食堂拥挤问题数学建模

承诺书

我们仔细阅读了新乡市高校数学建模联赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。

我们参赛选择的题号为（从A/B/C/D中选择一项填写）： A

我们的报名参赛队号为：

参赛组别（本科或专科）：本科

所属学校（请填写完整的全名）新乡学院

参赛队员(打印并签名) ：

日期：年月日

编号专用页

竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：

裁剪线裁剪线裁剪线竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：

参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）：

A题拥挤的食堂

摘要

本文根据题目要求研究我校第一食堂入口拥挤问题，通过5月15至5月20日5天用餐时间内对我校食堂调查，通过对数据的分析建立了以分析队列长度的变化的概率统计分布模型，并且得到了初步的结果。

（1）对于问题一，通过连续5天同一时间同一地点得到了与实际情况大致相符的所需数据。

（2）对于问题二，根据问题一调查所得到的结果，对问题二进行假设分析，建立以分析队列长度的变化的概率统计分布模型。

（3）对于问题三，根据自己的亲身经历和观察，进行数据调查建立排队理论模型，分析解决问题

关键词：学生食堂拥挤排队论 M/M/s模型

一问题重述

在大学校园里，每到放学吃饭的时候，总是让同学们进食堂吃饭比较困难，因为进门特别拥挤。这是一个多数大学都存在的问题，新乡市各高校的食堂也是如此。请建模说明下列问题（请选自己学校一个典型餐厅为例，但在文中不要显示具体学校和餐厅的名字）

问题一：中午放学的时候，食堂门口来流人数达到每分钟多少人时，会发生拥挤。

问题二：如果把中午放学时，食堂对着教学区开的门适当扩大50%，对进门拥挤能否有所改善。

问题三：如果把食堂对着教学区的门口装置上隔离栏（隔离栏：和风景区进门检票、火车站排队买票那种形式一样，达到把人隔成单一人流的目的，起到强制排队的作用），食堂门口来流人数达到每分钟多少人时会发生拥挤。

二模型假设

模型一假设:

1、由于在周六周日的食堂就餐人数比较少，对于拥挤情况至考虑周一至周三的情况，通过对课表的研究，可以假设每天的人数是固定的，有由于长期习惯作用的结果可以认为到第一食堂就餐的人数是稳定的。

2、每个人到来的时刻、他们进门的时间是相等且相互独立的。

3、不考虑进入的人就餐后出门对拥挤程度的影响。

4、每天食堂大门的开启程度相同。

5、数据统计以5分钟为一个单位。

三 符号说明

x: 时间段

y1;时间段内到达食堂的人数 y2：时间段内进入食堂的人数

四 模型一的准备

五 模型的建立与求解

1、绘制散点图

050

100

150

200

250

300

350

2、绘制拟合图

注：到达人数拟合图

注：进入人数拟合图

利用matlab多项式拟合得到时间和到达人数的二次多项式关系式2

y=

1-7.8297x+ 97.0375x -35.6364

利用matlab多项式拟合得到时间和进入人数的二次多项式关系式

2

y=

2-4.8399x+ 66.4318x +1.1136

问题一：

由以上图形和关系式对于问题求解：

将y1，y2的拟合图进行比较分析如下图

对于y2进行一次求导 29.667866.4318dy x =-+

当dy2=0时，求解得到x=6.8714，则由方程y1可知在（1,6.8714）上为增函数，在（6.8714,12）上为减函数。则y2的最大值约为229人，则每分钟进入人数约为46人，此时y1的值为261人，超过y2的最大值，即在此时食堂门口的情况为拥挤。

由此可知我校食堂每分钟到达人数超过46人时，门口开始拥挤。

由统计数据、假设以及数据整理分析可知，当适当的扩大食堂门时，可以改善食堂门口的拥挤情况。

问题二：

由问题一得数据及模型进行分析，当食堂门口扩大50%时，在问题一求解所得到的时间段内，对问题二进行求解，在该时间段所进入的人数为y(6.8714)=（1+50%）*y2=343人，大于这时到达的人数261人，不会发生拥挤，情况得到改善。

模型二假设

1、由于在周六周日的食堂就餐人数比较少，对于拥挤情况至考虑周一至周三的情况，通过对课表的研究，可以假设每天的人数是固定的，有由于长期习惯作用的结果可以认为到第一食堂就餐的人数是稳定的。

2、每个人到达时间间隔随即，服从负指数分布。

3、不考虑进入的人就餐后出门对拥挤程度的影响。

4、数据统计以10秒钟为一个单位。

5、排队遵循先到先进原则。

6、每个栏杆口对学生来说都一样，且以并联方式连接，学生进入时间服从参数为μ的负指数分布。

符号说明

λ: 学生到达强度

μ: 栏杆容许进入的能力 t: 学生平均进入时间 p0: 空闲概率

Lq: 排队学生的平均数 Ws: 平均排队的时间 Wq: 平均逗留时间

50

100

150

200

250

300