第三版运筹学总复习(1)

对偶问题则是从另一角度提出问题，即如果其他
公司想把企业的资源收买过去，他要付出多大的 代价，才有可能使得企业放弃生产活动。对偶变 量是资源出让的代价。
2013-12-12 22
陆
际
恩
⒊根据原问题同对偶问题之间的对应关系，分别找出 两个问题之间、解以及检验数之间的对应关系。 原问题同对偶问题之间的对应关系见后面两表 有唯一解的对偶问题的解是原问题最终单纯形表中 非基变量的检验数。
陆
际
第一章复习思考题
恩
⒈ 试述LP数学模型的组成要素及各要素的特征。 LP数学模型组成三要素：
一是决策变量；
二பைடு நூலகம்标函数；
三是约束条件。 各要素特征：
⑴决策变量是连续的； ⑵决策变量是目标函数的线性函数； ⑶约束条件是含有决策变量的线性不等式。
2013-12-12 1
陆
际
⒉ 求解LP问题时可能出现哪几种结果？
2013-12-12
15
用两阶段法求解，第一阶段求解过程如下：
陆 际 恩
cj cB 0 -1 -1 xB x4 x6 x7 cj-zj 0 0 -1 x4 x3’ x7 cj-zj 0 x4 5 2 1 b 7 2 5
0 x1 1 1 -3 -2 0 1 -5 -5 13/3 10/3
0 x2 1 -1 1 0 2 -1 [3] 3 0
变量，则在下一步解中至少有一个基变量的值为
负。
√
h)单纯形法计算中，选项取最大正检验数σk对应的 变量xk作为换入变量，将使目标函数值得到最快
2013-12-12
19
陆
际
因为当目标函数取min z时就不是得到最快的增长。
恩
的增长。 ×
i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变 量及相应的数字可以从单纯形表中删除，而不影 响计算结果。 √ j)LP问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性 组合表示。 √ n)单纯形法的迭代过程是从一个可行解转换到目标
际
恩
如果LP问题的标准型式变换为求目 标函数的极小化min z，则在用单纯形法
计算时，用检验数σj≥0判断问题是否得到
最优，方法同极大化。 ⒎ 在确定初始可行基时，什么情况下
要在约束条件中增添人工变量，在目标函
数中假定人工变量前的系数为（-M），其 作用是什么？
2013-12-12
8
陆
际
恩
当规划模型化为标准型后，当其约束条件的
2013-12-12 3
陆
际
恩
⑷如果约束条件为“≥”不等式，则在 不等式的左端减去一个非负的剩余变量，使
其变为等式；
⑸若xj≤0，则令x’j=－xj，代入标准型， 则有x’j≥0； ⑹若xj的正负不限，则令xj=x’j－x”j，而 x’j≥0，x”j≥0。 ⒋试述LP问题的基解、基可行解、可行解、
最优解的概念以及上述解之间的相互关系。
2013-12-12 4
陆
际
恩
设LP问题的标准型为 目标函数 max( 或 min) c j x j
j 1 n
① ② ③
n aij x j bi i 1,2, , m 约束条件 j 1 xij 0, j 1,2, , n
陆
际
⒏ 什么是单纯形法计算的两阶段法，为
恩
什么要将计算分两个阶段进行，以及如何根据
第一阶段的计算结果来判定第二阶段的计算是
否需继续进行。MaxZ=-Mx6-Mx7
MinZ=Mx6+Mx7
因为“M”是一个很大的正数，是人们的一 种想象，而计算机却不知道这个很大的正数到 底有多大，为避免计算发生错误，对添加人工 变量后的LP问题分两阶段来计算，称两阶段法
函数值更大的另一个可行解。 ×
只有当该LP问题有唯一最优解时才成立。
2013-12-12 20
陆
际
恩
O)线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行 解一定是基可行解；
×
为什么是错误的？因为基可行解≠可行解。见 P18。
2013-12-12
21
陆
际
恩
第二章复习思考题⒉ 试从经济上解释对偶问题及对
偶变量的含义。 如果把LP的原问题看作是在现有各项资源条件的 限制下，企业如何确定生产方案，使预期目标达 到最优。原问题的变量是生产方案的决策变量。
0 x3’ 1 [1] 2 3 0 1 0 0 0
0 x3” -1 -1 -2 -3 0 -1 0 0 0
0 x4 1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 x5 0 -1 0 -1 1 -1 2 2 -1/3
-1 x6 0 1 0 0 -1 1 -2 -3 1/3
-1 x7 0 0 1 0 0 0 1 0 -2/3
2013-12-12
11
陆
• •
际
恩
判断下列说法是否正确
•
•
图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理 解，两者是一致的。 √
LP模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小， 减少一个约束条件，，可行域的范围一般将扩大。 √
•
•
LP问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。 ×
如LP问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上 的一个点。 √
可以证明，对取值无约束的变量xj，如果令xj=x’j-x”j
，其中x’j≥0，x”j≥0，在用单纯形法求得的最优解不 可能同时出现x’j>0，x”j>0。
2013-12-12
18
陆
际
恩
f)用单纯形法求解标准型式的LP问题时，与σj>0对
应的变量都可以被选作换入变量。
√
g)单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出
系数矩阵中不存在单位矩阵时，需再添加新的人
工变量。 在一个LP问题的约束条件中加入人工变量后， 要求人工变量对目标函数取值不受影响，假定人 工变量在目标函数中的系数为（-M，M为任意大
正数），这样目标函数在实现最大化的过程中，
必须把人工变量换出，否则目标函数不可能实现 最大化。
2013-12-12 9
恩
人工变量x6； ⑷第三个约束条件左端加上一个人工变量x7；
⑸令z’=-z，把min z改为max z’，即可得到该问题的 标准型（规范型）：
' " max z ' 2 x1 x2 3 x3 3 x3 0 x4 0 x5 Mx6 Mx7 ' " x1 x2 x3 x3 x4 7 ' " x1 x2 x3 x3 x5 x6 2 st. ' " 3 x1 x2 2 x3 2 x3 x7 5 x 0, i 1,2, ,7 ; x ' , x" 0 3 3 i
2013-12-12
23
陆
原问题与对偶问题间的关系如下表所示: Max z 原问题目标函数极大max z 对偶问题目标函数极小min n个 n个 变 约 0 束 量 条 0 无约束 件
陆
际
恩
如果在单纯形表中，所有检验数σj≤0， 基变量中存在非零的人工变量，此时的
解为无可行解；如果在单纯形表中，某
检验数σj>0，而对应的Pj≤0，此时的
解为无界解。 ⒍如果LP问题的标准型式变换为求目标
函数的极小化min z，则用单纯形法计算时，
如何判别问题已得到最优解。
2013-12-12
7
陆
恩
上判别问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无
界解或无可行解。
在单纯形表中，如果所有检验数σj≤0，基变量中 不存在非零的人工变量，非基变量中也不存在等于 零的检验数，此时的解为唯一最优解；如果在单纯 形表中，虽然所有检验数σj≤0，但存在某非基变量
的检验数等于零，此时的解为无穷多最优解；
2013-12-12 6
用单纯形法求解，先将其化为标准型
max ' x6 x7
' " x1 x2 x3 x3 x4 7 ' " x1 x2 x3 x3 x5 x6 2 st. ' " 3 x1 x2 2 x3 2 x3 x7 5 x 0, i 1,2, ,7 ; x ' , x" 0 3 3 i
2013-12-12
14
陆
际
恩
解：用两阶段法求解 第一阶段的LP问题为： min x6 x7
' " x1 x2 x3 x3 x4 7 ' " x1 x2 x3 x3 x5 x6 2 st. ' " 3x1 x2 2 x3 2 x3 x7 5 x 0, i 1,2, ,7 ; x ' , x" 0 3 3 i
恩
对于任意一个非标准的LP问题，可采取如下方法， 将其变换为标准型：
⑴若目标函数为求极小值minz=CX，则令z’=－z ，便可得到maxz’=－CX； ⑵如果某约束条件的右端项（资源系数）<0， 则该约束条件两端同时乘“－1”，使其≥0；
⑶如果约束条件为“≤”不等式，则在不等式的
左端加入一个非负的松弛变量，使其变为等式；
2013-12-12
MaxZ=-2x1-x2+3x3 st. x1+x2+x3+x4=7 x1-x2+x3-x5=2 -3x1+x2+2x3+x6=5
x3=x3'-x3'' x3'>=0 x3''>=0