=2OOP1gcosβ①利用数学关系式，在△OPC中有OP1sin（90°-α）=OC1sin（90°+α-β）解得OP=OCcosα1cos（α-β）②将②式代入①式得t=2OCcosα1gcosβcos（α-β）=4OC1[cosα+cos （α-2β）]g经分析得知，当cos（α-2β）=1，即β=α12时，求得t的最小值，即β=α12时，t最短。
案例2如图2，底角为θ的斜面顶端，以初速度为v0水平抛出一小球，忽略阻力，则小球被抛出后，求离开斜面的最大距离H？图2解析解决此题的关键是分析什么时间小球距离斜面的距离最大。
从图形可以看出只有当所抛物体的速度方向与斜面平行时，二者的距离最大。
高中物理学习方法：极限法
高中物理学习方法：极限法
高中物理是理科三大科目之一，在大学的很多专业都有广泛应用。
小编给大家整理了这篇《高中物理学习方法：极限法》，供大家参考。
高中物理极限法英语 极限法在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用。
由有限小到无限小，由有限多到无限多，由有限的差别到无限地接近，
就达到事物的本真。
极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，借助极限法，人们可以从直线去接近曲线，从有限接近无限，从“不变”认识“变”，从不确定认识确定，从近似认识准确.从量变认识质变。
高中物理极限法起源 早在中国东汉时期的中国伟大的数学家刘徽，在
几何方面，提出了”割圆术”，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求
圆面积和圆周长的方法.他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果.他
用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和园面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”他计算了3072边形面积并验证了这个值.刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。
“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。
体现了微积分
的思想。
高中物理学习方法：极限法 高中物理教学中关于瞬时速度的分析就采
用了这种极限法的思想，从运动学角度看,平均速度的公式是v=△x/△t,当△t足够小的时候所求的v就是瞬时速度。
得的平均速度就越能较精确的描述人经
过某点时的快慢程度。
当位移足够小(也就是时间足够短)时，所得到的平均。
高考物理 解题方法之极限思维法和极值法素材
当滑动片在变阻器的两个端点时，电路中的电阻最小（相当于两个定值电阻中有一个被导线短路）。
对于CO 和OD 两支路，采取极限的方法进行分析：设O 点移至滑线变阻器的左端点，电路的总电阻R R 总=23，总电流I U R UR ==总32，此电流全部从电流表A 3流过，显然I I 0<，电流表A 3的电流大于I 0，而电流表A 4中流过的电流为URI 20=。
因此，本题正确选项为B 、C 。
例5：如图所示的电路中，闭合开关S ，调节有关电阻使电流计的读数为零，这时：（ ）A 、 若R 1增大，则G 中的电流从a 到b 。
B 、 若R 2增大，则G 中的电流从a 到b 。
C 、 若R 3减小，则G 中的电流从a 到b 。
D 、 若R 4减小，则G 中的电流从a 到b 。
解析：可用极端思维法来解决，既然R 1、R 2增大，就让它们断开，这样就很容易得出选项B 是正确的；既然R 3、R 4减小，就让它们短路，同样也很容易得出选项D 是正确的。
点评：把对问题的分析推向极端情况，常会收到事半功倍的效果。
1．（2002年全国理综卷）在如图所示的电路中，R 1、R 2、R 3和R 4皆为定值电阻，R 5为可变电阻，电源的电动势为E ，内阻为r 。
设电流表A 的读数为I ，电压表V 的读数为U 。
当R 5的滑动触点向图中a 端移动时（ ）A ．I 变大，U 变小B ．I 变大，U 变大C ．I 变小，U 变大D ．I 变小，U 变小【解析】由图易知R 5的滑动触点向a 端移动时R 5有效电阻单调变小，引起电路中各量的变化也是单调的。
设滑动触点到达a 点，则R 5被短路，（极值法），并联部分等效于一根导线，则外电阻变小，路端电压U 变小，从而可排除选项B 、C 。
电流表所在支路被短路，则电流表读数减至零也是变小的，所以应选选项D 。
2．（2001年高考全国理综）在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v 1，摩托艇在静水中的航速为v 2，战士救人的地点A 离岸边最近处O 的距离为d 。
物理解题方法之极限思维法和极值法
P1点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，
R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P1.
②
再考虑N的右侧。任何粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以
2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P2点，此即右侧能打到的最远
【解析】当水流速度v1=0（极限）时，摩托艇登陆的地点是O点，也
就是离O点距离为零，此时用时最短，只有C选项正确。
3．（04年广东）如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向
里，磁感应强度的大小B=0.60T，磁场内有一块平面感光板ab，板面与磁场
方向平行，在距ab的距离l=16cm处，有一个点状的放射源S，它向各个方
在解题时，一定要先判定物理量间的变化关系是否为单调变化。若物理量间
的变化关系为单调变化，可假设某种变化的极端情况，从而得出结论或作出
判断。
极限法常见用于解答定性判断题和选择题，或者在解答某些大题时，用极
限法确定”解题方向”。在解题过程中，极限法往往能化难为易，达到”事半功
倍”的效果。
【典型例题】
例1.如图所示电路中，当可变电阻R的阻值增大时（）
点.
由图中几何关系得③
所求长度为④
代入数值得P1P2=20cm⑤
4．（03年江苏）图1所示为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端拴一小
物块A，上端固定在C点且与一能测量绳的拉力的测力传感器相连.已知有一
质量为的子弹B沿水平方向以速度射入A内（未穿透），接着两者一起绕C
析题中所给条件，再根据物理规律写出物理量间的关系，列出函数表达式，
利用数学知识予以判断解答，过程复杂，需要时间较多，显然不能适应高考
高中物理极限法的应用
极限法的应用一. 本周教学内容：物理解题方法复习专题--极限法的应用二。
重点、难点：（一）物理思想在物理问题中，有些物理过程虽然比较复杂，但这个较为复杂的物理过程又包含在一个更复杂的物理过程中.若把这个复杂的物理过程分解成几个小过程，且这些小过程的变化是单一的。
那么，选取全过程的两个端点及中间的奇变点来进行分析，其结果必然可以反映所要讨论的物理过程，从而能使求解过程简单、直观，这就是极限思维法的物理思想。
极限法是一种直观、简捷的科学方法。
在我们已学过的物理规律中，常能看到科学家们利用这种思维方法得到的物理规律。
例如伽利略在研究从斜面上滚下的小球的运动时就运用了极限思维法将第二斜面外推到极限——水平面；开尔文把查理定律外推到压强为零这一极限制,而引入了热力学温标……这些例子说明，在物理学的发展和物理问题的研究中，极限思维法是一种重要的方法。
（二)如何应用极限法解决问题应用极限思维法时，特别要注意到所选取的某段物理过程研究的物理量的变化应是单一的。
如增函数或减函数。
但不能在所选过程中既包含有增函数，又包含有减函数的关系，这种题目的解答是不能应用极限法的。
因此，在解题时,一定要先判定物理量间的变化关系是否为单调变化。
若物理量间的变化关系为单调变化，可假设某种变化的极端情况，从而得出结论或作出判断.极限法常见用于解答定性判断题和选择题，或者在解答某些大题时，用极限法确定“解题方向”.在解题过程中，极限法往往能化难为易,达到“事半功倍”的效果。
【典型例题】例1。
如图所示电路中,当可变电阻R的阻值增大时( ）A. A、B两点间的电压U增大B. A、B两点间的电压U减小C。
通过R的电流I增大D。
通过R的电流I减小分析：可变电阻R的变化范围在零到无穷大之间连续变化。
当R=0时，；当R→∞时,R断路，A、B间短路,此时U=0，I E R r=+()1，()。
可见,当R的阻值增大时,U增大而I减小，因==++I U ER R R r212此A、D选项正确。
2024-2025高中物理奥赛解题方法：五.极限法含答案
2024-2025高中物理奥赛解题方法：五.极限法五、极限法方法简介极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。
极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。
因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。
赛题精讲例1：如图5—1所示， 一个质量为m 的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h 高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k ，则物块可能获得的最大动能为 。
解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。
所以速最大时有mg = kx ①由机械能守恒有：mg (h + x) = E k +12kx 2 ②联立①②式解得：E k = mgh －22m g 2k例2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O ，在O 点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O 点沿直轨道到达斜面P 点的时间最短。
求该直轨道与竖直方向的夹角β 。
解析：质点沿OP 做匀加速直线运动，运动的时间t 应该与β角有关，求时间t 对于β角的函数的极值即可。
由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为： a = gcos β该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t ，则：12at 2=OP 所以：t =2OPg cos β① 由图可知，在ΔOPC 中有：o OP sin(90)-α=o OCsin(90)+α-β图5—1图5—2所以：OP =OCcos cos()αα-β ②将②式代入①式得：t =2OCcos g cos cos()αβα-β=[]4OCcos cos cos(2)g αα+α-β显然，当cos(α－2β) = 1 ，即β =2α时，上式有最小值。
所以当β =2α时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。
高中奥林匹克物理竞赛解题方法五：极限法
高中奥林匹克物理竞赛解题方法五：极限法五、极限法方法简介极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判定或导出一样结论。
极限法在进行某些物理过程的分析时，具有专门作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使咨询题化难为易，化繁为简，思路灵活，判定准确。
因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的成效。
赛题精讲例1：如图5—1所示， 一个质量为m 的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h 高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k ，那么物块可能获得的最大动能为 。
解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。
因此速最大时有 mg =kx ① 图5—1由机械能守恒有 221)(kx E x h mg k +=+ ② 联立①②式解得 kg m mgh E k 2221⋅-= 例2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O ，在O 点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O 点沿直轨道到达斜面P 点的时刻最短。
求该直轨道与竖直方向的夹角β。
解析：质点沿OP 做匀加速直线运动，运动的时刻t 应该与β角有关，求时刻t 关于β角的函数的极值即可。
由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为βcos g a =该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时刻为t ，那么OP at =221 因此βcos 2g OP t =①图5—2由图可知，在△OPC 中有)90sin()90sin(βαα-+=- OC OP 因此)cos(cos βαα-=OC OP ② 将②式代入①式得 gOC g OC t )]2cos([cos cos 4)cos(cos cos 2βαααβαβα-+=-= 明显，当2,1)2cos(αββα==-即时，上式有最小值. 因此当2αβ=时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时刻最短。
解决高中物理问题最常用的极限法
解决高中物理问题最常用的极限法极限法在现代数学乃至物理等学科中有广泛的应用。
由有限小到无限小，由有限多到无限多，由有限的差别到无限地接近，就达到事物的本真。
极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，借助极限法，人们可以从直线去接近曲线，从有限接近无限，从“不变”认识“变”，从不确定认识确定，从近似认识准确．从量变认识质变。
早在中国东汉时期的中国伟大的数学家刘徽，在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法．他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果．他用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形……，割得越细，正多边形面积和园面积之差越小，用他的原话说是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”他计算了3072边形面积并验证了这个值．刘徽提出的计算圆周率的科学方法，奠定了此后千余年中国圆周率计算在世界上的领先地位。
“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。
体现了微积分的思想。
高一物理教学中关于瞬时速度的分析就采用了这种极限法的思想，从运动学角度看,平均速度的公式是v=△x/△t,当△t足够小的时候所求的v就是瞬时速度。
得的平均速度就越能较精确的描述人经过某点时的快慢程度。
当位移足够小（也就是时间足够短）时，所得到的平均速度就是“一闪而过”的瞬时速度了。
如果两个量在某一空间的变化关系为单调上升或单调下降的函数关系（如因变量与自变量成正比的关系），那么，连续地改变其中一个量总可以使其变化在该区间达到极点或极限。
根据这种假定来考虑具体问题的思维方法我们就把它称为极点思维法或极限思维法。
同样极限思维法在中学物理教学中的作用运用极限思维法来求解某些物理问题时，与常规解法相比较，可大大地缩短解题时间，提高解题效率。
高一物理竞赛第1讲 极限和导数.学生版
第一讲 极限和导数本讲义编写的目的是对于高中物理中常用的微积分知识做一个相对体系的介绍，并指导同学在实际的物理情景中应用。
讲义在内容上注重讲清数学知识的概念与思维方式，相对于野蛮的“摔公式”教学方法，同学们能一定程度上领略微积分的奇妙与美感。
本节知识提纲1数列极限：数列极限的定义，数列极限的计算 2函数极限：函数极限的定义，物理中极限的使用3导数：导数扩展了物理量的定义。
掌握导数的几何意义，基本求导公式，求导运算法则最后我们一贯的反对学习数学只关心数学公式怎么使用的态度，这种情况在喜欢物理的同学中非常普遍，这种心态的学习在物理上一定也是走不远的。
由于时间限制，本讲义实际在数学上很不严密，代替不了真正的数学课，建议有兴趣的同学课后阅读提升对于数学的理解。
自学部分的例题一般不在课堂上讲解，希望同学们课后认真思考。
第一部分 数列极限知识点睛先思考这个问题0.9999K 和1哪个大？纯洁而朴素的想法如下：0.91<，0.991<，0.9991<，所以无限循环小数0.9999K 小于1。
然而事实并非如此。
令0.9999x =K ，则有：109.9999x =K 0.9999x =K相减得到： 99x = 所以10.9999x ==K为了解释这样的事情，我们做如下分析，构造数列n a ：{0.99...9n na =显然数列里面的每一项都是小于1的。
但是0.9999K 并不在这个数列中。
因为数列里面每一项都是有限小数，0.9999K 是无限小数。
当项数n 不断增大的时候n a 不断靠近0.9999K ，却一直不等于0.9999K 。
我们这样定义数列的极限：如果存在一个实数p 使得：对于任意的实数0ε>，都存在一个整数n ，使得对于任意m n >，||m a p ε-<，那么就叫p 是数列n a 的极限，记作lim n n p a →∞=。
否则叫数列n a 没有极限。
可以这样形象地理解这个定义：当n 很大的时候，n a 与p 要多靠近就有多靠近；n 越大，n a 与本讲提示知识模块p 就越靠近。
高中物理：极限思想在运动学中的应用
第 1 页 共 1 页 高中物理：极限思想在运动学中的应用
1．方法概述
极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论．极限法只能用于在选定区间内所研究的物理量连续、单调变化(单调增大或单调减小)的情况．
2．方法应用：用极限法求瞬时速度和瞬时加速度．
(1)在公式v ＝Δx Δt
中，当Δt →0时v 是瞬时速度． (2)在公式a ＝Δv Δt
中，当Δt →0时a 是瞬时加速度．
如图所示，在气垫导轨上安装有两个光电门A 、B ，A 、
B 间距离为L ＝30 cm.为了测量滑块的加速度，在滑块上安装
了一宽度为d ＝1 cm 的遮光条．现让滑块以某一加速度通过光
电门A 、B ，记录了遮光条通过两光电门A 、B 的时间分别为0.010 s 、0.005 s ，滑块从光电门A 到B 的时间为0.200 s ．则下列说法正确的是( )
A ．滑块经过A 的速度为1 cm/s
B ．滑块经过B 的速度为2 cm/s
C ．滑块的加速度为5 m/s 2
D ．滑块在A 、B 间的平均速度为3 m/s
解析：滑块经过A 的速度为v A ＝d t A ＝1 m/s ，经过B 的速度为v B ＝d t B
＝2 m/s ，选项A 、B 错误；滑块在A 、B 间的平均速度为v ＝L t ＝1.5 m/s ，选项D 错误；由a ＝v B －v A t
，解得滑块的加速度为a ＝5 m/s 2，选项C 正确．
答案：C。
极限法
高中物理常用解题方法 极限法极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。
极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。
因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。
例1：如图5—1所示， 一个质量为m 的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h 高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k ，则物块可能获得的最大动能为 。
解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。
所以速最大时有mg = kx ①由机械能守恒有：mg (h + x) = E k +12kx 2 ②联立①②式解得：E k = mgh －22m g 2k 例2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O ，在O 点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O 点沿直轨道到达斜面P 点的时间最短。
求该直轨道与竖直方向的夹角β 。
解析：质点沿OP 做匀加速直线运动，运动的时间t 应该与β角有关，求时间t 对于β角的函数的极值即可。
由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为：a = gcos β该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t ，则：12at 2 =OP 所以：① 由图可知，在ΔOPC 中有： o OP sin(90)-α=o OC sin(90)+α-β 所以：OP =OCcos cos()αα-β ② 将②式代入①式得： tcos(α－2β) = 1 ，即β =2α时，此式有最小值。
所以当β =2α时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。
此题也可以用作图法求解。
例3：从底角为θ的斜面顶端，以初速度v 0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，如图5—3所示，则小球抛出后，离开斜面的最大距离H 为多少？解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。
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五、极限法方法简介极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。
极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。
因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。
赛题精讲例1：如图5—1所示， 一个质量为m 的小球位于一质量可忽略的直立弹簧上方h 高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度系数为k ，则物块可能获得的最大动能为 。
解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，小球所受合力为零的位置速度、动能最大。
所以速最大时有mg = kx ①由机械能守恒有：mg (h + x) = E k +12kx 2 ②联立①②式解得：E k = mgh －22m g 2k例2：如图5—2所示，倾角为α的斜面上方有一点O ，在O 点放一至斜面的光滑直轨道，要求一质点从O 点沿直轨道到达斜面P 点的时间最短。
求该直轨道与竖直方向的夹角β 。
解析：质点沿OP 做匀加速直线运动，运动的时间t 应该与β角有关，求时间t 对于β角的函数的极值即可。
由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为： a = gcos β该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t ，则：12at 2=OP 所以：t =2OPg cos β① 由图可知，在ΔOPC 中有：o OP sin(90)-α=o OCsin(90)+α-β图5—1图5—2所以：OP =OCcos cos()αα-β ②将②式代入①式得：t =2OCcos g cos cos()αβα-β=[]4OCcos cos cos(2)g αα+α-β显然，当cos(α－2β) = 1 ，即β =2α时，上式有最小值。
所以当β =2α时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。
此题也可以用作图法求解。
例3：从底角为θ的斜面顶端，以初速度v 0水平抛出一小球，不计空气阻力，若斜面足够长，如图5—3所示，则小球抛出后，离开斜面的最大距离H 为多少？解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。
以水平向右为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向，则由：v y = v 0tan θ = gt ，解得运动时间为t =0vgtan θ该点的坐标为：x = v 0t =20v g tan θ ，y =12gt 2 =20v 2g tan 2θ由几何关系得：Hcos θ+ y = xtan θ 解得小球离开斜面的最大距离为：H =20v 2gtan θ⋅sin θ这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。
例4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m 的墙外，从喷口算起，墙高为4.0m 。
若不计空气阻力，取g = 10m/s 2 ，求所需的最小初速及对应的发射仰角。
解析：水流做斜上抛运动，以喷口O 为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A （d 、h ）的最小初速度和发射仰角。
根据平抛运动的规律，水流的运动方程为：020x v cos t 1y v sin t gt 2=α⋅⎧⎪⎨=α⋅-⎪⎩ 把A 点坐标（d 、h ）代入以上两式，消去t ，得：20v =－22gd 2(h d tan )cos -αα=2gd d sin 2h(cos 21)α-α+图5—图5—4=2222222gd d hd h sin 2cos 2hd h d h ⎡⎤+⋅α-⋅α-⎢⎥++⎣⎦令hd = tan θ ，则22d h += cos θ ，22d h+= sin θ ，上式可变为：2v =222d h sin(2)h+α-θ- 显然，当sin (2α－θ) = 1时，即2α－θ = 90°，亦即发射角α = 45°+2θ= 45°+12arctanh d = 45°+ arctan 43= 71.6°时，v 0最小，且最小速度为： v 0 =22g(d h h)++= 310= 9.5m/s例5：如图5—5所示，一质量为m 的人，从长为l 、质量为M 的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。
铁板和水平面间摩擦因数为μ ，人和铁板间摩擦因数为μ′，且μ′?μ 。
这样，人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离L 是多少？解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f ，其加速度a 1 =f M m +=(M m)gM mμ++= μg 。
由于铁板移动的距离L =21v 2a '，故v ′越大，L 越大。
v ′是人与铁板一起开始地运动的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。
人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦μ (M + m)g ，根据系统的牛顿第二定律得：F = ma 2 + M ⋅0所以：a 2 =F m= μM m m +g ①设v 、v ′分别是人奔跑结束及人和铁板一起运动时的速度：因为：mv = (M + m) v ′ ② 且：v 2 = 2a 2l ，2v '= 2a 1L并将a 1 、a 2代入②式解得铁板移动的最大距离： L =mM m+l 例6：设地球的质量为M ，人造卫星的质量为m ，地球的半径为R 0 ，人造卫星环绕地球做圆周运动的半径为r 。
试证明：从地面上将卫星发射至运行轨道，发射速度v =00R gR (2)r-，并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值。
（取R 0 = 6.4×图5—5106m ），设大气层对卫星的阻力忽略不计，地面的重力加速度为g ）解析：由能量守恒定律，卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量。
设卫星从地面发射的速度为v 发 ，卫星发射时具有的机械能为：E 1 =12m 2v 发－G 0Mm R ①进入轨道后卫星的机械能为：E 2 =12m 2v 轨－GMmr② 由E 1 = E 2 ，并代入v 轨 =GMr，解得发射速度为： v 发 =00R GM(2)R r- ③ 又因为在地面上万有引力等于重力，即：G2MmR = mg ，所以： 0GMR = gR 0 ④ 把④式代入③式即得：v 发 =00R gR (2)r-（1）如果r = R 0 ，即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运动时，所需发射速度最小为：v min =0gR = 7.9×103m/s 。
（2）如果r →∞，所需发射速度最大（称为第二宇宙速度或脱离速度）为：v max =02gR = 11.2×103m/s 。
例7：如图5—6所示，半径为R 的匀质半球体，其重心在球心O 点正下方C 点处，OC =38R ， 半球重为G ，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重为G8的物体，它与半球平在间的动摩擦因数μ = 0.2 ，求无滑动时物体离球心O 点最大距离是多少？解析：物体离O 点放得越远，根据力矩的平衡，半球体转过的角度θ越大，但物体在球体斜面上保持相对静止时，θ有限度。
设物体距球心为x 时恰好无滑动，对整体以半球体和地面接触点为轴，根据平衡条件有： G ⋅3R 8sin θ =G8⋅xcos θ ，得到：x = 3Rtan θ 可见，x 随θ增大而增大。
临界情况对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力，则： tan θm =mf N= μ = 0.2 ，所以 x = 3μR = 0.6R 。
图5—6例8：有一质量为m = 50kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数μ = 0.3 ，杆的上端固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角θ = 30°，如图5—7所示。
（1）若以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离h 1 =25L （L 为杆长），要使杆不滑倒，力F 最大不能越过多少？ （2）若将作用点移到h 2 =45L 处时，情况又如何？解析：杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h 有关，讨论力与h 的关系是关键。
杆的受力如图5—7—甲所示，由平衡条件得： F －Tsin θ－f = 0 N －Tcos θ－mg = 0 F(L －h)－fL = 0另由上式可知，F 增大时，f 相应也增大，故当f 增大到最大静摩擦力时，杆刚要滑倒，此时满足：f = μN解得：F max =mgL tan tan (L h)h θθ--μ由上式又可知，当［tan θμ(L －h)－h ］→∞ ，即当h 0 = 0.66L 时，对F 就没有限制了。
（1）当h 1 =25L ＜h 0 ，将有关数据代入F max 的表达式得：F max = 385N（2）当h 2 =45L ＞h 0 ，无论F 为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。
例9：放在光滑水平面上的木板质量为M ，如图5—8所示，板上有质量为m 的小狗以与木板成θ角的初速度v 0（相对于地面）由A 点跳到B 点，已知AB 间距离为s 。
求初速度的最小值。
解析：小狗跳起后，做斜上抛运动，水平位移向右，由于水平方向动量守恒，木板向左运动。
小狗落到板上的B 点时，小狗和木板对地位移的大小之和，是小狗对木板的水平位移。
由于水平方向动量守恒，有：mv 0cos θ = Mv ，即：v =0mv sin Mθ① 小狗在空中做斜抛运动的时间为：t =02v sin gθ② 又：s + v 0cos θ⋅t = vt ③图5—7图5—7—甲图5—8将①、②代入③式得：v 0 =Mgs(M m)sin 2+θ当sin2θ = 1 ，即θ =4π时，v 0有最小值，且v 0min =Mgs M m+。
例10：一小物块以速度v 0 = 10m/s 沿光滑地面滑行，然后沿光滑 曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出，如图5—9所示。
当高台的高度h 多大时，小物块飞行的水平距离s 最大？这个距离是多少？（g 取10m/s 2）解析：依题意，小物块经历两个过程。
在脱离曲面顶部之前，小物块受重力和支持力，由于支持力不做功，物块的机械能守恒，物块从高台上飞出后，做平抛运动，其水平距离s 是高度h 的函数。
设小物块刚脱离曲面顶部的速度为v ，根据机械能守恒定律：12m 20v =12m v 2 + mgh ①小物块做平抛运动的水平距离s 和高度h 分别为： s = vt ② h =12gt 2 ③以上三式联立解得：s =202h v 2gh g-= 2222200v v ()(h )4g 4g --当h =20v 4g = 2.5m 时，s 有最大值，且s max =20v 2g= 5m 。